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Cálculo 1

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Universidade Federal Fluminense Instituto de Humanidade e Sa´ude Departamento de Ciˆencias da Natureza Avalia¸c˜ao 2 - C´alculo 01 - 29/06/2023 Dados de Identifica¸c˜ao Disciplina: C´alculo 01 Professor: Dr. F´abio Freitas Ferreira Aluno(a): REGRAS: 1. A prova dever´a ser entregue em ORDEM DE QUEST˜AO num ´unico PDF; 2. Todas as quest˜oes DEVEM ESTAR ORGANIZADAS com todas as informa¸c˜oes; 3. A prova ´e individual. Quest˜oes com respostas iguais ser˜ao consideradas pl´agios; 4. Colocar LETRAS leg´ıveis em caneta: Escreva em caneta ou l´apis forte; 5. N˜AO zippar os arquivos; 6. N˜AO colocar p´aginas ”deitadas” pois eu corrijo no computador; 1. Utilize as ferramentas de derivada para construir o gr´afico da fun¸c˜ao f(x) = x5 − 2x3 − 2x + 1 (1) Organize a quest˜ao de forma sequencial e com explica¸c˜oes claras. 2. Calcule a derivada da fun¸c˜ao f(x) = ex2+1 · cos (3x−2). 3. Calcule a derivada da fun¸c˜ao f(x) = x 1 + x2. 4. Calcule a derivada de segunda ordem da fun¸c˜ao f(x) = (x2 + 2x + 1) · sin x Boa prova! grafico: 1,21 4,3 -2,36 1) f(x) = x^5 - 2x^3 - 2x + 1 I) Domínio e interseção com eixo y. Df = R e passa por y = 1 II) Pontos críticos: f' = 5x^4 - 6x^2 - 2 igualando a zero a derivada: 5x^4 - 6x^2 - 2 = 0 {x1 = 1,21 x2 = -1,21 x3 = 0,52 x4 = -0,52 f(-1,21) = 5.(-1,21)^4 - 6.(-1,21)^2 - 2 = -3,46 f(1) = 5.(1)^4 - 6(1)^2 - 2 = -3 f(-0,52) = 5.(-0,52)^4 - 6(-0,52)^2 - 2 = -3,26 f(0) = 5.(0)^4 - 6.(0)^2 - 2 = -2 como todos são negativos, temos (decrescente): III) Pontos de máximos, mínimos e inflexão f''(x) = 20x^3 - 12x = 0 {x1 = 0 x2 = 0,77 x2 = -0,77 f''(0) = 20.(0)^3 - 12.(0) = 0 f''(1) = 20.(1)^3 - 12.(1) = 8 U f''(-1,21) = -20,9 ∩ f''(1,21) = 20,9 U ponto de máximo: -1,21 ponto de mínimo: 1,21 ponto de inflexão: 1 2) f(x) = e^{x^2+1} \cdot \cos(3x^{-2}) Utilizando a regra do produto: f' = g' \cdot h + g \cdot h'\ (1) Considerando: \begin{cases} g = e^{x^2+1} \\ h = \cos(3x^{-2}) \end{cases} Suas respectivas derivadas são: \begin{cases} g' = e^{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \cdot e^{x^2+1} \\ h' = \cos(3x^{-2}) = -\sen(3x^{-2}) \cdot \frac{d}{dx}(3x^{-2}) \\ h' = -\sen(3x^{-2}) \cdot \left(-\frac{6}{x^3}\right) = \frac{6 \sen(3x^{-2})}{x^3} \end{cases} Substituindo os resultados acima na eq. (1): f' = 2x e^{x^2+1} \cdot \cos(3x^{-2}) + e^{x^2+1} \cdot \frac{6 \sen(3x^{-2})}{x^3} f' = e^{x^2+1} \cdot \left[2 \cos(3x^{-2}) + \frac{6 \sen(3x^{-2})}{x^3}\right] A segunda derivada será: f'' = t' + S' Calculando t': f = (2x+2) g = sen(x) determinando suas respectivas derivadas: { f' = 2 g' = cos(x) pela regra do produto: t' = f'.g + f.g' = 2.sen(x) + (2x+2).cos(x) Calculando S': r = (x^2+2x+1) u = cos(x) determinando suas respectivas derivadas: { r' = 2x+2 u' = -sen(x) pela regra do quociente, temos: S' = r'.u + r.u' S' = (2x+2).(cos(x)) + (x^2+2x+1).(-sen(x)) S' = (2x+2).cos(x) - (x^2+2x+1).sen(x) Logo a segunda derivada de f será: f'' = t' + S' f'' = 2.sen(x) + (2x+2).cos(x) + (2x+2).cos(x) - (x^2+2x+1).sen(x)