Coordenadas polares na integração: Um tutorial de Cálculo

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As coordenadas polares são uma forte ferramenta para a solução de integrais simples e duplas. De fato, modificar a região de integração para um conjunto em coordenadas polares pode evitar diversas dores de cabeça e te render um tempo suficientemente grande em uma prova daquele professor que você já está com medo de ficar em DP. Todavia, fazer essas mudanças de coordenadas não são tão simples de serem feitas a um primeiro contato., mesmo que a longo prazo elas se tornem simples e comuns.

Nesse sentido, hoje vamos trazer nesse artigo um tutorial exemplificado, prático e direto sobre como você deve fazer mudanças de variáveis para um conjunto de coordenadas polares e suas aplicações em integrais. Portanto, nesse artigo vamos trazer exemplos práticos de como você deve atacar esse problema. Então, vem conosco gurunauta que hoje vamo te ensinar muito sobre as coordenadas polares.

A ideia básica das coordenadas polares

As coordenadas polares são uma forma de analisar e especificar um sistema de coordenadas usual no plano xy com relação a duas novas coordenadas. Com efeito, as o plano euclidiano é o famoso plano x e y onde temos no eixo vertical a coordenada y enquanto que o eixo horizontal denota a coordenada x. Em verdade, sob esse sistema de referencia podemos especificar um ponto nesse plano com dois pontos e denotamos isso por: (x,y).

Entretanto, a forma com que definimos e especificamos posições podem se modificar. Decerto, com uso de novos sistemas de coordenadas podemos especificar um mesmo ponto (x,y) em outro sistema. Nesse sentido, evocamos o importante sistema de coordenadas polares o qual emprega o uso de uma coordenada radial r que carrega a informação da distância de um dado ponto p da origem até onde esse se encontra e o um ângulo θ o qual carrega a a informação da direção do ponto.

Assim, chamamos de coordenadas polares o sistema de orientação em que cada ponto P (x,y) do plano euclidiano é especificado por (r, θ) no sistema polar. A seguir, apresentamos vários esquemas de pontos no plano e seus respectivos r’s que são diferenciados pelas cores e alguns ângulos θ especificados com índices inferiores.

Esquema de coordenadas polares para diferentes coordenadas r e thetas.
Figura 1. Esquematização do sistema polar de coordenadas. Fonte: Do Autor.

A conexão com o sistema euclidiano

De fato, ao passo que podemos mapear um ponto do plano em coordenadas cartesianos com outra descrição matemática deve ser esperado que essas descrições sejam, de alguma forma, conectadas. Com efeito, elas de fato são conectadas e isso pode ser feito de forma muito simples, em particular, apenas com algum pouco conhecimento em trigonometria podemos explicitar como deve ser feito a conexão entre coordenadas polares e euclidianas.

Nesse sentido, a seguir apresentamos como é possível escrever uma coordenada r e uma coordenada y com o uso de um dado ângulo e raio conhecidos.

Figura 2. Conexão entre coordenadas (x,y) e (r,θ). Fonte: Do Autor.

Região de integração e jacobiano em coordenadas polares !

Com efeito, uma das partes mais interessantes em dominar o uso de coordenadas polares é empregar tal técnica para a computação de integrais que a priori não sejam tão triviais. Em verdade, isso é feito ao passo que conseguimos mapear as regiões de integração. Nesse sentido, se faz necessário que haja um fator de conexão que permita tal correspondência.

Decerto, não estamos aqui interessados em te mostrar como obter esse fator. Entretanto, uma conta simples permite que você consiga fazer isso. Nesse sentido, escreveremos agora como os elementos de diferenciação das coordenadas planas se conectam com as coordenadas polares:

  • dA = dx dy = rdr dθ.

Certamente, você deve estar a perguntar por qual razão há esse r. Decerto, esse r corresponde ao que chamamos de Jacobiano da transformação. Ademais, você pode calcular ele de forma simples com um determinante a partir das mudanças de variáveis que apresentamos na Figura 2. Entretanto, não exploraremos isso nesse artigo, de fato, vamos focar em apenas usar esse resultado e prosseguir para calcular integrais com isso.

Ademais, veja que com isso especifica-se que as coordenadas polares são tais que obedecem a seguinte região de integração descrita a seguir:

onde os rmin/max e θmin/max denotam a extensão mínima e máxima das duas componentes a seguir nós veremos em detalhes como isso é importante para o cálculo correto das integrais.

Resolvendo integrais em coordenadas polares!

Agora, vamos prosseguir com o cálculo de integrais com o uso em coordenadas polares. Com efeito, essas coordenadas são extremamente úteis para resolvermos problemas que possuam certa simetria, em geral, simetria circular/cilíndrica. Nesse sentido, vamos discutir alguns casos importantes visto que eles poderão aparecer em artigos futuros onde exploraremos volumes com integrais com coordenadas polares e ou cilíndricas.

Porção de disco e disco completo!

De fato, o disco é um dos problemas mais importantes e comuns associados a esse tipo de coordenadas. Com efeito, veja que dado ao mesmo ter uma simetria circular podemos empregar uma descrição polar para ele. Então, a fim de exemplificarmos consideremos um disco de raio 4 como o descrito na Figura 3 a seguir.

Esquema de coordenadas polares para uma porção de um disco circular e um disco circular completo.
Figura 3. Discos circulares porção em (a) e completo em (b). Fonte: Do Autor.

Com efeito, vamos tomar o problema em descrever a área desses discos. Decerto, a área deles pode ser calculada por uma integral dupla. Todavia, esse problema em coordenadas retangulares fica um pouco mais complicado e requer um esforço desnecessário. Nesse sentido, vamos partir para descrever esses discos em coordenadas polares.

Em verdade, para o ambos os discos teremos que nossa componente radial vai de 0 e sobe até atingir o valor máximo r =4, em verdade isso nos dá que o rmin = 0 e rmax = 4. Porém, quando analisamos o ângulo polar vemos que aqui haverá uma diferença enquanto que na primeira região nosso disco é incompleto e vai até 3/4 do disco completo a figura em (b) tem o disco completo. Logo, modelamos essa diferença analisando apenas a parte angular. Assim, na primeira figura o θmin =0 enquanto que o θmax = 3pi/2 e no outro caso o θmax vai ser 2pi. Com isso em mãos e usando a feito na Figura 2 podemos calcular essa área, aqui faremos ambos os casos para você aprender como se faz passo a passo tal problema.

Cálculo dos exemplos resolvidas e comparação com coordenadas retangulares/euclidianas/cartesianas.

Para você treinar!

Agora, que tal treinarmos um pouco isso?. Nesse sentido, trazemos para você o exemplo de calcular a área em azul apresentada na figura a seguir. Certamente, esse exemplo é um caso que generaliza o item (b) que fizemos anteriormente. Aqui, na verdade, basta que você calcule a região da área azul e você deve ver que não é muito difícil fazer isso, na verdade, se prestar bem atenção acontece que essa região é especificada entre os círculos de raio 4 e raio 9 ou seja: 16<x^2+y^2<81 => 16< r^2 <81 => 4<r<9. Logo, esse é um caso que ajusta o rmin. Então é isso gurunauta! coloque os conhecimentos em prática e resolva esse problema!.

Área entre discos hachurada de azul com coordenadas polares.
Figura 4. Região entre círculos com coordenadas polares. Fonte: Do Autor.

Referências

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