A desigualdade triangular é bastante simples de ser entendida e pode ser uma ferramenta poderosa não só para saber quando podemos formar um triângulo, ou verificar se alguma figura o é, mas também para resolver uma série de problemas geométricos.
Motivação
Aprendemos desde cedo na escola, já nas primeiras ideias geométricas, sobre a figura plana chamada de triângulo.
Não é preciso uma definição formal do que é triângulo para entender ele, só de falar o nome a figura vem imediatamente para a cabeça do leitor. Podemos, ainda assim, fazer uma tentativa ingênua de definir essa figura como um polígono de três lados.
Essa definição simples, mas precisa, pode nos levar a muitas conclusões, mas uma pergunta que o leitor talvez ainda não tenha pensado ao ser apresentado a triângulos: quando podemos construir com três medidas de lados, e será que essa construção é única?
O leitor que já tiver apresentado a ideia de congruência vai saber que com as medidas de três lados de um triângulo podemos defini-lo unicamente, a menos de outro congruente. Para os que estão curiosos basta ler o seguinte texto:
A primeira pergunta ainda não foi respondida, mas imagine a seguinte situação. Um colega te dá três palitos de medidas 3 centímetros, 4 centímetros e 6 centímetros, e te pede para montar um triângulo com esse palitos. Quase que naturalmente, você vai montar o triângulo.
Então ele te desafiou novamente, agora com palitos de 3, 4 e 7 centímetros. Você perceberá rapidamente que não vai conseguir formar um triângulo, mas pode ser que a princípio não entenda o porquê, afinal o outro foi tão fácil de formar.
Na procura de uma justificativa ou tentativa de formar o triângulo você vai passar pela ideia que um dos lados é grande demais.
Desigualdade triangular
A ideia por trás desse grande demais é justamente que a medida de um dos lados não cumpre a desigualdade triangular que diz o seguinte:
A soma de dois lados de um triângulo é sempre maior que a do terceiro.
Escrita de outra forma essa ideia é a seguinte:
Dado um triângulo ABC, AB<AC+BC, AC<BC+AB, e BC<AB+AC.
Essas desigualdades são bastante simples de serem verificadas, no nosso segundo exemplo veja que 7=3+4, logo não cumpre a desigualdade triangular, e por isso não poderia formar um triângulo.
Exemplos.
Agora vamos resolver alguns exemplos utilizando a ideia que acabamos de aprender.
Exemplo 1. É possível formar um triângulo com os lados 10, 12, e 3?
A resposta é sim, porque 10+12=22>3, 10+3=13>12 e 12+3=15>10.
Exemplo 2. Um lado de um triângulo mede 3,8, o outro lado mede 0,6. Se o terceiro lado tem comprimento inteiro, qual é esse comprimento?
Chamemos o comprimento que queremos descobrir de x. Assim, pelas desigualdades:
x+0,6>3,8 → x>3,2
x+3,8>0,6 → x>-3,2
0,6+3,8>x → x<4,4
Portanto, o único valor inteiro possível para x é 4.
Aqui no blog o leitor poderá encontrar mais textos explorando exemplos e exercícios sobre a desigualdade triangular. Fica atento!
