O que é um espaço vetorial?

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Para aprender Álgebra Linear é muito importante entender todos os conceitos e propriedades que tem seus objetos, e a Álgebra Linear é construída em volta de um objeto chamado “Espaço Vetorial”. Portanto, a primeira coisa que precisamos saber nesse estudo é o que é um espaço vetorial.

Definição

Um espaço vetorial é um conjunto V com elementos dotados de duas operações, uma que leva dois elementos desse conjunto em um outro elemento desse conjunto, que chamaremos de adição(+), e uma que leva um valor real e um elemento desse conjunto em outro elemento desse conjunto, que chamaremos de multiplicação por escalar(*). Esses elementos com essas operações devem satisfazer tais propriedades:

i) Associatividade da adição
u + (v + w) = (u + v) + w . Para todos, u, v e w que pertencem a V.

ii) Comutatividade da adição
u + v = v + u . Para todos u, e v que pertencem a V.

iii) Existência do elemento neutro da adição
Existe um elemento que pertence a V, que chamaremos de 0, tal que v + 0 = 0 + v = v , para todo v que pertence a V

iv) Existência do inverso da adição
Dado um elemento que pertence v que pertence a V, existe um elemento em V, que chamaremos de inverso aditivo, e denotaremos -v, tal que: v + (-v) = 0.

v)
Dados r e s números reais, e v um elemento de V, então r(sv)=(rs)v.

vi) Existência da identidade da multiplicação por escalar
Existe um elemento de V, que denotaremos 1. Dado um v pertencente a V qualquer, então 1v=v1=v

vii) Distributividades
Dados r e s números reais e, u e v que pertencem a V. Então valem:
r(u + v) = ru + rv (r+s)v = rv + sv

Observações

Os elementos de um espaço vetorial são chamados de vetores. O Espaço vetorial que contém apenas o vetor nulo é chamado de espaço nulo.

Ainda, é importante destacar que a operação de multiplicação por escalar não precisa ser necessariamente um número real, ela pode ser definida sobre um corpo K qualquer. Neste caso diremos que é um K-espaço vetorial, ou um espaço vetorial sobre K. Na definição que usamos .

Exemplos de espaços vetoriais

Exemplo 1.

O conjunto dos números reais com as operações usuais é um espaço vetorial.

Exemplo 2.

O conjunto dos pares ordenados (x, y) onde x e y são números reais com as operações definidas da seguinte forma: r(x, y)=(rx, r*y) e (x, y)+(z, w)=(x+z, y+w).

Exemplo 3.

O conjunto das n-uplas (x1, x2, …, xn) com xi números reais com as operações equivalentes às definidas no exemplo 2 é um espaço vetorial sobre os reais.

Exemplo 4.

Dado um corpo K qualquer o conjunto das n-uplas (x1, x2, …, xn) com xi elementos de K com as operações usuais definidas e com o conjunto dos escalares sendo K, é um K-espaço vetorial.

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