Prova de Análise Matemática - Derivadas, Limites e Topologia

Análise Matemática alunotimelineindex3 Av2 Análise Matemática notific Informações Adicionais Período 27022023 0000 à 10042023 2359 Situação Tentativas 0 3 Acessar atividade alunoavaliacaoform3389772102atividadeDisciplinaId14304433 1 a b c d e 2 O estudo das derivadas de funções pode ser motivado por diferentes contextos como por exemplo a análise das taxas de variações de funções o que pode estar relacionados a modelos matemáticos no estudo de problemas reais No entanto para o estudo dessas derivadas é essencial o conhecimento das regras de derivação e a identificações das funções nas quais cada uma delas podem ser aplicadas Diante desses conhecimentos associe as funções presentes na coluna A com as regras de derivação correspondentes presentes na coluna B considerando o principal procedimento empregado na determinação da derivada de cada função dada Assinale a alternativa que indica as associações corretas Alternativas f I g II h IV j III f II g IV h I j III f III g I h II j IV f IV g I h III j II f IV g III h I j II Considerando a definição de limite e continuidade de funções julgue as afirmações seguintes classificandoas como verdadeiras V ou falsas F a b c d e 3 a b c d e 4 I Para o estudo da continuidade de funções em um ponto basta que esse elemento seja um ponto de acumulação não sendo necessário que ele pertença ao domínio da função II Toda função contínua em pelo menos um ponto de acumulação de seu domínio será contínua em todos os pontos de seu domínio III Para que uma função f seja contínua em um ponto x de seu domínio é necessário que o limite da função f no ponto x exista e seja igual a fx IV Se uma função é contínua em seu domínio então ela não admite nenhum ponto de descontinuidade em seu domínio Assinale a alternativa que indica a sequência correta Alternativas V V F V V F F F V V F F F F V V F V F V A partir do estudo da classificação de conjuntos conforme os conceitos da topologia complete as lacunas das afirmações a seguir de modo a tornálas descrições corretas a respeito dos intervalos em estudo I A 0 3 é um intervalo de números reais composto somente por pontos II B 1 2 é um intervalo de números reais que ser classificado como um conjunto fechado III C 4 5 é um intervalo de números reais classificado como conjunto IV D 0 2 é um intervalo de números reais que por todos os seus pontos aderentes V E 2 4 é um intervalo de números reais ser classificado como um conjunto discreto Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas das afirmações apresentadas Alternativas I aderentes II não pode III fechado IV não é composto V pode I de acumulação II pode III compacto IV é composto V pode I interiores II pode III aberto IV é composto V não pode I aderentes II pode III limitado VI é composto V pode I interiores II não pode III compacto IV não é composto V não pode Para a interpretação de funções e suas propriedades um dos conceitos primordiais é o de limite A partir dele podemos compreender o comportamento de funções em pontos de seu domínio inclusive ao redor de pontos que não fazem parte de seu domínio mas que são pontos de acumulação do mesmo Diante dessa temática vamos estudar o limite a seguir com base na definição Para que esse estudo possa ser realizado precisamos analisar ε e δ convenientes de tal forma a validar a definição e sendo assim comprovar o limite em questão a b c d e 5 a b c d e Nesse sentido dado ε 0 qualquer qual deve ser a expressão de δ correspondente para a validação do limite apresentado Alternativas δ ε δ 2ε δ ε2 δ ε² δ ε 2 Considere a função real dada por Em relação a essa função analise as seguintes afirmações I A função f admite como pontos críticos os valores x 35 e x 05 II A função f admite como pontos críticos os valores x 2 e x 1 III A função f admite um ponto de mínimo local em x 1 IV A função f admite um ponto de máximo local em x 35 Está correto o que se afirma apenas em Alternativas I I e III I e IV II e III II e IV Análise Matemática alunotimelineindex3 Av1 Análise Matemática notific Informações Adicionais Período 27022023 0000 à 03042023 2359 Situação Iniciada Tentativas 0 3 Protocolo 838802812 Acessar atividade alunoavaliacaoform3389772102atividadeDisciplinaId14304431 1 a b c d e 2 Considere os conjuntos indicados a seguir Com base nesses conjuntos julgue as afirmações a seguir classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Os conjuntos A B C e D possuem tanto supremos quanto ínfimos associados II Apenas os conjuntos A e D apresentam tanto supremos quanto ínfimos III Apenas os conjuntos A e D admitem ínfimos como elementos dos respectivos conjuntos IV Apenas os conjuntos B e D admitem supremos como elementos dos respectivos conjuntos Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas V V F F V F V F V V V V F F V V F V F V Considere o estudo dos limites de sequências os quais são essenciais para a compreensão do conceito de convergência Diante desse assunto analise as afirmações apresentadas a seguir I A sequência x com é convergente com limite igual a 0 n a b c d e 3 a b c d e 4 II A sequência y com é convergente com limite igual a 1 III A sequência z com é convergente com limite igual a 13 IV A sequência w com é divergente Está correto o que se afirma apenas em Alternativas I e II II e IV III e IV I II e III I II e IV Ao classificar sequências em conjunto com os teoremas convenientes podemos obter diversas informações como por exemplo conclusões a respeito da convergência das sequências Diante dessa temática analise as afirmações a seguir I A sequência x tal que é decrescente e limitada II A sequência y tal que é crescente e ilimitada III A sequência z tal que é decrescente e limitada IV A sequência w tal que é crescente e ilimitada Está correto o que se afirma apenas em Alternativas I e II II e IV III e IV I II e III I II e IV Segundo Honorio e Souza 2020 p72 Dentro da Teoria de Conjuntos encontrase a necessidade de estudo sobre a enumerabilidade visto que através de suas definições obtémse uma importante ferramenta para a classificação dos conjuntos infinitos em relação a sua cardinalidade n n n n n n n a b c d e 5 a b c d e Fonte HONORIO F K SOUZA F P Enumerability of the set of algebraic numbers Colloquium Exactarum v12 n3 Jul Set 2020 p7177 Disponível em httpsjournalunoestebrindexphpcearticleview38263181 acesso em 14 fev 2022 A respeito do conceito de enumerabilidade analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas I O conjunto pode ser classificado como não enumerável PORQUE II O conjunto corresponde a um produto cartesiano entre conjuntos enumeráveis A respeito dessas asserções assinale a opção correta Alternativas As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa da I As asserções I e II são proposições verdadeiras mas a II não é uma justificativa da I A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira As asserções I e II são proposições falsas Conforme descrito por Ávila 2006 p128 As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade A primeira a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão ¼ que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes Depois dessa ocorrência as séries infinitas só voltariam a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde no século XIV Fonte ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3ed São Paulo Blucher 2006 O conceito de série é um dos conceitos essenciais para o estudo por exemplo das funções bem como da resolução de determinadas equações diferenciais Em relação a esse assunto analise o comportamento da série em que n representa o fatorial do número natural n A respeito de sua convergência empregando o teste da razão podemos concluir que Alternativas como a série é convergente como a série é convergente como a série é convergente como a série é divergente como a série é divergente