Exercícios de desigualdade triângular

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A desigualdade triangular é uma das mais famosas e aplicadas em problemas matemáticos, pois ela nos diz quando é ou não possível formar um triângulo. Neste texto o leitor vai encontrar uma série de desafios e exercícios de desigualdade triângular.

Revisão

Antes de ir aos exercícios, vamos revisar rapidamente o principal dessa desigualdade.

Primeiro uma apresentação do que ela diz:

(Desigualdade Triangular). Dados 3 segmentos de reta, eles podem formar um triângulo se, e somente se, a medida de cada um deles for menor que a soma das medidas dos outros dois.

Mais aritmeticamente o que está escrito é que, dado um triângulo ABC, AB<AC+BC, AC<AB+BC e BC<AC+AB.

Podemos ainda falar que, em particular, o lado de maior medida tem que ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

Por exemplo, não é possível formar um triângulo com lados medindo 10, 11 e 1, pois 11=10+1, e, caso fosse possível, 11<10+1.

Por outro lado, podemos formar um triângulo de medidas 3, 4 e 5, pois, 3<4+5, 4<3+5 e 5<3+4.

Caso o leitor queira uma apresentação mais detalhada pode conferir o seguinte texto:

Como usar a Desigualdade triangular

Exercícios de desigualdade triângular

Agora vamos para os exercícios, de diversos níveis, que o leitor deve tentar responder.

Exercício 1. É possível formar um triângulo com segmentos que tenham comprimentos de 10 cm, 7 cm e 5 cm?

Exercício 2. (ENEM – Adaptada) Uma criança quer criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. Quantos triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos?

Exercício 3. Quantos triângulos isósceles, não congruente, com os lados iguais medindo 5 podemos formar de modo que a base seja um número inteiro?

Exercício 4. Prove que não é possível ter um lado de um triângulo com comprimento maior que a metade do perímetro do triângulo.

Exercício 5. Prove que, dados quaisquer pontos A, B e C, temos que AC ≥ |AB-BC|.

Exercício 6. A distância da cidade A até a B é 66 km; a de A até C é igual a 31 km; e, de C até D 20 km, e, ainda, de D até A é 15 km. Qual a distância de C até A?

Desafios

Aqui estão algumas questões mais desafiadoras e servem como motivação para o leitor, além de mostrar que desigualdades bastante simples podem se expressar em pensamentos e problemas bem sofisticados.

Desafio 1. Prove que a soma das diagonais de um quadrilátero convexo é menor do que o perímetro, mas é maior do que a metade do perímetro.

Desafio 2. Prove que a distância entre dois pontos quaisquer no interior de um triângulo não é maior do que a metade do perímetro do triângulo.

Desafio 3. (AMC) Quantos triângulos isósceles de lados inteiros possuem perímetro 23?

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