Capítulo 3: Sistemas Lineares - Definições e Exemplos

Capitulo 3 e e Sistemas Lineares Para trabalhar com sistemas lineares é necessario estudar inicialmente as equacdes lineares e como obter o conjunto solucao para estas 31 Equacgoes lineares Definigao 31 Toda equagdo que pode ser escrita na forma a4x1 a2rQ ann onde aj 2 Qn b Re x 2 Ln Sado incdgnitas uma equagao linear Os niimeros reais a1 a2 Gn sao chamados de coeficientes da equacao linear e b é chamado de termo independente Exemplo 31 A equacéo 2x 8 é uma equacdo linear com coeficiente 2 incdgnita x e termo independente igual a 8 Exemplo 32 A equacéo 2x 3y 3 é uma equagdo linear com coeficientes V2 e 3 incdgnitas x ey e termo independente igual a 3 Exemplo 33 A equacéo x3y5zw 9 nado é uma equagdo linear pois o expoente da incognita x é 4 1 ja que x gt2 Exercicio 31 Quais das equacdes abaixo sao equacoées lineares a 27 sen3y V3z v2 b e 235 c 2fe2y2z0 d senx consx 3 e emay 729 7323 T 25 26 CAPITULO 3 SISTEMAS LINEARES Resposta Apenas as equacoes dos itens a e e Definigaéo 32 Dada uma equacao linear ax a2Qg ant b dizse que vy k ro ka tn kn ou a Enupla kykekn uma solugao da equacao se e somente se a igualdade ayky agk2ankyn b é satisfeita Exemplo 34 O par ordenado 53 uma solugao para a equagaéo 2x 3y 1 pois 25331091 Exemplo 35 As ternas 112 e 201 sdo solugées para a equagao 2y3z 5 pois 12143212465 e 2420431240435 Exemplo 36 A quadrupla 2120 nao é solugao para a equagao 2x3y2zw 2 pois 2243122044344032 Exercicio 32 Determine quais das seguintes ternas u 524 uw2 523 u3 231 ua 226 e us 311 sAo solugdes particulares da equacgao 2x4 3y2z 10 Resposta Entre as ternas acima apenas u2 e u4 sao solucdes da equacao Definicgaéo 33 O conjunto formado por todas as solugdes de uma equacao linear é chamado conjunto solugao ou solugao geral ou solugao da equagao Tal conjunto sera denotado por S Em cada um dos trés ultimos exemplos verificamos se uma énupla era ou néo uma solucao de uma equacao Nosso objetivo a partir de agora sera encontrar o conjunto solucao para equacoes lineares Iniciaremos com um tipo particular de equacoes lineares as equa codes lineares degeneradas Definicgaéo 34 Dizse que uma equagdo ax a92 antyn b uma equagdo linear degenerada quando todos os coeficientes da equacao sao iguais a zero Teorema 31 Dada uma equacao linear degenerada ax1 aoq dnt 0b temos que 31 EQUACOES LINEARES 27 Se b0 entao a equacao nao tem solugéo e portanto S 0 e Se b0 entado qualquer énupla é solucéo da equagao e portanto S IR a1n1An R A demonstracéo do teorema 31 nao sera feita nesta apostila abaixo sera dado um exemplo no qual utilizase o teorema 31 para determinar o conjunto solucao para duas equacoes degeneradas Exemplo 37 Encontre o conjunto solucado para as seguintes equagdes a 020y020w1 b 02 0y02 0 Solugao A equacéo 0a0y020w 1é uma equagdao linear degenerada com termo independente diferente de zero Logo pelo teorema 81 a equacao nao tem solucao e portanto S A equacdo 0c0y0z2 0 uma equacdao linear degenerada com termo independente igual a zero Logo pelo teorema 31 toda terna é solugdéo da equacéo e portanto S IR Exercicio 33 Obtenha o conjunto solucao das seguintes equacoes lineares a 021 0x2 023 024025 V2 b O21 0r20 c Or 0y0z0w 0 d 0x1 0x2 0x3 0244 0x5 0 e 0x 10 f 0x1 0x2 10 g 0x1 Ox2 0x3 0x4 0001 h 021 0 Resposta a S b SIR cSR dSR eS fS gS hSR Agora vamos estudar a solucao de equacoées lineares nao degeneradas Co megaremos estudando as equagoes lineares nao degeneradas que possuem apenas uma incognita Considere uma equacao linear néo degenerada qualquer que tenha apenas uma incognita digamos ax b Como a 0 segue que ax b b axbS7 a a a Logo 0 conjunto solucéo é S 2 Exemplo 38 O conjunto solugdo da equacao linear 5x 3 S 3 pots 3 bx 3 5 28 CAPITULO 3 SISTEMAS LINEARES Enquanto que o conjunto solugéo da equacdo 34 2528 S 3 pois 3x 425748 3454 825 22 6 2462 23 Exercicio 34 Obtenha o conjunto solucao das seguintes equacoes lineares a 2x7 b 3a2 c9x0 d V2x2 e ra2 Resposta a S 3 b S 3 cS0 dS va e S 2 Agora considere uma equacéo linear néo degenerada qualquer que tenha mais de uma incognita digamos ax a2924n27 b Como a equacao linear é nao degenerada existe pelo menos um coeficiente da equacao diferente de zero seja a 0 coeficiente diferente de zero com menor indice Neste caso chamaremos a incdgnita x de incdgnita principal e as demais incdgnitas chamaremos de variaveis livres Para obter uma solucaéo particular de uma equacao linear nao degenerada com mais de uma incdgnita basta atribuir valores as varidveis livres e isolar a incégnita principal Exemplo 39 Considere a equacao linear E 02 0x22 273 0274 25 326 10 Temse que a equacao linear nao é degenerada e sua incégnita principal x3 Logo 122X405eX6 Sdo as varidveis livres da equacao Fazendo rz 1 r 2 4 2 r1 e x6 0 obtémse 01024 273021430105 0023014010 23 101 x3 92 Logo 1 23 2 1 0 é uma solugao particular da equagdao E Para obter o conjunto solucdo precisase obter todas as solucdes particu lares E para isto basta isolar a incégnita principal e assim obter a solugéo em fungéo das varidveis livres O exemplo a seguir ilustra isto 32 SISTEMAS LINEARES 29 Exemplo 310 Considere a equacao linear 0x1 0x2 243 024253210 A incognita principal x3 e as varidveis livres sdo 1 2 La L5 Xe Dai segue que Ov Ore 2734 0744 45 3x6 10 002730453 10 223 10245 36 1025 36 3 2 Logo o conjunto solugao da equacao 010x222302427536 10 0 conjunto S 2122 M09 S00 o42526 52102041526 R Em relacéo 4 quantidade de solugdes para uma equacaéo linear pelo que vimos até entao podemos fazer as seguintes observac6es Observagoes 1 uma equacao degenerada pode nao ter nenhuma solucao ou infinitas solucoées 2 uma equacéo nao degenerada com mais de uma incdgnita possui infinitas so lugGes e 3 uma equacao nao degenerada com uma Unica incégnita possui uma unica so lugcao 32 Sistemas Lineares Definicgaéo 35 Um conjunto L com m equacées lineares Ey Eo Em de n incég nitas 1 2 Ln chamado sistema linear Segue abaixo a forma genérica de um sistema linear com m equagoes e n incdégnitas ayyzy tayox otain n bi FE primeira equacao aq1 jy tat o9 dont n b Ez segunda equagao Amif 1Am2t 2Gmnt n bm Em mésima equacao Definigaéo 36 Dizse que uma énupla a1 a2 An uma solugao ou uma so lugao particular do sistema linear se e somente se a1 a2 An solugdo de cada uma das equacées do sistema 30 CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES Exemplo 311 A terna 123 é uma solução do sistema linear x y z 6 x y z 2 x y z 0 pois 123 é solução de cada uma das equações do sistema já que 1 2 3 6 1 2 3 2 e 1 2 3 0 Exercício 35 Verifique se a terna u é solução do sistema L onde a u 13 e L x 3y 10 3x 2y 9 b u 103 e L x 3y 2z 5 3x 2y 2z 9 c u 123 e L x 3y 2z 5 3x 2y 2z 13 1x 1y 1z 6 4x 0y 2z 9 d u 1234 e L x y z w 2 x y z 2z 6 2x 0y 3z 0w 10 Resposta Apenas no itens a e b têmse que u é solução do sistema L Definição 37 O conjunto formado por todas as soluções do sistema linear é chamado conjunto solução ou solução geral ou solução Tal conjunto denotaremos por S Definição 38 Dados dois sistemas lineares L1 e L2 dizse que L1 e L2 são sistemas lineares equivalentes se o conjunto solução de L1 é igual ao conjunto solução de L2 Nosso objetivo a partir de agora é encontrar o conjunto solução para qualquer sistema linear de m equações e n incógnitas Vamos iniciar com um sistema linear que denominamos que está na forma escalonada mas antes precisamos da seguinte definição Definição 39 Dizse que um sistema linear está na forma escalonada quando o sis tema é formado apenas por equações não degeneradas e a incógnita principal de qualquer uma das equações do sistema está à direita da incógnita principal da equa ção precedente ênupla 32 SISTEMAS LINEARES 31 Exemplo 312 Considere os sistemas L1 2x1 3x2 3x3 0x4 2x5 9 3x3 5x4 6x5 0 3x4 7x5 6 e L2 2x1 3x2 3x3 0x4 2x5 9 3x3 5x4 6x5 0 3x4 7x5 6 5x4 7x5 3 O sistema L2 não está na forma escalonada pois a incógnita principal da quarta equação não está à direita da incógnita principal da terceira equação Enquanto que o sistema L1 está na forma escalonada pois a incógnita principal da segunda equação que é x3 está à direita da incógnita principal da primeira equação que é x1 e a incógnita principal da terceira equação que é x4 está à direita da incógnita principal da segunda equação Definição 310 Dado um sistema linear escalonado dizse que xj é uma variável livre do sistema se xj não for incógnita principal de nenhuma das equações do sistema Exemplo 313 O sistema L1 2x1 3x2 3x3 0x4 2x5 9 3x3 5x4 6x5 0 3x4 7x5 6 tem duas va riáveis livres que são x2 e x5 Um caso particular de sistemas que estão na forma escalonada são os sistemas na forma triangular Definição 311 Dizse que o sistema linear está na forma triangular quando o sis tema linear está na forma escalonada e o número de equações que formam os sistema é igual ao número de incógnitas do sistema abaixo temos um sistema linear genérico na forma escalonada a11x11 a12x12 a13x13 a1n1x1n1 a1nx1n b1 a22x22 a23x23 a2n1x2n1 a2nx2n b2 a33x33 a3n1x3n1 a3nx3n b3 an1n1xn1n1 an1nxn1n bn1 annxnn bn 32 CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES Exemplo 314 Considere os sistemas L1 2x1 3x2 3x3 0x4 2x5 9 3x3 5x4 6x5 0 3x4 7x5 6 e L2 2x1 3x2 3x3 0x4 2x5 9 5x2 3x3 5x4 6x5 0 2x3 3x4 7x5 6 5x4 7x5 3 2x5 1 O sistema L1 não está na forma triangular pois ele tem 5 incógnitas e três equa ções Enquanto que o sistema L2 está na forma triangular pois ele está na forma escalonada e o número de incógnitas é igual ao número de equações 33 Resolução de sistemas Nesta seção iremos obter o conjunto solução dos sistemas lineares começando com os sistemas lineares que estão na forma triangular depois os que estão na forma escalonada que tem menos equações do que incógnitas e por fim os sistemas lineares que não estão na forma escalonada 331 Resolução de sistemas triangulares Seja L um sistema linear na forma triangular formado pelas equações E1E2En de n incógnitas x1x2 xn Para obter a solução de L procedese da seguinte maneira Obtémse xn na equação En Substitui na equação precedente En1 o valor de xn e isolase xn1 obtendo o valor de xn1 Substitui na equação precedente En2 o valor de xn e xn1 e isolase xn2 obtendo o valor de xn2 E assim por diante até substituir na equação E1 o valor de xn xn1 x2 e isolar x1 33 RESOLUCAO DE SISTEMAS 33 Exemplo 315 Considere o sistema linear 2x1 322 3234027425 9 229 37357465 2 234475 0 84325 2 245 4 Temos pela ultima equagao que 245 4 75 2 Substituindo x5 2 na quarta equacao obtemos 824 35 2 8432 2 844 8 S 1 1 Substituindo x5 2 e x4 1 na terceira equacado obtemos 2x3 4044 7r5 0 273 41472 0 273 10 5 73 5 Substituindo x5 2 t41 e x3 5 na segunda equacdo obtemos 2x 323 5244 645 2 2x2 3551462 2 229 30 rq 15 Substituindo x5 2 t41 73 5 e 2 15 na primeira equacao obtemos 2x1 3x2 3234 0x44 2x5 9 271 315 35 014229 35 2 35 27 2D 35 Logo S F15512 Exercicio 36 Resolva os seguintes sistemas lineares x 2 32 O x 2 32 2 a 3y 6 9 b By 22 4 22 2 32 4 le 4y 8 2w 10 la 24 lz 2w 0 ly 22 lw 2 2y 42 2w 0 c d 3z 2w 10 bz 2w O 2w 2 jw 0 Resposta a S7 5 1 6 S 3 3 c S 0 f 3 1 d S0 0 0 0 34 CAPITULO 3 SISTEMAS LINEARES 332 Resolucao de sistemas na forma escalonada e nao triangular Para resolver um sistema linear na forma escalonada que nao esta na forma triangu lar isolase as varidveis principais do sistema no primeiro membro de cada equacao obtendo assim um sistema que pode ser resolvido de forma similar a um sistema triangular Mas neste caso a solucao ficaraé em funcdo das varidveis livres Como podemos observar no exemplo abaixo Exemplo 316 Considere o sistema linear lay 22432324 10 23 47 4 Solucgao Temos que x1 x3 sdo as incognitas principais do sistema Logo isolando as incégnitas principais do sistema no primeiro membro de cada uma das equacées obtemos lv DX3 1294 243 4424 Temos pela ultima equagao que 23 444 73 i 73 224 Substituindo x3 22x4 na primeira equacao obtemos lay323 12xrqa4 1132204 12x9404 116 624 1249424 t 5 220 724 Logo S 5 2arg Tara 22 20404 K R Exercicio 37 Resolva os seguintes sistemas lineares x 2 32 O x 2 32 2 a b 3y 62 9 2z 5 le 4y 8 2w 10 la 2 lz 2w 3 c ly 22 lw 2 4 2y 42 2Qw 2 2w 4 Resposta a Sz6 322 zzER b S 2y 4 Y 5syeR c S2 422 z 2zeER d S55z24u 12zu z wz we R 33 RESOLUCAO DE SISTEMAS 35 333 Resolucao de sistema que nao esta na forma escalonada A partir de agora nosso objetivo é obter o conjunto solucéo para um sistema linear qualquer mas para atingir esse objetivo precisase das operacoes definidas a seguir e da definicao de sistemas equivalentes Definicéo 312 Dados dois sistemas lineares L e L dizse que L e L sao sistemas equivalentes se os dois sistemas lineares possuem o mesmo conjunto solugdao Seja L um sistema linear arbitrdrio com equacdes FE Eo En de incdgnitas Y1 2 Ln qualquer uma das operacdes Ol O2 O3 e O4 definidas abaixo aplicadas no sistema L nos dé um novo sistema equivalente a L Ol FE E permutar a equagao FE com a equacao E O02 k E com k 0 substituir uma equacaéo por um miltiplo dessa equa cao O03 kBjy EB Ej O4 kE Ecom c 0 As operagdes Ol O2 e O3 séo chamadas operagées elementares A operacéo O4 definida acima é uma juncéo das operacoes O2 e O3 Dado um sistema linear que nao esteja na forma escalonada e nao tenha uma equacéo degenerada o algoritmo apresentado a seguir utilizard as equacdes elementares para obter um sistema linear na forma escalonada ou com uma equa cao degenerada linear equivalente ao sistema dado Algoritmo Passo 0 Tome il e mn Passo 1 Selecione entre as incégnitas principais do sistema linear formado pelas equa goes Fj F41 Em a incdgnita com menor indice para facilitar a compreen sao digamos que tal incégnita seja rp 36 CAPITULO 3 SISTEMAS LINEARES Passo 2 Examine o sistema a Se a incégnita x for incdgnita principal da equacgao E passe para o pro ximo passo b Caso contraério permute a iésima equacgaéo com uma equagéo cuja a incég nita principal seja xz Passo 3 Para todo j i1m que satisfaga aj 0 aplique aEajzE Ej Passo 4 Retire do sistema todas as equacdes degeneradas com termo independente igual a zero caso o sistema obtido no passo 3 tenha alguma Passo 5 Examine as equacoes do sistema obtido a Se o sistema obtido estiver na forma escalonada ou possuir uma equacéo degenerada com termo independente diferente de zero pare o procedimento b Caso contrario faga ii1 em igual ao nimero de equagoes do sistema e volte ao 1 Passo Exemplo 317 Resolva os sequintes sistemas lineares 00 O42 343 4 la 5 a Ly 00 249 443 4 244 3 00 240 943 344 18 00 602 903 Taq 14 Ox 2y 38 5 b Lo 2x7 38y 42 7 da 4y Tz 8 6x 9y 122 21 lx 2y 32 4 0 La 2x Sy 8 Il 2a Sy 10z 14 x 3y Tz Il Solugao 00 O42 343 La 5 aL 001 249 443 244 38 00 249 943 3844 13 00 622 943 Taq 14 33 RESOLUCAO DE SISTEMAS 37 Passo 0 t1 e m4 Passo 1 As incégnitas principais das equacées Ey E 9 E3 E sdo x2 3 logo a incognita principal com menor indice é x2 Passo 2 xq nao é incégnita principal de Ey e é incégnita principal de E2 Logo aplicase a operacao E E Obtendo assim o sistema 00 249 443 4 244 3 00 O42 343 4 la 5 00 240 943 344 18 001 642 943 Va4 14 Passo 3 Temos j 234 porémapenas a32 0 e agg 0 Logo aplicase a opera G0 aj2E aj2E Ej para j 34 Ou seja a32E aj2E3 E3 ou 2E 2E3 Es e a42E ayoE4 Eq ou 6E 2Eq Ey Obtendo assim o sistema linear 00 2049 443 244 3 07 O42 3843 lag 5 00 Oo 2643 1044 32 00 Ow 643 24 10 Passo 4 Nao existe equacdes degeneradas com termo independente nulo Logo passe para o passos 5 Passo 5 O sistema nao possui equacao degenerada e nem é um sistema linear na forma escalonada logo fazsei112 m4 e voltase para o passo 1 Passo 1 Selecionando entre as incdgnitas principais das equagées EE3 e E a incégnita com menor indice obtémse x3 Passo 2 Como x3 é incognita principal de Ex podemos ir ao préximo passo Passo 3 Temos que j 3 4 Além disso a33 0 e a43 0 Logo aplicase a operacao elementar a33E9 0233 E3 ou 26E3E3 E3 38 CAPITULO 3 SISTEMAS LINEARES a43E2 a93E4 Eq ou 6E3Eq Eq Obtendo assim o sistema linear 00 209 4943 244 3 00 O2 343 La 5 07 O72 O43 5644 226 00 Om O43 O44 0 Passo 4 Retire do sistema a equacao degenerada com termo independente nula 00 209 4943 244 3 00 O2 343 La 5 00 Oo2 O43 5644 226 Passo 5 O sistema linear esté na forma escalonada encerrase o algoritmo Resolvendo o sistema linear obtido encontrase o conjunto solucao 53 9s 118 s 2355 in er Os itens b e c serao resolvidos pelo mesmo algoritmo visto acima porém nao serao escritos todos os detalhes b Or 2 3 5 FE Eo 2a 8y 4 7 3a 4y 7z 3 62 9y 122 21 2a 8y 4 7 Or 2y 32 5 3a 4y Tz 8 3 2F3 Es 6x 9y 8 21 6F 2F3 Es 2a sy 42 7 Or 2 382 5 Or 17y 2z2 15 17Fo 2F3 Es Or Oy Oz 0 33 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 39 2x 3y 4z 7 0x 2y 3z 5 0x 0y 55z 55 O sistema obtido está na forma triangular resolvendoo obtêmse S 011 c 1x 2y 3z 4 2x 5y 8z 11 2E1 E2 E2 2x 5y 10z 14 2E1 E3 E3 1x 3y 7Z 11 E1 E4 E4 1x 2y 3z 4 0x 1y 2z 3 0x 1y 4z 6 E2 E3 E3 0x 1y 4Z 3 E2 E4 E4 1x 2y 3z 4 1y 2z 3 2z 3 2z 0 2E3 2E4 E4 1x 2y 3z 4 1y 2z 3 2z 3 0x 0y 0z 3 O sistema obtido possui uma equação degenerada Logo o conjunto solução do sistema linear L3 é S Exercício 38 Resolva os seguintes sistemas lineares aŁ1 2x 4y 2y 4 3x 6y 5z 10 4x 8y 6z 12 b L2 3x 3y 6z 6 2x 0y 4z 8 5x 4y 10z 12 c L3 x 2y 4z 1 2x 6y 17z 9 4x 10y 29z 15 d L4 3x 2y 1z 9 3x 0y 3z 3 3x 8y 5z 29 3x 6y 5z 25 40 CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES e L5 2x 3y 2z 9 x 3y 2z 6 2x 4y 0z 6 3x 6y 5z 10 f L6 2x 2y 2z w 3 3x 3y 2z 2w 4 3x y z w 3 x y z 4w 8 2x 0y 2z 3w 8 Classificação de sistemas lineares Dado um sistema linear o classificamos quanto à quantidade de soluções da seguinte maneira possível e determinado se possui uma única solução SPD possível e indeterminado se possui infinitas soluções SPI e impossível se não tem nenhuma solução SI Exemplo 318 No exemplo anterior L1 é um sistema possível e indeterminado L2 é possível e determinado e L3 é um sistema impossível Exercício 39 Classifique os sistemas L1 L2 L3 L4 L5 e L6 dados no exercício anterior em relação a quantidade de soluções