Teste da razão para séries com exemplos resolvidos

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Nesse artigo, vamos falar sobre o Teste da razão para séries numéricas. De fato, dentro do assunto de séries numéricas o teste da razão desempenha um papel protagonista na solução de diversos problemas de convergência de séries. Tendo isso em vista, é muito importate que você gurunauta, saiba aplicar esse teste com maestria e assim garanta o tão sonhado 10 em sua prova.

Portanto, vamos vem comigo que vou te ajudar nesse assunto.

Entendendo o que são as séries numéricas (Revisão básica)

Primeiramente, vamos entender o que de fato são séries numéricas. Com efeito, a ideia aqui é pensarmos num tipo especial de sequência numérica. Então, vamos considerar uma sequência (xn) daí, vamos construir uma segunda sequência (Sn) cujos termos são dados a seguir

Construção das séries numéricas
Expressão 1. Construção da sequência (Sn).

isto é, cada termo de (Sn) é a soma dos elementos da sequência (xn) até o elemento n-ésimo. A sequência (Sn) assim construída é chamada de sequência das reduzidas. Além disso, a partir de (Sn) vamos construir a noção de série numérica, para tanto, vamos fazer o limite de n para o infinito, com efeito

Expressão 2. Definição de série numérica.

Nesse sentido, podemos definir as séries numéricas como uma soma infinita de termos obtido a partir de uma sequência numérica (xn). Todavia, assim como estudamos sequências em séries numéricas também temos um problema fundamental: determinar quando uma série é convergente.

As séries numéricas convergentes

Em verdade, na maioria das questões desse assunto, seu trabalho será determinar se uma série específica é ou não convergente. Isto é, se o a soma da expressão 2 é um valor S finito. Mas, veja fazer isso nem sempre é uma tarefa fácil, nesse sentido há uma gama de resultados que podem ser empregados com a finalidade de garantir que esses resultados de convergência sejam estabelecidos, em particular citamos os seguintes Testes

  • Razão,
  • Integral,
  • Raíz,
  • Critério das séries alternadas de Leibniz,
  • Critério da comparação,
  • Comparação no limite,
  • Critério da divergência (assegura uma condição necessária, mas não suficiente)
  • Critério das somas telescópicas,
  • Teste das p-séries

Como você pode ver, essa teoria comporta diversos testes. Nesse sentido, vamos nos ater ao primeiro teste o qual pode ser usado em uma gama de séries e assim sendo uma ótima carta na manga para esses problemas.

Teste da razão para séries

O teste da razão serve, basicamente para qualquer série numérica. Nesse sentido, vamos enunciá-lo a seguir em forma de um elegantíssimo Teorema.

Teste da razão para séries numéricas.

Note que esse teste sugere um cálculo de um limite. Tendo isso em vista, você sempre deverá calcular esse limite e entender em que caso o valor L obtido se encaixa.

Exemplos resolvidos com o teste da razão para séries numéricas

Com a finalidade de entendermos esse Teorema, vamos fazer alguns exemplo resolvidos. Primeiramente, vamos ver os casos (i) e (ii) do Teorema anterior.

Então, vamos avaliar a convergência da série

para isso, vamos usar o teste da razão, com efeito temos

Logo, segue do item (i) que a série avaliada é convergente. Agora, vamos ver o caso da série

novamente, usando o teste da razão teremos

e segue que a série é divergente.

Patologias importantes para o teste da razão

O critério (iii) do teste dá um caráter inconclusivo. De fato, caso você ache em seus cálculos que o limite L seja igual a 1 você não poderá intuir nada sobre a convergência ou divergência a série. Em suma, esse resultado é apenas um indicativo de que você deve usar outro teste.

Para exemplificarmo isso, vamos avaliar a série harmônica, que sabemos ser divergente, com o teste da razão. Com efeito,

Logo, pelo critério (iii) não podemos intuir nada sobre a convergência dessa série.

Ademais, podemos ver ainda um outro caso interessante que é uma variação da série harmônica onde o termo geral tem a forma (-1)n1/n. De fato, essa série é convergente e sua convergência pode ser feita com uso do teste de Leibniz para séries alternadas. Todavia, se aplicamos o teste da razão nós temos

visto que |-1| = 1. Portanto, novamente temos o caráter inconclusivo do teste sendo evidenciado.

Então gurunauta, nada de dizer que uma série converge ou diverge se você obter L=1 viu?, caso isso aconteça procure outro teste para avaliar.

E lembre-se gurunauta, sempre conte com a MeuGuru para te ajudar com os problemas da vida universitária. Agora, você não está mais sozinho sempre terá um Guru especial para te ajudar!.

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