Relação de equivalência 

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Neste texto o leitor será apresentado ao conceito de relação de equivalência, para entender o que é essa ideia dentro do estudo das relações. Para isso, verá que é preciso que a relação cumpra algumas propriedades que serão apresentadas.

Revisão sobre relações entre conjuntos.

Antes de entender o que é uma relação de equivalência é necessário que o leitor relembre o conceito de relação entre conjuntos.

S é um relação de um conjunto A para B se S⊂AxB, isto é uma relação entre dois conjuntos é um subconjunto do produto cartesiano entre eles.

Assim, o conjunto vazio é relação entre quaisquer dois conjuntos e um produto cartesiano é uma relação entre dois conjuntos.

Caso o leitor queria saber mais sobre relações ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:

Relação entre conjuntos.

Um comentário importante para o tipo de relação que vamos definir é que dizemos que S é uma seleção em A se for uma relação de AxA.

Relação de Equivalência

Dada uma relação S em A, dizemos que ela é de equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva.

Vamos entender o que isso significa.

A partir daqui só nos interessam as relações de AxB quando A=B, isto é, as relações sobre um mesmo conjunto.

Dizemos que uma relação S em A é reflexiva quando para todo x que pertence A, então (x, x)∈S. Mais coloquialmente, todo elemento do conjunto se relaciona com ele mesmo.

Dizemos que uma relação S em A é simétrica quando para todos x e y que pertencem a A com (x, y)∈S então (y, x)∈S. Isto é, em S, se x se relaciona com y então y se relaciona com x.

Dizemos que uma relação S em A é transitiva quando para todos x, y e z que pertencem a A com (x, y) e (y, z) então (x, z). Isto quer dizer que se x se relaciona com y, que se relaciona com z, então x se relaciona com z, o que de alguma forma diz que a relação se existe com um “intermediário”, esse intermediário não é necessário.

Finalmente, agora entendemos o que é uma relação de equivalência. É uma relação sobre um conjunto que cumpre as três condições acima.

Num próximo texto aqui do blog o leitor vai ver exemplos desse tipo de relação e algumas propriedades que elas têm.

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