·
Engenharia Ambiental ·
Geometria Analítica
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Capítulo 4 Vetores Neste capítulo definiremos uma importante ferramenta matemática que é utilizada em na física na mecânica na resistência dos materiais em fenômenos do transporte entre outras disciplinas dos cursos de Engenharia 41 Noção Geométrica de Vetores Consideremos um segmento AB podemos supor que este segmento é um caminho no qual uma determinada partícula irá percorrer Desde que não altere o sentido da trajetória da partícula sobre o segmento teremos as seguintes possibilidades 1ª A partícula sai de A e chega em B 2ª A partícula sai de B e chega em A Podemos representar o sentido da trajetória da partícula sobre o segmento AB por uma seta A partir de agora todo segmento que for fixada um sentido orientação chamaremos de segmento orientado Ao identificarmos o segmento orientado ao trajeto de uma partícula chamaremos de origem do segmento orientado o ponto no qual a partícula saiu e de extremidade do segmento orientado o ponto no qual a partícula chegou Denotaremos o segmento orientado da 1ª possibilidade citada acima como o segmento orientado AB e o trajeto citado na 2ª possibilidade como o segmento orientado BA Observação O segmento orientado AB e o segmento orientado BA são segmentos orientados distintos pois têm sentidos opostos Exemplo 41 Dado o segmento orientado AB temos que A é a origem e B é a extremidade Enquanto que no segmento orientado BA temos que B é a origem e A é a extremidade O segmento orientado cuja origem e a extremidade são iguais é chamado segmento nulo Logo os segmentos orientados AA BB MM e NN são todos exemplos de segmentos nulos Definição 41 Dizemos que dois segmentos orientados AB e DC têm a mesma direção ou são segmentos paralelos quando os segmentos AB e DC estão sobre retas paralelas Quando os segmentos orientados possuem a mesma direção podemos comparálos quanto ao sentido Dizendo que eles têm o mesmo sentido ou sentido contrário Além da direção e do sentido de um segmento orientado podemos destacar o seu comprimento 414 Ângulo entre Vetores Definição 48 Dados vetores v e u chamamos de ângulo entre os vetores v e u o menor ângulo formado por quaisquer representantes dos vetores v e u que possuam a mesma origem Figura 45 Ângulo entre os vetores v e u o sentido de ku v é igual ao sentido do vetor v se k 0 e o sentido de ku v tem o sentido oposto do vetor v se k 0 Figura 43 Multiplicação de um escalar por um vetor Exercício 42 Dados os vetores u e v abaixo obtenha os vetores 1u 1v 2u 3v 2u e 3v 413 Diferença entre vetores Definimos a diferença entre os vetores u e v que denominamos por u v como sendo o vetor u 1v Figura 44 Diferença de vetores Exercício 43 Dados os vetores u w e v abaixo obtenha os vetores u v u w v u e v w Definição 49 Dizemos que dois vetores vecv e vecu são ortogonais se e somente se o ângulo entre os vetores for um ângulo reto ou seja de 90circ Neste caso podese denotar que os vetores vecv e vecu são ortogonais simplesmente escrevendo vecv perp vecu vecv sqrt22 22 2sqrt2 vecu 4 e vecv vecu sqrt22 22 2sqrt2 Logo pela lei do cosseno temos vecv vecu² vecv² vecu² 2cos heta vecv vecu Dois vetores vecv overlineAB e vecu overlineAC vetores com A C Denotemos por r a reta que passa sobre os pontos A e C e denotemos por s a reta que passa pelo ponto B e é perpendicular à reta r O ponto de interseção entre as retas r e s que denominaremos por B é denominado projeção ortogonal de B sobre r E o vetor overlineAB é denominado projeção ortogonal de vecv sobre vecu ou simplesmente projeção de vecv sobre vecu o qual denotase por projvecu vecv 421 Igualdade entre vetores Definição 412 Dados dois vetores vecu x1y1 e vecv x2y2 dizemos que vecu e vecv são vetores iguais o que denotase por vecu vecv se e somente se x1 x2 e y1 y2 Exemplo 44 Dados os vetores vecu n2m5 e vecv 6m1 determine o valor de m e n para que a igualdade seja satisfeita vecv vecu Solução Temos que vecv vecu Leftrightarrow n2m5 6m1 Leftrightarrow begincases n2m 6 5 m 1 endcases Resolvendo o sistema obtemos m 4 e n 2 No text provided 424 Diferença entre Vetores Definição 415 Sejam vecu x1y1 e vecv x2y2 dois vetores definimos a diferença de vecu por vecv que denotamos por vecu vecv como sendo o vetor vecu vecv vecu 1vecv o que equivale a vecu vecv x1x2 y1y2 Exemplo 47 Dados os vetores vecu 12 e vecv 51 temos que vecu vecv 12 51 Rightarrow vecu vecv 15 21 Rightarrow vecu vecv 43 Exercício 49 Dados os vetores vecu1 34 vecu2 frac123 e vecu3 379 Calcule a vecu1 vecu2 b vecu1 vecu3 c vecu2 vecu3 d vecu3 vecu1 e vecu3 vecu2 f vecu3 vecu1 Resposta a frac527 b 3413 c frac6326 d 527 e frac6326 f 3413 Uma pergunta que o leitor pode estar fazendo neste momento é Como obter de forma algébrica a expressão analítica de um vetor overlineMN qualquer Para responder a esta indagação basta observar que overlineMN overlineMO overlineON overlineOM overlineON overlineON overlineOM N M Figura 410 Decomposição de um vetor como diferença de dois vetores com origem no ponto O Exercício 410 Obtenha a expressão analítica do vetor AB onde a A3 5 e B8 8 b A2 1 e B2 0 c Aτ 3 e B5 2 d A 12 1 e B 41 23 Resposta a AB 5 3 b AB 4 1 c AB 12 1 d AB 14 13 425 Norma e versor de um vetor Definição 416 Dado um vetor v x y R² chamamos norma do vetor v ou módulo do vetor v que denotamos por v o número real v x²y² Exemplo 49 Se v 3 5 então v 3²5² 925 34 43 Vetores no Espaço Nesta seção definiremos coordenadas de um vetor no espaço igualdade entre vetores adição e diferença de vetores no espaço Definição 418 Dado um vetor qualquer v no espaço definimos a expressão analítica do vetor v como sendo as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v que tem origem no ponto O0 0 0 Ou seja se v OA com Ax₁ y₁ z₁ então x₁ y₁ z₁ é a expressão analítica do vetor v e escrevemos v x₁ y₁ z₁ 433 Multiplicação de um escalar por Vetores Definição 421 Seja vecu x1 y1 z1 um vetor e qualquer c in mathbbR definimos a multiplicação de c por vecu que denominamos por c cdot vecu ou c vecu como sendo o vetor c cdot vecu c cdot x1 c cdot y1 c cdot z1 Exemplo 412 Dado o vetor vecu 1 2 3 temos que 4 cdot vecu 4 cdot 1 2 3 4 cdot 1 4 cdot 2 4 cdot 3 4 8 12 Exercício 415 Dados os vetores vecu1 3 4 6 vecu2 leftfrac12 frac33right e vecu3 37 9 0 Calcule a 5 cdot vecu1 b 3 cdot vecu1 c 0 cdot vecu2 d pi cdot vecu2 e 32 cdot vecu3 Resposta a 15 20 30 b 9 12 18 c 0 0 0 d frac2pi3 3pi 2pi e 1184 288 0 434 Diferença entre Vetores Definição 422 Sejam vecu x1 y1 z1 e vecv x2 y2 z2 dois vetores definimos a diferença de vecu por vecv que denominamos por vecu vecv como sendo o vetor vecu vecv vecu 1 cdot vecv o que equivale a vecu vecv x1 x2 y1 y2 z1 z2 Exemplo 413 Dados os vetores vecu 1 2 4 e vecv 5 1 8 temos que vecu vecv 1 2 4 5 1 8 Rightarrow vecu vecv 1 5 2 1 4 8 Rightarrow vecu vecv 4 3 4 Exercício 416 Dados os vetores vecu1 3 4 6 vecu2 leftfrac12 frac33right e vecu3 37 9 0 Calcule a vecu1 vecu2 b vecu1 vecu3 c vecu2 vecu3 d vecu2 vecu1 e vecu3 vecu2 f vecu3 vecu1 Resposta a frac52 7 frac163 b 34 13 6 c frac632 6 frac23 d 5 frac23 frac163 e 63 frac23 f 34 13 6 435 Norma e vetor de um vetor Definição 423 Dado um vetor vecv x y z in mathbbR3 chamamos de norma do vetor vecv ou módulo do vetor vecv que denotamos por vecv o número real vecv sqrtx2 y2 z2 Exemplo 416 Se vecv 3 2 1 então vecv sqrt32 22 12 sqrt9 4 1 sqrt14 Exercício 418 Calcule a norma dos seguintes vetores a vecv 3 4 2 b vecv 2 4 4 c vecv 6 8 3 d vecv 8 2 1 e vecv 1 3 2 f vecv 1 2 2 g vecv 5 3 1 h vecv 1 0 sqrt8 Resposta a vecv sqrt29 b vecv 6 c vecv sqrt109 d vecv sqrt69 e vecv sqrt14 f vecv 3 g vecv sqrt35 h vecv 3 436 Vetores Paralelos Definimos no capítulo 4 definição 46 quando dois vetores são paralelos Nesta subseção vamos ver como determinar se dois vetores são ou não paralelos conhecendo suas expressões analíticas Suponhamos que vecu x1 y1 z1 e vecv x2 y2 z2 sejam vetores não nulos paralelos e com o mesmo sentido Denotando por c fracvecuvecv temos que 1 Como vecu c cdot vecv temos que vecu vecv e como vecu parallel vecv podemos concluir que vecv perp vecu ou seja vecu e vecv têm a mesma direção 2 c fracvecuvecv 0 já que vecu e vecv não são vetores nulos e portanto vecv 0 Logo temos que vecu parallel vecv têm o mesmo sentido 3 vecu c cdot vecv vecu fracvecuvecv cdot vecv vecu vecv Como vecv parallel vecu têm a mesma direção o mesmo sentido e a mesma norma então vecv c cdot vecu Por outro lado pela definição de multiplicação sabemos que se vecv k vecu com vecu eq vec0 e k eq 0 então vecv e vecu têm a mesma direção ou seja vecv e vecu são vetores paralelos Logo a seguinte proposição é verdadeira Proposição 41 Dados dois vetores vecu e vecv não nulos temos que vecu parallel vecv iff vecv c cdot vecu para algum c in mathbbR Consequências da proposição 41 C1 Dados os vetores vecu eq vecv com vecu parallel vecv a enésima coordenada de um dos vetores é igual a zero se e somente se a coordenada correspondente do outro vetor também for igual a zero C2 Dados os vetores vecu x1y1z1 e vecv x2y2z2 não nulos vecu parallel vecv se e somente se todas as razões entre as coordenadas correspondentes do vetor vecv e vecu diferentes de zero são iguais Um caso particular da segunda consequência é que dados vetores vecu x1y1z1 e vecv x2y2z2 com y1 cdot z1 eq 0 então vecu parallel vecv iff fracx2x1 fracy2y1 fracz2z1 Exemplo 417 Verifique se vecu parallel vecv onde a vecu 468 e vecv 234 b vecu 508 e vecv 10316 c vecu 430 e vecv 260 Solução a Temos que frac24 05 frac36 05 frac48 05 Logo frac24 frac36 frac48 e portanto vecu parallel vecv b Temos que 2sqrt2 sqrt2 frac4sqrt8 sqrt2 frac2sqrt3sqrt6 sqrt2 Logo frac2sqrt2 frac4sqrt8 iff n frac14 c Os vetores vecu e vecv não são vetores paralelos pois a segunda coordenada do vetor vecu é igual a zero e a coordenada correspondente do vetor vecv é igual a 3 d Temos que frac24 05 frac63 2 Como frac24 frac63 portanto vecu eq vecv não são vetores paralelos Exercício Verifique se vecu parallel vecv onde a vecu 123618 e vecv 82412 b vecu 7590 e vecv 150181 c vecu 038 e vecv 0frac9212 d vecu 12816 e vecv 324 Resposta vecu parallel vecv apenas no item a e c Exemplo 418 Dados os vetores vecu m84 e vecv n2m onde vecu parallel vecv encontre m e n Solução Se vecu parallel vecv então podemos afirmar que m eq 0 já que 4 eq 0 Logo as seguintes igualdades são verdadeiras fracnm frac28 iff 8m 1 e fracnm frac28 iff n frac14 Portanto m 1 e n frac14 Exercício Dados os vetores vecu 2m4m22m e vecv 1mm encontre m sabendo que vecu parallel vecv Resposta m 1 Todos os resultados aqui apresentados para vetores paralelos no espaço também valem para vetores paralelos no plano
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Capítulo 4 Vetores Neste capítulo definiremos uma importante ferramenta matemática que é utilizada em na física na mecânica na resistência dos materiais em fenômenos do transporte entre outras disciplinas dos cursos de Engenharia 41 Noção Geométrica de Vetores Consideremos um segmento AB podemos supor que este segmento é um caminho no qual uma determinada partícula irá percorrer Desde que não altere o sentido da trajetória da partícula sobre o segmento teremos as seguintes possibilidades 1ª A partícula sai de A e chega em B 2ª A partícula sai de B e chega em A Podemos representar o sentido da trajetória da partícula sobre o segmento AB por uma seta A partir de agora todo segmento que for fixada um sentido orientação chamaremos de segmento orientado Ao identificarmos o segmento orientado ao trajeto de uma partícula chamaremos de origem do segmento orientado o ponto no qual a partícula saiu e de extremidade do segmento orientado o ponto no qual a partícula chegou Denotaremos o segmento orientado da 1ª possibilidade citada acima como o segmento orientado AB e o trajeto citado na 2ª possibilidade como o segmento orientado BA Observação O segmento orientado AB e o segmento orientado BA são segmentos orientados distintos pois têm sentidos opostos Exemplo 41 Dado o segmento orientado AB temos que A é a origem e B é a extremidade Enquanto que no segmento orientado BA temos que B é a origem e A é a extremidade O segmento orientado cuja origem e a extremidade são iguais é chamado segmento nulo Logo os segmentos orientados AA BB MM e NN são todos exemplos de segmentos nulos Definição 41 Dizemos que dois segmentos orientados AB e DC têm a mesma direção ou são segmentos paralelos quando os segmentos AB e DC estão sobre retas paralelas Quando os segmentos orientados possuem a mesma direção podemos comparálos quanto ao sentido Dizendo que eles têm o mesmo sentido ou sentido contrário Além da direção e do sentido de um segmento orientado podemos destacar o seu comprimento 414 Ângulo entre Vetores Definição 48 Dados vetores v e u chamamos de ângulo entre os vetores v e u o menor ângulo formado por quaisquer representantes dos vetores v e u que possuam a mesma origem Figura 45 Ângulo entre os vetores v e u o sentido de ku v é igual ao sentido do vetor v se k 0 e o sentido de ku v tem o sentido oposto do vetor v se k 0 Figura 43 Multiplicação de um escalar por um vetor Exercício 42 Dados os vetores u e v abaixo obtenha os vetores 1u 1v 2u 3v 2u e 3v 413 Diferença entre vetores Definimos a diferença entre os vetores u e v que denominamos por u v como sendo o vetor u 1v Figura 44 Diferença de vetores Exercício 43 Dados os vetores u w e v abaixo obtenha os vetores u v u w v u e v w Definição 49 Dizemos que dois vetores vecv e vecu são ortogonais se e somente se o ângulo entre os vetores for um ângulo reto ou seja de 90circ Neste caso podese denotar que os vetores vecv e vecu são ortogonais simplesmente escrevendo vecv perp vecu vecv sqrt22 22 2sqrt2 vecu 4 e vecv vecu sqrt22 22 2sqrt2 Logo pela lei do cosseno temos vecv vecu² vecv² vecu² 2cos heta vecv vecu Dois vetores vecv overlineAB e vecu overlineAC vetores com A C Denotemos por r a reta que passa sobre os pontos A e C e denotemos por s a reta que passa pelo ponto B e é perpendicular à reta r O ponto de interseção entre as retas r e s que denominaremos por B é denominado projeção ortogonal de B sobre r E o vetor overlineAB é denominado projeção ortogonal de vecv sobre vecu ou simplesmente projeção de vecv sobre vecu o qual denotase por projvecu vecv 421 Igualdade entre vetores Definição 412 Dados dois vetores vecu x1y1 e vecv x2y2 dizemos que vecu e vecv são vetores iguais o que denotase por vecu vecv se e somente se x1 x2 e y1 y2 Exemplo 44 Dados os vetores vecu n2m5 e vecv 6m1 determine o valor de m e n para que a igualdade seja satisfeita vecv vecu Solução Temos que vecv vecu Leftrightarrow n2m5 6m1 Leftrightarrow begincases n2m 6 5 m 1 endcases Resolvendo o sistema obtemos m 4 e n 2 No text provided 424 Diferença entre Vetores Definição 415 Sejam vecu x1y1 e vecv x2y2 dois vetores definimos a diferença de vecu por vecv que denotamos por vecu vecv como sendo o vetor vecu vecv vecu 1vecv o que equivale a vecu vecv x1x2 y1y2 Exemplo 47 Dados os vetores vecu 12 e vecv 51 temos que vecu vecv 12 51 Rightarrow vecu vecv 15 21 Rightarrow vecu vecv 43 Exercício 49 Dados os vetores vecu1 34 vecu2 frac123 e vecu3 379 Calcule a vecu1 vecu2 b vecu1 vecu3 c vecu2 vecu3 d vecu3 vecu1 e vecu3 vecu2 f vecu3 vecu1 Resposta a frac527 b 3413 c frac6326 d 527 e frac6326 f 3413 Uma pergunta que o leitor pode estar fazendo neste momento é Como obter de forma algébrica a expressão analítica de um vetor overlineMN qualquer Para responder a esta indagação basta observar que overlineMN overlineMO overlineON overlineOM overlineON overlineON overlineOM N M Figura 410 Decomposição de um vetor como diferença de dois vetores com origem no ponto O Exercício 410 Obtenha a expressão analítica do vetor AB onde a A3 5 e B8 8 b A2 1 e B2 0 c Aτ 3 e B5 2 d A 12 1 e B 41 23 Resposta a AB 5 3 b AB 4 1 c AB 12 1 d AB 14 13 425 Norma e versor de um vetor Definição 416 Dado um vetor v x y R² chamamos norma do vetor v ou módulo do vetor v que denotamos por v o número real v x²y² Exemplo 49 Se v 3 5 então v 3²5² 925 34 43 Vetores no Espaço Nesta seção definiremos coordenadas de um vetor no espaço igualdade entre vetores adição e diferença de vetores no espaço Definição 418 Dado um vetor qualquer v no espaço definimos a expressão analítica do vetor v como sendo as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v que tem origem no ponto O0 0 0 Ou seja se v OA com Ax₁ y₁ z₁ então x₁ y₁ z₁ é a expressão analítica do vetor v e escrevemos v x₁ y₁ z₁ 433 Multiplicação de um escalar por Vetores Definição 421 Seja vecu x1 y1 z1 um vetor e qualquer c in mathbbR definimos a multiplicação de c por vecu que denominamos por c cdot vecu ou c vecu como sendo o vetor c cdot vecu c cdot x1 c cdot y1 c cdot z1 Exemplo 412 Dado o vetor vecu 1 2 3 temos que 4 cdot vecu 4 cdot 1 2 3 4 cdot 1 4 cdot 2 4 cdot 3 4 8 12 Exercício 415 Dados os vetores vecu1 3 4 6 vecu2 leftfrac12 frac33right e vecu3 37 9 0 Calcule a 5 cdot vecu1 b 3 cdot vecu1 c 0 cdot vecu2 d pi cdot vecu2 e 32 cdot vecu3 Resposta a 15 20 30 b 9 12 18 c 0 0 0 d frac2pi3 3pi 2pi e 1184 288 0 434 Diferença entre Vetores Definição 422 Sejam vecu x1 y1 z1 e vecv x2 y2 z2 dois vetores definimos a diferença de vecu por vecv que denominamos por vecu vecv como sendo o vetor vecu vecv vecu 1 cdot vecv o que equivale a vecu vecv x1 x2 y1 y2 z1 z2 Exemplo 413 Dados os vetores vecu 1 2 4 e vecv 5 1 8 temos que vecu vecv 1 2 4 5 1 8 Rightarrow vecu vecv 1 5 2 1 4 8 Rightarrow vecu vecv 4 3 4 Exercício 416 Dados os vetores vecu1 3 4 6 vecu2 leftfrac12 frac33right e vecu3 37 9 0 Calcule a vecu1 vecu2 b vecu1 vecu3 c vecu2 vecu3 d vecu2 vecu1 e vecu3 vecu2 f vecu3 vecu1 Resposta a frac52 7 frac163 b 34 13 6 c frac632 6 frac23 d 5 frac23 frac163 e 63 frac23 f 34 13 6 435 Norma e vetor de um vetor Definição 423 Dado um vetor vecv x y z in mathbbR3 chamamos de norma do vetor vecv ou módulo do vetor vecv que denotamos por vecv o número real vecv sqrtx2 y2 z2 Exemplo 416 Se vecv 3 2 1 então vecv sqrt32 22 12 sqrt9 4 1 sqrt14 Exercício 418 Calcule a norma dos seguintes vetores a vecv 3 4 2 b vecv 2 4 4 c vecv 6 8 3 d vecv 8 2 1 e vecv 1 3 2 f vecv 1 2 2 g vecv 5 3 1 h vecv 1 0 sqrt8 Resposta a vecv sqrt29 b vecv 6 c vecv sqrt109 d vecv sqrt69 e vecv sqrt14 f vecv 3 g vecv sqrt35 h vecv 3 436 Vetores Paralelos Definimos no capítulo 4 definição 46 quando dois vetores são paralelos Nesta subseção vamos ver como determinar se dois vetores são ou não paralelos conhecendo suas expressões analíticas Suponhamos que vecu x1 y1 z1 e vecv x2 y2 z2 sejam vetores não nulos paralelos e com o mesmo sentido Denotando por c fracvecuvecv temos que 1 Como vecu c cdot vecv temos que vecu vecv e como vecu parallel vecv podemos concluir que vecv perp vecu ou seja vecu e vecv têm a mesma direção 2 c fracvecuvecv 0 já que vecu e vecv não são vetores nulos e portanto vecv 0 Logo temos que vecu parallel vecv têm o mesmo sentido 3 vecu c cdot vecv vecu fracvecuvecv cdot vecv vecu vecv Como vecv parallel vecu têm a mesma direção o mesmo sentido e a mesma norma então vecv c cdot vecu Por outro lado pela definição de multiplicação sabemos que se vecv k vecu com vecu eq vec0 e k eq 0 então vecv e vecu têm a mesma direção ou seja vecv e vecu são vetores paralelos Logo a seguinte proposição é verdadeira Proposição 41 Dados dois vetores vecu e vecv não nulos temos que vecu parallel vecv iff vecv c cdot vecu para algum c in mathbbR Consequências da proposição 41 C1 Dados os vetores vecu eq vecv com vecu parallel vecv a enésima coordenada de um dos vetores é igual a zero se e somente se a coordenada correspondente do outro vetor também for igual a zero C2 Dados os vetores vecu x1y1z1 e vecv x2y2z2 não nulos vecu parallel vecv se e somente se todas as razões entre as coordenadas correspondentes do vetor vecv e vecu diferentes de zero são iguais Um caso particular da segunda consequência é que dados vetores vecu x1y1z1 e vecv x2y2z2 com y1 cdot z1 eq 0 então vecu parallel vecv iff fracx2x1 fracy2y1 fracz2z1 Exemplo 417 Verifique se vecu parallel vecv onde a vecu 468 e vecv 234 b vecu 508 e vecv 10316 c vecu 430 e vecv 260 Solução a Temos que frac24 05 frac36 05 frac48 05 Logo frac24 frac36 frac48 e portanto vecu parallel vecv b Temos que 2sqrt2 sqrt2 frac4sqrt8 sqrt2 frac2sqrt3sqrt6 sqrt2 Logo frac2sqrt2 frac4sqrt8 iff n frac14 c Os vetores vecu e vecv não são vetores paralelos pois a segunda coordenada do vetor vecu é igual a zero e a coordenada correspondente do vetor vecv é igual a 3 d Temos que frac24 05 frac63 2 Como frac24 frac63 portanto vecu eq vecv não são vetores paralelos Exercício Verifique se vecu parallel vecv onde a vecu 123618 e vecv 82412 b vecu 7590 e vecv 150181 c vecu 038 e vecv 0frac9212 d vecu 12816 e vecv 324 Resposta vecu parallel vecv apenas no item a e c Exemplo 418 Dados os vetores vecu m84 e vecv n2m onde vecu parallel vecv encontre m e n Solução Se vecu parallel vecv então podemos afirmar que m eq 0 já que 4 eq 0 Logo as seguintes igualdades são verdadeiras fracnm frac28 iff 8m 1 e fracnm frac28 iff n frac14 Portanto m 1 e n frac14 Exercício Dados os vetores vecu 2m4m22m e vecv 1mm encontre m sabendo que vecu parallel vecv Resposta m 1 Todos os resultados aqui apresentados para vetores paralelos no espaço também valem para vetores paralelos no plano