O Teorema Fundamental da Aritmética diz que existe uma forma fundamental dos números naturais. Vamos explorar nesse texto essa noção através do Teorema.
Introdução
Assim como a matéria tem sua unidade mínima fundamental no átomo, podemos fazer um comparativo e dizer que os números naturais tem sua unidade mínima fundamental nos números primos.
Veremos nesse texto o que significa essa noção de unidade mínima e fundamental. A ideia por trás disso é que cada número primo servirá como um tijolo fundamental, que não pode ser dividido em outros, e que juntos as combinações desses tijolos formam qualquer número.
Caso você não lembre o que é um número primo, pode conferir no texto a seguir.
Breve introdução a números primos
O Teorema Fundamental da Aritmética
Vamos enunciar o teorema e seguiremos explicando ele.
Teorema (Fundamental da Aritmética). Todo número natural maior que 1 pode ser escrito de maneira única como produto de números primos.
Optei por escrever esse teorema nessa versão, mas veremos que algumas informações podem ser acrescentadas ou ocultas sem mudar o sentido dele e dando enfoque ou maiores explicações sobre cada uma de suas partes.
A primeira observação é que consideramos que um número primo já está escrito como o produto de apenas um número, que é ele mesmo. Poderíamos reescrever dizendo que todo número é primo ou pode ser escrito como produto de primos.
A segunda observação que o leitor pode fazer é que poderíamos alterar a ordem dos números primos do produto de primos que formam um número e pela comutatividade o resultado teríamos uma maneira diferente de escrever o número como um produto.
Nesse caso, a unicidade do enunciado leva isso em conta, poderíamos reescrever então dizendo que a maneira é única a menos da ordem dos fatores.
Outras versões do Teorema Fundamental da Aritmética.
Esse teorema ainda poderia ser reescrito em outras versões, que buscam amarrar alguns dos pontos que já debatemos.
Por exemplo, a versão a seguir.
Teorema (Fundamental da Aritmética). Seja n um natural maior que 1. Então, existem p₁≤p₂≤…≤pₓ primos, com 1≤x, tais que n = p₁·p₂·…·pₓ. E, Além disso, essa decomposição é única.
Perceba que essa versão do teorema acaba com o problema de a unicidade ter que levar em conta uma possível mudança de ordem dos fatores e para isso basta ordenar os primos.
Outra versão mais simples para ser apresentada pode dizer apenas o seguinte.
Teorema (Fundamental da Aritmética). Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser escrito como produto de fatores primos.
Considerações Finais
Neste texto está fortemente a ideia que não podemos dividir um número primo em uma decomposição de outros, e ainda eles formam todos os outros números E, por isso ele é nosso átomo.
Também, que cada número possui uma identidade, isto é, uma identificação única que é sua decomposição.
Assim como descobrir se um número é primo ou não, não é uma tarefa fácil achar a decomposição de um número composto. E, é fruto dessa dificuldade que são construídos os métodos modernos de criptografia.
Você ainda verá nessa série de textos aqui no blog sobre a decomposição em primos e algumas técnicas para fazer isso, e textos sobre o uso de primos para criptografia. Por enquanto você pode ver os textos que já existem sobre números primos.
Acompanhe outros textos dessa série sobre números primos:
