Econometria - Modelos Lineares para Séries Temporais Financeiras - ARMA

Econometria III Análise de Séries Temporais II Modelos Lineares para Séries Temporais Finenceiras 21 Estacionariedade 22 Correlação e Função de Autocorrelação 23 Processo Ruído Branco e Séries Temporais Lineares 24 Modelos AutoRegressivos AR 25 Modelos de MédiasMóveis MA 26 Modelos ARMA 27 Não Estacionariedade Tendências Determinísticas e Estocásticas 24 Modelos AutoRegressivos Processo AR2 Def 4 Dizemos que 𝑦𝑡 é um Processo AutoRegressivo de ordem 2 com notação 𝑦𝑡𝐴𝑅2 se 𝑦𝑡 possui representação 𝑦𝑡 𝜙0 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜀𝑡 tal que 𝜙1 𝜙2 1 𝜙2 𝜙1 1 𝜙2 1 e 𝜀𝑡𝑅𝐵0 𝜎𝜀2 Obs No caso do AR1 há apenas uma condição associada à estacionariedade do modelo envolvendo seus parâmetros 𝜙1 1 Para o AR2 o número de restrições simultâneas aumenta em função do número de termos autoregressivos em sua equação 𝜙1 𝜙2 1 𝜙2 𝜙1 1 𝜙2 1 Conjuntamente essas restrições garantem a condição i do Processo Linear Geral Representação do AR2 na forma polinomial Seja 𝐿𝑗 definido operador defasagem temporal tal que 𝐿𝑗𝑢𝑡 𝑢𝑡𝑗 onde 𝑢𝑡 é uma série temporal Desta forma podemos escrever 𝑦𝑡 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜀𝑡 𝑦𝑡 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜀𝑡 𝑦𝑡 𝜙1𝐿1𝑦𝑡 𝜙2𝐿2𝑦𝑡 𝜀𝑡 𝑦𝑡 1 𝜙1𝐿1 𝜙2𝐿2 𝜀𝑡 Φ 𝐿 logo 𝑦𝑡Φ 𝐿 𝜀𝑡 Estacionariedade do AR2 na forma polinomial A condição de estacionariedade do AR2 é estabelecida a partir das raízes do polinômio Φ 𝐿 1 𝜙1𝑧1 𝜙2𝑧2 0 1 Se as soluções 𝑧1 e 𝑧2 para 1 forem maiores que 1 em módulo então o processo AR2 será estacionário Genericamente todas as raízes do polinômio auto regressivo devem cair fora do círculo unitário Propriedades do AR2 𝑦𝑡 𝜙0 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜀𝑡 𝐸𝑦𝑡 𝐸𝜙0 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜀𝑡 𝐸𝑦𝑡 𝜙0 𝜙1𝐸𝑦𝑡1 𝜙2𝐸𝑦𝑡2 𝐸𝜀𝑡 𝜇 𝜙0 𝜙1𝜇 𝜙2𝜇 𝐸𝑦𝑡 𝜇 𝜙0 1 𝜙1 𝜙2 i Média 𝑉𝑎𝑟𝑦𝑡 𝑉𝑎𝑟𝜙0 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜀𝑡 ii Variância 𝑉𝑎𝑟 𝑖1 𝑁 𝑋𝑖 𝑖1 𝑁 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖 𝑖𝑗 𝐶𝑜𝑣𝑋𝑖 𝑋𝑗 Usar iii Covariância Como Então 𝜌ℎ 𝜙1𝜌ℎ 1 𝜙2𝜌ℎ 2 Dividindo por 𝛾0 encontramos Dado que 𝜌 0 1 𝜌1 𝜙1𝜌0 𝜙2𝜌1 𝜌1 𝜙1 𝜙2𝜌1 𝜌1 𝜙1 1 𝜙2 𝜌 2 𝜙1 2 1 𝜙2 𝜙2 Figure 29 The autocorrelation function of an AR2 model a ϕ1 12 and ϕ2 035 b ϕ1 06 and ϕ2 04 c ϕ1 02 and ϕ2 035 and d ϕ1 02 and ϕ2 035 24 Modelos AutoRegressivos Processo ARp Def 5 Dizemos que 𝑦𝑡 é um Processo AutoRegressivo de ordem p com notação 𝑦𝑡𝐴𝑅𝑝 se 𝑦𝑡 possui representação 𝑦𝑡Φ 𝐿 𝜀𝑡 tal que todas as raízes de Φ 𝐿 1 𝜙1𝐿1 𝜙2𝐿2 𝜙𝑝𝐿𝑝 0 caem fora do círculo unitário e 𝜀𝑡𝑅𝐵0 𝜎𝜀2 Ex1 𝑦𝑡 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜙3𝑦𝑡3 𝜙4𝑦𝑡4 𝜀𝑡 Ex2 𝑦𝑡 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙5𝑦𝑡5 𝜀𝑡 Propriedades do ARp 𝑦𝑡 𝜙0 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜙𝑝𝑦𝑡𝑝 𝜀𝑡 𝐸𝑦𝑡 𝐸𝜙0 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜙𝑝𝑦𝑡𝑝 𝜀𝑡 𝐸𝑦𝑡 𝜇 𝜙0 1 𝜙1 𝜙2 𝜙𝑝 i Média 𝑦𝑡 𝜙1𝑦𝑡1 𝜙2𝑦𝑡2 𝜙𝑝𝑦𝑡𝑝 𝜀𝑡 ii Variância e Covariância 𝛾 ℎ 𝜙1𝛾 ℎ 1 𝜙2𝛾 ℎ 2 𝜙𝑝𝛾 ℎ 𝑝 ℎ 0 𝜌 ℎ 𝜙1𝜌 ℎ 1 𝜙2𝜌 ℎ 2 𝜙𝑝𝜌 ℎ 𝑝 ℎ 0 𝐸𝑦𝑡𝑦𝑡ℎ 𝜙1𝐸𝑦𝑡1𝑦𝑡ℎ 𝜙2𝐸𝑦𝑡2𝑦𝑡ℎ 𝜙𝑝𝐸𝑦𝑡𝑝𝑦𝑡ℎ 𝐸𝜀𝑡𝑦𝑡ℎ 𝛾 0 𝜙1𝛾 1 𝜙2𝛾 2 𝜙𝑝𝛾 𝑝 𝐸 𝜀𝑡𝑦𝑡 ℎ 0 𝜎𝜀2 𝜌 0 𝜙1𝜌 1 𝜙2𝜌 2 𝜙𝑝𝜌 𝑝 𝜎𝜀2 𝛾 0 ℎ 0 Usando obtemos e Por FACV FAC logo ii Variância e Covariância 𝛾 0 𝜎𝑦2 𝜎𝜀2 1𝜙1𝜌 1 𝜙2𝜌 2 𝜙𝑝𝜌 𝑝 Usando chegamos em De maneira geral o comportamento da FACVFAC de um processo ARp possui decaimento exponencial podendo exibir padrões que alternam valores positivos e negativos dependendo do sinal das raízes do polinômio autoregressivo