Geometria plana: Problemas de áreas na prática

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A geometria plana é sem dúvidas uma das áreas mais importantes da matemática a título de ensino básico, em particular no ensino médio. Ademais, ter uma boa compreensão em geometria plana, de forma geral, permite que você consiga ter uma maior compreensão sobre vários tópicos mais avançados da matemática, por exemplo, trigonometria, geometria plana e até o Cálculo. Assim, com toda certeza o que nós, gurus da MeuGuru podemos te dizer é tenha uma boa base em geometria plana caro gurunauta.

Nesse sentido, para não ficarmos apenas em um conselho nós aqui da MeuGuru viemos te presentar com esse tutorial gratuito para você. Decerto, nesse texto iremos perpassar alguns pontos chaves da área da geometria, especificamente, iremos nos destinar na compreensão de áreas de figuras planas como quadrados, retângulos, triângulos, pentágonos e hexágonos. Em suma, abordaremos esses pontos trazendo as principais fórmulas e dicussões sobre o entendimento geométrico das mesmas para a composição de novas figuras e problemas.

O problema da área em geometria plana

Em geometria plana, objetivamos o estudo de formas geométricas que vivem em planos, ou seja, figuras bidimensionais que podem, muito bem inclusive, ser representadas em nosso plano cartesiano. Nesse sentido, segue que os principais objetivos desse ramo da matemática é:

  • O estudo das figuras geométricas, perpassando suas propriedades como pontos, retas, segmentos, ângulos, poligônos e círculos.
  • Medidas e cálculos. Dentro do escopo de entender figuras geométricas, a geometria plana dedica-se tanto a entender como construir tais figuras, via régua e compasso, como também a calcular medidas que associam-se a essas figuras como por exemplo a área, comprimento e perímetro.

Os principais objetos de estudo da geometria plana

Nesses últimos, destaca-se as principais quantidades que podemos calcular em nosso escopo. Com efeito, é importante que você caro gurunauta entenda o que de fato são essas quantidades, visto que, elas aparecem frequentemente em problemas tanto básicos como avançados e por vezes, sequer são citadas por seus nomes estritos, na verdade, elas acabam tendo que ser interpretadas pelo leitor através de algumas aplicações. Então, feita essa consideração vamos a suas definições a seguir.

  • Comprimento. Essa medida refere-se a medida de algum lado de uma figura, podendo então se associar aos comprimentos desses lados.
  • Perímetro. De fato, essa é uma das mais importantes quantidades que temos nesse contexto, o perímetro de uma figura corresponde a soma de todos os seus lados. Ademais, vale destacar que o perímetro, por vezes, aparece em problemas aplicados. Em suma, esse comumente asocia-se a problemas em que temos demarcações de área, por exemplo se deseja-se cercar uma dada área rural.
  • Área. Agora, chegamos em nossa principal quantidade a qual associa-se a uma medida que caracteriza as figuras bidimensionais. A qual corresponde a quantidade de quadrados de lado 1 que podem ser colocados dentro da figura dada.

Assim, entendo em mãos essas definições podemos passar para nossa parte mais prática do artigo.

Calcule a área de um polígono com geometria plana!

Agora, vamos adentrar exatamente em nosso próposito e investigar problemas de áreas em geometria plana. Nesse sentido, como prometido apresentaremos a seguir na Figura 1 as principais formas geométricas que citamos anteriormente bem como suas principais fórmulas para cálculo de área.

Principais figuras estudadas na geometria plana.
Figura 1. Formas geométricas planas, em respectiva ordem da esquerda para direita e de cima para baixo temos: retângulo, quadrado, círculo, triângulo, pentágono e hexágono. As medidas indicadas por b e h denotam base e altura respectivamente, já as medidas a e l denotatam simplesmente lado. Fonte: Do Autor.

Comentários importantes sobre as figuras geométricas

Ademais, aqui é importante fazermos algumas ressalvas importantes que permitem que você gurunauta ávido em matemática tenha a partir de então, essas são.

  • Primeiramente, veja que o quadrado é simplesmente um caso particular do retângulo em que a base é igual a altura.
  • Em segundo lugar, veja que a área do triângulo corresponde a metade da área de um retângulo. De fato, isso é consequência de que se traçarmos uma diagonal (reta que vai de um vértice ao vértice oposto de um retângulo) teremos duas áreas. Essas duas áreas são dois triângulos que dividem o retângulo igualmente e por isso a área do triângulo é dada de tal forma.
  • Em terceiro lugar, vale destacar que temos uma infinidade de triângulos a considerar como, por exemplo, os triângulos isóceles, equiláteros, escaleno, retângulo e afins os quais são classificados com relação a medida de seus lados como também de suas angulações. Com efeito, isso se destaca ao passo que há várias outras expressões que permitem o cálculo da área dessa figura. Entretanto, a expressão apresentada é a mais geral utilizada, porém, por vezes, há necessidades de conhecimentos específicos para o cálculo de áreas os quais abordaremos em algum texto futuro.
  • Em quarto lugar, veja que na Figura 1 não apresentamos as fórmulas do hexágono e pentágono. Bom, por mais que não tenhamos apresentado elas não devemos nos preocupar, pois, as demarcações em pontilhadas foram feitas propositalmente para que você veja que essas duas figuras são simplesmente a composição de triângulos e logo suas áreas são simplesmente a soma das áreas de cinco e seis triângulos respectivamente.

Feita a apresentação das principais figuras, suas fórmulas e alguns comentários importantes iremos agora para as seções de exercícios que iremos resolver passo a passo com você.

Primeiro problema a resolver: Determinando a área do Hexágono

Então, vamos ao nosso problema gurunauta. Com efeito, iremos agora calcular a área do hexágono, o mesmo que aparece na Figura 1. De fato, veja que essa figura possui seis lados iguais com medidas equivalentes a “a”, não obstante o mesmo é ainda composto por seis triângulos retângulos, os quais são pontos chaves para nosso problema. Assim, em vez de calcularmos a área do hexágono propriamente dita iremos calcular a área de um triângulo equilátero e então multiplicá-la por 6 e aí comporemos o hexágono como um todo. 

Para tanto, veja que então temos que a área do hexágono dependerá da área do triângulo em questão. Para isso, veja que dado o triângulo equilátero sabemos que sua altura h divide a sua base de lado a em dois lados de medidas a/2 formando um triângulo de altura h, base a/2 e hipotenusa a logo, a altura fica então passível de se calcular por

determinação da altura de um triângulo equilátero na geometria plana.

Com isso, torna-se fácil prosseguir com o desenvolvimento. Veja que simplesmente precisamos calcular a área do triângulo e após isso multiplicando o valor obtido por 6 determinamos a área A do hexágono. Então, nesse sentido, faremos esse desenvolvimento logo a seguir.

cálculo das áreas de triângulos equiláteros e do hexágono.

Assim, conseguimos usar os conceitos de geometria plana, especialmente os de área para obtermos a área de uma figura composta os subfiguras, a citar, o hexágono.

Referências

  • IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Fundamentos da Matemática Elementar: Volume Único. São Paulo: Atual, 2019.
  • MATHS IS FUN. Plane Geometry. Disponível em: https://www.mathsisfun.com/geometry/plane-geometry.html. Acesso em: 24 abr. 2024.
  • SILVA, Andréa Aparecida Ferreira da. A importância do ensino da Matemática no ensino fundamental e médio. Revista Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, v. 22, n. 42, p. 131-143, maio/ago. 2017.
  • STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 408 p.

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