Exercícios de Paridade com Alternância

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O objetivo desse texto é oferecer ao leitor uma série de exercícios de paridade. A princípio iremos resolver um exemplo que introduziu uma técnica de resolução exercícios de paridade com altêrnancia, e, os demais exercícios ficarão como desafios para o leitor aprender mais sobre paridade. 

Introdução

Antes dos exercícios de paridade com altêrnancia. Vamos inicialmente relembrar as noções de paridade.

Resumidamente, dizemos que um número par tem paridade par e um número ímpar tem paridade ímpar.

Esse conceito é demasiadamente simples, mas muito poderoso e aparece na solução de muitos problemas, como o leitor poderá observar nos exemplos e exercícios do texto. Também, apesar da simplicidade, isso não será sinônimo de facilidade, é possível pensar em problemas muito difíceis com esse conceito tão simples.

Caso o leitor queira ler um texto apenas sobre paridade pode conferir o seguinte:

Paridade

Alternância.

Exemplo. Em um tabuleiro de xadrez, o cavalo sai de um quadrado e faz uma série de movimentos até retornar para o mesmo quadrado. É possível que o cavalo tenha feito isso após um número ímpar de movimentos? Se sim, mostre como, se não explique o porquê.

A resposta para esse exemplo é não. Antes de explicarmos o porquê é interessante que o leitor tente se convencer disso tentando ele mesmo pegar um tabuleiro de xadrez e movimentar o cavalo de maneiras diferentes como propõe o exemplo. Assim, com um pouco de observação pode ser que surja a ideia de como resolver.

Portanto, com a certeza que o leitor não conseguiu um número ímpar de movimento que faça o cavalo voltar para a mesma casa segue a solução.

Para resolver basta observar que a cada movimento do cavalo a cor da casa que ele ocupa no tabuleiro muda. Então, se ele está casa branca, no primeiro movimento ele vai para uma preta, no segundo volta para a branca e assim por diante. 

Portanto ele ocupa casas brancas em números pares de movimentos. E, assim, ele não poderia voltar a uma casa de mesma cor após um número ímpar de movimentos.

A ideia principal dessa solução é encontrar um padrão de alternância no problema. Essa ideia é usada em muitos problemas.

Um outro princípio na idéia de alternância que não está presente no exemplo mas pode estar nos exercícios é que num conjunto fechado de objetos alternados existem tanto objetos de um tipo, quanto de outro tipo.

Exercícios de Paridade com Altêrnancia.

Exercício 1. Um caminho fechado é formado por 13 segmentos de reta. É possível uma reta, que não contém nenhum vértice do caminho, intersectar todos os segmentos de reta?

Exercício 2. Três discos de hóquei, de cores diferentes, vermelho, amarelo e branco, estão num campo. Um jogador bate nos discos de forma que cada um deles passe entre os outros dois discos por vinte e cinco vezes. É possível retornar esses três discos às posições iniciais?

Exercício 3. Maria está brincando em roda com seus amigos. Nessa roda, cada dois vizinho de uma das crianças possuem o mesmo sexo. Se o círculo contém cinco meninas, quantos meninos estão no círculo?

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