Como usar a Desigualdade triangular

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A desigualdade triangular é bastante simples de ser entendida e pode ser uma ferramenta poderosa não só para saber quando podemos formar um triângulo, ou verificar se alguma figura o é, mas também para resolver uma série de problemas geométricos.

Motivação

Aprendemos desde cedo na escola, já nas primeiras ideias geométricas, sobre a figura plana chamada de triângulo

Não é preciso uma definição formal do que é triângulo para entender ele, só de falar o nome a figura vem imediatamente para a cabeça do leitor. Podemos, ainda assim, fazer uma tentativa ingênua de definir essa figura como um polígono de três lados.

Essa definição simples, mas precisa, pode nos levar a muitas conclusões, mas uma pergunta que o leitor talvez ainda não tenha pensado ao ser apresentado a triângulos: quando podemos construir com três medidas de lados, e será que essa construção é única?

O leitor que já tiver apresentado a ideia de congruência vai saber que com as medidas de três lados de um triângulo podemos defini-lo unicamente, a menos de outro congruente. Para os que estão curiosos basta ler o seguinte texto:

Congruência de triângulos

A primeira pergunta ainda não foi respondida, mas imagine a seguinte situação. Um colega te dá três palitos de medidas 3 centímetros, 4 centímetros e 6 centímetros, e te pede para montar um triângulo com esse palitos. Quase que naturalmente, você vai montar o triângulo. 

Então ele te desafiou novamente, agora com palitos de 3, 4 e 7 centímetros. Você perceberá rapidamente que não vai conseguir formar um triângulo, mas pode ser que a princípio não entenda o porquê, afinal o outro foi tão fácil de formar.

Na procura de uma justificativa ou tentativa de formar o triângulo você vai passar pela ideia que um dos lados é grande demais.

Desigualdade triangular

A ideia por trás desse grande demais é justamente que a medida de um dos lados não cumpre a desigualdade triangular que diz o seguinte:

A soma de dois lados de um triângulo é sempre maior que a do terceiro.

Escrita de outra forma essa ideia é a seguinte:

Dado um triângulo ABC, AB<AC+BC, AC<BC+AB, e BC<AB+AC.

Essas desigualdades são bastante simples de serem verificadas, no nosso segundo exemplo veja que 7=3+4, logo não cumpre a desigualdade triangular, e por isso não poderia formar um triângulo.

Exemplos.

Agora vamos resolver alguns exemplos utilizando a ideia que acabamos de aprender.

Exemplo 1. É possível formar um triângulo com os lados 10, 12, e 3?

A resposta é sim, porque 10+12=22>3, 10+3=13>12 e 12+3=15>10.

Exemplo 2. Um lado de um triângulo mede 3,8, o outro lado mede 0,6. Se o terceiro lado tem comprimento inteiro, qual é esse comprimento?

Chamemos o comprimento que queremos descobrir de x. Assim, pelas desigualdades:

x+0,6>3,8  →  x>3,2

x+3,8>0,6  →  x>-3,2

0,6+3,8>x  →  x<4,4

Portanto, o único valor inteiro possível para x é 4.

Aqui no blog o leitor poderá encontrar mais textos explorando exemplos e exercícios sobre a desigualdade triangular. Fica atento!

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