Introdução à Vibração: Conceitos e Fenômenos Físicos

21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 153 Introducão à vibracão Prof Ricardo Teixeira da Costa Neto Descrição Aqui você será apresentado às relações existentes entre o movimento de um simples corpo ou de máquina e as forças que o produzem Propósito O entendimento das relações entre o movimento de corpos peças e elementos interconectados ou não é substancial para que o profissional da área de mecânica esteja apto para dimensionar máquinas que executem movimentos repetitivos Preparação Antes de iniciar seu estudo procure observar o funcionamento de máquinas de uso comum como uma lavadora de roupas durante a fase de centrifugação Veja o que ocorre quando as roupas estão bemdistribuídas em seu interior e quando se acumulam em uma parte Observe também o comportamento do motor de um automóvel em marcha lenta e em alta rotação Isso o ajudará a entender os fenômenos Objetivos Módulo 1 Conceituando vibrações Identificar os conceitos básicos que envolvem movimentos oscilatórios de sistemas mecânicos e suas relações com os fenômenos físicos Módulo 2 Vibrações livres amortecidas 21112023 1526 Introducao a vibracao Reconhecer os sistemas nao conservativos onde elementos dissipadores de energia reduzem as oscilacdes e alteram seu periodo Médulo 3 Movimentos excitados harmonicamente Reconhecer os sistemas oscilatérios de um grau de liberdade submetidos a esforgos externos Neste video sera feita uma breve introdugao ao contetido que sera abordado Serao apresentados os conceitos basicos que envolvem movimentos oscilatérios de sistemas mecanicos e suas relagdes com os fenédmenos fisicos sistemas conservativos e os sistemas oscilatérios de um grau de liberdade Para assistir a um video sobre o assunto acesse a verso online deste conteudo 0 b Le cd b f 1 Conceituando vibracoes Ao final deste mddulo vocé sera capaz de identificar os conceitos basicos que envolvem movimentos oscilatorios de sistemas mecanicos e suas relacdes com os fendmenos fisicos httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 253 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 353 Vibrações mecânicas conceitos e exemplos de aplicações Neste vídeo serão abordados os conceitos básicos de vibrações como frequência período e frequência natural O movimento harmônico será apresentado assim como os modos de vibração e os graus de liberdade de um sistema mecânico Conceitos básicos Neste vídeo serão abordados os principais conceitos do estudo de vibrações para a uniformização do conhecimento Serão apresentados os conceitos de movimentos harmônico e periódico frequência período e ressonância Para compreender melhor o estudo das vibrações mecânicas é preciso antes definir alguns termos Movimento oscilatório É o movimento que pode se repetir regularmente como o pêndulo de um relógio antigo ou irregularmente como em terremotos Movimento periódico É o movimento que se repete em intervalos iguais de tempo τ Período É o tempo de repetição de um movimento periódico τ Frequência É a quantidade de eventos que se repetem em um período calculada como o inverso do período 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 453 A seguir vamos detalhar os conceitos de frequência frequência natural e ressonância Frequência Sendo a frequência a quantidade de eventos que se repetem em um período calculada como o inverso do período assim Rotacione a tela Exemplo se o medidor de rotações contagiros ou tacômetro de uma roda marca 300 rpm significa que a cada minuto a roda completa trezentas voltas em torno de seu eixo A frequência costuma ser medida em hertz unidade derivada do Sistema Internacional que expressa um movimento em ciclos por segundo ou seja que fisicamente significa um ciclo por segundo Mas para fins de cálculos usase a unidade do SI radianos por segundo ou Neste conteúdo considere Frequência Quando representada pela letra a unidade da frequência será Hz Frequência angular Quando representada pela letra grega a unidade será rads e nesse caso recebe o nome de frequência angular Por exemplo se a Terra orbita o Sol com um período de 365 dias a frequência de translação é de Achou o número muito baixo Lembrese de que é preciso usar as unidades do SI Por isso devemos converter o número de dias para segundos ou seja cada dia tem 24 horas cada hora 60 minutos e cada minuto 60 segundos Então Frequência natural É uma frequência peculiar de um corpo que depende de suas propriedades físicas como massa e elasticidade Ressonância Ocorre quando um corpo vibra sob uma frequência que coincide com sua frequência natural com ou sem contato direto com o emissor Movimento harmônico É o movimento periódico mais simples e sua particularidade é que descreve uma função senoidal f 1τ 1Hz 1s rads f f ω ω 3 18 108Hz 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 553 Rotacione a tela Frequência natural Para entender seu significado físico vamos recorrer a um exemplo que aparece em alguns filmes e desenhos animados o da cantora de ópera que consegue quebrar um cálice ao cantar com a voz aguda Isso é possível porque o som é uma onda mecânica que se propaga pelo ar Ao atingir o cálice transmite a vibração Se a cantora emitir um som em uma frequência que consiga fazer o copo vibrar intensamente podemos dizer que ela encontrou a frequência natural do cálice Ressonância Há um teste simples que pode ser feito com pedacinhos de papel um violão e um diapasão Vamos entendêlo a seguir Após afinar o violão colocamos os papeizinhos em forma de V invertido sobre cada uma das cordas Quando o diapasão é posto para vibrar a corda que oscilar é a que entrou em ressonância Dá para perceber o movimento da corda pelo papel sobre ela que começa a balançar O fenômeno da ressonância é extremamente importante no campo da engenharia mecânica Imagine um eixo de uma máquina suspenso apenas em suas extremidades por juntas de acoplamento Se pusermos esse eixo para girar em uma velocidade angular próxima ao valor de sua frequência natural começará a vibrar com cada vez mais intensidade e poderá danificar o equipamento do qual faz parte Particularidades do movimento harmônico Neste vídeo será abordado o movimento harmônico e suas principais relações matemáticas f 1 365 24 60 60 3 18 108Hz 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 653 A imagem a seguir nos ajudará a compreender o conceito de movimento harmônico Representa uma massa presa a uma mola linear ideal de rigidez deslocada de sua posição de equilíbrio e daí oscila livremente para cima e para baixo Não há atrito ou qualquer meio de dissipação de energia Registro físico do movimento harmônico de uma massa vinculada a uma mola Um traçador é preso à massa Em uma fita passante na horizontal puxada a partir da direita deixará registrado o gráfico de uma curva senoidal de período Esse movimento tem amplitude A medida a partir da posição de equilíbrio da massa Rotacione a tela A variável é a frequência angular e sua relação com a frequência medida em hertz é sendo a frequência natural Dessa expressão decorrem as usadas no cálculo da velocidade e da aceleração da massa obtidas por derivação no tempo Como a frequência angular é constante então derivando no tempo temos que Rotacione a tela Note a relação entre a aceleração e o deslocamento a cada instante substituindo uma equação na outra Rotacione a tela Temos então uma das particularidades do movimento harmônico a proporcionalidade entre deslocamento e aceleração mas dirigida para a origem Das relações entre deslocamento velocidade e aceleração notase também que podem ser reescritas usando as propriedades das funções trigonométricas Rotacione a tela Tanto a velocidade quanto a aceleração também são harmônicas e apresentam a mesma frequência de oscilação só que com defasagem em relação ao deslocamento Observando o gráfico temos m k τ x xt A sen ωt ω ω 2πf f xt ωA cos ωt xt ω2A sen ωt xt ω2A sen ωt ω2A sen ωt ω2xt xt ωA sen ωt π 2 xt ω2A senωt π ω 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 753 Gráficos representativos do deslocamento da velocidade e da aceleração de um corpo em movimento harmônico A defasagem para a velocidade é de à frente e para a aceleração é de também à frente Considerando o gráfico podemos observar que Vamos observar um arranjo físico do sistema usado para apresentar os conceitos Em geral sistemas vibratórios têm meios de armazenar energia potencial e cinética e para dissipar gradualmente a energia A vibração de um sistema consiste na transferência alternada de sua energia potencial para energia cinética e então novamente para a potencial Se há dissipação parte da energia total do sistema será perdida No sistema em questão conhecido como sistema massamola unidimensional temos Armazenamento de energia A mola é o elemento responsável por armazenar energia potencial e a massa é responsável por armazenar energia cinética não há elemento dissipador presente π2 π No instante O corpo passa por sua posição de equilíbrio desenvolvendo velocidade máxima situação em que a aceleração é nula t1 ωA Do instante até O corpo passa pela posição de equilíbrio até atingir máximo deslocamento amplitude situação em que a velocidade é nula A desaceleração chega a seu valor absoluto máximo perceba que a velocidade está decaindo entre e t1 t2 A ω2A t1 t2 Do instante até Desse instante até o corpo é acelerado cada vez menos agora é o valor absoluto da aceleração que está decaindo até novamente atingir velocidade máxima só que agora em sentido oposto a velocidade assume valor negativo O resultado é seu movimento em direção à posição de equilíbrio t2 t3 t3 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 853 Princípio da conservação de energia A energia total do sistema se conserva Se a mola é comprimida a energia potencial armazenada será aos poucos convertida em energia cinética à medida que é transferida para a massa Quando a velocidade da massa é nula a energia potencial da mola é máxima quando é máxima a energia potencial é nula porque foi transferida para a massa que agora tem máxima energia cinética Esse tipo de movimento oscilatório é chamado de vibração livre não amortecida O sistema harmônico massamola unidimensional é completamente descrito por duas grandezas escalares a amplitude e a frequência angular esta calculada por meio da equação Rotacione a tela Em que é a constante de rigidez da mola em Nm Newton por metro a massa do bloco em kg quilogramas Entretanto esse é um sistema simples mas é comum a existência simultânea de vibrações com várias frequências diferentes Nesses casos temos o movimento periódico complexo Análise de sistemas harmônicos Neste vídeo serão abordados os sistemas harmônicos destacandose a apresentação das frequências principal e harmônicas O movimento harmônico de um sistema é apenas um caso particular de movimentos oscilatórios periódicos Na vida real um equipamento pode apresentar diversas frequências Seu movimento pode ser entendido como uma combinação de movimentos que ocorrem em frequências distintas Antes de prosseguirmos vamos ver um caso simples que envolve a vibração da corda de um instrumento musical um violino por exemplo Essa vibração é um evento composto por várias frequências de oscilação A ω ω k m k m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 953 As frequências são definidas Frequência fundamental É a frequência de menor valor mais baixa associada a um som mais grave Frequências harmônicas São as demais frequências múltiplas da fundamental Se chamamos a frequência fundamental de suas harmônicas são e assim por diante O resultado é um perfil de onda complexa porém periódica conforme mostrado qualitativamente na imagem a seguir Gráfico representativo do movimento periódico complexo de período Em casos como esse é às vezes difícil encontrar o período e é preciso mudar a forma de enxergar o sistema oscilatório Não dá para enxergar como cada harmônico contribui para o movimento resultante Daí surge a análise no domínio da frequência e o movimento passa a ser representado pelo seu espectro de frequência O matemático francês Jean B J Fourier mostrou que qualquer movimento periódico pode ser representado por uma série de funções senoidais relacionadas harmonicamente Assim e temos que Rotacione a tela O espectro de frequência é representado qualitativamente pelo gráfico f1 2f1 3f1 4f1 τ t ω1 2πf1 xt x0 x1 sen ω1t x2 sen 2ω1t x3 sen 3ω1t xn sen nω1t 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1053 Espectro de frequência de um sistema oscilatório periódico complexo Para se obter o espectro de frequência de um movimento oscilatório periódico complexo usase a transformada de Fourier Vários programas de computador disponibilizam o algoritmo conhecido como Fast Fourier Transform FFT para essa análise É um procedimento útil quando precisamos conhecer a contribuição de cada harmônico no movimento Um exemplo disso é o do dimensionamento de um eixo girante movido pela turbina de uma hidrelétrica Se a rotação em que a turbina opera a maior parte do tempo for próxima de um dos harmônicos do eixo este pode entrar em ressonância e vibrar demasiadamente Assim é recomendável que as propriedades do eixo principalmente massa e elasticidade sejam tais que lhe confiram uma frequência fundamental bem mais alta do que a rotação de trabalho para que não haja interferência Graus de liberdade de um sistema Neste vídeo será apresentado o conceito de grau de liberdade de um sistema mecânico Serão apresentados exemplos e aplicações Considere agora um pêndulo simples compreendido por um fio de comprimento de massa desprezível e inextensível suspenso em uma das extremidades ponto O e suportando uma massa na outra conforme mostrado nas imagens a seguir Lembrese de que a massa de ambos os pêndulos só pode se mover no plano vertical L m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1153 Pêndulo simples A condição de equilíbrio é aquela em que a massa está na posição b Quando deslocada de b para a e depois liberada a massa oscilará até atingir a posição c Considerando que não há qualquer dissipação oscilará indefinidamente entre os pontos a e c em movimento harmônico simples Como o pêndulo só pode oscilar em torno do ponto O e considerando a hipótese de que o fio não se deforma esse sistema tem apenas um grau de liberdade representado pelo ângulo O pêndulo simples tem apenas uma frequência natural de oscilação rau de liberdade Número de coordenadas independentes para a descrição do movimento de um sistema Agora imagine que o fio seja substituído por uma mola com o pêndulo simples agora como um pêndulo elástico Pêndulo elástico O comprimento não é mais constante e a posição de equilíbrio pode ser por exemplo b A massa agora oscila e se desloca na direção do fio Esse sistema agora tem dois graus de liberdade representados pelo ângulo e também pelo comprimento do fio agora extensível O pêndulo elástico apresenta duas frequências naturais uma associada ao movimento angular outra relacionada ao movimento de translação da massa ao longo da direção do fio m θ L m θ L m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1253 Qualquer corpo que se desloca livremente em um plano apresenta três graus de liberdade e precisa de três coordenadas para descrever seu movimento porque pode Andar para a frente e para trás Andar para um lado e para o outro Girar em torno de um eixo vertical Vamos ver a seguir alguns exemplos Pense em uma tábua de madeira que flutua na superfície de um lago Ela pode ser movida por uma leve brisa na direção de seu eixo longitudinal Outra brisa soprando no sentido transversal desloca a tábua para o lado Se então um pequeno redemoinho se forma a tábua será girada levemente em torno do eixo vertical Se um corpo está solto no espaço terá seis graus de liberdade três de rotação e três de translação Imagine um satélite orbitando a Terra Os operadores podem acionar seus motores para corrigir sua trajetória deslocandoo nas direções e ou fazendoo girar em torno desses três eixos por deslocamentos angulares e Essas seis coordenadas descrevem o movimento do satélite O conceito de modos de vibração Neste vídeo serão apresentados os conceitos físicos de modos de vibração vibração em fase e oposição de fase e os modos normais de oscilações Em complemento será apresentada a expressão matemática da frequência natural de vibração x y z x y z φ θ ψ 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1353 Em máquinas estruturas pontes e edifícios há vários elementos que trabalham acoplados e há influência mútua nos movimentos Para entendermos melhor os fenômenos físicos envolvidos vamos analisar o chamado pêndulo acoplado Entenda a seguir Pêndulo acoplado em posição de equilíbrio O sistema O sistema oscilatório ilustrado é simples e didático e vai nos ajudar a entender o conceito de modos de vibração São dois pêndulos simples iguais e acoplados por uma mola de baixa rigidez que não está sob tensão quando os fios inextensíveis estão na posição vertical É um sistema oscilatório de dois graus de liberdade apresentando duas frequências naturais Pêndulo acoplado oscilando em fase 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1453 Oscilação em fase Os pêndulos quando deslocados podem vibrar em fase com as massas se deslocando para o mesmo lado enquanto oscilam ambos se deslocam juntos ou para a direita ou para a esquerda e a mola não é estendida Pêndulo acoplado oscilando em oposição de fase Oscilação em oposição de fase Os pêndulos podem também vibrar fora de fase ou em oposição de fase cada pêndulo se desloca para o lado oposto em relação ao outro Nesse caso a mola que agora participa do movimento terá um nó em seu ponto médio que é fixo no plano Cada um desses modos oscila em uma frequência natural do sistema Neste caso em particular considerando pequenos deslocamentos ângulos menores do que 7 as frequências naturais são Rotacione a tela Sendo a distância entre o fulcro e o ponto de acoplamento da mola e sua rigidez Na prática ao impor o mesmo deslocamento angular importante ressaltar ângulos menores do que a ambos os pêndulos para o mesmo lado eles oscilarão livremente em fase na frequência e a mola não participará comportandose como um corpo rígido Contudo se você impuser deslocamentos angulares de mesmo valor mas em sentidos opostos os pêndulos oscilarão livremente em oposição de fase na frequência agora a mola se distende mas seu ponto médio não se desloca Esses dois modos de oscilação são chamados de normais Mas o que aconteceria se cada pêndulo fosse deslocado de ângulos diferentes Uma vez que o sistema é conservativo a energia passa de um pêndulo a outro O resultado seria uma combinação de dois modos normais ora os pêndulos oscilariam em fase ora em oposição de fase O movimento resultante contudo depende das condições iniciais ou seja de qual posição cada pêndulo é liberado para oscilar livremente θ f1 1 2π g L f2 1 2π g L 2 k m d L 2 d k 7 f1 f2 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1553 Resumindo Podemos então concluir que cada frequência natural de um sistema está associada a um modo de vibração Mas é importante ressaltar que as frequências naturais são características do sistema não dos elementos que o compõem A frequência não é a frequência de um dos pêndulos assim como a frequência também não é a do outro pêndulo ambas são frequências naturais do sistema pêndulo acoplado Uma vez que é um sistema acoplado o movimento oscilatório de um pêndulo influencia o do pêndulo vizinho e o efeito disso é um fenômeno conhecido como batimento Variação dos ângulos de cada pêndulo quando liberados para oscilar a partir de condições iniciais diferentes A troca de energia entre os pêndulos faz com que os ângulos de oscilação variem de tal maneira que ambos alternam condição de fase e oposição de fase Esse movimento combinado é periódico e a frequência associada é chamada de frequência de batimento As linhas tracejadas mostram os limites de oscilação angular de cada pêndulo O período do batimento é medido entre os instantes em que o mesmo pêndulo não oscila na imagem vista anteriormente Pêndulos deslocados de ângulos de mesmo valor e no mesmo sentido Movimento oscilatório em fase sempre na frequência natural e a mola não se deforma f1 Pêndulos deslocados de ângulos de mesmo valor mas em sentidos opostos Movimento oscilatório em oposição de fase sempre na frequência natural e a mola se deforma com seu ponto médio e estacionário f2 Pêndulos deslocados de ângulos distintos Movimento oscilatório combinando ora movimento em fase ora em oposição de fase em frequência diferente das frequências naturais f1 f2 θ τb τb t2 t1 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1653 Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos Questão 1 Calcule o período de oscilação a partir da frequência natural em segundos do sistema da imagem a seguir sabendo que a rigidez da mola é igual a 16 Nm e a massa é igual a 40 kg Parabéns A alternativa E está correta O período de oscilação medido em segundos do sistema é igual ao inverso da frequência medida em Por sua vez a frequência de oscilação em é calculada por Então A 025 B 032 C 050 D 200 E 314 Hz Hz fn 1 2π k m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1753 Questão 2 Um sistema oscilatório apresenta um pêndulo acoplado conforme a imagem a seguir As massas são iguais Ambos os fios inextensíveis e de massa pequena o bastante para não influenciar o movimento têm comprimento A mola linear que os une está presa em cada um dos fios a uma distância a contar do fulcro Quando os pêndulos são afastados em direções opostas de um mesmo ângulo o período de oscilação medido é de 05 segundos Calcule o valor da rigidez da mola em sabendo que Parabéns A alternativa B está correta Se os pêndulos são afastados em direções opostas a frequência natural de oscilação é calculada por Substituindo os valores e sabendo que o período é o inverso da frequência temos τ 1 fn 2π m k 2π 40 16 2π0 25 2π 0 5 π 3 14s m 100g L 50cm d 20cm k Nm g 9 81ms2 A 173 B 432 C 864 D 172 103 E 432 103 f2 1 2π g L 2 k m d L 2 1 0 5 1 2π 9 81 0 50 2 k 0 100 0 20 0 50 2 1 0 5 1 2π 19 62 3 2k 4π2 0 25 19 62 3 2k 3 2k 16π2 19 62 3 2k 138 29 k 138 29 3 2 43 2Nm 21112023 1526 Introducao a vibracao a a se ia a 6 Ao final deste mddulo vocé sera capaz de reconhecer os sistemas nao conservativos onde elementos dissipadores de energia reduzem as oscilagdes e alteram seu periodo Neste video serao apresentados os sistemas de vibragao nao conservativos sendo os principais conceitos explorados As principais express6es matematicas serado abordadas para os casos em que o amortecimento se deve aos atritos seco e viscoso Para assistir a um video sobre o assunto acesse a versdo online deste contetido 0 Neste video serao apresentados os principais conceitos para a compreensao das vibragdes amortecidas destacandose as oscilagdes subamortecida e superamortecida além da expressao matematica da frequéncia de oscilagao amortecida Para assistir a um video sobre o assunto acesse a versdo online deste contetido 0 Sistemas mec4nicos estado sujeitos a atrito por isso a energia total é dissipada O atrito pode ser de Coulomb seco ou viscoso O efeito de cada um deles durante a oscilacao é diferente porém ao final temos a dissipagao da energia do sistema que vai parar de oscilar até atingir a condiao de equilibrio O sistema amortecido é nao conservativo porque a energia se dissipa durante o movimento em forma de calor Vamos observar um sistema de um grau de liberdade conhecido como massamolaamortecedor Por hipdtese o amortecimento é do tipo viscoso Os parametros do sistema sdo a massa m a constante de rigidez da mola k e a constante de amortecimento b Por enquanto a dinamica httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1853 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 1953 do sistema não será tratada aqui Sistema massamolaamortecedor de um grau de liberdade Antes de prosseguir vamos apresentar alguns novos conceitos 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2053 O valor do amortecimento crítico é calculado por meio da expressão Rotacione a tela Ou ainda Rotacione a tela Oscilação subamortecida O sistema oscila enquanto a amplitude de oscilação é aos poucos reduzida até atingir a condição de equilíbrio Oscilação superamortecida O sistema atinge a condição de equilíbrio sem oscilar Oscilação criticamente amortecida Quando liberado para oscilar o sistema retorna à sua posição de equilíbrio também sem oscilar Corresponde ao maior valor da constante de amortecimento viscoso para que o sistema passe a apresentar movimento aperiódico ou seja não há oscilações Decaimento exponencial Forma como as amplitudes de oscilação diminuem ao longo do tempo em um sistema que apresenta amortecimento viscoso Alguns autores referemse também a esse comportamento como decremento logarítmico Fração de amortecimento Parâmetro que representa a razão entre o valor do amortecimento do sistema e o amortecimento crítico Frequência de oscilação amortecida Em sistemas subamortecidos é a frequência de oscilação do sistema Nos casos de amortecimento crítico e superamortecido não há sentido falar de frequência porque o movimento é aperiódico bcrit bcrit 2km bcrit 2mωn 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2153 Rotacione a tela Em que é a frequência angular natural do sistema Rotacione a tela A fração de amortecimento é calculada por Rotacione a tela Seu valor pode ser menor igual ou maior que indicando que o sistema é respectivamente subamortecido criticamente amortecido e superamortecido Se não há amortecimento Nos sistemas subamortecidos Menor valor de Quanto menor for o valor de mais oscilações o sistema apresenta A dissipação de energia é menor ao longo do tempo e assim a transferência de energia entre a massa cinética para a mola potencial é menos afetada Maior valor de Conforme o valor de aumenta a dissipação proporcionada pelo amortecedor também é maior Na prática o amortecedor viscoso esquenta e a energia é dissipada em forma de calor A frequência de oscilação amortecida é dada por Rotacione a tela A massa oscilará com essa frequência até atingir a condição de equilíbrio estático Repare que o valor de é menor do que o de Não há um motivo físico para tratar de frequência em sistemas criticamente amortecido e superamortecido porque ambos são aperiódicos Atenção Não é que a frequência seja nula simplesmente não há frequência porque o sistema não é oscilatório Portanto não se preocupe com o termo dentro do radical na equação de wd porque ele será sempre positivo A equação só tem representação na física do problema quando Se a equação perde o sentido e não deve ser utilizada O período de oscilação desse sistema é calculado pela equação Rotacione a tela ωn ωn k m ζ ζ b bcrit ζ 0 ζ ζ ζ ζ ωd ωd ωn1 ζ2 m ωd ωn 0 ζ 1 ζ 1 τd 2π ωd 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2253 E o decremento logarítmico é calculado pela equação Rotacione a tela A imagem a seguir mostra o gráfico de três sistemas I subamortecido II criticamente amortecido e III superamortecido A massa foi deslocada de sua posição de equilíbrio e liberada para oscilar até a energia do sistema ser dissipada pelo amortecedor Gráficos de um sistema I subamortecido II criticamente amortecido e III superamortecido Quanto maior for o amortecimento menores serão as oscilações subsequentes e as frequências de oscilação amortecidas e o tempo de estabilização também diminui veja na imagem a seguir Gráficos para 02 04 e 06 Características das oscilações amortecidas δ 2πζ 1 ζ2 ζ 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2353 Neste vídeo será apresentada uma abordagem matemática das oscilações mecânicas amortecidas enfatizando o decaimento exponencial a frequência natural do sistema massamola e o efeito da rigidez da mola O movimento de um corpo que oscila com amortecimento decai ao longo do tempo por conta da dissipação de energia provocada pelo atrito Enquanto a massa é deslocada de sua posição de equilíbrio a energia potencial da mola aumenta com sua distensão Ao ser liberada parte da energia cinética da massa é consumida pelo amortecedor parte é transferida para a mola Assim quanto mais energia o amortecedor consome mais rápido a massa para de oscilar Esse comportamento é evidente nos gráficos apresentados na imagem anterior para diferentes frações de amortecimento O amortecimento viscoso produz um movimento que decai exponencialmente com o tempo Os picos de oscilação estão sobre uma curva exponencial como ilustrado na imagem a seguir Gráfico do deslocamento da massa ao longo do tempo Tal decaimento exponencial é uma propriedade do sistema porque depende diretamente da fração de amortecimento Essa fração é calculada também em função da frequência natural Todas essas grandezas dependem dos três parâmetros do sistema Massa Massa da mola Constante de rigidez Característica da mola Constante de amortecimento Própria do amortecedor m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2453 Vamos ver o que acontece quando esses parâmetros são mudados sendo a mola substituída por outra mais rígida A frequência natural é calculada por Rotacione a tela É esperado então um aumento da frequência de oscilação ou seja a massa irá oscilar mais Na imagem a seguir é ilustrado o gráfico do deslocamento da massa de três osciladores diferentes entre si apenas pela rigidez da mola Efeito da rigidez da mola no comportamento da massa Além do aumento da frequência notase que o primeiro pico de oscilação é maior a mola armazena mais energia potencial para um mesmo deslocamento A mudança de rigidez da mola também afeta o valor da frequência de oscilação amortecida que também aumenta por dois motivos 1 na expressão do cálculo de a fração de amortecimento é elevada ao quadrado e por isso a diferença dentro do radical resulta em um valor menor o radicando é maior 2 a frequência natural aumenta com o aumento da rigidez e na fórmula de a frequência natural aparece como elemento multiplicador Veja a expressão Rotacione a tela Agora observe a tabela Caso 1 k 2 4k ωn k m ωd ωd ωd ωd ωn1 ζ2 kmola bcrit ωn ζ ωd 2km k m b 2km ωn1 ζ2 4km 2 k m 1 2 b 2km 2ωn1 ζ2 4 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2553 Caso 3 8k Tabela Comparação entre as grandezas do sistema para cada valor de rigidez da mola Ricardo Teixeira da Costa Neto E se agora a massa aumentar O raciocínio é análogo Caso 1 m 2 4m 3 8m Tabela Comparação entre as grandezas do sistema para cada valor da massa Ricardo Teixeira da Costa Neto A situação agora muda porque a frequência natural diminui Ao observar a fórmula usada para seu cálculo a diminuição é evidente porque a massa está no denominador do radicando Atenção Não pense só na expressão de Um engenheiro nunca deve perder de vista o fenômeno físico a fórmula é uma representação matemática de algo que acontece no sistema O fato é que a frequência natural diminui com o aumento da massa porque a inércia aumenta É sempre mais difícil deslocar um corpo mais pesado porque dessa forma é preciso mais energia o que por fim torna o sistema mais lento Observe a imagem a seguir enquanto o oscilador com massa já atingiu a posição de equilíbrio os sistemas com massa e ainda estão oscilando Comportamento de três osciladores com massas e E assim a dissipação da energia promovida pelo amortecedor também é mais lenta Enquanto as molas reagem às variações no deslocamento que lhes é imposto amortecedores viscosos reagem às variações de velocidade Se a massa se move mais devagar a dissipação de energia no kmola bcrit ωn ζ ωd 42km 22 k m 1 22 b 2km 22ωn1 kmola bcrit ωn ζ ωd 2km k m b 2km ωn1 ζ2 4km 1 2 k m 1 2 b 2km ωn 2 1 ζ2 4 42km 1 22 k m 1 22 b 2km ωn 22 1 ζ 8 ωn m 4m 8m m 4m 8m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2653 amortecedor também será mais lenta Oscilações amortecidas por atrito seco Neste vídeo será abordado o caso das oscilações mecânicas amortecidas devido ao atrito seco O comportamento linear da dissipação da energia será apresentado A outra forma de dissipação mais conhecida é a dissipação por atrito seco ou atrito de Coulomb Esse atrito surge quando dois corpos deslizam sobre superfícies secas Para que o movimento seja possível devemos ter uma força agindo sobre o corpo que supere a resistência ao movimento causada pelo atrito Isso ocorre em duas etapas Atrito estático A primeira etapa é associada à necessidade de vencer a resistência ao movimento proporcionada pelo atrito estático Atrito cinético Uma vez que o corpo começa a se mover sendo então a segunda etapa o valor da resistência cai e agora temos o atrito cinético Nos sistemas em que a dissipação se dá por atrito seco o decaimento das oscilações não é exponencial mas sim linear linhas traçoponto na imagem a seguir Comportamento do sistema quando há atrito seco Outra característica do sistema amortecido por atrito seco é que a massa vai parar subitamente ao contrário do amortecimento viscoso onde a amplitude da oscilação diminui até que a massa pare Isso ocorre porque a dissipação promovida pelo atrito é causada por uma força que se mantém constante e sempre oposta à direção do movimento enquanto a força de inércia e a força restauradora da mola diminuem com o tempo entenda a seguir 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2753 Força de inércia Cai porque ao longo do tempo de movimento a aceleração da massa diminui Força restauradora Diminui porque o deslocamento também diminui com o tempo Quando a ação de ambas é menor que a força de atrito a massa para repentinamente Quanto ao período de oscilação é o mesmo do sistema harmônico sem amortecimento Rotacione a tela Comparação entre atrito seco e atrito viscoso Neste vídeo será apresentada a oscilação mecânica amortecida devido aos atritos seco ou de Coulomb e viscoso Também iremos observar a comparação entre as duas possibilidades de amortecimento a partir da posição e da velocidade do sistema massamola com o tempo Agora que você já conheceu os dois tipos de dissipação mais encontrados em vibrações de sistemas mecânicos vamos comparálos Usaremos o modelo de massamolaamortecedor de um grau de liberdade que é simples e didático mas de onde se pode obter muitas informações Se uma massa é deslocada de sua posição de equilíbrio e liberada com velocidade inicial nula seu comportamento oscilatório será diferente quando a energia for dissipada por meio viscoso ou por atrito de Coulomb ou atrito seco Essa diferença é ilustrada na imagem a seguir Comportamento oscilatório da velocidade do sistema quando há atrito viscoso comparado a outro igual quando há atrito de Coulomb τμ 2π ωn 2π m k 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2853 O experimento consiste em pôr duas massas iguais vinculadas a molas iguais sendo que uma é acoplada a um amortecedor viscoso e outra posta para oscilar sobre uma superfície seca Vêse a diferença de decaimento exponencial para o amortecimento viscoso e linear para o amortecimento de Coulomb Há ainda a diferença entre as posições finais que se deve à parada abrupta da massa quando as forças de inércia e restauradora da mola somadas não são suficientes para vencer a força de atrito seco Essa parada abrupta é evidenciada quando se observa os gráficos das variações de velocidades lineares das duas massas como pode ser visto na imagem a seguir A velocidade da massa sujeita a atrito seco cai a zero de repente em A massa vinculada a um amortecedor viscoso continua oscilando por mais tempo até parar com decaimento também exponencial Comportamento oscilatório da velocidade do sistema quando há atrito viscoso comparado a outro igual quando há atrito de Coulomb Nos dois casos a frequência natural é a mesma Somente no caso do sistema com amortecimento viscoso contudo é que há sentido em falar sobre frequência de oscilação amortecida Porém no sistema com amortecimento seco há o parâmetro chamado decaimento por ciclo calculado pela expressão Rotacione a tela Esse decaimento representa o quanto a amplitude de deslocamento diminui a cada período observe na imagem a seguir Decaimento linear de um sistema amortecido por atrito de Coulomb Considerando que em o deslocamento é igual a em o deslocamento é igual a e assim por diante temse que Δx t t1 δC 4 μkmg k t1 x1 t2 x2 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 2953 Rotacione a tela No caso do sistema com amortecimento viscoso com e representado na próxima imagem o decremento logarítmico é calculado pela equação Rotacione a tela Mas agora as oscilações subsequentes são calculadas por meio de uma equação exponencial Rotacione a tela Após a jésima oscilação sendo um número inteiro positivo temse que Rotacione a tela Então na 22ª oscilação por exemplo Rotacione a tela Acompanhe na imagem Decaimento exponencial de um sistema subamortecido por atrito viscoso O amortecimento é um fenômeno complexo e há de vários tipos Em muitos casos o amortecimento não pode ser prontamente identificado e deve ser deduzido em experimentos Relações de causa e efeito x2 x1 δC x3 x2 δC x4 x3 δC ζ 1 δD 2πζ 1 ζ2 x2 x1eδD j xj1 x1ejδD x22 x1e21δD 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3053 Neste vídeo será apresentada a vibração mecânica forçada em que a força aplicada ao sistema oscilatório será discutida Até agora o assunto foi tratado sem que as forças envolvidas nos movimentos fossem consideradas Antes de entrarmos no assunto de vibrações forçadas é preciso antes estabelecer alguns conceitos sobre as relações de causa e efeito as chamadas relações de causalidade Vamos começar com a 2ª Lei de Newton cuja expressão mais usada é Rotacione a tela Já ouvimos várias vezes que essa equação significa força igual à massa multiplicada pela aceleração Será somente isso Qual é o significado dessa equação e o que isso tem a ver com as relações de causalidade Essa equação tem um significado físico e embute nela uma relação de causalidade Para entender melhor como isso acontece passe a ler equações da direita para a esquerda Assim Causa É tudo que estiver à direita do sinal de igualdade Efeito É tudo que estiver à esqueda do sinal de igualdade Sendo assim Se escrevo estou dizendo que uma massa quando sujeita a uma aceleração produz uma força de inércia Mas eu posso mudar as variáveis de lugar obtendo outra expressão Rotacione a tela Agora a causa é outra Uma força aplicada a uma massa produz uma aceleração As equações são equivalentes e por isso posso trocar as variáveis de lugar Só que o fenômeno físico representado é outro Engenheiros e matemáticos trabalham juntos para tentar de alguma forma representar fenômenos naturais Diz a história que Pitágoras se interessou por fenômenos oscilatórios quando ao passar por uma forja percebeu que havia alteração no som que ouvia quando ferreiros batiam seus martelos em momentos diferentes F m a F m a m a F a 1 m F F m a 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3153 Então Pitágoras observou um fenômeno físico e tentou representálo matematicamente As equações usadas em cálculos de engenharia resultam de fenômenos físicos não o oposto O que se deseja é representar um fenômeno físico por meio de uma expressão matemática As equações são equivalentes e por isso posso trocar as variáveis de lugar Só que o fenômeno físico representado é outro Você já deve ter lido ou ouvido alguém dizer que os planetas do Sistema Solar obedecem às leis de Kepler mas é pouco provável que Marte Júpiter ou Saturno saibam quem foi Johannes Kepler O brilhante astrônomo alemão formulou as três leis fundamentais da mecânica celeste a partir de observações do movimento dos astros ele não os obrigou a se mover segundo suas equações Voltando aos nossos sistemas oscilatórios vamos começar com o pêndulo simples Sua posição de equilíbrio é aquela em que o fio repousa em posição vertical Para isso ocorre o seguinte Causa O pêndulo fica em posição de equilóbrio até que seja deslocado 1ª Lei de Newton o deslocamento é a causa do movimento Efeito Ao ser liberado o pêndulo passa a oscilar esse é o efeito indefinidamente se não há qualquer tipo de atrito Na prática no entanto existe atrito da massa com o ar a dissipação de energia o que reduz a amplitude do movimento até parar Em um sistema massamolaamortecedor por exemplo temos dois elementos elásticos a mola e o amortecedor e uma inércia a massa Cada elemento elástico é representado por uma expressão matemática segundo a natureza do funcionamento de cada um Uma mola reage quando é deslocada produzindo uma força de restauração se a mola é comprimida se distenderá quando liberada se é distendida voltará a sua condição natural chamada de indeformada Sua força sempre terá sentido oposto ao deslocamento d que lhe é imposto m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3253 Assim temos sua equação constitutiva Rotacione a tela O amortecedor viscoso reage quando é deslocado mas a diferença é que a força produzida é proporcional à velocidade do deslocamento Daí sua equação constitutiva é Rotacione a tela Por último a massa Por ser um corpo rígido é preciso recorrer à 2ª Lei de Newton Nesse caso a razão do movimento é a força resultante que lhe é imposta Temse então sua equação de movimento Rotacione a tela Agora temos as relações de causa e de efeito estabelecidas como podemos ver a seguir Nesse campo da engenharia vibrações mecânicas molas e amortecedores são conhecidos pelo termo elementos complacentes Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos Questão 1 Em um oscilador harmônico subamortecido por atrito viscoso a mola é substituída por outra duas vezes mais rígida enquanto a massa e o amortecedor são mantidos Comparando o sistema modificado com o original o número de oscilações em um mesmo intervalo de tempo e o período respectivamente Fk kδ v Fd bv m a 1 m Fresultante Molas reagem com uma força quando sujeitas a um deslocamento Amortecedores viscosos reagem com uma força quando há diferença entre velocidades em seus pontos de acoplamento Corpos rígidos aceleram quando submetidos a forças 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3353 Parabéns A alternativa A está correta Se a rigidez da mola aumenta a frequência natural do sistema também aumenta e assim o número de oscilações também aumenta em um mesmo período de tempo Se há mais oscilações em um mesmo intervalo de tempo o período diminui Questão 2 Um oscilador harmônico amortecido por atrito viscoso e um amortecido por atrito de Coulomb com massas e molas iguais são deslocados de 05 de suas posições de equilíbrio e postos para oscilar Considere Sabendo que e o decaimento do sistema amortecido por atrito viscoso e o decaimento do sistema amortecido por atrito de Coulomb são respectivamente Parabéns A alternativa D está correta As expressões de cada decaimento são A aumenta e diminui B aumenta e aumenta C aumenta e permanece o mesmo D permanece o mesmo e aumenta E permanece o mesmo e diminui m g 9 81ms2 m 320kg k 8000Nm b 1280Nsm μk 0 255 A 040 e 006 B 040 e 023 C 040 e 274 D 274 e 023 E 274 e 040 δD 2πζ 1 ζ2 δC 4 μkmg k 21112023 1526 Introducao a vibracao Substituindo os valores do enunciado temos co P18 2Vkm 248000 x 320 2 4 bp 2m 2n04 274 J1 V1 04 bRMG 015 x 320 x 981 dc 4 4x Ca 023m a a hohe Cale N x With Been p Wet ss ee be WP See ere UN i SY FAG 5 a ne s ht SS Si 35 Movimentos excitados harmonicamente Ao final deste mddulo vocé sera capaz de reconhecer os sistemas oscilatrios de um grau de liberdade submetidos a esforcos externos sistemas oscilatorios de um grau de liberdade Neste video serao abordados os principais aspectos tedricos e matematicos das vibragdes forgadas Os regimes permanente e transiente serao conceituados Osciladores harménicos desbalanceados serao apresentados bem como suas principais relagdes matematicas Para assistir a um video sobre o assunto acesse a verso online deste conteudo 0 Vibracoes forcadas Neste video sera apresentado o estudo matematico das vibragdes forcadas A equacao diferencial que rege o fendmeno fisico para um sistema massamola com um grau de liberdade sera descrita bem como solugées particulares httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3453 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3553 Vibrações forçadas são as que ocorrem sob a excitação de forças externas Quando essa excitação é oscilatória o sistema vibra na frequência de excitação Por isso é preciso conhecer de antemão quais são as frequências naturais do sistema Se a frequência de excitação coincidir com qualquer uma das frequências naturais do sistema ocorre a ressonância A ressonância é um fenômeno que pode levar as estruturas ao colapso Na história da aviação por causa da ressonância dois acidentes um em 1959 outro no ano seguinte ocorreram com aeronaves comerciais modelo Electra quadrimotores que caíram porque em ambos os casos uma das asas se desprendeu durante o voo A excitação harmônica é muitas vezes produzida por desequilíbrio em máquinas rotativas e pode ser uma força ou um deslocamento de um ponto do sistema Vamos recorrer mais uma vez ao sistema massamolaamortecedor de um grau de liberdade imagem a seguir Partese do diagrama de corpo livre para deduzir a equação diferencial do sistema Diagrama de corpo livre do sistema massamolaamortecedor de um grau de liberdade Da 2ª Lei de Newton temos Rotacione a tela A velocidade no amortecedor é igual à derivada do deslocamento da mola no tempo Ambos estão submetidos ao mesmo deslocamento Arrumando a equação temos Rotacione a tela Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e a solução é a soma da solução da equação homogênea com a solução da equação particular mx F0 sin ωt kx bx mx bx kx F0 sin ωt 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3653 A solução homogênea é a mesma do caso de vibrações livres Rotacione a tela A solução geral para sistemas subamortecidos é Rotacione a tela As constantes e são determinadas pelas condições iniciais e respectivamente a posição inicial e a velocidade inicial Rotacione a tela O termo exponencial na expressão de é o amortecimento enquanto o termo entre parênteses representa o movimento oscilatório Caso o amortecedor seja removido não há motivo para falar de frequência de oscilação amortecida ou de fração de amortecimento Assim a solução homogênea tornase Rotacione a tela E agora Rotacione a tela Se o sistema for superamortecido não há oscilações e a equação geral é Rotacione a tela Sendo Rotacione a tela Rotacione a tela Se for o caso de amortecimento crítico além de não haver movimento oscilatório a equação é mx bx kx 0 xt eζωnt B1 sen ωdt B2 cos ωdt B1 B2 x0 x0 B1 x0 ζωnx0 ωd B2 x0 xt xt A1 sen ωnt A2 cos ωnt A1 x0 ωn A2 x0 xt D1e ζζ21ωnt D2e ζζ21ωnt D1 x0 ζ ζ2 1ωnx0 2ωnζ2 1 D2 x0 ζ ζ2 1ωnx0 2ωnζ2 1 ζ 1 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3753 Rotacione a tela O valor de é Rotacione a tela As situações estão resumidas a seguir Caso Solução da homogênea Constantes SAmort Tabela Equações e constantes representativas da solução homogênea para cada caso Ricardo Teixeira da Costa Neto Quanto à solução particular temse uma oscilação em regime permanente da mesma frequência de excitação Rotacione a tela Na equação anterior é a amplitude de oscilação é a fase do deslocamento com relação à força de excitação Esses valores são calculados quando a equação é substituída na seguinte equação geral Rotacione a tela Sendo xt C1eωnt C1 C1 x0 ωnx0t x0 xt A1 sen ωnt A2 cos ωnt A1 x0 ωn A2 x0 ζ 1 xt eζωnt B1 sen ωdt B2 cos ωdt B1 x0 ζωnx0 ωd B2 x0 ζ 1 xt C1eωnt C1 x0 ωnx0t x0 ζ 1 xt D1eζζ21ωnt D2eζζ21ωnt D1 x0 ζ ζ2 1ωnx0 2ωnζ2 1 D2 x0 ζ ζ2 1ωnx0 2ωnζ2 1 ω xt X senωt ϕ X ϕ mx bx kx F0 sen ωt x X senωt ϕ 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3853 Rotacione a tela Rotacione a tela Manipulando algebricamente obtemos as expressões para e Rotacione a tela Rotacione a tela Observe que agora a amplitude e a fase dependem tanto de parâmetros do sistema e quanto da frequência de excitação de base Antes de prosseguirmos é importante apresentar mais dois conceitos Variação com o tempo do deslocamento de um oscilador harmônico em torno de sua posição de equilíbrio Regime transiente Parte do movimento em que o sistema inicialmente em repouso reage a um estímulo às vezes apresentando movimentos oscilatórios irregulares e dura até o amortecedor efetivamente reduzir sua amplitude Na imagem vai de até Variação com o tempo do deslocamento de um oscilador harmônico em torno de sua posição de equilíbrio Regime permanente Parte do movimento que se segue ao regime transiente caracterizado pela condição de equilíbrio O equilíbrio pode ser estático quando o corpo entra novamente em repouso ou dinâmico quando as forças se equilibram mas ainda há movimento oscilatório e o corpo tende a repetir o padrão do estímulo Na imagem começa em x Xω cosωt ϕ x Xω2 senωt ϕ X ϕ X F0 k 1 ω ωn 2 2 2ζ ω ωn 2 ϕ tg1 2ζ ω ωn 1 ω ωn 2 X ϕ m b k ω t 0 t t1 t t1 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 3953 Observe que em regime permanente o oscilador ainda está em movimento só que com amplitude constante devido ao estímulo que recebe Cessando o estímulo o amortecedor dissipará a energia potencial da mola e a energia cinética da massa até cessar o movimento As análises que se seguem são todas em regime permanente Análise do oscilador harmônico sujeito à excitação de base harmônica Neste vídeo será apresentado o oscilador harmônico sujeito à força harmônica descrevendo as relações matemáticas e o gráfico do fator de amplificação Vamos supor que o sistema esteja submetido a uma força harmônica cuja frequência de oscilação é igual à frequência natural condição em que ocorre a ressonância Temos então Rotacione a tela Rotacione a tela Isso mostra que quanto menor é o amortecimento maior será a amplitude de oscilação À medida que o amortecimento tende a zero a amplitude de oscilação aumenta cada vez mais e em um sistema teórico tenderá ao infinito Porém se esse oscilador harmônico é parte de um equipamento suas oscilações em ressonância por sua magnitude podem danificar seu entorno na prática O ângulo de fase indica o atraso do sistema mecânico perante a excitação de base harmônica que lhe é aplicada Isso tem a ver com a inércia do sistema quanto maior a inércia mais tempo se leva para reagir É como empurrar um caixote pesado sobre uma superfície plana você começa a fazer aplicar força e o caixote nem se mexe até que a força que você faz é tal que enfim consegue vencer o atrito e deslocar o objeto Quando a frequência de excitação de base é baixa as forças de inércia e de amortecimento lembrese que o amortecedor reage à velocidade são pequenas para valores de Com isso a força aplicada é aproximadamente igual à força produzida pela mola ω ωn 1 X F0 2ζk X ϕ ωωn 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4053 O movimento oscilatório do sistema praticamente acompanha o movimento oscilatório da força externa Nessas condições o ângulo de fase é pequeno Acontece então que Amplitude aumenta À medida que o valor da frequência se aproxima de a amplitude do movimento oscilatório da massa também vai aumentando Consequência A força de inércia que também aumenta passa a ser cada vez mais equilibrada pela força da mola enquanto a força aplicada vai aos poucos sobrepujando a força de amortecimento Ou seja as oscilações aumentam mas o sistema começa a ficar defasado da força aplicada até que as frequências de excitação e natural se igualam É como se enquanto a força estiver aumentando a massa não conseguisse acompanhar e começasse a chegar atrasada O ângulo de fase agora mede 90 Então Esse comportamento pode ser ilustrado em um gráfico relacionando grandezas adimensionais Gráfico ilustrativo da variação adimensional do deslocamento em função da razão de frequências Temos então ω ωn Depois que a frequência de excitação aumenta muito a força aplicada é consumida quase totalmente para vencer a força de inércia A amplitude de oscilação da massa diminui aos poucos com o aumento de w até se tornar imperceptível ao olho humano Mas se você pudesse tocar o bloco de massa conseguiria perceber que ainda vibra mas em frequência alta m Nessas condições o amortecedor não trabalha porque a velocidade da massa é praticamente nula 21112023 1526 Introducao a vibracao Razao entre frequéncias No eixo das abscissas temos a raz4o entre frequéncias ww E possivel observar com mais propriedade 0 que acontece com o sistema quando a frequéncia de excitagdo w vai aumentando até igualar a frequéncia natural w do sistema e depois passa a ser mais alta Fator de amplificagao No eixo das ordenadas temos a razao kX Fp que compara a forga exercida pela mola quando o descolamento atinge a amplitude X coma magnitude da forga de excitagdo de base Fy Essa razao recebe o nome de fator de amplificagao Quanto maior o valor do pico da curva menor o amortecimento Em engenharia nem sempre se esta interessado em detalhes acerca da variacdo da posicao da velocidade e da aceleracdo ao longo do tempo As vezes 0 comportamento de outro parametro de projeto tal como a velocidade angular de um corpo parametro diretamente associado com frequéncia 6 mais importante Resumindo Usando o grafico da anterior concluise que se deve evitar submeter o oscilador harmdénico a uma forga externa harmonica cuja frequéncia coincida com a frequéncia natural de tal sistema Se isso ocorrer a amplitude de oscilagao comega a aumentar Neste video sera abordado um exemplo classico de desbalanceamento rotativo na engenharia mecanica Sera feito o estudo matematico do fenémeno fisico a partir de uma um sistema massamola desbalanceado Para assistir a um video sobre o assunto acesse a verso online deste conteudo 0 Em maquinas com elementos rotativos devese sempre mantélos balanceados evitando que oscilem mais que o desejado e danifiquem o equipamento O desbalanceamento rotativo 6 uma fonte comum de excitaao vibratoria Observe o sistema da imagem a seguir No oscilador harménico do tipo massamolaamortecedor ha um elemento rotativo desbalanceado representado por uma pequena massa m que gira com velocidade angular w posicionada fora do eixo de rotagao e distando r do centro m Pa ns iY f x ea a oe aa 7 i httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4153 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4253 Oscilador harmônico desbalanceado de um grau de liberdade O oscilador pode se deslocar apenas na vertical e é suportado por duas molas lineares de rigidez cada montadas em paralelo e vinculado a um amortecedor viscoso linear cujo coeficiente de amortecimento é A massa que não gira é igual a e o deslocamento da pequena massa é Rotacione a tela A partir do diagrama de corpo livre e da 2ª Lei de Newton temos a equação de movimento Rotacione a tela Lembrese que são duas massas em movimento linear e por isso há duas parcelas no primeiro membro então Primeira parcela Referese ao movimento da massa do sistema que não gira Segunda parcela Referese ao movimento da massa do sistema que gira No segundo membro da equação estão as forças produzidas pelos elementos complacentes Molas que trabalham em paralelo têm suas respectivas forças somadas diretamente Derivando o termo entre parênteses da segunda parcela do primeiro membro temos Rotacione a tela Substituindo e rearrumando a equação obtemos Rotacione a tela Por fim chegase a Rotacione a tela Essa equação é idêntica àquela em que há uma força externa harmônica perturbadora de magnitude Por isso podemos aplicar o mesmo procedimento para obter a expressão do fator de amplificação e do ângulo de fase k2 b M m m x r sen ωt M mx m d2 dt2 x r sen ωt k 2 x bx k 2 x M m d2 dt2 x r sen ωt x rω2 sen ωt Mx mx mx mrω2 sen ωt kx bx Mx bx kx mrω2 sen ωt F0 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4353 Rotacione a tela Observe que é a magnitude da força centrífuga que provoca o desbalanceamento As curvas da imagem a seguir mostram o comportamento do oscilador para valores diferentes de A curva com maior pico é a que corresponde ao menor amortecimento Gráfico representativo do fator de amplificação de um oscilador harmônico desbalanceado Há dois tipos de desbalanceamento Desbalanceamento estático As massas desbalanceadas estão no mesmo plano O eixo de um disco estreito desbalanceado é apoiado sobre um par de trilhos paralelos horizontais Com isso o disco gira até que a massa de desbalanceamento fique na posição vertical mais baixa possível É por isto que chamamos de estático porque não é preciso fazer o disco girar para verificar que está desbalanceado M m X r ω ωn 2 1 ω ωn 2 2 2ζ ω ωn 2 ϕ tg1 2ζ ω ωn 1 ω ωn 2 mrω2 ζ 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4453 Desbalanceamento dinâmico Há uma única força radial O desbalanceamento dinâmico se apresenta em mais de um plano e como resultado temos uma força e um momento oscilante Se agora há dois discos iguais com massas de desbalanceamento iguais e dispostas defasadas de 180 o sistema está balanceado estaticamente porque uma massa compensa o efeito da outra Contudo quando o eixo é posto para girar cada disco desenvolve uma força centrífuga A tendência é fazer o eixo oscilar em seus mancais de apoio Quem leva o carro a uma oficina para trocar os pneus é informado que as rodas precisavam ser balanceadas isto é o pneu novo montado na roda é posto para girar em uma máquina balanceadora de rodas O operador verifica no mostrador da máquina a posição correta para instalar pequenas massas na superfície interna do aro da roda Essas massas servem para manter o conjunto rodapneu balanceado É como se na imagem em que aparesenta o balcanceamento estático anteriormente outra massa fosse colocada em oposição à massa para anular seu efeito de desbalanceamento a força produzida por essa nova massa cancela o efeito da outra Pense agora em uma máquina de lavar roupas Se durante a fase de centrifugação as roupas estiverem mal distribuídas o tambor vai oscilar bastante o que pode comprometer a vida útil do equipamento Por isso antes de entrar no modo de rotação contínua o sistema de controle acelera e desacelera o tambor repetidas vezes por curtos períodos de tempo parando e eventualmente invertendo o sentido de giro redistribuindo as roupas até chegar a uma condição satisfatória de centrifugação m 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4553 Excitação de base ou movimento de base Neste vídeo será feita a abordagem matemática de um oscilador com excitação de base apresentando exemplos clássicos Eis um caso curioso para entendermos o conceito de excitação ou movimento de base Uma mulher que morava no primeiro andar de um prédio em que havia uma lanchonete logo abaixo de seu apartamento certa vez convidou o gerente do estabelecimento para tomar um café em sua casa Quando o homem chegou ela pediu que ele se sentasse em um sofá enquanto enchia com café uma xícara que colocara em cima de sua mesa de centro O gerente então percebeu que a xícara vibrava muito sobre o pires produzindo um tectectec irritante E enquanto o observava a mulher disselhe calmamente Essa vibração vem do piso O que ela não sabia é que o motor do exaustor da coifa da cozinha da lanchonete ficava montado em um suporte aparafusado logo abaixo de sua sala de estar Por sorte o gerente era um profissional consciente e além de mudar o suporte do motor recomendou que a mesma ação fosse feita em outras lojas da rede situadas em prédios residenciais Outro exemplo de excitação de base esse mais assustador é um terremoto 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4653 Agora que você está ciente do que é uma excitação de base vamos ver como representar esse fenômeno físico por equações Usaremos mais uma vez nosso conhecido oscilador harmônico amortecido de um grau de liberdade imagem a seguir em que é o deslocamento harmônico da base e o deslocamento da massa medido a partir de uma referência fixa As forças de desbalanceamento se devem ao amortecimento e às molas Oscilador harmônico sujeito à excitação de base A força de cada mola é calculada por Rotacione a tela A força do amortecedor é Rotacione a tela Temse a equação de movimento Rotacione a tela Arrumando os termos obtemos Rotacione a tela Desta equação chegase ao valor do fator de amplificação e ao do ângulo de fase Rotacione a tela As curvas ilustradas na imagem a seguir mostram a razão entre a amplitude de deslocamento da massa m do oscilador harmônico em função da razão entre a frequência de excitação de base e a frequência natural do sistema y x m Fk k 2 y x Fb by x mx 2Fk Fb ky x by x mx bx kx ky by X Y 1 2ζ ω ωn 2 1 ω ωn 2 2 2ζ ω ωn 2 ϕ tg1 2ζ ω ωn 3 1 ω ωn 2 2ζ ω ωn 2 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4753 Gráfico do fator de amplificação do oscilador harmônico sujeito à excitação de base A curva que apresenta o maior valor de pico é a que corresponde ao sistema mais subamortecido Se o amortecimento aumenta os valores de pico ficam cada vez menores com curvas mais suaves Mas o que cada curva representa na prática Vamos dividir a análise em três etapas No eixo das abscissas a primeira etapa compreende os valores de no intervalo de zero até quase chegar a 1 Rotacione a tela À medida que a frequência de excitação de base aumenta e se aproxima de a amplitude de oscilação aumenta em relação à amplitude constante da excitação de base Quanto mais subamortecido é o sistema maior é a amplitude de oscilação ou seja a massa vibra mais Quando ocorre ressonância e agora temos Rotacione a tela Esse valor é maior que 1 mas decresce com o aumento do amortecimento A segunda etapa é a que corresponde ao intervalo Rotacione a tela O fator de amplificação começa a diminuir até igualar 1 Nessa situação a massa oscila com a mesma amplitude da excitação de base A partir daí temse a terceira etapa Rotacione a tela XY ωωn 0 ω ωn 1 ωh X Y X m ωωn 1 X Y 1 2ζ 1 4ζ2 1 ω ωn 2 m ω ωn 2 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4853 O sistema agora irá oscilar em frequência alta mas com amplitudes cada vez menores porque a força de inércia é mais alta ou seja o movimento é atenuado O conceito de transmissibilidade Neste vídeo será apresentado o conceito de transmissibilidade em vibrações mecânicas além da relação matemática Exemplos e situações na engenharia serão descritos A compreensão do comportamento de um sistema simples como o massamolaamortecedor ou como o pêndulo simples facilita a análise de sistemas mecânicos complexos Até agora você foi apresentado a gráficos e curvas que representam a resposta do sistema a estímulos diferentes força externa harmônica desbalanceamento periódico e excitação de base harmônica Em todos esses casos quando a frequência de excitação se aproxima da frequência natural do sistema a amplitude de oscilação da massa aumenta conhecida como análise no domínio da frequência porque é feita a partir da comparação entre a frequência do estímulo e a frequência natural Esse aprendizado é fundamental em projetos de máquinas oscilatórias e de suas instalações como se deve reduzir a transmissão de vibrações nos dois sentidos Máquinas operatrizes assim como centros de usinagem tornos convencionais retificadoras dentre outros devem ser isoladas de vibrações provenientes do piso da indústria onde estão instaladas principalmente máquinas operatrizes de alta precisão pois qualquer perturbação externa pode influenciar o acabamento de uma peça É preciso também isolar a vibração que se origina no equipamento atenuando seus efeitos sobre a base onde é montada Por exemplo motores que servem a geradores de energia são montados sobre coxins tipo de apoio com elementos elásticos geralmente borracha para que a trepidação que produzem enquanto trabalham não seja transmitida para o piso Para entender de fato o efeito de um sistema de isolamento de vibrações é preciso avaliar a transmissibilidade ou seja o quanto uma força é amplificada tanto do equipamento para o piso quanto do piso para o equipamento A transmissibilidade é dada por Rotacione a tela TR Ftr F0 1 2ζ ω ωn 2 1 ω ωn 2 2 2ζ ω ωn 2 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 4953 Rotacione a tela O gráfico que representa a transmissibilidade é o mesmo da imagem anterior porque a expressão é a mesma empregada para a excitação de base Contudo agora vamos chamar atenção para o amortecimento que será representado na imagem a seguir Gráfico da transmissibilidade em função da razão entre frequências Acompanhe o gráfico e entenda a seguir ωωn Antes desse ponto quanto maior o amortecimento menor a transmissibilidade ω ωn 2 Depois desse ponto a situação se inverte Maior amortecimento não reduz a transmissibilidade e sim aumenta como podemos ver no gráfico na região de atenuação com ωωn 2 TR 1 Na prática se o equipamento trabalha em um regime em que a frequência de excitação é alta recomendase usar um isolamento flexível e de baixo amortecimento Em alguns casos adotase um sistema de isolamento com molas metálicas ωωn 2 Se o equipamento opera em condições de é desejável adotar um sistema de isolamento em que o amortecimento seja o mais alto possível Ainda assim o equipamento apresentará oscilações significativas porque opera na região em que ωωn 1 TR 1 Q d f ê i d it ã i id f ê i t l d i t t i t i ibilid d ωωn 1 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 5053 Sendo a transmissibilidade Rotacione a tela A massa do oscilador harmônico também influencia os valores de Quanto maior for a massa maior será a transmissibilidade para um mesmo valor de e de Podemos verificar o efeito da massa usando a expressão da transmissibilidade na condição de ressonância Rotacione a tela A partir da expressão obtemos a relação direta com a massa Assim o princípio básico para isolar a vibração está em selecionar uma base de isolamento de rigidez de forma que a frequência natural do sistema massamolaamortecedor seja consideravelmente menor que a menor frequência produzida pelo estímulo aplicado em sua base Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos Questão 1 O gerador elétrico mostrado na imagem a seguir à esquerda está montado sobre uma base com quatro molas iguais e um amortecedor viscoso submetido a uma excitação de base Esse gerador está ligado a uma turbina hidráulica não mostrada Se a oscilação for muito grande pode causar danos ao eixo que une as duas máquinas precisando estar dentro do valor considerado aceitável de O departamento de engenharia não conseguiu determinar a causa da excitação de base Sua frequência varia aleatoriamente no intervalo de Assim o departamento resolveu pôr um amortecedor que permite até três regulagens de coeficiente de amortecimento e O resultado são frações de amortecimento distintas respectivamente e É correto afirmar que a melhor regulagem é a que tem coeficiente de amortecimento Quando a frequência de excitação coincide com a frequência natural do sistema temse maior transmissibilidade TR 1 2ζ2 2ζ2 m TR k b TR 1 2ζ2 2ζ2 1 2 b 2km 2 2 b 2km 2 1 b2 km b2 km km b2 b2 y XY 1 5 ω 0 8 ωn 2 0 b1 b2 b3 ζ1 ζ2 ζ3 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 5153 Parabéns A alternativa C está correta Os sistemas subamortecidos proporcionam melhor atenuação de vibrações na faixa em que a razão entre as frequências de excitação e natural do sistema é mas não são tão eficientes quando a razão assume valores maiores Entretanto como o objetivo aqui é o de atenuar as vibrações a melhor regulagem é aquela em que o amortecedor tem coeficiente igual a Isso porque consegue manter a razão na faixa de razão entre frequências mais baixa e atenuar o suficiente na faixa em que Questão 2 Calcule o valor da razão entre a frequência de excitação de base e a frequência natural de um oscilador harmônico subamortecido por atrito viscoso quando a transmissibilidade é igual a 1 Parabéns A alternativa D está correta A expressão para calcular transmissibilidade é A porque atenua oscilações quando b1 ω ωn B porque atenua oscilações em todo o intervalo principalmente quando b1 ω ωn2 C porque melhor atenua oscilações quando e ainda que não atenue tanto após esse valor mantém o padrão b2 ω ωn2 XY 1 5 D porque mais bem atenua oscilações quando ainda que não atenue tanto após esse valor b3 ω ωn2 E porque torna o sistema mais amortecido em qualquer faixa de frequência b3 ωωn 2 b2 XY 1 5 ωωn 2 A 12 B 22 C 1 D 2 E 22 TR Ftr F0 12ζ ω ωn 2 1 ω ωn 2 2 2ζ ω ωn 2 21112023 1526 Introducao a vibracao Igualando a 1 temse 2 1 22 wW 2 wW 2 1 32 268 w 2 2 1 2 w 2 w 2 w 2 or La lt 2G JL 2 2 2 Wn Wn Wn 1 32 268 w w w wW 1 1 2 12 1 25y2 Wn Wn Wn Wn Abordamos a parte conceitual de vibragdes de sistemas mecanicos bem como seus termos e definicdes Vimos a importancia de conhecer as frequéncias naturais de um sistema e o fendmeno da ressonancia Nos sistemas com mais graus de liberdade por meio do exemplo do péndulo acoplado estudamos os modos de vibragao e o fendmeno do batimento Passamos pelos sistemas oscilatérios amortecidos por meio de atrito viscoso e os conceitos de frequéncia de oscilagao amortecida e fragao de amortecimento Observamos o decaimento da amplitude de oscilagao nos sistemas com subamortecimento viscoso e aqueles amortecidos por atrito de Coulomb Tratamos por fim dos sistemas de um grau de liberdade excitados harmonicamente por vibragdes forcadas por desbalanceamento rotativo e por movimento de suporte Foram apresentadas as curvas que mostram a variacao do fator de amplificagcao em fungao da razao entre frequéncia de excitacao e natural Serao abordados os conceitos relacionados a vibragdo mecanica explicando os principais fendmenos fisicos envolvidos Em complemento serao apresentados os aspectos relevantes de sistemas oscilatérios nado conservativos em particular o efeito dissipativo sobre 0 periodo de oscilagées desses sistemas Por fim sera abordada a oscilagao forcada para o caso particular de apenas um grau de liberdade Para ouvir 0 dudio acesse a versao online deste conteuido Explore httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 5253 21112023 1526 Introducão à vibracão httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07139indexhtml 5353 Você pode aumentar seu conhecimento sobre o assunto digitando vibrações mecânicas no Google Scholar Além de dicas de livros sobre essa área do conhecimento observe a grande variedade de trabalhos em diversos assuntos inclusive na área de desempenho esportivo Outra área interessante é a relacionada com patentes No endereço do Instituto Nacional da Propriedade Industrial INPI procure o campo Contenha selecione Todas as palavras e digite no espaço ao lado massageador Você terá acesso gratuito a diversas patentes que usam aparelhos cujo princípio de funcionamento é baseado em vibrações mecânicas utilizados para tratamentos musculares e lesões Referências BEER F P JOHNSTON JUNIOR E R Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre AMGH 2012 MEIROVITCH L Fundamentals of vibrations Nova York McGrawHill 2010 RAO S S Vibrações mecânicas 4 ed São Paulo Pearson Universidades 2008 THOMSON W T Teoria da vibração com aplicações Rio de Janeiro Interciência 1978 Material para download Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato PDF Download material O que você achou do conteúdo Relatar problema