Integrais Triplas

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“Integrais triplas são o análogo de integrais duplas em três dimensões. De certo, elas são uma ferramenta para somar infinitamente grandezas infinitesimais associadas a pontos em uma região tridimensional”.

Preliminarmente, vamos relembrar a definição de integrais duplas:

Seja f uma função de duas variáveis definida na região R. Chama-se integral dupla de f(x,y) em R o limite:

A definição de integral tripla segue os mesmos passos da definição de integral dupla. Observe :

Definição 1

Seja f uma função de três variáveis definida sobre um sólido E.

Chama-se integral tripla de f(x,y,z) em E o limite:

De certo, o limite tem de existir e ser finito.

Representação de integrais triplas

Notação:

Propriedades

Sejam f(x,y,z) e g(x,y,z) funções integráveis sobre o sólido E e k um número real, então temos que:

Exemplo de cálculo com integrais triplas

Cálculo das integrais triplas

1o  Caso: O sólido E está contido entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y, ou seja,

Caso 2 de integrais triplas

Então, de modo análogo temos as equações:

Definição de integral tripla

Exemplo 1:

Em síntese, se faz necessário realizar as seguintes observações:

1. Os limites de integração da integral de dentro contêm no máximo duas variáveis;

2. Os limites de integração da integral do meio contêm no máximo uma variável;

3. Os limites de integração da integral de fora precisam ser constantes.

Para calcular áreas de regiões planas R utilizando integrais duplas, assim considerando f(x,y) = 1.

Onde  A é a área da região R.

Portanto, podemos calcular o volume do sólido E, considerando f(x,y,z) = 1 .

Cálculo do volume com integrais triplas

Onde  V é o volume do sólido E.

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