Tipos de Vibração: Análise de Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade

21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 187 Tipos de vibração Prof Ricardo Teixeira da Costa Neto Descrição Você será apresentado às relações existentes entre os movimentos de sistemas com mais de dois graus de liberdade e aos tipos de vibrações que ocorrem em elementos contínuos tais como cabos vigas e eixos Propósito O entendimento das relações entre o movimento de corpos peças e elementos quer estejam interconectados ou não é substancial para que o profissional da área de mecânica esteja apto para dimensionar máquinas que executem movimentos repetitivos Objetivos Módulo 1 Sistemas com mais de dois graus de liberdade Reconhecer o comportamento dos sistemas oscilatórios de múltiplos graus de liberdade e suas frequências naturais Módulo 2 Vibrações em vigas e barras considerando rigidez equivalente Reconhecer o comportamento de elementos contínuos quando tratados como elementos elásticos com rigidez equivalente 21112023 1532 Tipos de vibragao Médulo 3 Vibragoes em meio continuo Reconhecer as frequéncias naturais e os modos de vibragao de meios continuos Ola Antes de comecarmos assista ao video e conhega os conceitos de sistemas com mais de dois graus de liberdade vibragdes em vigas e barras considerando rigidez equivalente e vibragdes em meio continuo Para assistir a um video sobre o assunto acesse a verso online deste conteudo 0 4 g eo i bh yy a i 3 4 a Ld r a e De eee i Port 4 e 1 Sistemas com mais de dois graus de liberdade Ao final deste mddulo vocé sera capaz de reconhecer o comportamento dos sistemas oscilatdrios de multiplos graus de liberdade e suas frequéncias naturais httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 14 1indexhtml 287 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 387 Os sistemas oscilatórios de múltiplos graus de liberdade Neste vídeo conheça os sistemas de três e quatro graus de liberdade e também os conceitos de vibrações não amortecidas e vibrações livres Sistemas com três graus de liberdade não amortecidos Neste vídeo conheça os modos de vibrar de um sistema de três graus de liberdade de translação E também conheça os métodos para calcular suas raízes Sistemas com mais de dois graus de liberdade são conhecidos como sistemas de múltiplos graus de liberdade As frequências naturais e os correspondentes modos de vibrar de sistemas com múltiplos graus de liberdade em que os elementos complacentes mola e amortecedor têm relações constitutivas lineares podem ser encontrados da mesma forma quando já se conhecem as equações de movimento Tais equações são escritas em forma matricial evidenciando as matrizes de inércia e de rigidez Calculase a matriz dinâmica e em seguida seus autovalores a partir da equação característica Ao chegar nessa etapa recomendase o uso de algoritmos para encontrar numericamente raízes de polinômios tendo em vista que a equação característica é de terceiro grau Existem métodos analíticos para encontrar suas raízes por exemplo o método de BriotRuffini mas lembrese de que O grau da equação característica é igual ao número de graus de liberdade e a busca por raízes é mais complicada Imagine uma situação em que haja o oscilador harmônico com três massas vinculadas por meio de molas lineares como na imagem Sistema com três graus de liberdade sem amortecimento Esse sistema tem três graus de liberdade de translação e do diagrama de corpo livre conseguese obter as matrizes Ξ K Ξ1K 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 487 Matriz de inércia Matriz de rigidez Sendo um problema de vibrações livres não amortecidas o sistema de equações de movimento é Rotacione a tela E as frequências naturais são calculadas por meio dos autovalores da matriz Rotacione a tela Obtémse a equação característica do sistema Rotacione a tela Sendo Ξ Ξ m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 K K k1 k2 k2 0 k2 k2 k3 k3 0 k3 k3 k4 Ξ K x1 x2 x3 x1 x2 x3 0 0 0 A Ξ1K detA λI 0 k1k2 m1 λ k2 m1 0 k2 m2 k2k3 m2 λ k3 m2 0 k3 m3 k3k4 m3 λ λ3 αλ2 βλ γ 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 587 Rotacione a tela Essa equação tem três raízes e as frequências naturais são Os modos de vibração são os autovetores correspondentes Admita que Substituindo os valores nas expressões dos coeficientes e obtémse Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela As raízes do polinômio são calculadas numericamente e as frequências naturais são α k1 k2 m1 k2 k3 m2 k3 k4 m3 β k1k2 k1k3 k2k3 m1m2 k1k3 k1k4 k2k3 k2k4 m1m3 k2k3 k2k4 k3k4 m2m3 γ k1k2k3 k1k2k4 k1k3k4 k2k3k4 m1m2m3 ωni λi m1 5kg m1 9kg m1 4kg k1 120Nm k2 135Nm k3 140Nm k4 90Nm α β γ α 136 56 β 5094 44 γ 35666 67 λ3 αλ2 βλ γ 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 687 Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela Os modos normais de vibrar são Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela ω1 3 01rads ω2 7 25rads ω3 8 65rads u1 Ψ1 0 64 1 0 76 u2 Ψ2 1 6 5 103 0 88 u3 Ψ3 0 64 0 57 1 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 787 e e são constantes Lembrese de que é a proporção entre os valores das coordenadas não seus valores absolutos que importa Em cada autovetor entre as três coordenadas a de maior valor absoluto indica qual das três massas tem movimento oscilatório preponderante quando comparado com os movimentos oscilatórios das outras duas Assim no primeiro modo representado pelo autovetor é a coordenada correspondente à massa a de maior valor absoluto Isso significa que quando observamos as amplitudes de oscilação teremos o seguinte Movimentos oscilatórios das massas representados qualitativamente Na imagem apresentada o sombreado por trás de cada massa indica qualitativamente a amplitude de deslocamento de uma das massas em relação às outras duas enquanto as setas indicam o sentido do movimento relativo entre as massas No primeiro modo a massa apresenta maior amplitude de oscilação e as três oscilam em fase na frequência Rotacione a tela No segundo modo quem apresenta maior amplitude de oscilação é a massa Aparentemente a massa não oscila Entretanto observe pelos valores das coordenadas do autovetor desse modo normal que a razão entre as amplitudes de e de é Rotacione a tela Ou seja quando a massa oscilar com amplitude de a massa oscilará com amplitude de Além disso o sinal negativo indica que essas massas oscilam em sentidos opostos fora de fase quando vai para a direita vai para a esquerda e viceversa Quanto à massa sua amplitude de oscilação é comparável à de em módulo mas também oscila em sentido oposto tal qual ocorre com sinais opostos A frequência do sistema nessa situação é Ψ1 Ψ2 Ψ3 u1 m2 u1 m2 ω1 3 01rads u2 m1 m2 m2 m1 X2 X1 6 5 103 1 0 0 0065 m1 1 0cm m2 0 0065cm m1 m2 m3 m1 m2 ω2 7 25rads 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 887 Rotacione a tela No terceiro modo normal a massa que oscila com maior amplitude é Já a massa é a que oscila com menor amplitude e em oposição de fase A massa oscila em fase com e todo o sistema vibra com frequência Rotacione a tela Vibrações não amortecidas três graus de liberdade rotação Neste vídeo conheça o comportamento oscilatório não amortecido de um sistema torcional de três graus de liberdade Na abordagem de um sistema de três graus de liberdade de rotação os discos têm momentos de inércia em torno do eixo que passa por seus centros e e os eixos que os interconectam têm rigidezes e e estão engastados nas extremidades e nos discos Veja Sistema com três graus de liberdade de rotação sem amortecimento As matrizes de inércia e de rigidez são similares às do caso de translação Matriz de inércia Matriz de rigidez A equação característica é a mesma nesse caso sendo os coeficientes calculados em função dos parâmetros e u3 m3 m2 m1 m3 ω3 8 65rads J1 J2 J3 kt1 kt2 kt3 kt4 Ξ K Ξ Ξ J1 0 0 0 J2 0 0 0 J3 K K kt1 kt2 kt2 0 kt2 kt2 kt3 kt3 0 kt3 kt3 kt4 J1 J2 J3 kt1 kt2 kt3 kt4 λ3 αtλ2 βtλ γt 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 987 Rotacione a tela Sendo Rotacione a tela Esse sistema pode ser usado para avaliar vibrações em sistemas torcionais nos quais há equipamentos vinculados por um único eixo Seja por exemplo o gerador elétrico movido por uma turbina a gás O sistema compreende um compressor axial uma turbina axial e um gerador elétrico montados em série Acompanhe na imagem Gerador movido por uma turbina a gás Sistema torcional composto por compressor axial turbina axial e gerador elétrico Entenda o funcionamento αt kt1 kt2 J1 kt2 kt3 J2 kt3 kt4 J3 γt kt1kt2kt3 kt1kt2kt4 kt1kt3kt4 kt2kt3kt4 J1J2J3 βt kt1kt2 kt1kt3 kt2kt3 J1J2 kt1kt3 kt1kt4 kt2kt3 kt2kt4 J1J3 kt2kt3 kt2kt4 kt3kt4 J2J3 1 O compressor admite ar aumenta sua pressão e sua temperatura 2 O compressor envia o ar para uma câmara de combustão não representada na qual o combustível é queimado 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1087 No modelo matemático considerase que Compressor Representado pela inércia Turbina Representada pela inércia Gerador Representado pela inércia E que as rigidezes dos eixos são Rigidez 1 Representado por Rigidez 2 Representado por Os graus de liberdade são os deslocamentos angulares Do impulsor do compressor Representado por Da roda de pás da turbina Representado por 3 Os gases resultantes da queima são direcionados para a turbina movendo suas pás e fazendoa girar 4 O eixo de saída da turbina move tanto o compressor quanto o gerador elétrico que produz energia elétrica J1 J2 J3 kt1 kt1 θ1 θ2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1187 Do rotor do gerador Representado por As matrizes de inércia e de rigidez são Matriz de inércia Matriz de rigidez A equação característica é Rotacione a tela Uma das raízes é nula mostrando que o sistema apresenta movimento de corpo rígido o impulsor do compressor a roda das pás da turbina e o rotor do gerador oscilam em fase com a mesma amplitude Para exemplificar o caso considere os seguintes parâmetros As frequências naturais desse sistema são Rotacione a tela θ3 Ξ K Ξ Ξ J1 0 0 0 J2 0 0 0 J3 K K kt1 kt1 0 kt1 kt1 kt2 kt2 0 kt2 kt2 λ λ2 1 J1 1 J2 kt1 1 J2 1 J3 kt2λ kt1kt2 1 J1 1 J2 1 J3 0 J1 500kgm2 J2 600kgm2 J3 350kgm2 kt1 5 89 106Nrad kt2 1 03 107Nrad ω1 0rads 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1287 Rotacione a tela A matriz modal é Rotacione a tela Assim Então ω2 126 8rads ω3 228 35rads U 1 1 0 225 1 0 365 0 771 1 0 803 1 Na frequência fundamental O movimento é de corpo rígido sistema degenerado Na segunda frequência O movimento oscilatório preponderante é o do impulsor do compressor enquanto os demais oscilam em oposição de fase com ele Na terceira frequência É o rotor do gerador o grau de liberdade que apresenta oscilações observáveis quando comparada com as dos demais e oscila em oposição de fase com a roda das pás da turbina e em fase com o compressor ω2 X2 X1 0 365 X3 X1 0 803 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1387 Rotacione a tela Rotacione a tela Suponha que o sistema é submetido a uma excitação de base que por hipótese é harmônica sen atuando no rotor do gerador Sua causa pode ser por exemplo a força contra eletromotriz advinda da carga dos equipamentos que precisa suprir Temse então o comportamento oscilatório dos equipamentos representado no diagrama do fator de amplificação em função da frequência de excitação Gráfico Comportamento oscilatório dos equipamentos em função da frequência de excitação harmônica aplicada no eixo do gerador Observe que nesse caso há duas frequências de excitação em que a oscilação do rotor do gerador é nula e e uma em que a oscilação da roda das pás da turbina é nula Quanto ao compressor a oscilação do impulsor nunca é nula Nesse exemplo é preciso fazer com que o sistema passe rapidamente por todas as frequências naturais e que a rotação mínima da faixa de rotações de operação do equipamento seja mais alta do que a frequência natural região na qual a amplitude de oscilação de cada um dos graus de liberdade é mais baixa Vibrações não amortecidas três graus de liberdade acoplamento Neste vídeo conheça o comportamento de um sistema com três graus de liberdade sendo que dois estão acoplados Um dos casos de sistema com mais de dois graus de liberdade em que há acoplamento entre pelo menos dois deles é o do veículo e seus passageiros Para melhor ilustrar esse caso observe a imagem a seguir É um trator agrícola e seu operador Em tratores agrícolas o assento do operador possui um sistema de suspensão que em alguns casos dispõe até de ajuste automático ω3 X1 X3 0 225 X2 X3 0 771 θ0t Θ0 ωt ωA ωC ωB ω3 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1487 Trator agrícola e seu operador e o sistema equivalente Vamos avaliar as frequências naturais desse sistema Esse é o caso de vibrações livres de um sistema sem amortecimento É um sistema com três graus de liberdade dois do trator e um do operador 1 Do trator deslocamento vertical 2 Do trator deslocamento angular pode ser interpretado como uma plataforma sobre duas molas 3 Do operador deslocamento vertical Considere que e representam cada um as rigidezes combinadas de dois conjuntos suspensões pneus são rigidezes equivalentes é a mola que representa a suspensão do assento do operador Por hipótese todas essas molas equivalentes são lineares ou seja as relações constitutivas são é a massa do trator é o momento de inércia em torno do eixo transversal que passa por seu centro de gravidade é a massa do operador As equações de movimento na forma matricial são Rotacione a tela Cada acoplamento entre os graus de liberdade é representado pelos elementos fora da diagonal principal da matriz de rigidez A equação característica é Rotacione a tela E os coeficientes e são y1 θ y2 k1 k2 k3 F kx M J CM m M 0 0 0 J 0 0 0 m y1 θ y2 k1 k2 k3 a1k1 a2k2 a3k3 k3 a1k1 a2k2 a3k3 a2 1k1 a2 2k2 a2 3k3 a3k3 k3 a3k3 k3 y1 θ y2 0 0 0 λ3 αλ2 βλ γ 0 α β γ 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1587 Rotacione a tela A fim de avaliar o comportamento desse sistema assumese que As frequências naturais do sistema calculadas numericamente são Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela α a2 1k1 a2 2k2 a2 3k3 J k1 k2 k3 M k3 m β k1 k2 mM a2 1k1 a2 2k2 mJ k3 k1k2L2 k1k3a1 a32 k2k3a2 a32 MJ γ k1k2k3L2 4a3k2 3 a1k1 a2k2 a3k3 mMJ M 11500kg J 30000kgm2 m 78kg k1 500kNm k2 560kNm k3 6 5kNm a1 1 30m a2 1 57m a3 0 95m ω1 8 10rads ω2 9 21rads ω3 10 02rads 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1687 As frequências 123 147 e 159 Hz respectivamente estão muito próximas mostrando que o sistema passa rapidamente pelos três modos de operação E a matriz modal é Rotacione a tela Observe que o terceiro componente de cada autovetor é o de maior valor absoluto Nas três frequências naturais o operador oscila com amplitude bem maior do que as amplitudes dos dois graus de liberdade do trator Isso se deve ao fato de que a rigidez equivalente do assento é muito menor do que a de cada rigidez equivalente das suspensões Quando uma excitação de base se dá na frequência os três graus de liberdade estão em fase sendo que as magnitudes de oscilação dos graus de liberdade do trator são cerca de um décimo da magnitude de oscilação do operador Rotacione a tela Rotacione a tela Caso a frequência de excitação de base coincida com a segunda frequência natural os movimentos do trator entram em oposição de fase mas dessa vez é seu movimento vertical que está em fase com o do operador A frequência é aquela na qual há predominância do movimento oscilatório do operador uma vez que as razões entre as amplitudes são as menores Rotacione a tela U 0 11 0 01 0 28 0 12 0 03 0 08 1 1 1 6500Nm 500000 560000Nm ω1 Y1 Y2 0 11 Θ Y2 0 12 ω2 Y1 Y2 0 01 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1787 Rotacione a tela Se agora a frequência de excitação de base é igual a a amplitude de oscilação do movimento vertical do trator aumenta e se dá em oposição de fase ao movimento vertical do operador enquanto o deslocamento angular está em fase Rotacione a tela Rotacione a tela Em relação aos movimentos dos graus de liberdade do trator no primeiro modo normal as amplitudes de oscilação são bem próximas Rotacione a tela No segundo modo novamente estão em oposição de fase mas com menor razão entre as amplitudes Rotacione a tela E no terceiro modo o movimento vertical é o preponderante e está em oposição de fase com o movimento angular O Y2 0 03 ω3 Y1 Y2 0 28 Θ Y2 0 08 Y1 Θ 0 11 0 12 0 92 Y1 Θ 0 01 0 03 0 33 Y1 Θ 0 28 0 08 3 5 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1887 Rotacione a tela Se o trator for analisado separadamente vêse que na frequência mais alta o movimento oscilatório vertical é o preponderante Vibrações livres não amortecidas quatro graus de liberdade Neste vídeo veja o exemplo de um prédio de quatro pavimentos representado por um sistema de quatro graus de liberdade de translação Edificações são compostas por pavimentos e colunas de sustentação e precisam apresentar certa flexibilidade uma vez que estão sujeitas a excitações de base em suas fundações abalos sísmicos ou nos andares mais altos efeito do vento Uma forma simplificada de representar um edifício é por meio de sistemas de massas e molas estruturados conforme apresentado na imagem a seguir que representa uma edificação de quatro pavimentos Edifício com quatro pavimentos À esquerda em equilíbrio estático e à direita todos os pavimentos deslocados São quatro graus de liberdade um para cada pavimento que pode se deslocar lateralmente e Cada coluna de sustentação apresenta rigidez igual a O deslocamento lateral de cada pavimento produz efeito sobre os que estão imediatamente acima e abaixo então temse que Rotacione a tela Disso resulta que a força resultante em cada pavimento é x1 x2 x3 x4 j kj2 δ1 x1 x0 δ2 x2 x1 δ3 x3 x2 δ4 x4 x3 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 1987 Rotacione a tela Por meio da 2ª Lei de Newton temse o sistema com quatro equações de movimento Rotacione a tela Arrumadas na forma matricial e considerando que todos os pavimentos têm massas iguais e que todas as rigidezes são iguais Rotacione a tela A equação característica desse sistema é F1 k2 x2 x1 k1 x1 x0 F2 k3 x3 x2 k2 x2 x1 F3 k4 x4 x3 k3 x3 x2 F4 k4 x4 x3 m1x1 k2 x2 x1 k1 x1 x0 m2x2 k3 x3 x2 k2 x2 x1 m3x3 k4 x4 x3 k3 x3 x2 m4x4 k4 x4 x3 x0 0 m1 m2 m3 m4 M k1 k2 k3 k4 k Ξ K 0 m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m3 0 0 0 0 m4 M 0 0 0 0 M 0 0 0 0 M 0 0 0 0 M k1 k2 k2 0 0 k2 k2 k3 k3 0 0 k3 k3 k4 k4 0 0 k4 k4 2k k 0 0 k 2k k 0 0 k 2k k 0 0 k k M 0 0 0 0 M 0 0 0 0 M 0 0 0 0 M x1 x2 x3 x4 2k k 0 0 k 2k k 0 0 k 2k k 0 0 k k x1 x2 x3 x4 λ4 7 k M λ3 15 k M 2 λ2 10 k M 3 λ k M 4 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2087 Rotacione a tela Particularmente uma das raízes dessa equação é Por hipótese vamos adotar e As frequências naturais são e Temse a matriz modal do sistema Rotacione a tela Esses modos de vibração podem ser representados graficamente na imagem Confira Representação gráfica dos quatro modos de vibrar do edifício de quatro pavimentos Os retângulos representam as amplitudes de oscilação E podemos entender que λ kM M 4000kg k 5000Nm ω1 0 388rads ω2 1 118rads ω3 1 7129rads ω4 2 101rads U 0 347 1 1 0 653 0 653 1 0 347 1 0 879 0 0 879 0 879 1 1 0 653 0 347 Modo fundamental Nesse modo as amplitudes de oscilação são crescentes com o 4º pavimento oscilando mais e todos estão em fase X1 X2 X3 X4 Segundo modo Corresponde à frequência natural e é tal que o terceiro pavimento não oscila enquanto o quarto oscila em oposição de fase em relação ao primeiro e ao segundo Os pavimentos 1 2 e 4 oscilam com a mesma amplitude ω2 1 118rads Terceiro modo É o 1º pavimento que oscila mais que os demais e em fase com somente o 4º andar 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2187 Quando submetido a uma excitação de base harmônica do tipo sen aplicada na base do edifício a resposta do sistema é representada pelo gráfico do fator de amplificação em função da frequência de excitação de base Confira a imagem Gráfico Fator de amplificação do sistema de quatro graus de liberdade em função da frequência de excitação de base Observe que o gráfico do terceiro pavimento não apresenta pico na segunda frequência natural e que há pontos em que os gráficos do 1º e do 2º pavimentos tocam a ordenada zero mostrando que há frequências em que não oscilam Já os pavimentos 3 e 4 sempre oscilam Esse exemplo simplificado pode ser usado para avaliar o comportamento de uma estrutura com pavimentos para que se tenha uma noção do comportamento oscilatório de cada um dos patamares Comentário De modo algum os cálculos apresentados substituem o cálculo estrutural realizado pelo departamento de engenharia de uma empreiteira que considera os diversos materiais empregados na construção de um edifício Mas serve para avaliar a influência do peso de cada pavimento e da rigidez das paredes que os sustentam nos modos de vibrar da estrutura Vibrações com quatro graus de liberdade com acoplamento Neste vídeo acompanhe o caso de um modelo de um automóvel de passeio com quatro graus de liberdade Você já viu o caso do automóvel que era considerado um sistema com dois graus de liberdade usando o modelo da plataforma sobre molas Nesse caso cada uma das molas tem rigidez equivalente a uma associação de mola e de pneu O modelo da imagem a seguir representa uma boa aproximação de um automóvel de passeio e tem quatro graus de liberdade A carroceria tem os mesmos dois graus de liberdade o de translação vertical e o de rotação e e os outros graus de liberdade são os de movimento vertical das rodas e Quarto modo Os pavimentos pares estão em fase os ímpares em fase mas andares pares e ímpares oscilam em oposição de fase x0t X0 ωt XX0 ω zch θ z1 z2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2287 Veículo de passeio e modelo matemático linear equivalente de quatro graus de liberdade As matrizes de inércia de amortecimento e de rigidez são Rotacione a tela A rigidez representa a associação das molas das suspensões dianteiras do lado direito e do lado esquerdo trabalhando em paralelo Analogamente representa a associação das molas das suspensões traseiras A rigidez representa a rigidez de dois pneus de mesmo eixo Em automóveis de passeio considerase que todos os quatro pneus têm a mesma rigidez Esse sistema tem quatro frequências naturais e quatro modos normais de vibrar Adotando Obtémse as seguintes frequências naturais Ξ B K M 0 0 0 0 J 0 0 0 0 m1 0 0 0 0 m2 b1 kb2 a2b2 a1b1 b1 b2 a2b2 a1b1 a2 1b1 a2 2b2 a1b1 a2b2 k1 a1k1 b1 0 k2 a2k2 0 b2 k1 k2 a2k2 a1k1 k1 k2 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 a1k1 a2k2 k1 a1k1 k1 kp 0 k2 a2k2 0 k1 kp k1 k2 kp M 840kg J 1100kgm2 m1 106kg m2 152kg k1 20kNm k2 26kNm kp 400kNm a1 1 40m a2 1 47m ω1 6 14rads0 98Hz 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2387 Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela As frequências e correspondem aos modos em que os movimentos dos graus de liberdade da carroceria são preponderantes A justificativa é porque as rigidezes das molas são menores do que as dos pneus As outras duas frequências mais altas correspondem aos modos em que os movimentos verticais das rodas são preponderantes É preciso recorrer aos autovetores para distinguir qual das frequências está associada a cada grau de liberdade A matriz modal é Rotacione a tela 0 primeiro modo de vibrar corresponde à frequência natural em que o movimento em da carroceria é preponderante e os demais deslocamentos são menores Somente a roda traseira oscila em fase Rotacione a tela ω2 7 41rads1 18Hz ω3 52 97rads8 43Hz ω4 62 96rads10 02Hz ω1 ω2 U 0 78 1 1 13 102 6 08 103 1 0 30 6 31 103 3 24 103 0 11 0 03 3 98 104 1 0 04 0 09 1 1 95 104 f1 0 98Hz θ com θ ZC Θ 0 78 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2487 Rotacione a tela Rotacione a tela No segundo modo de vibrar que corresponde à frequência natural movimento vertical da carroceria apresenta oscilações preponderantes sobre os demais e todos oscilam em fase Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela No terceiro modo de vibrar que corresponde à frequência natural é a roda traseira que apresenta oscilações preponderantes Todos os demais oscilam em oposição de fase e percebese que a amplitude é baixa Isso ocorre porque as suspensões filtram as frequências mais altas e assim quase não se consegue observar as oscilações da carroceira do veículo Z1 Θ 0 11 Z2 Θ 0 04 f2 1 18Hz o Θ zC 0 30 Z1 ZC 0 03 Z2 ZC 0 09 f3 8 43Hz ZC Z2 1 13 102 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2587 Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela Por último no quarto modo de vibrar que corresponde à frequência natural é a roda dianteira que apresenta oscilações preponderantes Somente a oscilação vertical da carroceria está em oposição de fase As amplitudes também são baixas Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela Na prática se um automóvel se move em uma estrada ondulada à medida que sua velocidade aumenta ele passará por todos os modos normais de vibrar sempre que a frequência de excitação de base coincidir com uma das quatro frequências naturais A primeira ressonância ocorrerá quando e o movimento observável será a oscilação da carroceria em seguida as oscilações verticais serão as mais notáveis quando A proximidade dos valores se deve ao fato de que o momento de inércia da carroceria está relacionado com sua massa por meio do quadrado do raio de giração Θ Z2 6 31 103 Z1 Z2 3 98 104 f4 10 02Hz ZC Z1 6 08 103 Θ Z1 3 24 103 Z2 Z1 1 95 104 ω ω1 θ ω ω2 rG 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2687 Rotacione a tela Em automóveis de passeio Esse valor é consequência da distribuição de massas ao longo do eixo longitudinal da carroceria massas do motor da caixa de transmissão dos elementos internos painel bancos acabamentos do tanque de combustível etc Neste exemplo À medida que o veículo continua acelerando será a roda traseira a que apresentará a maior oscilação quando e finalmente a roda dianteira será a última a entrar em ressonância quando Se a frequência de excitação de base difere das frequências naturais as oscilações dos graus de liberdade são combinações dos quatro modos normais Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos Questão 1 Uma matriz modal de um sistema harmônico apresenta a seguinte configuração são constantes A primeira coluna da matriz modal é o autovetor que corresponde à frequência natural fundamental A segunda coluna é o autovetor que corresponde à segunda frequência natural do sistema A terceira coluna corresponde à frequência natural mais alta Sobre os modos de vibrar é correto afirmar que J Mr2 G rG 1 2 rG JM 1100840 1 14 ω ω3 ω ω4 Ψij U 1 Ψ12 1 Ψ21 0 1 Ψ31 1 1 A no modo associado à frequência fundamental todos os corpos oscilam em fase B no modo associado à frequência fundamental há um nó indicando que um dos elementos do sistema não oscila nessa frequência C um dos modos indica que todos os elementos do sistema oscilam no modo de corpo rígido 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2787 Parabéns A alternativa C está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EO20terceiro20modo20de20vibrar20C3A920o20modo20de20corpo20rC3ADgido20do20sistema2C20todo Questão 2 Um automóvel é modelado como um sistema de quatro graus de liberdade e o sistema é equacionado considerando que tais graus estão arrumados na seguinte ordem carro trafega em uma estrada ondulada de perfil senoidal de comprimento de onda constante e sua velocidade aumenta progressivamente à medida que avança Sua matriz modal é sendo Sobre os modos de vibrar é correto afirmar que D no segundo modo de vibrar um elemento apresenta movimento de corpo rígido E no segundo modo de vibrar o primeiro e o último elementos estão oscilando em oposição de fase Z zch θ z1 z2 O U Ψ11 1 Ψ31 Ψ41 1 Ψ22 Ψ32 Ψ42 Ψ13 Ψ23 1 Ψ43 Ψ14 Ψ24 Ψ34 1 Ψ14 Ψ13 Ψ11 1 Ψ23 Ψ24 Ψ22 1 Ψ34 Ψ31 Ψ32 1 Ψ43 Ψ42 Ψ41 1 A no terceiro modo a roda traseira é a que apresenta ressonância B a ressonância do grau de liberdade ocorre no modo fundamental zch C a ressonância do grau de liberdade ocorre no terceiro modo de vibrar θ 21112023 1532 Tipos de vibragao a medida que a velocidade aumenta a roda traseira entra em ressonancia antes da roda dianteira a medida que a velocidade aumenta a roda dianteira entra em ressonancia antes da roda traseira Parabéns A alternativa E esta correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EObservando200s20modos20de20vibrar2C20VC3AA se20que2C20C3A020medida20que20a20velocidade20aumenta2C20a20ressonC3A2ncia20ocorre20primeiro20para2 i I Pal Ao final deste modulo vocé sera capaz de reconhecer 0 comportamento de elementos continuos quando tratados como elementos elasticos com rigidez equivalente Neste video conhega os conceitos relacionados ao comportamento de elementos continuos quando tratados como elementos elasticos com rigidez equivalente Para assistir a um video sobre 0 assunto acesse a O versdo online deste contetido 0 httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 141indexhtml 2887 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 2987 A rigidez equivalente nas vibrações transversais em vigas Neste vídeo conheça o conceito de rigidez equivalente em vibrações transversais Você já deve ter visitado algumas cidades que possuem postes de iluminação com alturas consideráveis e talvez não tenha imaginado a importância do efeito de uma ventania em suas estruturas Na cidade do Rio de Janeiro cada um dos 88 postes localizados no Aterro do Flamengo tem 45m de altura Já o mastro da Praça dos Três Poderes em Brasília tem 105m de altura e sustenta uma bandeira do Brasil que pesa cerca de 40kgf se o vento no local atingir 100kmh a bandeira de 286m2 exerce uma força de cerca de 24000kgf sobre o mastro Postes localizados no Aterro do Flamengo no Rio de Janeiro Mastro da Praça dos Três Poderes em Brasília A bandeira assim como os lampadários dos postes está sujeita à ação do vento que produz um movimento oscilatório no mastro Vamos abordar esse problema vibração não amortecida em sistema de um grau de liberdade sujeito a esforços Como sempre são adotadas algumas hipóteses simplificadoras O mastro da bandeira é visto como uma coluna em que sua extremidade livre é a superior engastada no piso Vamos concentrar a massa da bandeira em um único ponto para verificar qual seria a deflexão do mastro quando sujeito a ventos fortes O efeito do vento é representado por uma força externa que será aplicada na extremidade livre do mastro por sua vez considerado uma viga engastada flexível mas nem tanto porque não pode envergar a ponto de permanecer empenado Acompanhe a abordagem do problema na imagem a seguir 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3087 Mastro com bandeira cuja massa é considerada concentrada no topo como hipótese simplificadora Admitese e é uma boa aproximação que o mastro seja considerado uma coluna de seção reta circular engastada no piso e submetida a uma força horizontal aplicada em sua extremidade livre A rigidez equivalente da coluna é calculada por meio da expressão Rotacione a tela Sendo o módulo de elasticidade depende do material o momento de inércia de área do módulo de elasticidade o diâmetro da coluna de seção reta circular a altura Agora trataremos da questão que envolve o vento que produz o efeito de deflexão do mastro Essas equações podem mudar de acordo com a abordagem adotada assim esse caso é adequado para resolver a questão apresentada A frequência de excitação produzida pela velocidade do vento é dada por mb kM 3EI H 3 E I πD432 D H ω 0 4π D v 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3187 Rotacione a tela Esse é um caso em que a força depende do quadrado da frequência e é calculada pela expressão Rotacione a tela Sendo que é a densidade do ar atmosférico O fator de amplificação é calculado por Rotacione a tela Vamos supor que Suponha que a velocidade do vento seja de A frequência natural é Rotacione a tela A frequência devida à ação da velocidade do vento é dada por Rotacione a tela A constante é igual a F Φω2 0 317ρArHD3ω2 ρAr mX Φ ωωn2 1 ωωn2 2 4ζ 2ωωn2 D 1 20m H 40m E 80 109Nm2 ρAr 1 2kgm3 mb 50kg ζ 0 25kmh ωn kM mb 3EI H 3 1 mb 3 80 109π32 1 204 403 1 50 124rads ω 0 4π D v 0 4π 1 20 25 3 6 7 27rads Φ 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3287 Rotacione a tela Substituindo na expressão do fator de amplificação e lembrando que temse Rotacione a tela Isso significa que a amplitude de oscilação do mastro é de cerca de devido ao efeito do vento sobre a bandeira nele desfraldada Lembrese de que esse estudo de caso é uma aproximação e projetos de mastros para bandeiras para velas de navios para sustentar equipamentos como antenas de transmissão de sinais de telefonia móvel consideram outras hipóteses Por exemplo os postes citados anteriormente apresentam seção reta circular mas também conicidade o diâmetro diminui com a altura e são estruturados em concreto armado A seção reta adotada também influencia o cálculo Geralmente mastros para bandeiras têm seção reta circular mas se houver um caso de uma seção reta retangular medindo por exemplo a expressão do cálculo do momento de inércia de área muda Comentário O que é importante ressaltar com esse estudo de caso é que estruturas altas estão sujeitas aos efeitos do vento e que por isso podem apresentar oscilações de amplitude exagerada se tal efeito não for considerado nos cálculos A deflexão pode ser grande o bastante para comprometer a estrutura e resultar em danos permanentes e talvez com vítimas Rigidez equivalente de vigas sujeitas à excitação de base Neste vídeo conheça os modos de oscilar de uma viga sujeita à excitação de base transversal usando o conceito de rigidez equivalente Outro tipo de vibração é a do motor desbalanceado montado sobre uma viga bi engastada Esse arranjo é comum em instalações nas quais motores são usados para içar cargas Veremos o caso de um motor elétrico desbalanceado montado sobre uma viga bi engastada de comprimento altura de seção reta retangular medindo representado na imagem a seguir Essa viga trabalha no regime elástico ou seja sem apresentar deformações permanentes A preocupação aqui é com sua oscilação que pode produzir vibrações indesejadas que venham a fragilizar seus pontos de fixação nas paredes Φ 0 317ρArHD3 0 3171 240 1 203 26 3kgm ζ 0 X Φ mb ωωn2 1 ωωn2 26 3 50 7 271242 1 7 271242 1 81 103m 2mm a b I ab312 L h b h 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3387 Motor elétrico montado sobre uma viga flexível de comprimento e de seção reta retangular Considere que a massa da viga foi incorporada à do motor elétrico assim Rotacione a tela Portanto a viga pode ser aproximada por uma mola linear de rigidez igual a Rotacione a tela O módulo de elasticidade depende do material e o momento de inércia de área de uma seção reta retangular é dado por Esse caso é similar ao do motor montado sobre uma base com molas na imagem a seguir Equivalência entre as soluções Admita que o motor elétrico esteja localizado em seu centro assim Disso temse que Rotacione a tela A frequência natural é então calculada por L b h M mviga mmotor kV kV 3EIL3 L3 1L3 2 E I bh312 L1 L2 L2 kV 3EIL3 L 2 3 L 2 3 3EIL3 L6 64 192EI L3 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3487 Rotacione a tela A força desbalanceadora é dada pela expressão sendo que O fator de amplificação é Rotacione a tela Agora vamos assumir uma visão mais prática do problema Para isso é preciso estabelecer algumas hipóteses Como a preocupação é com a oscilação da viga o valor de é um dado de projeto o que nos leva a calcular a rigidez da viga De sua expressão podese escolher como parâmetro a ser calculado seu módulo de elasticidade ou seu momento de inércia de área O comprimento possivelmente não poderá ser alterado porque é bem provável que a distância entre as paredes já esteja definida sendo um dado para a solução do problema O motor já está definido então tanto quanto já são conhecidos Falta avaliar a frequência de excitação Esta pode variar dependendo da operação do motor Vamos deixar como incógnita a variável da viga porque a outra dimensão deverá ser larga o bastante para acomodar a base do motor Assim vamos construir um enunciado para esse problema Determinar a altura da seção reta retangular de uma viga cujo módulo de elasticidade é igual a que terá que suportar um motor elétrico de peso que por sua vez trabalha desbalanceado por uma pequena massa localizada a uma distância do centro de seu eixo de rotação A viga deve estar posicionada horizontalmente entre duas paredes distando uma da outra O motor gira a uma velocidade angular rotações por minuto e a amplitude de oscilação da viga não deve ultrapassar Os parâmetros são A condição que deve ser obedecida é Em primeiro lugar calculase o valor da velocidade angular do motor em radianos por segundo ωn kv M Ft F0 sen ωt F0 mrω2 M m X r ωωn2 1 ωωn2 X E I L m r ω h b h b h E M m r L N X E 200GPa b 0 60m M 8 1kg m 27 103kg r 5 0 102m L 4 8m N 3600rpm X 4 0mm 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3587 Rotacione a tela Calculase agora a frequência natural Rotacione a tela Substituindo os valores temse Rotacione a tela Com a frequência natural calculase a rigidez da viga Rotacione a tela Desse valor extraise o momento de inércia de área Rotacione a tela Por fim conseguese extrair o valor de fm N 60 Hz ω 2π ω 2π N 60 120πrads M m X r ωωn2 1 ωωn2 ωn ω 1 M m X r M m X r ωn 120π 1 81 27103 4103 5102 81 27103 4103 5102 50π6rads ωn kv M kv Mω2 n 8 150π62 121500π2Nm kV 192EI L3 I L3 192E kV 4 83 192 200 109 121500π2 350π2 109m4 h I bh312 h 3 12I b 3 12 350π2 109 0 60 37 0π2 106 0 041m 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3687 Rotacione a tela Ou seja a altura da viga deve ser de no mínimo Entretanto alguns elementos em engenharia são padronizados geralmente em múltiplos da polegada ou mesmo em milímetros Assim é preciso buscar uma peça com medidas comerciais ou aproximase o valor de para ou para polegadas em seguida refazemse os cálculos Supondo Rotacione a tela Ou seja uma amplitude de oscilação menor do que Rigidez e amortecimento equivalentes vigas excitação de base Neste vídeo conheça o conceito de equivalência de rigidez e amortecimento em exemplos de vigas sujeitas à excitação de base Estudo de caso 1 Vamos ver o caso de um rotor de cauda de um helicóptero Sua função é impedir que a fuselagem do helicóptero gire sobre o eixo do rotor principal enquanto ele gira 41mm h 45mm 134 44 45mm h 44 45mm I bh312 0 60 0 044453 12 4 40 106m4 kV 192EI L3 192 200 109 4 40 106 4 83 1 53 106Nm ωn kv M 1 53 106 8 1 434rads M m X r ωωn2 1 ωωn2 120π4342 1 120π4342 3 10 M m X r 3 10 X 3 10 mr M 3 10 27 103 5 0 102 8 1 5 14 104m 1mm 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3787 Além dos efeitos produzidos pelo fluxo de ar que desloca existem os que são causados por vibrações dos conjuntos mecânicos que o acionam Além disso todo o conjunto tem que estar muito bem balanceado para não resultar em perda de controle dessa complexa e versátil aeronave Observe a imagem na qual é representada parte da cauda de um helicóptero com seu rotor de quatro pás iguais e de mesmo peso em forma de cruz defasagem angular de 90 entre elas Parte da cauda de um helicóptero e conjunto de redutor e rotor de cauda Nesse estudo de caso considere que A massa de cada pá é igual a O centro de massa de cada uma dista do eixo de giro do rotor O conjunto redutor tem massa igual a A cauda apresenta propriedades de elasticidade e um pequeno amortecimento tal que A frequência natural do conjunto é igual a Durante a fase de preparação da decolagem quando o rotor de cauda girava a uma das pás se soltou e imediatamente o sistema passou a vibrar mais por causa do súbito desbalanceamento O problema aqui é calcular a amplitude de oscilação da cauda do helicóptero nessas condições Em primeiro lugar é preciso calcular a rigidez equivalente da seção da cauda Rotacione a tela Quando uma das pás se desprende o rotor fica desbalanceado e disso resulta em excitação harmônica A magnitude do desbalanceamento é 2 3kg 170mm 28 5kg ζ 0 05 135rads 900rpm keq mCJω2 n mcjred 4 mpajω2 n 28 5 4 2 3 1352 6 87 105Nm 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3887 Rotacione a tela A frequência natural sem a pá é igual a Rotacione a tela Nessas condições a razão entre a frequência de operação e a natural é Rotacione a tela Substituindo na expressão do fator de amplificação Rotacione a tela Temse Rotacione a tela Isso significa que a seção da cauda onde está o rotor oscila para cima e para baixo 15 vezes por segundo Estudo de caso 2 Vamos entender o caso do ventilador preso à extremidade livre de uma haste cujo suporte é aparafusado em uma parede e que pode ser abordado da mesma maneira mparCM 2 30 170 3 91kgm ωn keq mCJ mpa 6 87 105 37 7 2 3 139 3rads ω ωn 9002π60 139 3 0 677 X mparCM mCJ mpa ωωn2 1 ωωn2 2 2ζ ωωn2 X 2 30 170 37 7 2 3 0 6772 1 0 67722 20 050 6772 9 27mm 9 27mm 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 3987 Esses ventiladores são muito comuns em lugares públicos como estações de trem É um equipamento barulhento por natureza porque o ruído que produz quando desloca o ar é alto Se ainda o equipamento vibra por algum desbalanceamento o ruído causado pela trepidação se junta ao som produzido e inevitável pela passagem do ar por suas pás Observe a imagem Ventilador montado em haste Nesse estudo de caso considere que A massa do ventilador é igual a e há um desbalanceamento rotativo de A haste cujo comprimento mede apresenta amortecimento que se aproxima do comportamento viscoso À medida que a rotação do ventilador varia percebeuse que a amplitude máxima atingida foi de e querse calcular a amplitude que apresentará quando a rotação for igual a A haste tem módulo de elasticidade O momento de inércia de área da haste é Começamos calculando o fator de amplificação Rotacione a tela Em seguida o fator de amortecimento 40kg 0 1kgm 1 20m 20 3mm 1000rpm E 200GPa I 1 4 106m4 H mX m0e 400 0203 0 1 8 12 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4087 Rotacione a tela A rigidez da haste é igual a Rotacione a tela Agora conseguese calcular sua frequência natural Rotacione a tela Para calcular a amplitude de oscilação a é preciso obter a razão entre as frequências de operação e natural Rotacione a tela Observe que está bem próxima da frequência natural A amplitude em regime permanente será de Rotacione a tela Ou seja a cada segundo o ventilador oscila aproximadamente para cima e para baixo cerca de 17 vezes Isso é percebido como uma trepidação H 1 2ζ1 ζ 2 8 12 1 2ζ1 ζ 2 ζ 0 0617 k 3EI L3 3 200 109 1 4 106 1 23 4 86 105Nm ωn k m 4 86 105 40 110 2rads N 1000rpm ϕ ω ωn 10002π60 110 2 0 95 X m0e m ωωn2 1 ωωn2 2 2ζ ωωn2 X 0 10 40 0 952 1 0 9522 20 06170 952 14 8mm 15mm 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4187 Rigidez torcional equivalente de vigas Neste vídeo acompanhe o caso de uma viga sujeita à torção considerando a rigidez torcional equivalente Quando a peça tem um desenho simples podese calcular analiticamente seu momento de inércia mas quando o desenho é complexo e não se conhece esse parâmetro é preciso medilo E mais se a peça que não se conhece o momento de inércia for montada em um eixo como devemos proceder Suponha o arranjo da imagem a seguir Uma roda com diversas pás está rigidamente montada em um eixo de seção reta circular e não se consegue calcular analiticamente seu momento de inércia porque o desenho de cada pá é complexo Roda montada rigidamente em um eixo de seção reta circular Nesse caso o sistema pode ser interpretado como um pêndulo de torção Vamos supor que os valores dos parâmetros do eixo são conhecidos A equação diferencial que representa o movimento oscilatório da roda em torno de sua posição de equilíbrio quando não há forçamento vibração livre não amortecida é Rotacione a tela Desta obtémse a expressão da frequência natural G 83GPa d 16mm L 1 5m Jθ IG L θ 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4287 Rotacione a tela A frequência natural é também associada ao período de oscilação que é cronometrado com instrumento de precisão adequada Rotacione a tela Então das duas expressões Rotacione a tela Manipulando a equação calculase o momento de inércia em função dos parâmetros conhecidos e do período de oscilação Rotacione a tela Temse que Rotacione a tela Se a roda é deslocada de um ângulo e deixada livre para oscilar e o período medido é de 23 s temse Rotacione a tela Temse assim um valor aproximado do momento de inércia da roda com pás ωn IG JL ωn 2π τ τ 2π JL GI J GI L τ 2π 2 I π 2 r4 π 2 16 103 2 4 2048π 1012m4 θ 5 J 83 109 2048π 1012 1 5 2 3 2π 2 47 7kgm2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4387 Esses exemplos mostram sistemas em que há massas vinculadas a vigas barras ou eixos que podem apresentar ou não amortecimento As propriedades desses corpos são usadas para determinar suas rigidezes equivalentes ou seja é como se cada um deles fosse substituído por uma mola ou linear no caso das vigas e hastes em balanço ou de torção como no último exemplo Entretanto esses elementos também apresentam frequências naturais e consequentemente modos de vibrar E como são elementos contínuos há infinitas frequências naturais e infinitos modos de vibrar Comentário Na prática devemos nos concentrar nas frequências naturais e nos modos de vibrar que são mais relevantes para o sistema analisado pois pode ser que muitos desses modos não sejam alcançados no regime de trabalho porque estão associados a frequências naturais muito altas Digamos que das infinitas frequências naturais de um sistema somente as dez primeiras sejam relevantes porque pertencem ao intervalo de funcionamento Assim a análise ficará restrita a esses dez modos de vibrar que são associados a essas dez primeiras frequências naturais Vejamos o caso do piso de um galpão de uma estamparia que usa prensas para conformar chapas de aço Piso não afetado A cada golpe de uma prensa na chapa a vibração é transmitida ao piso problema de excitação de base oriunda da prensa Considerando o piso um sólido contínuo e homogêneo se a maior frequência de excitação produzida pelo golpe da prensa na chapa for menor do que a frequência fundamental do piso ele não será afetado Piso em oscilacão Mas várias prensas trabalhando juntas podem criar uma onda de pressão conjunta sobre o piso que pode resultar em uma frequência de excitação próxima à fundamental e o piso oscilará em amplitude indesejada É preciso ressaltar que todos os objetos sólidos são feitos de materiais deformáveis e que dependendo da frequência de excitação de base poderá ser considerado um corpo rígido Assim devemos considerar as abordagens 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4487 Sistema discreto Se um sistema é interpretado como um sistema discreto massa mola e amortecedor bem definidos as equações usadas para representar seu comportamento são Equações Diferenciais Ordinárias EDO Sistema contínuo Se a abordagem exige que o sistema seja modelado matematicamente como um sistema contínuo as equações que o representam são Equações Diferenciais Parciais A escolha entre as duas abordagens tem que ser criteriosa porque depende do que se quer investigar e também dos meios disponíveis para os cálculos necessários há casos em que a solução deve ser obtida numericamente por meio de algoritmos de integração de sistemas de equações Mas há ainda outra forma de tratar vigas cabos e barras que é considerálos como uma associação de massas molas e amortecedores vinculados em série Essa terceira abordagem é conhecida como parâmetros concentrados Sistemas de parâmetros concentrados sem amortecimento Neste vídeo conheça o conceito de parâmetros concentrados em sistemas contínuos Quando um problema de vibrações envolve vigas colunas barras ou hastes submetidas à ciclos de traçãocompressão flexão ou torção há uma terceira abordagem o método dos parâmetros concentrados Observe a viga engastada em uma extremidade e livre em outra na ilustração à esquerda na imagem a seguir Podese interpretála como se fosse composta por várias massas pontuais vinculadas umas às outras por meio de molas como mostrado na ilustração à direita Massa da viga distribuída por sete massas individuais conectadas por molas A viga passa a ser interpretada por um sistema de massas e molas interconectadas como se fosse o sistema mostrado na imagem a seguir Modelo de 7 GDL equivalente à viga engastada em uma extremidade 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4587 Aqui escolheuse arbitrariamente sete massas Se esse problema é equacionado poderíamos calcular as sete primeiras frequências naturais da viga e seus sete primeiros modos de vibrar Dependendo do problema poderiam ser 3 4 12 20 massas interconectadas Essa escolha depende das hipóteses adotadas na formulação Cada uma das molas tem uma rigidez equivalente ao trecho correspondente da viga entre duas massas e é calculada em função do módulo de elasticidade do comprimento do trecho e da área da seção transversal da viga Mas por enquanto ficaremos com três graus de liberdade E para ilustrar o que significa essa equivalência veja a aeronave bimotor Modelo oscilatório simplificado de vibrações das asas de uma aeronave bimotor na ilustração inferior abordagem por parâmetros concentrados e na ilustração superior à direita modelo com três massas e duas molas Nessa abordagem as massas representam asas e motores a massa representa a fuselagem e as molas representam a rigidez de cada asa Tal rigidez depende do módulo da asa A equação de movimento é Rotacione a tela Chegase à equação característica a partir do determinante da matriz Rotacione a tela São três raízes sendo que uma delas é nula o que caracteriza o movimento de corpo rígido quando o avião se desloca para cima e para baixo como um todo resultando em As outras duas frequências naturais são m M E m 0 0 0 M 0 0 0 m x1 x2 x3 keq keq 0 keq keq keq keq 0 keq keq x1 x2 x3 0 0 0 Ξ1K λI 0 λ keq mλ M 2mkeq Mmλ 0 keq m λ keq m 0 keq M 2keq M λ keq M 0 keq m m λkeq ω1 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4687 Rotacione a tela Sendo e considerando e temse que Rotacione a tela Consequentemente as frequências naturais não nulas são Rotacione a tela Temse a matriz modal Rotacione a tela A interpretação física dos modos que não são de corpo rígido é a seguinte No segundo modo As asas oscilam em oposição de fase sentidos opostos com a mesma amplitude enquanto a fuselagem se mantém imóvel nó No terceiro modo Enquanto as asas oscilam em fase no mesmo sentido a fuselagem oscila em oposição de fase oscilações em sentido oposto ao das asas com amplitude igual a 48 da magnitude ω2 keq m ω3 keq M 2m mM keq 3EIL3 m 3000kg M 12500kg L 2 0m E 6 9GPa I 5 2 106 keq 3 6 9 109 5 2 106 2 03 13455Nm ω2 keq m 13455 3000 2 12rads ω3 keq M 2m mM 13455 12500 23000 300012500 2 58rads U 1 1 1 1 0 0 48 1 1 1 u2 u3 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4787 Em outro caso suponha que se queira avaliar a vibração do pavimento onde há três motores elétricos instalados por meio da frequência natural do sistema motores piso assim quando começarem a operar sabese de antemão qual a frequência natural de tal sistema para evitar que os esforços produzidos por eles resultem em ressonância Os motores elétricos têm a mesma massa e estão igualmente espaçados O sistema de equações de movimento em forma matricial é Rotacione a tela Acompanhe na imagem a seguir Três motores elétricos montados em um pavimento Fazendo as frequências naturais são a raiz quadrada dos autovalores da matriz Rotacione a tela Assumindo que As frequências naturais são Rotacione a tela EI mL3 x1 x2 x3 9 64 1 6 13 192 1 6 1 3 1 6 13 192 1 6 9 64 x1 x2 x3 0 0 0 Υ EI mL3 ωi λi 9 64 Υ λ 1 6 Υ 13 192 Υ 1 6 Υ 1 3 Υ λ 1 6 Υ 13 192 Υ 1 6 Υ 9 64 Υ λ E 0 6GPa I 4 17 105m4 L 2m m 200kg ω1 4 5 102rads 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4887 Rotacione a tela Rotacione a tela A matriz modal do sistema é Rotacione a tela Isso significa que com excitação de base Os motores 1 e 3 oscilam menos em fase um com outro mas em oposição de fase com o motor 2 Os motores 1 e 3 oscilam em oposição de fase com a mesma amplitude enquanto o motor 2 não oscila nó Os motores 1 e 3 oscilam menos que 2 e todos estão em fase Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos Questão 1 A turbina de 12 pás da imagem a seguir tem massa e dimensões conhecidas A peça foi vinculada ao eixo z que passa pelo seu centro ponto C cuja rigidez é conhecida Em seguida a turbina foi deslocada permanecendo no plano xy de um pequeno ângulo y e então liberada Em virtude ω2 7 6 102rads ω3 20 1 102rads U 0 92 1 0 54 1 0 1 0 92 1 0 54 ω ω1 ω ω2 ω ω3 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 4987 da elasticidade do eixo que passa por seu centro passou a oscilar ocasião em que seu período foi cronometrado Esse procedimento visa obter o valor do A momento de inércia Jxx B momento de inércia Jyy C momento de inércia Jzz D momento de inércia Jxy 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5087 Parabéns A alternativa C está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EOs20momentos20de20inC3A9rcia205CJ7Bx20x7D5C20e205CJ7Bx20x7D5C20nC3A3o20pod Questão 2 Na tentativa de fazer com que o ventilador da imagem a seguir vibre menos em sua frequência de trabalho decidiuse acrescentar uma pequena massa na extremidade da haste onde está a base do ventilador A adaptação deu certo e a amplitude de oscilação do ventilador diminuiu A justificativa do êxito dessa solução é que o aumento da massa E momento de inércia Jxz me A aumenta o módulo de elasticidade da haste deixandoa mais rígida acarretando redução das amplitudes de oscilação B diminui o módulo de elasticidade da haste deixandoa mais rígida acarretando redução das amplitudes de oscilação C altera o efeito do desbalanceamento das pás do ventilador tornando o conjunto mais amortecido D diminui a frequência natural do sistema resultando em aumento da razão entre as frequências em cada velocidade de operação acarretando redução das amplitudes de oscilação 21112023 1532 Tipos de vibragao aumentou o numero de graus de liberdade do sistema e agora 0 amortecimento é maior por isso as amplitudes de oscilagao E diminuem Parabéns A alternativa D esta correta 0A202020202020202020202020202020203Cp20class3Dcparagraph20utitle medium3EA20frequC3AAncia20natural20d020sistema20diminui2C20porque20a20massa20aumentou3A3C2Fp3E0A paragraph20utitlemedium20ucentered20c table3E24240A202020202020202020202020202020205Comegan3D5Csqrt7B5Cfrac7 Bk7D7Bm7D paragraph20utitlemedium20ucentered20c table3E24240A202020202020202020202020202020205Cphi3D5Cfrac7B5Comega7D7B5Comegan paragraph20utitle medium3EQuando20a20razC3A30205C5Cphi5C20aumenta2C 20provavelmente20serC3A 1 20maior20d020que201 i he rh Spier we a e eo aaa sa 1 Te ihe a Se is Ao final deste mddulo vocé sera capaz de reconhecer as frequéncias naturais e os modos de vibracao de meios continuos Vibragoes em vigas barras e eixos Neste video conhega os conceitos relacionados ao comportamento oscilatério dos sistemas continuos vibragdes em vigas barras e eixos Para assistir a um video sobre o assunto acesse a versdo online deste contetido 0 Vibragoes em um cabo tensionado equacao de onda Neste video conhega a equagao de onda em cabos tensionados cuja principal utilizagao é avaliar vibragd6es em um cabo httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 14 1indexhtml 5187 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5287 Até agora apresentamos exemplos em que vigas foram tratadas como meios discretos buscandose uma rigidez equivalente que represente suas propriedades Mas essa abordagem pode não ser adequada quando o motivo de análise for a própria viga E nem sempre se consegue identificar em um meio contínuo e ainda discretizar massas as rigidezes e efeitos de amortecimento Vigas barras eixos e cabos são sistemas em que a distribuição de massa de rigidez e de amortecimento é contínua e daí há infinitos pontos que vibram ou seja um sistema possuindo infinitos graus de liberdade A equação para calcular frequências de um sistema contínuo é uma equação transcendental cuja solução resulta em infinitas frequências naturais e modos normais Além disso é preciso aplicar as chamadas condições de contorno para determinar tais frequências naturais As condições de contorno são as restrições físicas impostas a um sistema Exemplo Para uma viga engastada em uma parede com a outra extremidade livre uma condição de contorno é a que o deslocamento a velocidade e a aceleração na extremidade engastada são nulos Vamos acompanhar na imagem a seguir o exemplo de um cabo elástico mas firmemente esticado corda de violão cabo de aço sustentando carga suspensa etc Tal cabo tem comprimento igual a e é sujeito a uma força transversal por unidade de comprimento Admita que o deslocamento transversal da corda é muito pequeno Cabo vibratório esticado entre dois pontos Vamos destacar o trecho AB da corda e apresentar o equilíbrio de forças na direção vertical z Trecho AB do cabo vibratório esticado entre dois pontos E a equação a seguir L fx t wx t P dP senθ dθ fdx P sen θ ρdx 2w t 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5387 Rotacione a tela Essa é a equação diferencial parcial a força líquida que age sobre um trecho ou elemento do cabo de comprimento é igual à força de inércia que age sobre o elemento Nessa equação é a massa por unidade de comprimento é a tensão no cabo é o ângulo que o cabo defletido faz com o eixo Como foi adotada a hipótese de pequenos deslocamentos para o trecho temse a variação da tensão na direção Rotacione a tela Além disso podese linearizar o ângulo sendo a diferença entre as alturas dos pontos A e B Rotacione a tela Do outro lado Rotacione a tela A segunda parcela do segundo membro é a derivada do ângulo em função de Substituindo na equação e considerando que o cabo é uniforme e a tensão é constante temse que Rotacione a tela Para o caso de vibrações livres e então temse dx ρ P θ x AB x dP P x dx w sen θ tg θ w x senθ dθ tgθ dθ w x 2w x2 dx θ x P 2wx t x2 fx t ρ 2wx t t2 fx t 0 P 2wx t x2 ρ 2wx t t2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5487 Rotacione a tela Fazendo obtémse Rotacione a tela Essa é a equação de onda e o parâmetro é a velocidade de propagação de uma onda ao longo do cabo Ela é resolvida pelo método de separação de variáveis no qual a solução é escrita como o produto de uma função que depende somente de por outra que depende somente do tempo Rotacione a tela Substituindo na equação de onda obtémse Rotacione a tela Uma vez que cada lado da equação depende de somente uma variável e há o sinal de igualdade então podese assumir que Rotacione a tela Disso resultam duas equações diferenciais ordinárias EDO Rotacione a tela c2 Pρ c2 2wx t x2 2wx t t2 x t wx t WxTt c2 W d2W dx2 1 T d2T dt2 c2 W d2W dx2 1 T d2T dt2 α d2W dx2 α c2 W 0 d2T dt2 αT 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5587 Rotacione a tela Essa constante geralmente é negativa e assim considerase que Rotacione a tela Recaise então em duas equações de soluções conhecidas Rotacione a tela Rotacione a tela Temse portanto Rotacione a tela Sendo a frequência de vibração e as constantes e são calculadas a partir das condições de contorno e das condições iniciais Analogamente estendese esse raciocínio para barras e agora a vibração é longitudinal na direção sendo o módulo de elasticidade e a densidade de massa da barra Rotacione a tela O mesmo procedimento é adotado para vigas a vibração é transversal α α ω2 d2W dx2 ω2 c2 W 0 d2T dt2 ω2T 0 Wx A1 cos ωx c A2 sen ωx c Tt B1 cos ωt B2 sen ωt ω A1 A2 B1 B2 u c2 Eρ E ρ c2 2ux t x2 2ux t t2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5687 Rotacione a tela E para torção em eixos sendo o ângulo de torção Rotacione a tela Nesse caso Rotacione a tela Os parâmetros são módulo de elasticidade transversal momento de inércia polar da seção transversal no caso uma seção circular momento polar de inércia de massa do eixo por unidade de comprimento Vibrações em um cabo preso nas extremidades Neste vídeo conheça os modos de vibrar de um cabo esticado preso em ambas as extremidades Cabos e cordas são meios de propagação de ondas tanto longitudinais quanto transversais EI 4wx t x4 ρA 2wx t t2 ϕ c2 2ϕx t x2 2ϕx t t2 c GJ I0 G J I0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5787 Em um violão as cordas vibram quando deslocadas e o resultado é uma onda que se propaga em uma frequência audível O maior dano que esse fenômeno pode produzir é um som desagradável caso o instrumento esteja desafinado Mas imagine um guincho daqueles montados em parachoques de picapes sendo usado para puxar outro veículo que atolou Movimento harmônico no cabo O cabo de aço é puxado por um motor elétrico e na outra ponta está outro carro que requer esforço para ser removido do atoleiro ele praticamente não se move e por isso o cabo está muito tensionado A resistência que impõe ao motor elétrico pode fazêlo patinar tornando o uma fonte que induz movimento harmônico no cabo Falhas na estrutura do cabo Se esse movimento excitação de base coincidir com uma das frequências naturais do cabo ele começará a vibrar demasiadamente Esse movimento induzido de flexão oscilatória combinado com a tensão pode causar falhas em sua estrutura Não queira estar ao lado do cabo se ele se partir Seja o cabo de comprimento preso nas duas pontas As condições de contorno são para qualquer valor de Substituindo em obtémse duas novas condições L w0 t wL t 0 t 0 wx t WxTt W0 WL 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5887 Uma vez que então E como Rotacione a tela A constante não pode ser zero solução trivial o que impõe Rotacione a tela Esta é a equação característica e é satisfeita para diversos valores de Rotacione a tela A solução completa é dada pelo produto das duas funções Rotacione a tela Sendo que e são constantes arbitrárias A solução é denominada nésimo modo de vibração ou normal do cabo Nesse modo cada ponto do cabo vibra com amplitude proporcional ao valor de em um ponto determinado com frequência Os modos de vibrar do cabo são apresentados na próxima imagem O primeiro dos três modos de vibrar correspondente a é denominado modo fundamental e a frequência natural é denominada frequência fundamental A ela corresponde o período fundamental Rotacione a tela Todo ponto em que qualquer que seja é chamado de nó Assim o modo fundamental tem dois nós um em e outro em O segundo modo tem três nós a saber e Já o terceiro modo tem quatro nós e e assim por diante W0 0 A1 0 WL 0 A2 sen ωL c 0 A2 sen ωL c 0 ω ωn n cπ L n N wnx t WnxTnt sen nπx L B1n cos ncπ L t B2n sen ncπ L t B1n B2n wnx t Wn ωn ncπL n 1 τ1 2π ω1 2L c wn 0 t x 0 x L x 0 x L2 x L x 0 x L3 x 2L3 x L 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 5987 Os três primeiros modos de vibrar de um cabo esticado e com as duas extremidades presas E a forma geral que representa o comportamento do cabo é dada pela equação Rotacione a tela Isto é a soma de todos os possíveis modos de vibrar As constantes e são calculadas a partir das condições iniciais e requerem um processo de integração para calculálas Rotacione a tela Rotacione a tela Por exemplo vamos supor que esse cabo seja pinçado e depois solto da imagem a seguir Querse determinar seus movimentos subsequentes wx t n1 wnx t n1 sen nπx L B1n cos ncπ L t B2n sen ncπ L t B1n B2n B1n 2 L L 0 w0x sen nπx L dx B2n 2 ncπ L 0 w0x sen nπx L dx 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6087 Cabo tensionado e pinçado até a altura condições iniciais A solução desse problema é dada pela equação Rotacione a tela Como o cabo é pinçado e depois liberado a velocidade inicial é nula então temse que A equação passa a ser Rotacione a tela A outra constante não é nula e depende das condições iniciais no caso da deflexão inicial Rotacione a tela A deflexão inicial é dada por Rotacione a tela Essas expressões são substituídas na expressão da constante h wx t n1 sen nπx L B1n cos ncπ L t B2n sen ncπ L t w0x 0 B2n 0 wx t n1 B1n sen nπx L cos ncπ L t w0x B1n 2 L L 0 w0x sen nπx L dx w0x w0x 2hx L 0 x L 2 2hLx L L 2 x L B1n B1n 2 L L2 0 2hx L sen nπx L dx L L2 2hL x L sen nπx L dx 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6187 Rotacione a tela Pondo em evidência as constantes e arrumando as integrais temse Rotacione a tela Há duas situações para Rotacione a tela Observe que o valor de alterna entre 1 e 1 Rotacione a tela E assim por diante A expressão pode ser substituída por uma equivalente Rotacione a tela E assim Rotacione a tela B1n 4h L2 L2 0 x sen nπx L dx L L L2 sen nπx L dx L L2 x sen nπx L dx B1n B1n 8h π2n2 sen nπ 2 n 1 3 5 0 n 2 4 6 sennπ2 n 1 sen π 2 1 n 3 sen 3π 2 1 n 5 sen 5π 2 1 n 7 sen 7π 2 1 sen nπ 2 1 n1 2 n 1 3 5 7 B1n 8h π2n2 1 n1 2 n 1 3 5 0 n 2 4 6 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6287 A solução geral é Rotacione a tela A constante é colocada em evidência Rotacione a tela Resolvendo o somatório temse Rotacione a tela Nesse caso nenhum harmônico par é excitado pelo deslocamento Se desejarmos conhecer a posição do cabo em determinado ponto e instante de tempo basta substituir a coordenada em e o instante em Lembrando que sendo a força de tração no cabo e sua densidade linear massa por unidade de comprimento Vibrações longitudinais em barras e hastes Neste vídeo conheca os conceitos básicos de vibracões longitudinais em barras considerando também as situações em balanço extremidades livres e bi engastada Agora veremos que o caso de vibrações longitudinais em barras e hastes segue o mesmo equacionamento Aqui a vibração é longitudinal ou seja na direção do eixo da barra imagem a seguir a força traciona a barra wx t n1 8h π2n2 1 n1 2 sen nπx L cos ncπ L t wx t 8h π2 n1 1 n1 2 n2 sen nπx L cos ncπ L t wx t 8h π2 sen πx L cos cπ L t 1 9 sen 3πx L cos 3cπ L t 1 25 sen 5πx L cos 5cπ L t x t c Pρ P ρ 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6387 Barra submetida a um esforço longitudinal A equação que representa a vibração longitudinal desenvolvida na barra é Rotacione a tela A velocidade de propagação é Rotacione a tela A solução dos modos de vibrar da barra é dada pela equação Rotacione a tela Veja nas imagens as situações comuns em vigas e hastes Em balanço a c2 2ux t x2 2ux t t2 c E ρ ux t UxTt A1 cos ωx c A2 sen ωx c B1 cos ωt B2 sen ωt 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6487 Extremidades livres b Bi engastada c E cada situação apresenta uma condição de contorno conforme descrito na tabela Situação Condições de contorno Equação característica Modo normal Frequência natural Em balanço a Extremidades livres b Bi engastada c Tabela 01 Condições de contorno mais comuns em vibrações longitudinais Ricardo Teixeira da Costa Neto Unx ωn u0 t 0 u x L t 0 cos ωL c 0 B1n sen 2n 1πx 2L 2n 1πc 2L n N u x 0 t 0 u x L t 0 sen ωL c B1n cos nπx L nπc L n N u0 t 0 uL t 0 sen ωL c B1n cos nπx L nπc L n N 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6587 As constantes e são calculadas pelas expressões já apresentadas anteriormente a diferença fica por conta da função dentro da integral que agora é Rotacione a tela Rotacione a tela Considere que a barra é agora tracionada por uma força Essa força age por um certo tempo produzindo uma elongação na barra igual a e depois deixa de atuar Ou seja a barra é tracionada e depois subitamente liberada iniciase assim a fase oscilatória Confira Barra sujeita à ação de uma força axial A tensão induzida na barra pela força é igual a Rotacione a tela Sendo o módulo de elasticidade a área de seção reta Então o deslocamento da barra imediatamente antes da força ser removida deslocamento inicial é igual a observe o gráfico à direita na imagem anterior B1n B2n u0x B1n 2 L L 0 u0x sen nπx L dx B2n 2 ncπ L 0 u0x sen nπx L dx F0 δ0 F0 F0 ε F0 EA E A F0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6687 Rotacione a tela Como a velocidade inicial é zero a barra é liberada temse que Rotacione a tela A solução geral de uma barra fixa em uma extremidade e a outra livre é Rotacione a tela Uma vez que então Da tabela 01 anterior temse que Rotacione a tela E substituindo a condição chegase a Rotacione a tela Resolvendo a integral temse Rotacione a tela A solução completa é u0 ux 0 εx F0x EA 0 x L u0 u t x 0 0 0 x L ux t n0 sen 2n 1πx 2L B1n cos 2n 1πct 2L B2n sen 2n 1πct 2L u0 0 B2n 0 B1n 2 L L 0 u0x sen 2n 1πx 2L dx ux 0 B1n 2 L L 0 F0x EA sen 2n 1πx 2L dx B1n 8F0L EAπ2 1n 2n 12 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6787 Rotacione a tela O movimento de um ponto qualquer da barra por exemplo em é composto pelas amplitudes Rotacione a tela Correspondentes às frequências Rotacione a tela Lembrando que Suponha que a barra tenha os seguintes parâmetros Suponha ainda que o objetivo seja escrever os três primeiros modos de vibração ou seja em função de A equação é Rotacione a tela Substituindo os valores temse ux t 8F0L EAπ2 n0 1n 2n 12 sen 2n 1πx 2L cos 2n 1πct 2L x x0 B1n sen 2n 1πx0 2L 2n 1πc 2L c Eρ E 200GPa A 2 6 103m2 L 1 0m ρ 7800kgm3 I 4 7 106m4 n 2 F0 ux t 8F0L EAπ2 n0 1n 2n 12 sen 2n 1πx 2L cos 2n 1πct 2L 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6887 Rotacione a tela Para Rotacione a tela Para Rotacione a tela Para Rotacione a tela A expressão total é Rotacione a tela As três primeiras frequências naturais são 8F0L EAπ2 81 0 200 109 2 6 103π2 F0 1 56 109F0m c Eρ 200 1097800 5 06 103ms n 0 10 20 12 sen 20 1πx 21 0 cos 20 1πct 21 0 sen πx 2 cos πct 2 n 1 11 21 12 sen 21 1πx 21 0 cos 21 1πct 21 0 1 9 sen 3πx 2 cos 3πct 2 n 2 12 22 12 sen 22 1πx 21 0 cos 22 1πct 21 0 1 25 sen 5πx 2 cos 5πct 2 ux t F0 1 56 109 sen πx 2 cos πct 2 1 9 sen 3πx 2 cos 3πct 2 1 25 sen 5πx 2 cos 5πct 2 c 5 06 103ms 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 6987 Rotacione a tela Se agora há uma mola helicoidal vinculada à extremidade livre da barra observe na imagem Barra em balanço sujeita à ação de uma força axial produzida por uma mola helicoidal de rigidez A equação diferencial que representa o movimento axial de cada seção transversal da barra é Rotacione a tela Uma vez que a extremidade em é fixa temse a condição de contorno Usando a equação Rotacione a tela E substituindo a condição de contorno para a extremidade engastada lembrando a separação de variáveis ω0 20 1πc 21 0 5 06 103 π 2 7 95 103rads 1265Hz ω1 21 1πc 21 0 5 06 103 3π 2 23 85 103rads 3795Hz ω2 22 1πc 21 0 5 06 103 5π 2 39 74 103rads 6325Hz Fk km E ρ 2u x2 2u t2 x 0 u0 t 0 ux t UxTt A1 cos ωx c A2 sen ωx c B1 cos ωt B2 sen ωt U0 A1 cos ω0 c A2 sen ω0 c 0 A1 cos ω0 c 0 A1 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7087 Rotacione a tela A tensão normal na extremidade livre deve ser igual à força desenvolvida pela mola a cada instante Rotacione a tela Sendo Rotacione a tela Então Rotacione a tela Daí temse que Rotacione a tela Os termos que dependem do tempo são os mesmos então podese afirmar que Rotacione a tela Resolvendo temse EA u x L t kmuL t ux t x x A2 sen ωx c B1 cos ωt B2 sen ωt ux t x A2 ω c cos ωx c B1 cos ωt B2 sen ωt EA A2 ω c cos ωL c B1 cos ωt B2 sen ωt km A2 sen ωL c B1 cos ωt B2 sen ωt EA A2 ω c cos ωL c km A2 sen ωL c EA ω c cos ωL c km sen ωL c EA ω c km tg ωL c 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7187 Rotacione a tela Ou Rotacione a tela Fazendo Temse que Rotacione a tela Assumindo Temse Rotacione a tela A equação é uma equação transcendental e a solução não trivial mais próxima é resolva numericamente A frequência fundamental é Rotacione a tela Essa é a frequência mais baixa em que a barra irá vibrar nessas condições EA L ωL c km tg ωL c ψ ωLc EA Lkm ψ tg ψ E 200GPa A 3 0 106m2 L 2 0m ρ 7800kgm3 km 2 0 105Nm 200 109 3 0 106 2 0 2 0 105 ψ tg ψ 1 5ψ tg ψ 1 5ψ tg ψ ψ 1 907rad ωfund ψ L E ρ 1 907 2 0 200 109 7800 4 83 103rads 786Hz 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7287 Vibração transversal em vigas Neste vídeo entenda os conceitos de vibrações transversais em vigas e conheça a teoria de vigas estreitas ou de EulerBernoulli Vimos como são os modos de axiais de vibrar de uma viga ou barra quando a oscilação se dá ao longo do eixo longitudinal da viga Agora passamos ao caso em que a viga oscila em um eixo transversal também é chamada de vibração lateral observe a imagem Exemplo de viga submetida à vibração transversal sendo que o eixo w pode ser tanto um eixo vertical quanto lateral A viga é submetida a momento fletor e a esforço cortante e da teoria de vigas estreitas ou de EulerBernoulli a relação entre momento fletor e esforço cortante é Rotacione a tela Sendo o módulo de elasticidade módulo de Young e é o momento de inércia da seção reta da viga em relação ao eixo perpendicular ao plano da imagem vista anteriormente A equação de movimento para vibrações forçadas é a força por unidade de comprimento de uma viga não uniforme é magem Massa da viga distribuída por sete massas individuais conectadas por molas Mx t EIx 2w x2 x t E Ix fx t 2 x2 EIx 2w x2 x t ρAx 2w x2 x t fx t 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7387 Rotacione a tela Se a viga é uniforme a área e o momento de inércia não variam ao longo do eixo então e ambos são constantes e a expressão se torna Rotacione a tela E se o problema for de vibrações livres Rotacione a tela E nesse caso Rotacione a tela Observe que a equação é de 4ª ordem e por isso precisamos de quatro condições de contorno para encontrar uma solução única para o problema Geralmente os valores de deslocamento e velocidade são definidos como e em Daí Rotacione a tela E para vibrações livres usando separação de variáveis temse Rotacione a tela Reescrevendo x Ax A Ix I EI 4w x4 x t ρA 2w x2 x t fx t fx t 0 EI 4w x4 x t ρA 2w x2 x t 0 EI ρA 4w x4 x t 2w x2 x t 0 c EI ρA w0x w0x t 0 wx t 0 w0x w x x t 0 w0x wx t WxTt 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7487 Rotacione a tela As equações agora estão separadas Rotacione a tela Rotacione a tela Fazendo temse Rotacione a tela Rotacione a tela A solução geral agora inclui outras funções trigonométricas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico c2 Wx d4Wx dx4 1 Tt d2Tt t2 α ω2 α 0 c2 EI ρA d4Wx dx4 ω2 c2 Wx 0 d2Tt t2 ω2Tt 0 β4 ω2c2 ω2ρAEI d4Wx dx4 β4Wx 0 d2Tt t2 ω2Tt 0 senh cosh Wx A1 cos βx A2 sen βx A3 cosh βx A4 senh βx Tt B1 cos ωt B2 sen ωt 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7587 Rotacione a tela A frequência natural é dada por Rotacione a tela A função é a função característica da viga e representa os modos normais de vibrar Para uma viga há infinitos modos normais cada um deles associado a uma frequência natural As constantes e e o valor de advêm das condições de contorno Vejamos o que acontece quando a viga é engastada em uma extremidade e também Rotacione a tela Sabese que e que então Rotacione a tela Para sabese que derivada de não há troca de sinal e que a derivada de Então Rotacione a tela Em Rotacione a tela Se a extremidade é livre tanto o momento fletor quanto a força cortante são nulos então respectivamente ω β2 EI ρA Wx A1 A2 A3 A4 β W0 0 wx 0 Wx A1 cos βx A2 sen βx A3 cosh βx A4 senh βx cosh 0 1 senh 0 0 W0 A1 cos β0 A2 sen β0 A3 cosh β0 A4 senh β0 A1 A3 0 wx 0 cosh x senh x senh x cosh x dW dx β A1 sen βx A2 cos βx A3 senh βx A4 cosh βx x 0 dW0 dx β A1 sen β0 A2 cos β0 A3 senh β0 A4 cosh β0 A2 A4β 0 EI 2w x2 0 e x EI 2w x2 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7687 Rotacione a tela Então para o momento fletor em Rotacione a tela E para o esforço cortante em Rotacione a tela São então quatro equações para as condições de contorno de uma viga com uma extremidade engastada e outra livre Rotacione a tela Agora admita que na extremidade livre da viga é colocada uma massa observe a imagem Viga em balanço com uma massa na extremidade livre Nesse caso o esforço cortante não é mais nulo e sim deve ser igual à inércia da massa x L d2W dx2 β2 A1 cos βx A2 sen βx A3 cosh βx A4 senh βx d2WL dx2 β2 A1 cos βL A2 sen βL A3 cosh βL A4 senh βL 0 x L x d2WL dx2 β3 A1 sen βL A2 cos βL A3 senh βL A4 cosh βL 0 A1 A3 0 A2 A4β 0 β2 A1 cos βL A2 sen βL A3 cosh βL A4 senh βL 0 β3 A1 sen βL A2 cos βL A3 senh βL A4 cosh βL 0 m m m EI d3WL dx3 mω2WL 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7787 Rotacione a tela O primeiro membro da equação é Rotacione a tela O segundo membro é Rotacione a tela Substituindo temse Rotacione a tela Igualando primeiro e segundo membros obtémse Rotacione a tela Admitindo apenas para facilitar o desenvolvimento Rotacione a tela EIβ3 A1 sen βL A2 cos βL A3 senh βL A4 cosh βL WL mω2 A1 cos βL A2 sen βL A3 cosh βL A4 senh βL ω β2EIρA WL mβ4 EI ρA A1 cos βL A2 sen βL A3 cosh βL A4 senh βL ρA m sen βL β cos βLA1 ρA m cos βL β sen βLA2 ρA m senh βL β cosh βLA3 ρA m cosh βL β senh βLA4 0 γ1 ρA m sen βL β cos βL γ2 ρA m cos βL β sen βL 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7887 Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela É preciso resolver um sistema de quatro equações para resolver as quatro incógnitas e Para isso escrevese as quatro equações em forma matricial isolando as variáveis Rotacione a tela E para que a equação tenha solução não trivial é preciso que o determinante da matriz seja nulo Rotacione a tela Para que isso ocorra é preciso satisfazer a equação tendo o produto como incógnita resolver numericamente Rotacione a tela Considerando γ3 ρA m senh βL β cosh βL γ4 ρA m cosh βL β senh βL A1 A2 A3 A4 0 1 0 1 0 0 β 0 β β2 cos βL β2 sen βL β2 cosh βL β2 senh βL γ1 γ2 γ3 γ4 A1 A2 A3 A4 0 1 0 1 0 0 β 0 β β2 cos βL β2 sen βL β2 cosh βL β2 senh βL γ1 γ2 γ4γ3 βL 1 cosβL coshβL βL m ρAL cosβL sinhβL coshβL sinβL 0 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 7987 Temse Rotacione a tela A menor solução para a equação é e como A frequência fundamental é Rotacione a tela Observe que essa solução é para viga engastada em uma extremidade e livre na outra Para outros tipos de apoio as condições de contorno mudam Barras e vigas sujeitas à vibração torcional Neste vídeo conheça os conceitos sobre vibrações torcionais em vigas relacionados por exemplo aos movimentos de um veículo em função do perfl da estrada Na imagem a seguir são mostradas a barra engastada e sua seção reta em destaque m 10kg A 2 6 103m2 L 1 0m E 200GPa ρ 7800kgm3 I 4 7 106m4 m ρAL 10 7800 2 6 1031 0 0 493 βL 1 423 L 1 0m β 1 423 ωf β2 EI ρA 1 4232 200 109 4 7 106 7800 2 6 103 1 4232215 3 435 95rads 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8087 Barra circular engastada e em balanço com sua seção reta sujeita a um momento na imagem acima à direita e apresentando deflexão angular na imagem abaixo e à direita Se é o ângulo de torção da seção reta a relação entre deflexão angular e o momento de torção é dada por Rotacione a tela O termo é o momento polar de inércia da seção reta enquanto é o módulo de cisalhamento Considerando que seja o momento polar de inércia de massa do eixo por unidade de comprimento o torque de inércia agindo no elemento de seção e espessura será Rotacione a tela Para não haver confusão Momento polar de inércia de uma seção transversal Descreve a resistência à deformação por torção de um eixo sem ocorrer empenamento da seção considerada Momento polar de inércia de massa do eixo por unidade de comprimento Descreve a resistência à deformação por torção de um eixo a cada unidade de comprimento se a seção transversal do eixo é uniforme então sendo a densidade de massa do eixo Observe a imagem anterior Caso um torque externo aja sobre o eixo em cada unidade de comprimento temse a equação de movimento Rotacione a tela Mtx t θx t θx t Mtx t Mtx t GIx θ x x t Ix S G J0 S dx J0dx 2θ t2 J0 ρI ρ fx t Mtx t dMtx t fx t Mtx t J0dx 2θ t2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8187 Falta determinar a expressão da parcela Ela pode ser expressa como Rotacione a tela E aí a equação de movimento passa a ser as parcelas se cancelam Rotacione a tela Ou ainda sabendo que Rotacione a tela Chegase a Rotacione a tela Se o eixo é uniforme é constante o parâmetro depende do material então Rotacione a tela No caso de vibrações livres resultando em dMtx t dMtx t Mtx t x dx Mtx t Mtx t x dx fx t J0dx 2θ t2 Mtx t GIx θ x x t x GIx θ x x t fx t J0dx 2θ t2 Ix G GI 2θ x2 x t fx t J0 2θ t2 fx t 0 GI J0 2θ x2 x t 2θ t2 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8287 Rotacione a tela A equação é do tipo diferencial parcial e deve ser resolvida pelo método de separação de variáveis aplicável a esse tipo de problema Veja nas imagens a seguir as situações comuns em vigas e hastes sujeitas à torção Em balanço a Extremidades livres b Bi engastada c As condições de contorno estão listadas na Tabela 02 Situação Condições de contorno Equação característica Modo normal Frequência natural Em balanço a Θnx ωn θ0 t 0 θ x L t 0 cos ωL c 0 B1n sen 2n 1πx 2L 2n 1πc 2L n N 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8387 Situação Condições de contorno Equação característica Modo normal Frequência natural Extremidades livres b Bi engastada c Tabela 02 Condições de contorno mais comuns em vibrações torcionais Ricardo Teixeira da Costa Neto A equação que representa as oscilações torcionais de uma viga é Rotacione a tela Uma aplicação do equacionamento apresentado anteriormente é em uma fresadora paralela O objetivo é determinar as frequências naturais da fresa plana mostrada na próxima imagem quando uma extremidade no caso a haste de comprimento é fixa Quanto à haste o módulo de cisalhamento é o momento polar de inércia da seção transversal é O momento polar de inércia de massa da fresa é Fresadora paralela A condição de contorno em é Θnx ωn θ x 0 t 0 θ x L t 0 sen ωL c B1n cos nπx L nπc L n N θ0 t 0 θL t 0 sen ωL c B1n cos nπx L nπc L n N θx t ΘxTt A1 cos ωx c A2 sen ωx c B1 cos ωt B2 sen ωt L G J I0 x L 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8487 Rotacione a tela Isto é Rotacione a tela Manipulando a equação obtémse Rotacione a tela Essa é uma equação transcendental do tipo e deve ser resolvida numericamente Para cada valor de encontrase o valor da frequência natural Rotacione a tela Na prática a fresa é movida pela extremidade aqui considerada fixa onde lhe é imposto um torque A extremidade de corte enfrenta a resistência do material fresado enquanto gira quando a aresta de corte encosta no material tem seu movimento momentaneamente interrompido até que consiga vencer a resistência ao corte e voltar a girar Só que a outra extremidade está presa à fresadora e continua girando movida pelo motor da máquina A ferramenta então passa por sucessivos e curtos ciclos de torção cada vez que uma das arestas de corte encosta no material que está sendo fresado esse é o seu movimento oscilatório Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos Questão 1 GI θ x L t J0 2θ t2 L t A2GI ω c cos ωL c A2J0ω2 sen ωL c ωL c tg ωL c IρL J0 ψ tg ψ χ ψ ω c L ψ 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8587 Uma barra tem equação característica e expressão de velocidade de propagação de onda Esse é o caso de barra Parabéns A alternativa C está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EEsse20C3A920o20caso20da20barra20engastada20em20uma20extremidade20e20livre20em20outra2C20 Questão 2 Calcule a velocidade das ondas torcionais no eixo sólido em que e diâmetro igual a cosωLc 0 c Eρ A bi engastada e sujeita à torção B engastada em uma extremidade e livre em outra sujeita à torção C engastada em uma extremidade e livre em outra sujeita à tração D bi engastada e sujeita à tração E bi apoiada e sujeita à flexão G 25 5GPa ρ 2700kgm3 20mm A 3 01 103 B 5 21 103 C 6 47 103 D 7 25 103 E 8 47 103 21112023 1532 Tipos de vibragao Parabéns A alternativa A esta correta 0A202020202020202020202020202020203Cp20class3Dcparagraph20utitle medium3EA20expressC3A3020da20velocidade20para20uma20barra20submetida20C3A020torC3A7C3A3020C3A paragraph20utitlemedium20ucentered20c table3E24240A20202020202020202020202020202020C3D5Csqrt7B5Cfrac7BGD7B5Crho7D7Dz Sistemas com varios graus de liberdade podem ser abordados de trés maneiras diferentes A primeira é a que considera sistemas discretos em que ha clara definigado de cada um de seus elementos massas molas e amortecedores Chegase as equagdes de movimento por meio dos diagramas de corpo livre e das equagées constitutivas dos elementos elasticos Esse é 0 caso dos osciladores harménicos de trés graus de liberdade sejam de translagao sejam de rotacao Dai escrevese 0 sistema de equacgdes de movimento em forma matricial e os valores de suas frequéncias naturais sao calculados a partir dos autovalores da matriz dinamica A outra abordagem é empregada nos sistemas continuos como vigas barras e eixos em que a massa esta distribuida em seu volume Abremse agora duas vertentes Uma é a que substitui a viga ou barra ou haste ou eixo ou cabo por uma mola com rigidez equivalente Isso permite investigar o efeito que suas propriedades produzem em uma massa ou em um sistema mas nao se consegue avaliar os modos de vibrar do prdéprio elemento Ja a outra vertente é a que trata o elemento como se fosse composto por varias massas interconectadas por elementos elasticos de rigidez e de amortecimento discretizando o sistema em parametros concentrados E ai reduzse 0 esforgo computacional e conseguese avaliar os modos de vibrar do elemento de uma forma mais aproximada da completa quanto maior for o numero de graus de liberdade mais préximo sera o resultado Por fim vimos a abordagem completa por meio da equagao de onda Nesse caso conseguese calcular as varias frequéncias naturais de um elemento continuo e seus varios correspondentes modos de vibrar Essa forma é adotada quando se quer avaliar o comportamento do elemento A escolha de cada abordagem deve ser criteriosa e atender aos requisitos do projeto Oucga um resumo dos principais topicos abordados como sistemas com mais de dois graus de liberdade vibragdes em vigas e barras considerando rigidez equivalente e vibragdes em meio continuo Para ouvir 0 gudio acesse a versao online deste conteudo httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 14 1indexhtml 8687 21112023 1532 Tipos de vibração httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07141indexhtml 8787