Álgebra Linear

Objetivo desta Aula\n\nApós a leitura desta aula, você:\n\n1. Relacionará o conceito de matriz com o de uma planilha de dados;\n2. Identificará algumas matrizes notáveis;\n3. Realizará operações básicas;\n4. Utilizará as propriedades das operações básicas;\n5. Saberá calcular o determinante e o traço de uma matriz;\n6. Conhecerá os princípios do determinante e do traço.\n\nPrezada aluna\nO conteúdo que vamos estudar na disciplina de Álgebra Linear será de grande aplicabilidade para os cursos de Engenharia. Linhas serão as suas aplicações tanto nas áreas de física, química e estatística como na resolução de modelos matemáticos de problemas de natureza prática.\n\nPor se tratar de um assunto aparentemente abstrato, a recomendação é que se faça uma leitura bastante cuidadosa das definições e dos exemplos.\n\nMatrizes\n\nUma matriz pode ser vista como uma planilha de dados da qual podemos extrair ou incluir informações relativas a problemas de natureza prática.\n\nVeja no exemplo a seguir uma planilha com dados relativos à quantidade de material empregada na construção de três estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial.\n\n | Ferro | Madeira | Vidro | Tinta | Tijolo |\n |-------|---------|-------|-------|--------|\n Moderno | 5 | 20 | 16 | 7 | 17 |\n Mediterrâneo | 7 | 18 | 12 | 9 | 21 |\n Colonial | 6 | 25 | 8 | 5 | 13 |\n\nObservamos na tabela que se o construtor deseja construir uma casa com estilo mediterrâneo ele necessitará de: 7 unidades de ferro; 18 de madeira; 12 de vidro; 9 de tinta e 21 de tijolo. Matrizes\n\nQuestões dos tipos a seguir podem e devem ser respondidas utilizando-se operações matriciais:\n\n1. Se ele vai construir 5, 7, 12 casas dos tipos modernos, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregados?\n\n2. Supondo agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1, 10 u.p. Qual o preço unitário de cada tipo de casa?\n\n3. Qual o custo total do material empregado?\n\nMatrizes\n\nFormalmente definimos uma matriz como uma disposição retangular de números ou funções do tipo\n\nA = [\n a11 a12 ---- a1n\n a21 a22 ---- a2n\n ---- ---- ---- ----\n am1 am2 ---- amn\n]\n\nLinha i\n\nColuna j\n\n(m x n) Matrizes\n\nConceitos básicos de uma matriz:\n\n1. Ordem: Se A é uma matriz com m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz A é (m x n).\n\n2. Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas, ou ainda, m = n.\n\n3. Elemento aij: na matriz A: é o elemento que se posiciona na linha i e coluna j.\n\n4. Diagonal principal da matriz quadrada A: é formada pelos elementos aij, tais que i = j.\n\nMatrizes\n\nA notação para uma matriz A de ordem qualquer é da forma A = (aij).\n\nA matriz numérica é indicada por seus elementos na forma A = (aij).\n\nA matriz numérica do nosso exemplo possui:\n\n• um total de 3 linhas e 5 colunas, logo é uma matriz de ordem (3 x 5);\n• o elemento situado na segunda linha e terceira coluna dado por a23 = 12. Algumas matrizes notáveis\nMatriz nula\nMatriz triangular superior\nMatriz triangular inferior\nMatriz diagonal\nMatriz identidade\nMatriz linha\nMatriz coluna\nMatriz transposta da matriz A (A^T)\nMatriz simétrica\nMatriz antissimétrica\nOperações com matrizes\nAs operações de soma entre duas matrizes e de multiplicação de um escalar (número) real por uma matriz são definidas de forma intuitiva, como mostramos a seguir:\nSoma\nDadas as matrizes A = (aij) e B = (bij) com a mesma ordem, a soma entre elas é uma C = (cij), de mesmo ordem que A e B, tal que\n\\[ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \\; para \\; todo \\; i,j \\]\nPor exemplo,\n\\[ \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 4 & -1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ 3 & 5 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 7 & 4 \\end{pmatrix} \\] Produto de matrizes\nO produto entre duas matrizes não é definido de forma intuitiva como ocorre nos casos das operações de soma e da multiplicação por escalar.\nInicialmente, para que esta operação seja definida entre as matrizes A e B é necessário que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B.\nObserve com atenção a definição!\nSeja A = (aij) uma matriz de ordem (m p) e B = (bjk) uma matriz de ordem (p n). Seja C = (cij) a matriz produto A por B.\nProduto de matrizes\nCada elemento (cij) da matriz C será obtido da seguinte forma:\n- Selecionar a linha i da matriz A dada por:\n\\[ a_{i1} \\; ... \\; a_{ip} \\]\n- Selecionar a coluna j da matriz B dada por:\n\\[ b_{1j} \\; ... \\; b_{pj} \\]\n- Efetuar as somas dos produtos dos elementos da linha i da pela coluna j:\n\\[ c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + ... + a_{ip} b_{pj}, \\; para \\; todo \\; i,j. \\]\n- A matriz resultante C = AB terá ordem (m x n). Produto de matrizes\nVeja o cálculo da operação de produto no exemplo a seguir.\nSejam as matrizes A e B:\n\\[ A = \\begin{pmatrix} 2 & -2 \\\\ 3 & -1 \\end{pmatrix} \\quad e \\quad B= \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ -1 & 4 \\end{pmatrix} \\]\nObserve que a matriz C = AB possui ordem (2 x 2) (JUSTIFIQUE), onde:\n\\[ c_{11} = 2 \\cdot 3 + (-2) \\cdot (-1) = 9 \\]\\[ (soma dos produtos dos elementos da linha 1 de A pela coluna 1 de B) \\]\n\\[ c_{12} = 2 \\cdot (-2) + (-2) \\cdot 4 = -8 \\]\\[ (soma dos produtos dos elementos da linha 1 de A pela coluna 2 de B) \\]\n\\[ c_{21} = 3 \\cdot 3 + (-1) \\cdot (-1) = 4 \\]\\[ (soma dos produtos dos elementos da linha 2 de A pela coluna 1 de B) \\]\n\\[ c_{22} = 3 \\cdot (-2) + (-1) \\cdot 4 = -10 \\]\\[ (soma dos produtos dos elementos da linha 2 de A pela coluna 2 de B) \\] Produto de matrizes\n\nATENÇÃO!\nEm geral, o produto de matrizes não é comutativo\nAB ≠ BA\n\nSejam A, B e C matrizes cujas operações abaixo estão definidas:\n1)(A.B).C = A.(B.C); (associativa)\n2)A.(B + C) = A.B + A.C; (distributiva à direita)\n3)(A + B).C = A.C + B.C; (distributiva à esquerda)\n4)A(A^{-1}) = I_{k};\nk = número real\n5)kA = A*k;\n6)A^{T} = B^{T};\n7)(A.B)^{T} = B^{T}A^{T}.\n\nProduto de matrizes\n\nAgora que já sabemos realizar produto de matrizes e conhecemos as propriedades válidas para esse tipo de operação, tente resolver as questões colocadas no início da aula sobre o problema do construtor de casas.\n\nClique aqui para ver a resposta\n\nGabarito:\n(a) [146 526 260 158 388]\n(b) [492 \n 528 \n 465 ]\n(c) $ 11,736.00 1)Sejam as matrizes\nA = [1 2 3] B = [1 0 2] C = [-3 -1 3]\n [2 4 5] [2 1 3] [4 1 5] \n [3 2 4] [2 3 2] [-2 2 1] \nD = [-4 5] e F = [4 -5 2]\n [2 3] [1 0 0] \n\nCalcule, se possível:\n(a) C + E, A + B, 2C - 3E.\n(b) (A^{T} + C + E^{T}), (2D + 3F), (A^{T}), -A^{e} e (3A - 5B).\n(c) (AB), (BA^{t}), D.D^{T}, D.D^{T}.\n\n2)Se L é um número real, calcule L_{13} - A para:\nA = [1 2 3]\n [6 -2 3]\n [5 2 4]\ne L_{13} = [1 0 0]\n [0 1 0]\n [0 0 1] 4)Seja D a matriz dada no exercício (1), calcule 3D^{3} - 2D^{2} + 5D - 4I_{2}.\n\n5)Encontre um escalar r tal que Ax = rx para A = [2 1 1 ] e x = [1 1].\n [1 2 2 ]\n\n6)Encontre uma constante k tal que (kA)^{T} (kA) = 1, onde A = [-2 -1]\n [-1 -1]\n\n7)Sejam A, B e C matrizes onde as operações abaixo estão definidas. Verdadeiro ou Falso? Justifique.\n(a) (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}.\n(b) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 (O aqui é matriz nula).\n(c) Se A + B = A^{2} + 2AB + B^{2}.\n(d) Se A^{T} = A^{2} então AB = BA.\n(e) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA.\n(f) Se AB = 0, então BA = 0.\n\n8)Seja A = [2 x]\n [2x-1 0]. Se A^{t} = A, determine x.\n\n9)Seja A = [3 -2]\n [-4 3]. Ache B de modo que B^{2} = A. Determinante de uma matriz\n\nDe forma prática, o determinante de uma matriz quadrada A de ordens n x n, denotado por det(A) ou |A|, é um número que está associado a esta matriz que será calculado segundo as regras que se seguem:\n\n- Caso n = 1: A = a; det(A) = a;\n- Caso n = 2: A = \\( \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\); det(A) = ad - bc;\n- Caso n = 3: adotaremos a regra prática de Sarrus descrita a seguir: Dada a matriz A = \\( \\begin{pmatrix} a & b & c \\\\ d & e & f \\\\ g & h & i \\end{pmatrix} \\)\n\n• Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas e com 5 colunas. Traçamos as 3 diagonais rosas e as 3 azuis conforme a figura a seguir. Os produtos dos elementos envolvidos nas diagonais rosas devem ter o sinal negativo e nas azuis positivo.\n\na b c a b\n\nd e f g h\n\ng h i g h\n\n- ceg - afh - bdi + aei + bfg + cdh\n\nO det(A) será o somatório dos produtos indicados, ou, ainda, det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi