Neste texto vamos entender o que é paridade e como podemos usá-la para obter propriedades interessantes dos números inteiros.
Introdução a paridade
O princípio básico da paridade é que todo número inteiro ou é par ou é ímpar. Os números pares são aqueles que deixam o resto zero, 0, na divisão por 2, e os ímpares são os que deixam o resto um, 1, na divisão por 2.
Pelo que já conhecemos da divisão 0 e 1 são os únicos dois restos possíveis na divisão por 2 e daí vem a ideia. É interessante observar também que os números pares e ímpares são intercalados quando escrevemos os inteiros de maneira crescente.
Também, a unicidade de representação na divisão euclidiana vai nos garantir as seguintes caras desses números.
Todo número par tem a forma 2k, onde k é número inteiro qualquer.
Todo número ímpar tem a forma 2k+1, onde k é um número inteiro qualquer.
É interessante observar que dividir por 2 é bem simples e com isso rapidamente conseguimos aferir a paridade de um número. Assim já obtemos outra forma de aferir isso, que é através do critério de divisibilidade do 2.
Caso o leitor não conheça o critério ainda ele pode conferir em outro texto aqui do blog:
Critérios de Divisibilidade do 2, 4 e 8
Propriedades da Paridade
O que as propriedades que veremos a seguir nos dizem de certa forma é quando operamos dois números e conhecemos suas paridades, então a paridade do resultado da operação é previsível e pode ser encontrada sem calcular explicitamente a operação.
Paridades relativas a soma.
1. A soma de número pares é par.
De fato, sejam a e b números pares, então podemos escrevê-los como a=2n e b=2m, onde m e n são números inteiros.
Daí temos que a+b = 2n+2m = 2(n+m), e como n e m são inteiro então n+m também é, logo a soma dos números tem a forma de um número par.
2. A soma de números ímpares é par.
Sejam a e b ímpares, assim a=2n+1 e b=2m+1, com n e m inteiros.
Logo a+b = 2n+1+2m+1 = 2(n+m+1), como n e m são inteiros então n+m+1 também o é, logo a soma tem a forma de um número par.
3. A soma de um ímpar e um par é ímpar.
Seja a ímpar e b par, logo podemos representá-los como a=2n+1 e b=2m. Somando-os:
a+b = 2n+1+2m = 2(n+m)+1, isto é, a soma é um ímpar.
Paridades relativas a multiplicação.
4. A multiplicação de números pares é par.
Basta observar que, dados a e b pares, a=2n e 2m, então a·b = 2n·2m = 2·(2nm), logo tem a forma de um número par.
5. A multiplicação de números ímpares é ímpar.
Sejam a e b ímpares, então a=2n+1 e b=2m+1, com n e m inteiros.
Logo a·b = (2n+1)·(2m+1) = 4mn+2n+2m+1 = 2(2mn+n+m)+1, portanto é ímpar.
6. A multiplicação de um par por um ímpar é par.
Assim sejam a=2n e b=2m+1, daí a·b = 2n·(2m+1) = 2(2mn+n), que é par.
Observações.
Como o leitor pode notar que fizemos as propriedades operatórias apenas da soma e multiplicação já que, como estamos tratando dos inteiros a subtração é apenas um caso particular de soma e a divisão não é um operação fechada, pois um inteiro dividido por outro pode dar um não inteiro.
Ainda, também fizemos o caso ímpar somado a par, mas não fizemos par somado a ímpar, e o mesmo para multiplicação, e isso se deve ao fato que são operações comutativas, fazendo que não seja alterado o resultado.
Também é importante comentar que com o uso de congruência, aritmética modular ou dos restos podemos obter demonstrações das propriedades ligeiramente diferentes e quase que de imediato.
Com o uso do Teorema Fundamental da Aritmética conseguimos mostrar que todo número multiplicado por par é par, já que o número par vai ter o 2 na sua decomposição que passará a fazer parte da decomposição da multiplicação, o que a torna par.
Através da paridade é possível desenvolver muitos problemas dos mais fáceis aos mais difíceis. Continue acompanhando o blog que teremos um texto só com exemplos e exercícios.
