Tudo sobre logaritmo. Parte 2 – Propriedades

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O objetivo deste texto é apresentar as principais propriedades para operar com o logaritmo. Esse texto é de alguma maneira a continuação de um outro aqui do blog, que define o que é logaritmo.

Veja aqui: Tudo sobre logaritmo. Parte 1 – Definições.

Breve revisão

Primeiro, vamos revisar a definição de logaritmo e algumas implicações imediatas que isso nos dá.

Dados dois números reais, x e y, ambos maiores que zero. E com x≠1, então dizemos que:

logy = n , se e somente se, y = xⁿ.

Portanto, por exemplo, log₃81=4 pois 81=3⁴.

Também vimos e mostramos através da definição que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero, e ainda, se a base e o logaritmando forem iguais então o seu valor é igual a 1

Propriedades do logaritmo

Aqui vamos listar as principais propriedades do log que nos ajudarão principalmente a operá-lo.

Essas propriedades serão muito úteis como veremos nos exemplos.

1. Logaritmo do produto.

Sejam x, y e z reais maiores que zero e x≠1.

logₓ (y·z) = logₓy + logₓz

Essa propriedade pode ser estendida para um número finito qualquer de números sendo multiplicados dentro do log.

Vejamos como essa propriedade poderia ser aplicada no exemplo inicial que demos: 

log₃81 = log₃(3·3·3·3) = log₃3 + log₃3 + log₃3 + log₃3 = 1+1+1+1 = 4.

2. Logaritmo da divisão.

Sejam x, y e z reais maiores que zero e x≠1.

logₓ (y/z) = logₓy – logₓz

3. Logaritmo da potência.

Sejam x e y reais maiores que zero e x≠1, e n um número real.

logₓ(yⁿ) = n·logₓy

Novamente, a título de exemplo, vamos ver essa propriedade aplicada ao exemplo inicial.

log₃81 = log₃(3⁴) = 4·log₃3 = 4·1 = 4

4. Mudança de base.

Todas as propriedades vistas até aqui fixaram uma base para poderem ser aplicadas. A propriedade a seguir é justamente a que permite que mudemos quando necessário a base que estamos calculando o logaritmo.

Sejam x, y e a reais maiores que zero, x≠1 e a≠1.

logₓy = (logₐy)/(logₐx)

Observações.

Através dessas propriedades podemos inferir outros fatos úteis, vejamos alguns a seguir.

Fato 3.

logₓxⁿ = n

Esse fato já tínhamos explorado no exemplo da propriedade sobre o logaritmo da potência, ainda assim é importante ressaltá-lo pois é muito comum usar a decomposição de um número para calcular um log.

Fato 4.

a^(log_a(b)) = b

Fato 5.

logₓy = logₓz se, e somente se y=z

Esse fato 5 além de nos ajudar no cálculo de um log nos diz principalmente que o log é função injetiva, algo que exploraremos em um próximo texto desta série sobre a função log.

Uma observação também importante a ser feita é que a propriedade 2 pode ser aferida a partir das propriedades 1 e 3, portanto poderíamos ocultá-la, apresentar as propriedades em outra ordem e falar dela como um fato posteriormente. Veja a seguir:

logₓ (y/z) = logₓ (y·z⁻¹) = logₓy+ logₓ(z⁻¹) = logₓy +(-1·logₓz) = logₓy – logₓz

No próximo texto desta série sobre log aqui no blog exploraremos exemplos e exercícios que apliquem aritmeticamente a definição e propriedades apreendidas.

Veja os textos da série:

Parte 1 – Definições.

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