Infinitude dos números primos

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O objetivo deste texto é discutir sobre a infinitude dos números primos. Esse fato bastante difundido é fácil de ser demonstrado.

Revisão sobre números primos

Antes de começar a demonstração em si vamos revisar os conceitos básicos sobre números primos. Neste blog você pode encontrar uma série de textos que falam sobre números primos e algumas das suas principais propriedades, que estarão referenciados durante e ao fim desse texto.

Um número natural d é divisor de outro número natural n, se existe k também natural tal que n=d·k. Também podemos dizer que d divide n, ou que n é múltiplo de d. 

Assim o número 1 é divisor de todo número e todo número é divisor dele mesmo.

Um número natural é dito primo se possuir exatamente dois divisores, o 1 e ele mesmo. Essa definição pode ser ambígua em relação ao 1, mas para retirar essa ambiguidade, o 1 não é primo.

Portanto, um número primo é um número natural maior que 1 e que possui exatamente dois divisores. São exemplos de números primos o 2, o 7, o 13, entre outros.

A tarefa de dizer que um número é primo ou não, ou até de encontrar primos não é fácil pois exige muitos cálculos à medida que os números ficam grandes, a ponto de ser uma tarefa árdua até para um super computador. Para encontrar os números primos até um certo ponto é útil aprender sobre o Crivo de Eratóstenes

Os números primos podem ser vistos como números formadores para todos os demais números naturais. Essa ideia é colocada pelo Teorema Fundamental da Aritmética que pode ser encontrado num texto aqui do blog.

Textos sobre primos

Os números primos e suas propriedades inspiram muitos estudos aritméticos na matemática, especialmente em uma área chamada Teoria dos Números.

Também, são muito utilizados nos sistemas de criptografia modernos.

Confira os textos deste blog sobre números primos para se aprofundar:

Breve introdução a números primos

O Crivo de Eratóstenes

Teorema Fundamental da Aritmética

Infinitude dos números primos

Uma das propriedades sempre vista direta ou indiretamente sobre números primos é o fato deles serem infinitos.

Vamos demonstrar esse fato por contradição.

Suponha que existisse apenas um número finito de primos. Nesse caso chamamos eles de: p1, p2, ., pk, para um k qualquer pertencente aos naturais.

Nesse caso todos são maiores que 1 pela definição de número primo. E, assim p1·p2·…·pk é múltiplo de todos eles pela definição de divisor.

Daí p1·p2·…·pk+1 deixa resto 1 na divisão por todos eles, isto é, o número não é divisível por nenhum primo, e por consequência os únicos divisores desse número serão o 1 e ele mesmo, e assim ele seria um primo diferente dos que existiriam.

Assim conseguimos uma contradição, o que prova que os números primos são infinitos.

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