Autovalores e Autovetores - Espaços Vetoriais Euclidianos e Diagonalização de Matrizes

Vetores no R2 e R3 autovalores autovetores e diagonalização de matrizes Lembrase das transformações lineares e como elas podem mudar os vetores Bem agora imagine um vetor que não se desvia de seu caminho reta original mesmo após uma transformação linear ser aplicada a ele Tratase dos autovetores No entanto enquanto eles permanecem no mesmo caminho seus comprimentos podem mudar e o fator pelo qual são alterados é o autovalor Os autovalores e os autovetores assim como as transformações lineares são muito úteis para realizar ações divertidas com conjuntos de dados como girar imagens e redimensionálas Assim ao final deste curso você terá compreensão intuitiva de vetores e matrizes que o ajudarão a preencher a lacuna ao resolver problemas em diversas áreas Aqui estudaremos os espaços vetoriais euclidianos os autovalores e autovetores e sua abordagem matricial que são algumas das mais interessantes aplicações da álgebra linear Você aprenderá como calcular os autovalores e autovetores e entenderá como os tópicos abordados relacionamse com vetores e matrizes Depois de aprender o passo a passo para calcular autovalores e autovetores de uma matriz finalizaremos este estudo fornecendo algumas informações sobre áreas de aplicação e sempre que possível indicaremos links para o caso de você querer saber um pouco mais Bom estudo Objetivo Ao final desta unidade você deverá ser capaz de Compreender espações vetoriais euclidianos suas propriedades e algumas interpretações e aplicações Calcular autovalores e autovetores para aplicação dos resultados Aplicar a diagonalização de matrizes utilizando os conhecimentos em situações que envolvam problemas de Engenharia Conteúdo Programático Esta unidade está organizada de acordo com os seguintes temas Tema 1 Um pouco mais sobre espaços vetoriais euclidianos operações propriedades e aplicações Tema 2 Autovalores e autovetores e suas interpretações Tema 3 Matrizes diagonalizáveis e diagonalização de matrizes Tema 4 Aplicações e interpretações dos conceitos abordados Olá Se você acha que um tema estudado em Álgebra Linear e suas pesquisas no Google nada têm em comum enganase Os autovetores estão no centro de um dos algoritmos mais importantes de todos os tempos o PageRank de busca do Google permitiu à empresa criar o melhor mecanismo de procura do mundo Ele foi o tema da tese de doutoramento de Larry Page em Stanford que criou este algoritmo incrível para redefinir a pesquisa e criar uma das empresas mais icônicas da Era Contemporânea Para isso eles utilizam autovetores Portanto a principal ação que as máquinas do Google fazem o dia todo é calcular um grande autovetor repetidamente Tema 1 Um Pouco Mais Sobre Espaços Vetoriais Euclidianos Operações Propriedades e Aplicações O que é um espaço vetorial euclidiano A geometria cartesiana foi desenvolvida especialmente por René Descartes e Pierre de Fermat no século XVII e foi de enorme contribuição à Matemática pois é muito utilizada e aplicada até dias Ainda assim a necessidade de métodos mais simples que permitissem algebrizar a Geometria começou a ter maior importância a partir do século XIX Foi então que a noção de vetor se tornou indispensável Assim a Matemática construiu algebricamente propriedades intrínsecas aos conceitos geométricos os quais deram início à noção de vetor Nesta unidade veremos com mais afinco os espaços vetoriais euclidianos cujo elemento principal são os vetores e suas principais propriedades e relações Estudamos anteriormente o conceito de espaço vetorial e vimos que matematicamente são objetos abstratos que não estão necessariamente relacionados à Geometria como o espaço de funções Já os espaços vetoriais euclidianos como o próprio nome determina também são espaços vetoriais mas são mais simples e têm dimensão finita Enquanto o espaço vetorial é o espaço de objetos que obedecem à oito regras na verdade 8 operações entre vetores e escalares existe o espaço vetorial normado que é um espaço vetorial com norma definida Norma é o tamanho de um vetor Por fim espaço euclidiano é o vetorial normado com coordenadas e norma euclidiana definida como raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas O que tudo isso significa Falaremos agora sobre o que realmente é um espaço vetorial Tratase de uma coleção de objetos chamados vetores que satisfaça algumas regras Na Física do Ensino Médio você pode ter aprendido que um vetor é uma seta com comprimento e direção Embora isso esteja correto este não é o único tipo de vetor disponível Vetores em espaços 2dimensionais e 3dimensionais Ou seja plano e espaço podem ser compreendidos como vetores em Geometria ou assim em um sistema de coordenadas Uma vez que estamos familiarizados com os espaços 2D e 3D por meio da Geometria vetores em espaços 2D e 3D podem ter significado geométrico e assim tornar sua compreensão muito mais fácil Portanto a partir da representação geométrica dos vetores podemos definir operações algébricas entre eles da seguinte forma 1 Vetores iguais aqueles com o mesmo comprimento e direção são iguais ainda que localizados em alguma posição diferente 2 Adição de vetores se 𝑢 e 𝑣 são dois vetores a soma deles é o vetor determinado do seguinte modo Posicionamos o vetor 𝑢 de modo que seu ponto inicial coincida com o ponto final de 𝑣 O vetor 𝑢 𝑣 é representado pela seta do ponto inicial de 𝑢 ao ponto final de 𝑣 Podemos ver 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 ou seja a soma de vetores é comutativa o que corresponde à diagonal do paralelogramo determinado por 𝑤 lei do paralelogramo 3 Vetor oposto se 𝑢 for qualquer vetor diferente de zero então 𝑢 o negativo de 𝑢 é o vetor que tem o mesmo comprimento mas direção oposta de 𝑢 Logo 𝑢 𝑢 0 sendo então 0 vetor nulo 4 Multiplicação por escalar se 𝑢 for um vetor diferente do nulo e λ for um número real diferente de zero escalar então o produto 𝜆𝑢 geralmente chamado de múltiplo escalar é um vetor cujo comprimento é λ vezes o comprimento de 𝑢 e cuja direção é a mesma de 𝑢 Assim se 𝜆 0 𝜆𝑢 terá o mesmo sentido de 𝑢 e se 𝜆 0 então terá sentido oposto Para facilitar o entendimento considere que os vetores aqui tratados têm seu ponto inicial na origem Assim podemos representar o vetor usando as coordenadas do ponto final como um par ordenado de números reais Por exemplo 𝑢 0𝐴 31 ou 𝑢 3 1 são o mesmo vetor Também foi suprimida a notação com a seta em cima de u No entanto ainda é um vetor Note que podemos representar as coordenadas do ponto por meio de um par ordenado ou a partir da notação matricial Ambas podem ser utilizadas mas embora representem o mesmo vetor uma ou outra pode ser mais interessante a depender do tipo de operação ou utilização de que precisaremos Vetor no sistema de coordenadas cartesianas Também foi suprimida a notação com a seta em cima de u No entanto ainda é um vetor Este é um vetor do 𝑅2 Portanto ele é bidimensional 2 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Em geral definimos como 𝑅𝑛 o espaço vetorial euclidiano ndimensional aqui 𝑅 representa um conjunto de números reais como o conjunto de todas as nuplas ordenadas de reais Assim 2upla é um vetor do 𝑅2 3upla um do 𝑅3 tridimensional e assim sucessivamente O 𝑅𝑛 pode ser representado por 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 Nesta representação podemos definir operações algébricas em vetores em termos de componentes vetoriais Para exemplificar utilizaremos vetores bidimensionais mas você pode efetuar as operações seguintes de modo similar para os demais espaços Sendo 𝑢 𝑢1 𝑢2 e 𝑣 𝑣1 𝑣2 dois vetores de 𝑅2 então 1 Igualdade de vetores 𝑢 e 𝑣 são iguais se suas coordenadas correspondentes forem as mesmas ou seja se 𝑢1 𝑣1 e 𝑢2 𝑣2 2 Adição de vetores 𝑢 𝑣 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 3 Multiplicação por escalar sendo λ um escalar então 𝜆𝑢 𝜆𝑢1 𝑢2 𝜆𝑢1 𝜆𝑢2 4 Diferença entre vetores 𝑢 𝑣 𝑢 1𝑣 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 Como podemos ver as operações em vetores são definidas como as de suas componentes Na aritmética vetorial a adição vetorial e a multiplicação por escalar são as duas principais operações Suas operações casadas são chamadas de combinação linear de vetores ou seja 𝑢 𝜆1𝑢1 𝜆2𝑢2 𝜆𝑛𝑢𝑛 Os escalares 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 são denominados de coeficientes da combinação linear Além disso essas operações multiplicação por escalar e adição obedecem às regras aritméticas gerais em termos de componentes definidas no conjunto dos números reais Após todas essas definições podemos apresentar as propriedades dos vetores no 𝑅𝑛 Propriedades dos vetores no 𝑹𝒏 Sendo 𝑢 𝑣 e 𝑤 vetores do 𝑅𝑛 e λ e 𝛽 dois escalares valem as seguintes propriedades Comutativa Associativa Elemento neutro u v v u u v w u v w u 0 u Elemento oposto Distributiva Distributiva u u 0 λu v λ u λv λ βu λu βu Associativa na multiplicação por escalares Elemento neutro da multiplicação λβu λβu 1u u Talvez você já tenha entendido que o espaço vetorial euclidiano 𝑅𝑛 é um espaço vetorial ndimensional no qual podemos relacionar alguns conceitos geométricos a vetores Lembrese de que um vetor é uma entidade com comprimento e direção Queremos expressar esses conceitos geométricos em termos de notações matemáticas algébricas Note que nas propriedades citadas não está o produto entre vetores Isto se dá porque este não ocorre como o conhecemos no conjunto dos números reais Contudo eles também podem ser definidos Por exemplo O produto escalar entre dois vetores u e v ambos pertencentes a R é definido da seguinte maneira Sendo 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 e 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 Então 𝑢 𝑣 𝑢1𝑣1 𝑢2𝑣2 𝑢𝑛𝑣𝑛 Lembrese no entanto de que podemos representar cada vetor na sua forma matricial vetor coluna de 𝑅𝑛 Assim também podemos representar o produto escalar utilizando esta notação Sendo 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 e 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 Então 𝑢 𝑣 𝑢𝑇 𝑣 Por exemplo Se queremos calcular o produto escalar entre os dois vetores 𝑢 21 3 e 𝑣 1 24 do 𝑅3 Então teremos 𝑢 𝑣 2 13 1 24 21 12 34 2 2 12 16 Em um espaço vetorial geral o produto escalar é também chamado de produto interno e valem as seguintes propriedades 1 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 comutativa 2 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 distributiva 3 𝜆𝑢 𝑣 𝜆𝑢 𝑣 4 𝑢 𝑢 0 𝑒 𝑢 𝑢 0 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑢 0 Referimonos à norma de um vetor como o seu tamanho ou comprimento mas em termos algébricos a norma no espaço vetorial euclidiano bidimensional 𝑅2 é a distância da origem ao ponto terminal Isto é Se 𝑢 𝑢1 𝑢2 então esta distância é dada pela fórmula 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢1 2 𝑢2 2 O termo norma é uma generalização matemática da quantidade geométrica comprimento Para que possamos estender este conceito para além de 𝑅2 devemos definir a norma de um vetor 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 do 𝑅𝑛 do seguinte modo 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣1 2 𝑣2 2 𝑣𝑛2 Além disso sendo 𝑣 um vetor em 𝑅𝑛 e λ um escalar então 𝑣 0 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑣 0 𝜆𝑣 𝜆𝑣 Em relação aos espaços vetoriais euclidianos temos dois teoremas muito importantes mas que aqui não serão provados Você será apresentado apenas aos seus resultados contudo poderá buscar a prova em livros ou em outros materiais disponíveis na internet Por exemplo Sendo 𝑢 𝑒 𝑣 dois vetores de 𝑅𝑛 então 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 Desigualdade de CauchySchwarz 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Desigualdade do triângulo Geometricamente é possível construir o vetor 𝑢 𝑣 ao conectar o ponto inicial extremidade inicial do vetor 𝑢 ao final extremidade final do vetor 𝑣 enquanto colocamos a extremidade inicial de 𝑣 na final de 𝑢 como é mostrado na imagem A distância e o ângulo entre dois vetores são calculados da seguinte maneira Sendo 𝑢 𝑢1 𝑢2 e 𝑣 𝑣1 𝑣2 dois vetores de 𝑅2 então 1 A distância 𝑑𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢1 𝑣12 𝑢2 𝑣22 2 O ângulo entre 𝑢 𝑒 𝑣 é dado por 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Embora tenhamos definido a distância e o ângulo entre dois vetores de 𝑅2 exemplificaremos com o 𝑅3 pois calculamos de modo similar considerando apenas que em vez de duas temos três coordenadas Veja Por exemplo Se 𝑢 2 13 𝑒 𝑣 251 então 𝑑𝑢 𝑣 2 1 53 1 42 62 22 16 36 4 56 214 E se 𝑢 21 2 𝑒 𝑣 111 Então o ângulo entre 𝑢 𝑒 𝑣 é 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢𝑣 𝑢𝑣 211121 221222121212 1 33 Em Geometria dizemos que dois vetores são perpendiculares ou em ângulo reto se o ângulo entre dois vetores for de 90 Em Álgebra Linear usando esta relação dizemos que dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são perpendiculares ortogonais se o produto interno entre eles for nulo isto é 𝑢 𝑣 0 Representamos vetores ortogonais usando esta simbologia 𝑢𝑣 Para finalizar outro conceito também importante é o de projeção ortogonal Projeção ortogonal Suponha que queremos encontrar a distância entre um ponto 𝐵 até a reta 𝑟 no plano 𝑅2 Conforme vemos na imagem ela nada mais é que o comprimento do segmento de reta perpendicular à 𝑄𝐵 O vetor 𝐴𝑄 é chamado de projeção de 𝐴𝐵 na reta 𝑟 Considere dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 não nulos 𝒒 é o vetor obtido traçando uma linha perpendicular a partir da extremidade final de 𝑣 até 𝑢 conforme mostrado na imagem anterior 𝒑 pode ser calculado por meio da fórmula 𝑝 𝑢𝑣 𝑢2 𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 em que 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 é a projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑢 Por exemplo Se 𝑢 31 2 e 𝑣 100 a projeção de 𝑢 em 𝑣 é o vetor 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 𝑣𝑢 𝑣2 𝑣 312100 1002 300 100 2 100 3 1 100 300 Tema 2 Autovalores e Autovetores e Suas Interpretações O que são e para que servem os autovalores e autovetores Muitas aplicações de matrizes em Engenharia e ciência utilizam autovalores e às vezes autovetores Algumas dessas áreas são análise de vibração circuitos elétricos e dinâmica avançada Matematicamente várias aplicações envolvem o uso de autovalores e autovetores no processo de transformar dada matriz em uma diagonal o que será também tema desta unidade O que são autovalores e autovetores Veja a imagem do gatinho preto antes e depois de um cisalhamento no eixo x Fonte Lima s d Você pode brincar com o gatinho acessando o site GeoGebraorg Note que a seta laranja não muda de direção enquanto a amarela sim A primeira representa um autovetor Além disso seu comprimento não é alterado o que significa que seu autovalor é 1 Em Álgebra Linear os autovetores e autovalores da matriz A são definidos como Os valores de x e λ diferentes de zero resolvem a equação Ax λx em que A é uma matriz e λ um escalar O escalar λ é um autovalor de A Um autovetor portanto é um vetor representado por uma matriz x de modo que quando x é multiplicado por qualquer matriz A a direção da matriz resultante permanece a mesma do vetor x Além disso x é um ponto no espaço original não transformado enquanto Ax é seu valor modificado λ no lado direito é um escalar Observe o exemplo geométrico de um autovetor O desenho ilustra a ideia ao multiplicar um ponto por um escalar ele é movido ao longo de uma linha que passa pela origem e pelo ponto Neste exemplo temos y λ x para λ 1 Caso o valor de λ fosse menor que 1 o ponto se moveria no sentido contrário em direção à origem Se λ fosse menor que 0 o ponto passaria pela origem até chegar ao outro lado Para qualquer ponto x y λ e x estará em algum lugar na reta que passa pela origem e também por x Assim Ax λ x significa que o valor transformado Ax está em uma reta que passa pela origem e pelo x original Os pontos que atendem a essa restrição são os autovetores Já os autovalores correspondentes são os λs que registram a distância pela qual os pontos se movem ao longo da reta Para toda matriz existe um autovalor embora este valor possa ser um número complexo Esses casos são estudados pelo fundamental da Álgebra e por isto não faz parte do escopo deste material Essas matrizes estão relacionadas às transformações lineares Resumidamente Se A é uma matriz quadrada n n e λ é um autovalor da matriz A então x 0 é o autovetor se satisfizer a expressão Ax λx Ou seja x é um autovetor de A correspondente ao autovalor λ Pode haver infinitos autovetores correspondendo a um autovalor Para autovalores distintos os autovetores são linearmente independentes Porém como encontrar os autovalores e autovetores associados a uma matriz Suponha que Ann seja uma matriz quadrada então A λI é chamado de matriz característica O determinante da matriz característica pode ser escrito como A λI E A λI 0 a equação característica e I é a matriz identidade de mesma ordem de A As raízes de uma equação característica são os autovalores Vejamos um exemplo Digamos que nosso objetivo é encontrar os autovalores e seus autovetores associados para a matriz 𝐴 5 2 6 2 Passo 1 montar a matriz característica 𝐴 𝜆𝐼 𝐴 𝜆𝐼 5 2 6 2 𝜆 1 0 0 1 5 𝜆 2 6 2 𝜆 Passo 2 encontrar a equação característica 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝜆𝐼 0 5 𝜆 2 6 2 𝜆 0 5 𝜆2 𝜆 2 6 0 Passo 3 resolver a equação característica 5 𝜆2 𝜆 2 6 0 10 5𝜆 2𝜆 𝜆2 12 0 Juntando os termos semelhantes e organizando a equação teremos 𝜆2 3𝜆 2 0 Resolvendo esta equação do segundo grau obtemos Pronto 𝜆1 e 𝜆2 são os autovalores que buscamos Contudo não acaba por aí pois lembrese de que precisamos encontrar os autovetores associados aos autovalores Passo 4 determinar os autovetores Para isso precisaremos resolver um sistema matricial que consiste em multiplicar a matriz característica pelo vetor e igualar à matriz nula Fazemos isso para cada autovalor encontrado No entanto como já encontramos os valores de λ basta substituir Assim Para 𝜆1 2 Temos 5 𝜆 2 6 2 𝜆 𝑥 𝑦 0 0 5 2 2 6 2 2 𝑥 𝑦 0 0 3 2 6 4 𝑥 𝑦 0 0 Agora efetuando a multiplicação entre as matrizes do primeiro membro da equação e igualandoa aos valores da matriz nula obteremos o sistema 3𝑥 2𝑦 0 6𝑥 4𝑦 0 Podemos resolver por qualquer método mas utilizaremos a matriz ampliada do sistema e escalonaremos só para não perdermos o costume 3 2 0 6 4 0 𝐿2 2𝐿1 3 2 0 0 0 0 1 3 𝐿1 1 2 3 0 0 0 0 Conforme já estudamos anteriormente como o sistema é possível e indeterminado sua solução será 𝑥 2 3 𝑦 0 𝑥 2 3 𝑦 𝑆 𝑣1 2 3 𝑦 𝑦 𝑦 𝑅 A solução é o autovetor do autovalor 𝜆1 2 em que 𝑣1 é o autovetor associado à 𝜆1 É sempre bom determinar um vetor possível entre os infinitos valores Assim podemos reescrever o encontrado 𝑣1 2 3 𝑦 𝑦 𝑦 𝑅 𝑦 2 3 1 2 3 1 Encontramos assim o primeiro autovetor Agora falta encontrarmos o segundo isto é 𝑣2 associado à 𝜆2 1 Repetimos todo o procedimento executado para determinar 𝑣1 Para 𝜆2 1 Temos 5 𝜆 2 6 2 𝜆 𝑥 𝑦 0 0 5 1 2 6 2 1 𝑥 𝑦 0 0 4 2 6 3 𝑥 𝑦 0 0 Efetuando a multiplicação entre as matrizes do primeiro membro da equação e igualandoa aos valores da matriz nula obteremos o sistema 4𝑥 2𝑦 0 6𝑥 3𝑦 0 Podemos resolver por qualquer método mas utilizaremos a matriz ampliada do sistema e escalonaremos só para não perdermos o costume de novo 4 2 0 6 3 0 1 4 𝐿1 1 1 2 0 6 3 0 𝐿2 6𝐿1 1 1 2 0 0 0 0 Conforme já estudamos anteriormente como o sistema é possível e indeterminado sua solução será 𝑥 1 2 𝑦 0 𝑥 1 2 𝑦 𝑆 𝑣2 1 2 𝑦 𝑦 𝑦 𝑅 O resultado é o autovetor do autovalor 𝜆2 1 em que 𝑣2 é o autovetor associado à 𝜆2 É sempre bom determinar um vetor possível entre os infinitos valores Assim poderemos reescrever o encontrado 𝑣2 1 2 𝑦 𝑦 𝑦 𝑅 𝑦 1 2 1 1 2 1 Encontramos assim o segundo autovetor Resultados os autovalores e autovetores associados à matriz 𝐴 5 2 6 2 são 𝜆1 2 𝑣1 2 3 1 e 𝜆2 1 𝑣2 1 2 1 Recapitulando Passos para determinação de autovalores e autovetores associados Passo 1 montar a matriz característica 𝐴 𝜆𝐼 Passo 2 encontrar a equação característica 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝜆𝐼 0 Passo 3 resolver a equação característica Passo 4 determinar os autovetores resolvendo a equação matricial para cada um dos autovalores Para finalizar apresentaremos algumas propriedades dos autovalores que podem ser úteis na resolução de exercícios Autovetores com autovalores distintos são linearmente independentes Para um múltiplo escalar de uma matriz se A é uma matriz quadrada e λ é um autovalor de A então aλ é um autovalor de aA Matriz de transposição se A é uma matriz quadrada λ é um autovalor de A e então λ é um autovalor de At Uma matriz identidade tem apenas um autovalor que é 1 O produto dos autovalores da matriz A é igual ao seu determinante Se A e B são duas matrizes quadradas da mesma ordem então AB e BA têm os mesmos autovalores Se A é uma matriz quadrada então λ 0 não é um autovalor de A Matriz inversa se A é uma matriz quadrada λ é um autovalor de A Então λ1 é um autovalor de A1 Uma matriz quadrada de ordem n tem no máximo n autovalores Os autovalores de matrizes triangulares e matrizes diagonais nada mais são que os elementos de sua diagonal principal Uma matriz e sua transposta têm os mesmos autovalores Os autovalores de uma matriz ortogonal são 1 e 1 Vídeo Para saber mais assista ao vídeo publicado na unidade da disciplina no Ambiente Virtual de Aprendizagem Tema 3 Matrizes Diagonalizáveis e Diagonalização de Matrizes O que é diagonalizar uma matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem n Dizemos então que A é diagonalizável se e somente se for semelhante a uma matriz diagonal Isto é se A é diagonalizável então existe uma matriz invertível P tal que D P1AP sendo D uma matriz diagonal Suponha que temos as seguintes matrizes 𝐴 1 2 0 3 e 𝑃 1 2 1 2 1 0 A matriz 𝑨 é diagonalizável Basta fazermos 𝐷 𝑃1𝐴𝑃 Vamos calcular a inversa de 𝑃 Para isso podemos utilizar a fórmula 𝑃1 1 det 𝑃 𝐴𝑑𝑗𝑃 Em que 𝑑𝑒𝑡𝑃 significa determinante da matriz 𝑃 E 𝐴𝑑𝑗𝑃 significa a matriz adjunta de 𝑃 A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores Veja a definição Dada uma matriz 𝑄 chamase cofator de qualquer elemento 𝑞𝑖𝑗 de 𝑄 o número obtido a partir da fórmula 𝐶𝑖𝑗 1𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 Em que 𝑀𝑖𝑗 é o menor complementar do elemento 𝑞𝑖𝑗 O menor complementar de um elemento da matriz é o determinante do que sobra ao retirarmos a linha e a coluna em que está o elemento Por exemplo Queremos calcular o cofator do elemento 𝑞13 da matriz 𝑄 1 2 0 3 1 2 4 2 3 Sabemos que 𝑞13 é o elemento que está na linha 1 coluna 3 Ou seja nesta matriz esse termo o é o número 0 Agora retire a linha 1 e a coluna 3 e calcule o determinante dos valores que ficam Assim o menor complementar de 𝑞13 3 1 4 2 3 2 14 6 4 10 O cofator de 𝑞13 é 𝐶13 113𝑀13 1 10 10 Podemos calcular o cofator de qualquer número da matriz utilizando a mesma fórmula Inclusive é possível calcular o de cada elemento da matriz e depois o substituir pelos elementos da matriz e assim teremos a matriz dos cofatores Voltando à matriz 𝑃 1 2 1 2 1 0 Calcularemos sua inversa utilizando a fórmula da matriz adjunta 𝑃1 1 𝑑𝑒𝑡𝑃 𝐴𝑑𝑗𝑃 O determinante da matriz 𝑃 é 1 2 1 2 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 1 2 Para resolver a adjunta de 𝑃 calcularemos cada um de seus cofatores 𝐶11 111 0 0 𝐶12 112 1 1 𝐶21 121 1 2 1 2 𝐶22 122 1 2 1 2 Agora montaremos a matriz dos cofatores 𝑀𝐶 0 1 1 2 1 2 Por fim como a adjunta é a transposta da matriz dos cofatores então 𝐴𝑑𝑗𝑃 0 1 2 1 1 2 Duas observações O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio valor A transposta é a matriz que obtemos ao trocar linhas e colunas isto é a primeira linha tornase a primeira coluna a segunda linha torna se a segunda coluna e assim sucessivamente Para finalizar calcularemos a inversa de 𝑃 aplicando a fórmula 𝑃1 1 𝑑𝑒𝑡𝑃 𝐴𝑑𝑗𝑃 𝑃1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 Toda essa explicação foi na verdade para podermos encontrar D P1AP Agora que sabemos qual é a inversa de P podemos efetuar a multiplicação Vamos lá 𝐷 𝑃1𝐴𝑃 0 1 2 1 1 2 0 3 1 2 1 2 1 0 0 3 2 1 1 2 1 2 1 0 3 0 0 1 Temos a matriz 𝐷 que é diagonal Assim 𝐴 é diagonalizável Se quisermos diagonalizar uma matriz como realizamos isto Este processo é baseado no cálculo dos autovalores e autovetores Então para diagonalizar uma matriz você deve primeiro saber como encontrar seus autovalores e autovetores e isso você já viu como fazer Com o passo a passo a seguir você pode diagonalizar uma matriz de qualquer dimensão 22 33 44 por exemplo Os passos para diagonalizar uma matriz são 1 Encontrar seus autovalores 2 Calcular o autovetor associado a cada autovalor 3 Formar a matriz P cujas colunas são os autovetores da matriz a ser diagonalizada 4 Verificar se a matriz pode ser diagonalizada ela deve ter determinante diferente de zero 5 Formar a matriz diagonal D cujos elementos são todos 0 exceto aqueles na diagonal principal que são os autovalores encontrados na etapa 1 Para exemplificar vamos diagonalizar a matriz 𝐴 2 2 1 3 Primeiro calcularemos seus autovalores 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝜆𝐼 0 2 𝜆 2 1 3 𝜆 0 2 𝜆3 𝜆 2 0 6 2𝜆 3𝜆 𝜆2 0 𝜆2 5𝜆 6 0 𝜆1 4 e 𝜆2 1 Agora calcularemos os autovetores 𝐴 𝐼𝑣 0 Para 𝜆1 4 temos 1 2 1 2 𝑥 𝑦 0 0 𝑥 2𝑦 0 𝑥 2𝑦 0 1 2 0 1 2 0 𝐿2 𝐿1 1 2 0 0 0 0 Como nosso sistema é possível e indeterminado temos a seguinte solução 𝑥 2𝑦 Portanto nosso vetor é 𝑣1 2 1 Para 𝜆2 1 temos 2 2 1 1 𝑥 𝑦 0 0 2𝑥 2𝑦 0 𝑥 𝑦 0 2 2 0 1 1 0 𝐿1 𝐿2 1 1 0 2 2 0 𝐿2 2𝐿1 1 1 0 0 0 0 Como nosso sistema é possível e indeterminado temos a seguinte solução 𝑥 𝑦 Portanto nosso vetor é 𝑣2 1 1 Agora nosso próximo passo é formar a matriz 𝑃 composta pelos autovetores 𝑃 2 1 1 1 Já que o determinante é diferente de zero a matriz A é diagonalizável Assim a matriz diagonal correspondente é aquela com os autovalores na diagonal principal 𝐷 1 0 0 4 Lembrese de agrupar os autovalores na mesma ordem em que os autovetores são colocados na matriz P Conclusão A matriz 𝑃 também chamada de mudança de base e a diagonalizada são respectivamente 𝑃 2 1 1 1 e 𝐷 1 0 0 4 Tema 4 Aplicações e Interpretações dos Conceitos Abordados Para que serve estudar tudo isso Em relação às transformações lineares objeto de estudo da Álgebra Linear vimos que elas são frequentemente utilizadas em aplicativos de aprendizagem de máquina Além disso são úteis na modelagem de animação 2D e 3D em que o tamanho e a forma de um objeto precisam ser modificados de um ângulo de visão para outro Um objeto pode ser girado e dimensionado dentro de um espaço ao ser usado um tipo de transformações lineares conhecidas como transformações geométricas bem como a aplicação de matrizes de transformação Com relação aos autovalores e autovetores estudamos cálculos para determinálos seguindo um passo a passo Porém tudo isso tem alguma utilidade Se sim qual ou quais Autovalores Autovetores Derivam do termo alemão Eigen que denota apropriado ou característico Como resultado o autovalor também pode ser referido como um valor característico uma raiz típica isto é valores apropriados ou raízes latentes Em outras palavras um autovalor é um escalar utilizado para converter um autovetor Já estes estão associados aos seus autovalores Quando uma transformação linear é aplicada autovetores são vetores diferentes de zero que não mudam de direção mas variam de acordo com a quantidade escalar Um conjunto de todos com autovalor idêntico juntamente com o vetor zero forma o autoespaço do vetor x As aplicações de autovetores e autovalores são inúmeras e seria impossível listar todas Por isso trouxemos para você apenas algumas para que perceba que eles não são estudados à toa pois são importantes em muitas áreas Vejamos alguns exemplos Nos sistemas de comunicação Claude Shannon utilizou autovalores para calcular o limite teórico de quanta informação pode ser transportada por meio de um canal de comunicação como uma linha telefônica ou o ar Autovetores e autovalores do canal de comunicação representados como matriz são calculados e essencialmente os ganhos dos modos fundamentais do canal que são registrados pelos autovetores Na Engenharia Civil Mais especificamente na construção de pontes Eles são utilizados para garantir que a estrutura é estável Para isso o autovalor de menor magnitude de um sistema que modela a ponte é sua frequência natural Um exemplo prático e muito conhecido é o da Ponte Tacoma cujo acidente gerou até um filme Em novembro de 1940 a ponte Tacoma Narrows localizada no Estreito de Tacoma Washington Estados Unidos sofreu oscilações causadas pela combinação de fortes ventos e cálculos estruturais malfeitos o que culminou no violento colapso estrutural Na filmagem de Colapso da Ponte Tacoma Narrows 1940 do canal Engenharia 360 é possível ver que ela balança literalmente e torce por vários minutos antes de desmoronar Todavia o problema poderia ter sido previsto e evitado por meio do cálculo de autovalores para a matriz de rigidez tema de estudo da análise de sinais e digitalização de som e imagens Isto é compreendido pelos alunos de Engenharia quando são apresentados a um tópico denominado séries de Fourier Na Engenharia Elétrica Já que citamos a Civil na Elétrica a utilização de autovalores e autovetores dáse no desacoplamento de sistemas trifásicos via transformação de componentes Este método é vantajoso por diversos aspectos Ainda com exemplo nas engenharias autovalores e autovetores permitem nos decompor um processo linear em tarefas menores e mais gerenciáveis Quando a tensão é aplicada a um sólido plástico por exemplo a deformação pode ser dividida em direções principais ou naquelas em que a deformação é maior Os vetores nas direções principais são os autovetores e o autovalor associado é a deformação percentual em cada direção principal Esse conhecimento é aplicado entre outras áreas na Engenharia Mecânica Na Engenharia Automotiva A análise de autovalor também é empregada no projeto de sistemas estéreo automotivos auxiliando na reprodução da vibração do carro causada pela música Na Engenharia de Petróleo e Gás A análise de autovalor é comumente usada por empresas de petróleo para explorar terras com quantidades expressivas dele Como óleo sujeira e outras substâncias produzem sistemas lineares com autovalores variados a análise disto pode ajudar a identificar onde estão as reservas de petróleo As empresas petrolíferas instalam sondas em diversos locais para captar as ondas criadas por um caminhão enorme que vibra o solo As ondas são modificadas quando se movem através de diferentes substâncias da terra Assim com base no estudo destas ondas as corporações petrolíferas são direcionadas para possíveis locais de perfuração Embora tenhamos trazido exemplos da utilização do cálculo de autovalores e autovetores em algumas engenharias não é somente nelas que podemos aplicálos A análise de dados estatísticos é um exemplo Em 2015 um artigo do Statistical Analysis System Institute Instituto SAS com sede inicial na Carolina do Norte sobre as taxas de criminalidade de algumas cidades dos Estados Unidos a saber Nova Iorque Los Angeles Detroit Washington Hartford Honolulu Boston Tucson Portland Denver Chicago Atlanta Houston Dallas Nova Orleans e Kansas City percebeu o seguinte Um conjunto de dados sobre a taxa de criminalidade foi utilizado e as sete variáveis estudadas foram X1 assassinato X2 estupro X3 roubo X4 assalto X5 arrombamento X6 pequenos furtos X7 roubo de veículos Os autores chegaram a algumas conclusões Por exemplo Los Angeles Detroit e Washington possuem as maiores ocorrências de taxa de criminalidade do país principalmente os maiores números de estupro e assalto enquanto Hartford Honolulu Boston e Tucson são as cidades com os menores números de ocorrências de taxa de criminalidade principalmente estupro e assalto Além disso eles também concluíram que cidades como Chicago Atlanta Dallas e Houston são as que apresentam maiores números de ocorrências de taxa de criminalidade sobre assassinato mas os menores números de pequenos furtos Por sua vez cidades como Honolulu Portland e Denver apresentaram maiores números de pequenos furtos porém menores de assassinato Foi utilizada pelos autores a análise multivariada que é um conjunto de métodos estatísticos que estudam simultaneamente múltiplas medidas em cada indivíduo ou objeto sob investigação Eles optaram pela Análise de Componentes Principais ACP que é uma técnica estatística de análise de informações muito utilizada para determinar padrões em dados com dimensões muito altas O método utiliza o que se conhece como matriz de covariância que a partir de dados iniciais determina seus autovalores e autovetores e utilizaos na construção da nova base de representação dos dados a partir da análise de autovetores Leia o texto completo desse artigo HONGYU K SANDANIELO V L M OLIVEIRA JR G J de Análise de componentes principais resumo teórico aplicação e interpretação ES Engineering and Science s l v 5 n 1 p 8390 2016 Matrizes diagonalizáveis Para finalizarmos citaremos também aplicações para estas Em primeiro lugar algumas das aplicações já citadas sobre autovalores e autovetores também utilizam a diagonalização No entanto para não sermos repetitivos outro exemplo de aplicação está na Mecânica Quântica Qualquer quantidade que possa ser medida em um experimento físico deve ser associada a um operador hermitiano mais especificamente o hamiltoniano que é um operador de energia e é representado pela matriz hermitiana Quando diagonaliza o hamiltoniano na diagonal principal você obtém as energias do sistema E para fins práticos matrizes hermitianas e unitárias são diagonalizáveis por matrizes unitárias o que simplifica os cálculos densos dessa teoria Encerramento O que é um espaço vetorial euclidiano Espaço vetorial euclidiano é um tema estudado na Álgebra Linear que trata de operações entre vetores euclidianos Tratase de entes geométricos com comprimento direção e sentido cujas operações principais são a adição e a multiplicação por escalar seguindo as regras da Álgebra Vetorial Além disso é um espaço métrico linear e de dimensão finita ou ainda um conjunto de pontos tal que para cada par de pontos existe um número real não negativo chamado de distância ou norma que é simétrico e satisfaz a desigualdade triangular Geometricamente os vetores euclidianos costumam ser representados por um segmento de reta com uma seta que aponta o sentido Esta conecta um ponto inicial a um final Os espaços vetoriais euclidianos satisfazem ainda algumas propriedades comutatividade associatividade e distributividade além de algumas relativas à multiplicação por escalar As operações e propriedades definemnos como elementos de um espaço vetorial com características intrínsecas O que são e para que servem os autovalores e autovetores Em Álgebra Linear autovalores estão associados a autovetores e são usados na análise de transformações lineares e na diagonalização de matrizes Os autovalores são o conjunto especial de valores escalares associado ao grupo de equações lineares mais provavelmente nas equações da matriz Os autovetores também são chamados de raízes características Autovetores são os vetores diferentes do nulo que não alteram a direção quando qualquer transformação linear é aplicada Ele muda apenas por um fator escalar Em resumo podemos dizer que se A é uma transformação linear de um espaço vetorial V e x é um vetor em V que não é zero então v é um autovetor de A se AX é um múltiplo escalar de x Digamos que A é uma matriz n n e λ é um autovalor da matriz A Então x um vetor diferente de zero é chamado de autovetor se satisfizer a expressão a seguir Ax λx em que x é um autovetor de A correspondente ao autovalor λ O que é diagonalizar uma matriz É o processo de utilizar uma matriz quadrada e convertêla em um tipo especial de matriz denominada diagonal Sua diagonalização é equivalente a transformar o sistema de equações subjacente em um conjunto especial de eixos coordenados em que a matriz assume esta forma canônica Ademais diagonalizar uma matriz também equivale a encontrar seus autovalores que acabam sendo as entradas da diagonalizada Para que serve estudar tudo isso Tanto autovalores como autovetores e matrizes diagonalizadas têm muitas aplicações em diversas áreas Assim conhecer algumas delas incentiva o estudo desses temas e traz informações que poderão ser aplicadas futuramente Resumo da Unidade Os espaços vetoriais euclidianos são casos específicos dos espaços vetoriais gerais cujo ente principal é o vetor Este é um objeto matemático que tem módulo direção e sentido e satisfaz as seguintes operações Adição de vetores a soma de dois vetores quaisquer produz um terceiro ou seja a soma nunca é permitida para produzir um nãovetor Multiplicação escalar multiplicar um vetor por um escalar cria um novo vetor Por exemplo multiplicando um vetor por cinco criase um novo vetor cujas coordenadas são multiplicadas por cinco Matrizes funções lineares nuplas ou polinômios podem comportarse como vetores e por esta razão a eles são aplicadas as operações e propriedades vetoriais Os vetores do espaço vetorial euclidiano satisfazem algumas regras associadas antes de serem considerada um espaço vetorial Associatividadecomutatividade a ordem de adição para qualquer número de vetores na coleção não importa em sua soma Existência de um vetor nulo há pelo menos um vetor na coleção que quando somado a qualquer outro da coleção não altera o valor do segundo vetor Existência de um inverso para cada vetor há outro chamado de recíproco que por adição resulta no vetor zero Distributividade multiplicar um escalar por uma soma de vetores é o mesmo que multiplicar cada vetor pelo escalar e somálos Um espaço vetorial de produto interno é aquele que também requer uma maneira de receber dois vetores mas retornar um escalar Em outras palavras um espaço vetorial deve ter um produto escalar que o defina Em Álgebra Linear autovalores estão associados a autovetores Ambos os termos são usados na análise de transformações lineares Os primeiros são o conjunto especial de valores escalares que está associado ao grupo de equações lineares mais provavelmente nas equações da matriz Os autovetores também são denominados de raízes características Em Matemática um autovetor corresponde a autovalores reais diferentes de zero que apontam na direção esticada pela transformação enquanto autovalor é considerado um fator pelo qual é esticado No caso se o autovalor for negativo a direção da transformação assim também será A matriz de uma transformação linear é diagonalizável se seu determinante for diferente de zero Uma matriz é diagonalizada se existir uma invertível P tal que P1AP é uma matriz diagonal Assim diagonalizar é o processo de encontrar uma matriz diagonal correspondente a uma diagonalizável Referências da Unidade ALGEBRA ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações Tradução técnica Claus Ivo Doering 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 ARAÚJO T P de Álgebra linear teoria e aplicações Rio de Janeiro SBM 2014 BERGER A Linear álgebra application Markov chains BOCCATO L ATTUX R Redução de dimensionalidades e variáveis latentes BOLDRINI J L COSTA S I R RIBEIRO V L WETZLER H G Álgebra linear São Paulo HarperRow 2015 BOYER C B História da matemática Tradução Elza F Gomide São Paulo Blücher 1974 CALLIOLI C A DOMINGUES H H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações 4 ed São Paulo Atual 1983 CARVALHO J P de Álgebra linear introdução 2 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1979 ELEMENTOS de Economia Matemática I Conceitos fundamentais de Álgebra Linear HALMOS P R Finitedimensional vector spaces Berlin Springer 1974 HOFFMAN K KUNZE R Linear algebra Englewood Cliffs PrenticeHall 1971 KLEEMAN A HENDERSEN N DENUIT S Matrix factorization for collaborative prediction STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra linear 2 ed São Paulo Pearson Makron Books 1987 Para aprofundar e aprimorar os seus conhecimentos sobre os assuntos abordados nessa unidade não deixe de consultar as referências bibliográficas básicas e complementares disponíveis no plano de ensino publicado na página inicial da disciplina