P2 - Cálculo 1 - 2023-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Humanidade e Sa´ude Departamento de Ciˆencias da Natureza Avalia¸c˜ao 2 - C´alculo 01 - 29/06/2023 Dados de Identifica¸c˜ao Disciplina: C´alculo 01 Professor: Dr. F´abio Freitas Ferreira Aluno(a): REGRAS: 1. A prova dever´a ser entregue em ORDEM DE QUEST˜AO num ´unico PDF; 2. Todas as quest˜oes DEVEM ESTAR ORGANIZADAS com todas as informa¸c˜oes; 3. A prova ´e individual. Quest˜oes com respostas iguais ser˜ao consideradas pl´agios; 4. Colocar LETRAS leg´ıveis em caneta: Escreva em caneta ou l´apis forte; 5. N˜AO zippar os arquivos; 6. N˜AO colocar p´aginas ”deitadas” pois eu corrijo no computador; 1. Utilize as ferramentas de derivada para construir o gr´afico da fun¸c˜ao f(x) = x5 − 2x3 − 2x + 1 (1) Organize a quest˜ao de forma sequencial e com explica¸c˜oes claras. 2. Calcule a derivada da fun¸c˜ao f(x) = ex2+1 · cos (3x−2). 3. Calcule a derivada da fun¸c˜ao f(x) = x 1 + x2. 4. Calcule a derivada de segunda ordem da fun¸c˜ao f(x) = (x2 + 2x + 1) · sin x Boa prova! 1) \ f(x) = x^5 - 2x^3 - 2x + 1 I) \ Domínio \ e \ interseção \ com \ eixo \ y . Df = \mathbb{R} \ e \ passa \ por \ y = 1 II) \ Pontos \ críticos : f' = 5x^4 - 6x^2 - 2 equalizando \ a \ zero \ a \ derivada : 5x^4 - 6x^2 - 2 = 0 \begin{cases} x_1 = 1,21 \\ x_2 = -1,21 \\ x_3 = 0,52 \\ x_4 = -0,52 \end{cases} f(-1,21) = 5.(-1,21)^4 - 6.(-1,21)^2 - 2 = -3,46 f(1) = 5.(1)^4 - 6(1)^2 - 2 = -3 f(1-0,52) = 5.(-0,52)^4 - 6(-0,52)^2 - 2 = -3,26 f(0) = 5.(0)^4 - 6.(0)^2 - 2 = -2 como \ \ todas \ são \ negativas , \ temos \ (decrescente): \longleftarrow \quad -1,21 \quad 1 \quad -0,52 \quad 0 \quad 0,52 \quad 1 \quad 1,21 \quad \longrightarrow III) \ Pontos \ de \ máximos , \ mínimos \ e \ inflexão f''(x) = 20x^3 - 12x = 0 \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = 0,77 \\ x_3 = -0,77 \end{cases} f''(0) = 20.(0)^3 - 12.0 = 0 \ \smallsmile f''(1) = 20.(1)^3 - 12.(1) = 8 \ \smile f''(-1,21) = -20,9 \ \smallfrown f''(1,21) = 20,9 \ \smallsmile \overlineset{{\ \smile\ \smallfrown\ \ \smile\ \ \smallfrown\ \ \smile\ }} -1,21\quad-1\quad0\quad1\quad1,21 ponto \ de \ máximo \ : \ -1,21 ponto \ de \ mínimo \ : \ 1,21 ponto \ de \ inflexão \ ; \ 1 gráfico : A segunda derivada será: f'' = t' + S' Calculando t': { f = (2x+2) g = sen(x) } determinando suas respectivas derivadas: { f' = 2 g' = cos(x) } pela regra do produto: t' = f'.g + f.g' = 2.sen(x) + (2x+2).cos(x) Calculando S': { r = (x^2 + 2x + 1) u = cos(x) } determinando suas respectivas derivadas: { r' = 2x + 2 u' = -sen(x) } pela regra do quociente, temos: S' = r'.u + r.u' S' = (2x+2).(cos(x)) + (x^2+2x+1).(-sen(x)) S' = (2x+2).cos(x) - (x^2+2x+1).sen(x) Logo a segunda derivada de f será: f'' = t' + S' f'' = 2.sen(x) + (2x+2).cos(x) + (2x+2).cos(x) - (x^2+2x+1).sen(x)