Integração de Riemann sobre Curvas e Superfícies

1 Integracao de Riemann sobre curvas e superfıcies Basılides Temıstocles Colunche Delgado delgadobtcuftedubr Sumario 1 Curvas 2 11 Curvas lisas ou simples 2 12 Curvas lisas por partes 3 13 Orientacao de curvas 8 2 Integracao sobre curvas 11 21 Comprimento de um arco 11 22 Integracao de uma funcao de Rk em R sobre uma curva limitada 13 23 Integracao de uma funcao de Rk em Rk sobre uma curva limitada 15 24 Integral e reparametrizacoes 19 3 Regioes planas com bordo O teorema de Green 22 4 Superfıcies 31 41 Superfıcies lisas ou simples 31 42 Superfıcie lisa por partes Estruturas integraveis 37 43 Superfıcie lisa por partes Estruturas diferenciaveis 39 44 Superfıcies orientaveis 40 45 Exercıcios 44 5 Reparametrizacoes e orientacao 44 6 Integracao sobre superfıcies 45 61 Area de uma superfıcie 45 62 Integracao de uma funcao de R3 em R sobre uma superfıcie 46 63 Integracao de uma funcao de R3 em R3 sobre uma superfıcie 48 7 O divergente e o teorema da divergˆencia 54 8 O bordo de uma superfıcie 58 9 O rotacional e o teorema de Stokes 61 2 1 Curvas Nesta parte vamos vamos trabalhar em Rk sendo k N Para fixar e ter visualizacao das ideias faremos ilustracoes considerando k 2 ou k 3 Uma curva em Rk e um conjunto C de Rk que e uma abstracao de uma linha ou pedacos de linha do mundo fısico A abordagem de uma curva qualquer requer da abordagem de curvas mais simples e nesse sentido temse a definicao de curvas lisas 11 Curvas lisas ou simples Um conjunto C de Rk e dito uma curva lisa em Rk se existe uma funcao γ x1 x2 xk de R em Rk dita de parametrizacao de C definida sobre um certo intervalo I tal que i γ e de classe C1 isto e em cada ponto t de I γt existe e e contınua 2i γ e bijetora com a inversa sendo contınua Lembramos que uma funcao e bijetora se e injetora e sobrejetora γ e injetora isto e γt γs t s ou equivalentemente t s γt γs Por outro lado γ e sobrejetora isto e a imagem do intervalo I pela γ e C ou seja por um lado para cada t I γt e um ponto de C e por outro lado para qualquer y C existe t I tal que γt y 3i γ e suave isto e em cada ponto t de I a derivada γt e nao nula Nesta situacao a derivada γt e um vetor tangente a C no ponto P γt Quando I e um intervalo fechado a b os pontos γa e γb sao denominados de pontos extremos de C Uma curva lisa C e dita fechada se γa γb ou seja quando seus pontos extremos coincidem Uma curva fechada suave C com parametrizacao γ e dita simples se os unicos pontos onde γ nao e injetora sao os pontos a e b Exemplo 11 Circunferˆencia Seja C x x02 y y02 a2 a circunferˆencia de centro x0 y0 e raio a com a 0 A funcao γt x0 acos t y0 asen t com 0 t 2π e uma parametrizacao de C Uma outra parametrizacao de C e γt x0 asen t y0 acos t com 0 t 2π Mais adiante no contexto de curvas lisas por partes daremos outra descricao para a circun ferˆencia Exemplo 12 Elipse Seja E xx02 a2 yy02 b2 1 a elipse de centro x0 y0 A funcao γt x0 acos t y0 bsen t com 0 t 2π 3 é uma parametrizacao de C Uma outra parametrizagao deC é yt ap asentyo bcost com 0t 27 Mais adiante no contexto de curvas lisas por partes daremos outra descricao para a elipse Exemplo 13 Segmento de reta Seja o segmento de reta entre os pontos A 2X0 Yo 20 Bx1y11 A fungao yt AtB A com teé 01 descreve o segmento AB entre A e B Uma outra descrigéo do segmento AB entre A e B é 7t BtAB com te 01 Exemplo 14 Grédfico de funcao entre R e R Seja f uma funcao entre R e R continua e injetora no intervalo ab Seja Gr 2 fx ab CR o seu grafico A funcao yt t ft com te a é uma parametrizagao de Gf 12 Curvas lisas por partes Um conjunto C de R é dito uma curva lisa por partes se C é a unido de uma sequéncia finita de curvas lisas C1C2 Cm sendo a uniao disjunta ou a intersecao entre duas consecutivas sendo apenas um ponto Se cada C tem como parametrizacao a fungao 7 ab R entdo a sequéncia de parame trizacdes 71 72 Ym descreve C e podemos escrever yt se aytbj y2t se agt be C 1 Ymt se Am tbm Uma curva lisa por partes C é dita fechada se 71a1 Ymbm ou seja quando seus pontos extremos coincidem Uma curva C qualquer é dita limitada se C é um conjunto limitado de R 4 Exemplo 15 Retˆangulo no plano Seja o retˆangulo R de vertices O 0 0 A a 0 B a b e C 0 b com a b 0 Vamos estabelecer uma sequˆencia funcional para R Uma parametrizacao do segmento OA e γ1t 0 0 ta 0 at 0 com 0 t 1 Uma parametrizacao do segmento AB e γ2t a 0 t0 b a bt com 0 t 1 Uma parametrizacao do segmento BC e γ3t a b ta 0 a at 0 com 0 t 1 Uma parametrizacao do segmento CO e γ4t 0 b t0 b 0 b bt com 0 t 1 Logo a sequˆencia funcional que descreve R e R at 0 com 0 t 1 a bt com 0 t 1 a at 0 com 0 t 1 0 b bt com 0 t 1 Exemplo 16 Poligonal no plano Sejam os pontos A 2 3 B 6 4 C 1 7 Vamos estabelecer a sequˆencia que descreve a poligonal P de vertices A B C Uma parametrizacao do segmento AB e γ1t 2 3 t4 7 2 4t 3 7t com 0 t 1 Uma parametrizacao do segmento BC e γ2t 6 4 t7 3 6 7t 4 3t com 0 t 1 Logo a sequˆencia funcional que descreve R e P 2 4t 3 7t com 0 t 1 6 7t 4 3t com 0 t 1 Exemplo 17 Poligonal no espaco Sejam os pontos A 5 5 0 B 5 5 5 C 0 0 10 D 3 3 5 Vamos estabelecer a sequˆencia que descreve a poligonal P de vertices A B C Uma parametrizacao do segmento AB e γ1t 5 5 0 t0 0 5 5 5 5t com 0 t 1 5 Uma parametrizacaéo do segmento BC é yt 55 5 t5 55 5 5t5 555t com 0t1 Uma parametrizacao do segmento CD é y3t 00 10 t3 3 5 3t 3t 10 5t com 0t1 Logo a sequéncia funcional que descreve R é 55 5t com O0tl P 5 5t5 5t55t com 0t1 3t 3t 10 5t com 0t1l Exemplo 18 A circunferéncia como curva lisa por partes No exemplo 11 temos exibido duas parametrizacées da circunferéncia mostrando que este con junto uma curva lisa No entanto ela também pode ser considerada como uma curva lisa por partes De fato ela pode ser descrita por uma sequéncia de funcgdes como mostramos a seguir Da equagao C x x9 y yo a pondo y em evidéncia temos yVa x 29 yo sendo que a parte deC que se encontra no semiplano y 0 0 grafico da fungdao a a o yo ea parte deC que se encontra no semiplano y 0 0 grafico da fungao a x x0Yyo Tendo em conta entéo a informacao do exemplo 14 a sequéncia funcional que descrebe C como uma curva lisa por partes é t fa t20 yo com xypactata C ta t 20 yo com xpatapa Exercicio Mostre que a elipse é uma curva lisa por partes Um problema interessante é dada uma sequéncia de parametrizacoes 71 Y2 Ym da forma 1 para uma curva lisa por partes C poder determinar uma parametrizacao y ab R de C Veremos que se pode definir uma tal fungao y com regra yit se ata pat se a te yt 2 Ym1t se Cm2 t em1 Ymt se Cm1 tb 6 onde vy é uma parametrizacao de C e os pontos cy c2 Cm1 S40 pontos do intervalo a Como temos assinalado algumas apresentagdes convencionam em denominar de curva lisa a uma parametrizagaéo y e de curva lisa por partes a uma sequéncia funcional y 71 Ym onde cada y J R é uma curva lisa Vamos agora ilustrar o processo de dada uma curva lisa por partes C definida por uma sequéncia finita de parametrizagoes 7 1 R obter uma parametrizagao de C O processo sera ilustrado para o caso m 3 Para tanto dividimos o intervalo 01 nos intervalos 0 13 13 23 23 1 e construimos as seguintes fungoes s e suas respectivas inversas spt A fungao 81 01 0 13 tal que t s17 37 cuja inversa é 7 013 01 tal que sy t 3t A fungao Lo s2 01 13 23 tal que t soT 3 37 cuja inversa é 85 13 23 01 tal que s3t 3t1 A fungao 1 83 01 231 tal que t s37 3 37 cuja inversa é 83 231 01 tal que szt 3t 2 Agora consideramos as fungoes a a seguir A funcao ay 01 a1 bi tal que aqr ay b1 a1 TF A funcao az 01 aa be tal que a2T a2 be a2 T A funcao a3 01 a3 bs tal que a37 a3 b3 a3 T Definimos entao a funcao y 01 R com a regra y10a1 08 t se Ot13 yt 4 y0a2085t se 13t 23 73 0 a3 0 83 t se 23t1 7 Exemplo 19 Consideremos as curvas lisas Cj e C2 com parametrizacées 7 02 R com regra yt t0 e y2 03 R com regra y2t 2t respectivamente Vamos determinar uma funcao que seja a representacao funcional de Cj UC De acordo ao esquema geral como temos duas curvas lisas dividimos o intervalo 01 em dois intervalos por exemplo 0 12 e 121 e consideramos as fungdes 1 s2 suas respectivas inversas como segue s1T 57 O 7 1 com inversa s t 2t 0t12 1 soT 4F4 a 07 1 com inversa syt 2t1 12 t1 Definimos agora as funcdes a a2 como a seguir ayt 04 20t 2t0t1 eagt0430t3t0t1 A funcao fica definida entéo como 41 001 0 8 t 4t 0 se 0t12 pt 92 0a2 0 85 t 263 se 12t1 Exemplo 110 Consideremos os seguintes segmentos o segmento da reta y 2x entre os 1 pontos Py 24 e Py 00 e o segmento da reta y 32 entre os pontos Py 00 e Pz 223 Vamos considerar 0 conjunto C Cy UC2 onde Ci segmentoPP e C2 segmentoPP3 As parametrizacées de C e Cg sao respectivamente yt 24 2t44t0t1 not 2t23t0t1 De acordo com o esquema geral tomamos o intervalo 01 e o dividimos nos intervalos 0 5 1 e 51 As fungdes 81 82 sdo s1T 47 com inversa st 2t e s2T a7 com inversa 85 t 2t1 Agora neste caso as funcdes a Q2 sao a funcao identidade Logo representacao funcional de C é 41001 08 t 244t48t se 0t12 pt 2 0 a2 0 83 t 4t23t3 se 12tl Exemplo 111 Consideremos a mesma curva do exemplo anterior e consideremos parame trizacao y definida pela regra t2t se 2t0 yt t13t se Ot2 Neste caso dispensase o trabalho feito no exemplo 110 De maneira geral diremos que um conjunto C de R é uma curva se C é uma curva lisa ou uma curva lisa por partes Ainda dada uma curva lisa C com parametrizacgdo 7y ou uma curva lisa 8 por partes C com sequéncia funcional y 71 72 Ye convencionaremos por descrevelas como C yt ouC 172 segundo o caso Por outro lado no caso de curva lisas por partes cada uma das curvas lisas que a compdem as denominaremos também de arcos da curva 13 Orientagao de curvas Uma orientagado de uma curva C é um percurso de um extremo a outro Toda curva tem duas orientagoes Feito o percurso de um extremo a outro fica definida uma orientacao A outra é no sentido contrario Toda curva tem uma orientagao natural que é obtida seguindo a avaliagao yt com t variando em a b Feita a eleigao de uma orientacao de uma curva C esta pode coincidir ou nao com a orientacao natural de uma de suas parametrizacoes Feita a escolha de uma orientacao en uma curva lisa por partes C CyUC2UUC a orientacao de cada uma das curvas C deve ser compativel com a orientagao estabelecida para C Exemplo 112 Seja o segmento de reta entre os pontos A x9 yo 20 e B 4191 21 A funcdao yt AtB A com teé 01 descreve o segmento AB de AaB Em quanto que 7t BtAB com te 01 descreve 0 segmento BA de BaA Exemplo 113 Seja a circunferéncia C x 29 y yo a de centro x9 yo raio a C com a parametrizacao yt ap acos tyo asent com 0t 27 é descrita com a orientacao dita de positiva ou antihordria Por outro lado C com a parame trizacgao yt ap asent yo acost com 0t 27 é descrita com a orientacao dita de negativa ou horaria Dada uma curva C com representacao funcional ab R e considerada a orientacao natural determinada por y precisamos determinar uma funcgao Y que determine a orientacdo oposta Vejamos o procedimento quando estamos com uma curva lisa e quando estamos perante uma curva lisa por partes e Se yt x1t rot vp t 6a parametrizacao de uma curva lisa consideramos a funcgao B 01 R definida pela regra Bt b ta b e definimos a funcao 01 R pela regra 9 yt yo Bt 780 6 x1Bt x2Bt 38 x1bta bxobta b aR b ta b Observe que t percorre o intervalo ab de b aa ea fungao define a orientagao oposta O resultado 3 permite compatibilizar a orientagéo de uma arco de uma curva lisa por partes com a orientacao dada a curva lisa por partes como um todo De fato ilustramos a situacao supondo que yt se aytbhy C y2t se ag t be yst se a3 tbs é uma curva lisa por partes e vamos supor que a parametrizacao 73t com ag t b3 fornece uma orientacao para C3 que nao é compativel com a orientacéo de C Entao aplicamos o feito em 3 para obter uma 3t com 0 1 que muda a orientagao de C3 e assim obtermos yit se aytb C yot se agtbe 43t se 0tl que é a representacao funcional de C que fornece a orientacao dada a C e Se C C UC UC3 é uma curva lisa por partes em R com representacao funcional 7 ou seja yt se atcq yt 2t se a te y3t se c2tb definimos a fungdes 3 como segue Consideramos a funcao t 01 R definida pela regra 37T b b c2r Consideramos a funcao 2t 01 R definida pela regra 82T co c2 c1T Consideramos a funcaéo 3t 01 R definida pela regra 837 c1 ec ar Consideramos ainda as fungoes s e suas respectivas inversas como no caso das curvas lisas por 10 partes e definimos pela seguinte regra 73 0 Bt 0 s t se Ot13 Ft 4 y208208t se 13t23 41 83083t se 23t1 Esta representacao funcional determina para C a orientagao oposta requerida Exemplo 114 Consideremos a curva do exemplo 111 Nos jé temos as funcgoes s j 12 e suas respectivas inversas Vamos estabelecer entao as funcdes 1 e Bo Pt 22t comO0t1 e St 2t com0t1 Definimos entao a funcao que produz a orientagao inversa como 420 B10 sy t 2 4t 23 43t se Ot12 Yt 41 0 By 0 85 t 4t28t4 se 12t1 Exercicios 11 1 Considere a curva C C UC2 onde C é o segmento entre os pontos P 12 e Pz 23 e C2 6 0 segmento entre os pontos P2 23 e P3 40 a Determine uma sequéncia de parametrizagoes y para C b Determine uma representacao funcional y para C 2 Considere o conjunto C C1 UC2UC3 UC onde C é o segmento entre os pontos 00 e 10 C2 6 0 segmento entre os pontos 10 e 11 C3 6 o segmento entre os pontos 11 e 01 e C4 6 o segmento entre os pontos 01 e 00 a Determine uma sequéncia de parametrizagoes y para C b Determine uma representacao funcional y para C 3 Ache a funcgdéo que produz a orientacdo inversa a da curva C do exercicio 1 4 Ache a fungao que produz a orientacdo inversa a da curva C do exercicio 2 5 Considere as curvas lisas Cy t Vv1l com 1 tleCyg yt vVl1l com 1 t 1 Determine a representacgao funcional y para C C UCo Determine ainda a funcgaéo que produz a orientacao inversa a de y 11 2 Integracgao sobre curvas 21 Comprimento de um arco Se C 7 ab R 6 uma curva lisa de classe C entao o comprimento de C é definido pela seguinte integral C I1 at 20 Se C C UUC 6 uma curva lisa por partes com sequéncia funcional 7 71 Ym entao o comprimento de C é dado por 1C U Cm x4 4 dt f at a1b1 Am bm Exemplo 21 Seja a curva lisa C com parametrizagao yt 12 t32 12 1 4t2 onde0t1 Vamos calcular lC Para tanto calculamos a derivada de yt yt 40 1 1 Logo jn 4 UC fy ln Odt fy Adt 4 Exemplo 22 Seja a curva lisa C com parametrizagao yt 12 t32 12 1 4t2 com 2t 5 Vamos calcular IC Neste caso temse que IC L Iq t dt L 4dt 12 Exemplo 23 Seja a curva lisa C com parametrizagao yt costsent com 0 t 2m Vamos calcular IC De fato temos que 4t sent cost e entéo UC f 7t dt fo dt 2m Exemplo 24 Seja C com representagao funcional yt 4t0 se0 t 12 e 7t 26t 3 se 12t1 Neste caso consideramos as curvas lisas C e C2 com parametrizagées respectivamente yt 4t0 com0t 12 e y2t 26t 3 se 12 t 1 Entao lC 1C1 1C2 Agora 12 12 C1 94 at 4dt 2 0 0 e 1 1 IC2 jab at 6dt 3 12 12 Logo IC 1C C2 2435 Exemplo 25 Seja C com parametrizacdo y definida como yt tt com 1 t 5 Queremos IC 12 Como yt 12t se tem IC L V14tdt 20 12 2dt Procurando na tabela de primitivas concluimos que 12 Cc 2VGRPP 4 In le J22 FP 1 1 2 5744 25 In 5 4144 23 1 2 vila 1 5 in1 14 i Diferencial de arco e de comprimento de arco Seja uma curva lisa C yt xt yt zt definida no intervalo ab Entao i t xt yt 2t Daqui temse e dC vy tdt atdt ytdt 2tdt dx dy dz que é o diferencial de arco t e Por outro lado se st u du entiao ds stdt l7d at xt y 2 at que é o diferencial de comprimento de arco Exercicios 21 1 Calcule o comprimento C onde a C 60 segmento entre os pontos P 0r e Q r0 com r 0 b C é a secao de circunferéncia que passa pelos pontos P 0r e Q r0 com r 0 2 Calcule o comprimento C onde a C C UC2 sendo C 0 segmento entre os pontos P 0r e O 00 e Cz 0 segmento entre os pontos O 00 e Q 3r0 com r 0 b C C UC2 sendo C 0 segmento entre os pontos Q r0 e R rr e C2 o segmento entre os pontos R rr e P 03r com r 0 13 3 Calcule 0 comprimento C onde C é a poligonal no de vértices A 23 B 64 C 17 4 Calcule o comprimento C onde C é 0 retangulo no plano de vértices A 10 B 10 C 17 D 17 5 Calcule o comprimento C onde C é a poligonal no espago de vértices A 550 B 5 5 5 C 0 0 10 D 3 3 5 6 Calcule o comprimento C onde C é a intersecao do cilindro x y a com o plano z y 7 Calcule o comprimento IC onde C é a intersecao do cone z x y com o plano z 2 8 Calcule 0 comprimento IC onde C é a intersecao da esfera x y z a com o plano y 9 Calcule 0 comprimento IC onde C é a intersecao da esfera x y z a com o plano GEytza 10 Calcule o comprimento IC onde C é a intersecao das superficies x y 3 e x y422 3a y 11 Calcule o comprimento IC onde C é a intersecao das superficies z ry e 2 y 27 4 22 Integracao de uma funcdo de R em R sobre uma curva limitada Seja f Q C R R é uma funcdo Suponhase que C ab R é uma curva lisa de classe C contida em 2 Entao a integral de f ao longo de y é calculada pela seguinte integral b tas tas foo Il Cc Y a Se C C UUC uma curva lisa por partes com sequéncia funcional y 71 Ym contida em 2 entao a integral de f sobre y é dada pela seguinte formula tas tas fast f fds c Y 1 Ym by bm tno nollare tome nail ai am Exemplo 26 Seja a funcao fxy z y e seja a curva yt sent cost 1 com t 5 Queremos calcular J fds Primeiro calculamos yt e achamos o seu comprimento 7t t cost sent0 e 7t Vcost sent 0 1 14 Logo a2 fas f sent cost 11dt y 12 a2 costdt 12 72 14 cos2t 1 082 iy 12 2 am 2 w cos2t2dt 12 3 Exemplo 27 Seja a funcao fxy z y e seja a curva yt t V1 7 1 com1t 1 Queremos calcular J fds De fato temos que t 2 1 t 1 50 e t4 P SS 4 50 p O P a Logo 1 1 ds t 1 t2 1 dt f Flt VIP ae 1 1 1 t dt i Fi t 1 V1tdt 1 V1t Sarcsent larcsenl arcsen1 dlja T 3157 3 onde temos aplicado a primitiva t a t Va tdt av a2 t2 y aresen a paraa 0 Exercicios 22 15 1 Calcule a integral x yds onde Cc a C C UC2 sendo C 0 segmento entre os pontos P 0r e O 00 e Cz 0 segmento entre os pontos O 00 e Q r0 com r 0 b C é 0 segmento entre os pontos P 07 e Q 10 2 Calcule a integral e yds onde Cc a C éa secao de circunferéncia que passa pelos pontos P 0r e Q r0 com r 0 b C C UCg sendo C 0 segmento entre os pontos Q r0 e R rr e C2 0 segmento entre os pontos R rr e P 0r 3 Calcule a integral xyds onde P é a poligonal no plano de vértices A 2 3 B 64 P C 17 4 Calcule a integral xyds onde R é 0 retangulo no plano de vértices A 10 B 10 R C 17 D 17 5 Calcule a integral cx yzds onde P é a poligonal no espaco de vértices A 550 P B 555 C 0010 D 3 3 5 6 Calcule a integral cyyzazds onde P é a poligonal no espaco de vértices A 5 50 P B 555 C 0010 D 3 3 5 7 Calcule a integral 2 yzds onde C é a intersecao do cilindro x y a com o plano ZY c 8 Calcule a integral ce yzds onde C é a intersecdo do cone z x y com o plano Zm c 9 Calcule a integral ce y zds onde C é a intersecado da esfera x y z2 a com o Cc plano y x 10 Calcule a integral c y zds onde C é a intersegao das superficies xy 3 e Cc xy 27 3ry 11 Calcule a integral a y 27ds onde C é a intersecao das superficies z ry e Cc ety 22A4 23 Integracdo de uma funcao de R em R sobre uma curva limitada Seja FQ C R R é uma funcio Suponhase que C é uma curva lisa de classe C limitada e orientada contida em 2 com parametrizacao ab R Entao a integral de F sobre y é 16 calculada pela seguinte integral b FC Fdy Fvt tat Cc Y a Se CC UUC 6 uma curva lisa por partes orientada contida em 2 com sequéncia funci onal y 71 m onde 7 parametriza C Supor ainda que y realiza a orientagao de C compativel com a orientacao fixada para a curva C Entao a integral de F sobre é dada pela seguinte formula Jo FdC re Pidy f Fdym Y v1 Ym by bm f Fonmprioaet e Pomatabet a1 am onde o ponto tem o significado de produto interno A integral de uma funcao de R em R sobre uma curva admite uma outra notacio facilitada pela realizacao do produto interno que aparece na definicao Com efeito ilustremos isto no caso de k 3 ou seja suponhamos que Fz y z 6 da forma Fx y z Pzy z Qx y z Rx y z e que entao 7t seja da forma yt xt yt zt com a t b Entao b fra ff Poweoue2 oa 7 a b POt Q4 Ra 2 t vt b at a b Potatdt Qyty dt Rytztdt a pu Qdy Rdz que a outra notacao também usada A integracao de uma funcio de R em R sobre uma curva pode ser levada a um problema de integracéo de uma funcio de R em R sobre a curva De fato dada uma curva lisa C com parametrizacao y definese em cada ponto yt de C o vetor tangente unitario 7 t Tyt Gay lly II 17 Logo procedemos como segue b re f roman y a Ft In Olly a lly b xt Fyt Say ly I at ly I ol b Powrowyollat a Pras Exemplo 28 Seja a funcdo Fxyz y02 e seja a curva yt sent cost 1 com 5 t F Queremos calcular J fdy Nos temos que yt cost sent0 Logo ta Plent cost 1cost sent 0dt y 7 a2 cost 0 sentcost sent 0dt 12 a2 costdt 12 a2 costcostdt 12 a2 1 sentcostdt 12 a 2 m2 costdt sentcostdt 12 12 sent sett 24 233 Exemplo 29 Seja a funcéo F xyz y0x e seja a curva yt tV11t1 com 1t1 Queremos calcular J fds De fato temos que yt 1 Foe 18 Logo 1 t Fdy Ft 1 2 11 0dt v fr 1 50 1 1 0t1 at 1 Vv1 1 1 tdt 1 24 2353 Exercicios 23 Nos exercicios seguintes estabeleca uma orientacao para a curva parametriza a curva e a seguir calcule a integral pedida com a orientagao estabelecida 1 Calcule a integral e ydx onde C C UC sendo C 0 segmento entre os pontos Cc P 0r e O 00 e Cz 0 segmento entre os pontos O 00 e Q r0 com r 0 2 Calcule a integral a ydy onde Cc C é a intersecao da esfera x y z a eo plano z y 3 Calcule a integral ce ydx a ydy onde C C UC2 sendo C o segmento entre os Cc pontos Q r0 e R rr e C2 o segmento entre os pontos R rr e P 0r 4 Calcule a integral yz0rydC onde P é a poligonal no plano de vértices A 2 3 P B 64 C 17 5 Calcule a integral z02dC onde R é 0 retangulo no plano de vértices A 10 P B 10 C 17 D 17 6Calcule a integral ew dC onde P é a poligonal no espago de vértices A 550 P B 555 C 0010 D 3 3 5 7 Calcule a integral xy yzvzdC onde P é a poligonal no espaco de vértices A 55 0 P B 555 C 0010 D 3 3 5 8 Calcule a integral xy zdC onde C é a intersecao do cilindro y a com o plano ZY c 9 Calcule a integral e y z dC onde C é a intersecaéo do cone z z y com o plano Zm c 10 Calcule a integral e y z dC onde C é a intersecdo da esfera x y z a com o Cc plano y x onde C é a intersecao do cone z x2 y com o plano z 19 dx dy os a 11 Calcule a integral 18 onde C é o triangulo de vértices A 10 B 10 c x y C 01 x dx a yd 12 Calcule a integral es yee uid onde C é a circunferéncia x y a Cc t y 13 Calcule a integral rdxz ydy zdz onde C é a intersecaéo das superficies x y 3 e Cc xy 27 3ry 14 Calcule a integral zdx ydy xdz onde C é a intersecao das superficies z ry e Cc ety 22A4 24 Integral e reparametrizacoes Nés temos estabelecido o comprimento de arco integral de uma funcdo de R em R e integral de uma funcio de R em R sobre uma determinada curva C Mas se pode observar que esses valores dependem da particular parametrizacéo usada para C O nosso tema agora é dados lC Siab t dt J fds J Fdy onde y é uma certa parametrizagao de C 0 que ocorre com esses valores quando y é uma outra parametrizacao de C Dadas duas parametrizacgoes de uma curva C qualquer uma delas é dita uma reparametrizacdao de C Vamos supor que ab R e y cd R sdo duas parametrizacdes de C Vamos supor ainda que g é uma funcao de R em R que leva injetoramente e sobrejetoramente o intervalo a b no intervalo c d A natureza da g diz que g é crescente isto é gt 0 para todo t ab ou g é decrescente isto é gt 0 para todo t a DB Agora para cada ponto T ab se tem t 7 e V7 9 97 et Derivando temos dt grdr e Vr 97 97 De onde tomando norma lly le GG 9 Temos entao os seguintes resultados 20 Resultado 1 O comprimento de C em relacao a é b b L f nllar fle oll ar a a e o comprimento de C em relagao a y é b q Jo lleg ilo rdr se g é crescente I elae Sy lle gr o 7dr se g decrescente Do anterior deduzimos entao que L C ly C Resultado 2 Consideremos agora uma funcdo f de R em R Nés temos que a integral Jo fds sendo C parametrizada por y é b b J ta tom olar He e lar 7 a a e a integral Jo fds sendo C parametrizada por y é b d Ja Fe97 llvg7 Il 9 7dr se g é crescente tas se Ie ae Cc Z Se fe97 le gr gr dr se g decrescente Deduzse entao que J fds Ji fds Resultado 3 Por ultimo consideremos agora uma funcéo F de R em R Noés temos que a integral Je F dy sendo C parametrizada por y é b b Pees Pom oar f Plat or oer 7 a a Em quanto que a integral Jo Fidpé b q Jo Fvg7 eg7grdr se g é crescente Fwidp Fytytdt tr FygrT egrgrdr se g é decrescente Das igualdades mostradas acima deduzimos que Petens Pea O resultado acima tem explicagéo em termos do conceito de orientacgao De fato a integral de F sobre C com a parametrizacao 7 é feita tendo em conta a orientacgao que y imprime sobre C Ao considerar a parametrizacao y a orientacao que esta imprime sobre C pode ser compativel com a anterior ou nao Quando o é o valor das duas integrais coincidem Quando nao o valor de uma integral é menos o valor da outra Como pode observarse a integragao de campos vetoriais sobre curvas é sensivel a orientacéo Vejamos isto de uma outra maneira Se uma parametrizacao Y mune aC da orientacgao contraria a dada pela parametrizacgao y e F é um campo vetorial entao re Fdy Y Y 21 De fato seja y ab R e consideremos 01 R 7t yo Bt que tem a orientagao contraria sendo 3t babt Entao se considerarmos u b abt teremos 1 rae ra wamwn 0 1 f FoeBWla bat a f Powrwdu b f Fowawdu a Fidy O que mostra a nossa afirmagaoO O resultado acima mune de uma importante técnica para calcular integrais de uma funcao de R em R sobre uma curva lisa A integral pode ser calculada considerando qualquer parametrizacio da curva e a seguir verificar se a parametrizacao é compativel com a orientacao dada a curva Se é compativel nada mais a fazer Se nao for compativel entaéo ao resultado obtetido trocamos de sinal Por outro lado temos um resultado para uma determinada classe de campos vetoriais cuja integracao sobre uma curva é independente da propria curva e sendo apenas dependente dos pontos extremos isto é nao é necessério preocuparnos de encontrar uma parametrizacgao para a curva Definimos entao esse tipo de campos e a seguir apresentamos o resultado em questao Dizse que uma funcao F de R em R é um campo vetorial gradiente se existe uma funcdio f de R em R tal que Vf F Teorema 21 Suponhase que f R R é uma fungdo de classe C e que y ab R é uma curva Entao vear fo 60 Demonstragdo Supomos primeiro que yt seja uma curva lisa Consideremos gt f o7t Entéo gt Vfy09 Portanto b via vrotawae 7 a b gtdt a gb ga fyb fr 22 Supomos agora que y 71 Ym seja a sequéncia funcional de uma curva lisa partes definida ema cy cg Gm1 b com 4 t definida em cj t c entao vin Vifdy1 f V fdy2 toot f V fdym y v1 2 Ym flrier Fm F92e2 Fo2er fm1m1 fm1m2 Fm 0 fm em1 fy6 fy oO Claramente o resultado acima ignora a parametrizacao porém nao a orientacao da curva Nao é em todos os abertos de R que se pode estabelecer o resultado acima Na realidade o resultado sempre vale quando as funcdes f estado definidas sobre conjuntos abertos 2 de R satisfazendo a seguinte condicao Quaisquer par de pontos A B de Q podem ser unidos por uma curva contida em Q 3 Regioes planas com bordo O teorema de Green Diremos que um conjunto D de R é uma regido com bordo se existem curvas que a limitam e neste caso o denotamos por OD Orientacao do bordo de uma regiao plana com bordo Sabemos que toda curva tem duas orientacoes Vamos convencionar por orientar o bordo de uma regiao plana com bordo da seguinte maneira Quando o bordo percorrido a regiao limitada pelo bordo fica a esquerda do bordo e neste caso representamos tal bordo por OTD E claro que o bordo percorrido em sentido contrario sera denotado por 07 D Neste trabalho nas regides planas com bordo sera assumida esta orientacao a que sera denomi nada de orientacao canénica ou orientacdao positiva Convencionamos também em dizer que uma curva fechada lisa por partes é positivamente ori entada ou que tem a orientacao antihordria se a orientacao da curva segue a convencao acima estabelecida Teorema de Green O teorema de Green é um resultado que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva lisa por partes fechada e orientada positivamente em R e a integral dupla sobre a regiado circunscrita pela curva A seguir veremos este resultado e alguns casos prévios A importancia deles radica em mostrar funcdes de R em R cuja integral de linha nao depende da parametrizacdo que representa o bordo da regiao pois a integral dupla depende apenas da regiaéo Apresentamos o teorema de um modo mais ou menos geral A demonstracaéo é apresentada nos casos particulares das regioes de tipo I e tipo II e das regioes simples 23 Teorema 31 O teorema de Green Seja A um conjunto aberto do plano e seja F PQ uma funcdo de classe C em A Seja a regido D contida em A cujo bordo OD é wma curva lisa por partes fechada Entdo 0 OP rac 25 dx y aOtD D Ox Oy ou OQ OP PdxzQd 52 ate I Qdy 5dr Oy xy Uma regiio D de R é dita simples se ela é tanto de de tipo I quanto de tipo II Passo A Sejam D uma regido de tipo I com OD seu bordo e seja uma funcao P D R de classe C Entao oP Pdx f dydx oD p Oy Demonstracao De fato supomos que D é da forma D axab fx y ga O bordo OD esta constituido pelas seguintes curvas cuja ordem de colocacao obedece ao intuito de que OD esteja positivamente orientado 0D C U C2 U C3 UC onde C 60 grafico da funcao f e seja 71 ab R yt xt yt t ft a sua parame trizagao C2 é 0 segmento do ponto b fb até o ponto bgb com parametrizacao 72 01 R y2t at yt 6 F0 tg F C3 6 o grafico da funcao g e seja 73 ab R 73t t gt a sua parametrizacdo Aqui devemos ainda reparametrizar C3 munindoa de orientagao contraria a fornecida por y3 para que haja compatibilidade com a orientacao positiva de C Com efeito consideramos a funcao 6 01 R tal que Bt b ta b e definimos a composigéo 3t xt yt 73 0 8 t b ta b gb ta b C4 60 segmento do ponto a ga até o ponto a fa cuja parametrizacao é yat 01 R yat at yt a g tf a 9 Agora calculamos Pdx Temse que 0D Pax Pax Pax Pax Pdx OD Ci C2 C3 C4 Para tanto calculamos cada uma das integrais indicadas 24 al xt t e entao dx dt e portanto b Pax Pt ftdt CL a a2 xt be entao dx 0dt 0 e portanto 1 Pax P yot Odt 0 C2 0 a3 xt btab e entao dx a bdt e portanto 1 Pde P at a bdt C3 0 1 Pbtab gb ta b a bat 0 Pego ae b b f Page de a4 xt ae entao dx Odt 0 e portanto 1 Pdx P y4t Odt 0 C4 0 Logo b b Pdr Pt ftdt P a gx dx 0D a a 4 b Pefe Pegla ae ae Agora calculamos a integral OP ayde p Oy aP b 9 AP ee ax ydydx Is ydy iw By ydy b f Ploge Plo Fleaz 6 b Pe Fa Plega az Comparando 4 e 5 fica comprovada a igualdadeO 25 Passo B Sejam D uma regido de tipo IT com OD seu bordo e seja uma funcao Q D R de classe C Entao 3 Qdzx 28 tedy OD D Ox Exercicio Demonstrar o caso B Passo C Sejam D uma regiaéo simples com OD seu bordo Sejam funcdes PQ D R de classe C Entao a0 oP Pdr Qd 2 a a Qdy 5dr Oy xy Demonstracao Os passos A e B e as propriedades sobre a integral da soma e a integral de uma funcgaéo produto por um escalar determinam a demonstracao do teorema De fato Pdx Qdy Pdx f Qdy 0D OD 0D OP OQ p Oy p Ox 0Q OP zd I 3 am ey O Exemplo 31 Seja a regido D triangular com vértices os pontos O 00 P 20 e Q 01 e seja a fungado F xy 3y 2x Verificar 0 teorema de Green Temse que 0 D cr U cy U Cy onde cy OP cy PQe Cy QO 0 sinal indica que a orientagao de cada C 6 compativel com a orientagao positiva de 0D Neste caso Px y 3y Qx y 24 e 0Q 0P 1 A parametrizacaéo de cada Cr com sua derivada é Ch yt 20 Ot1 com yt 20 Ci yt 22tt Ot1 com yt 21 cy y3t 0 t Ot1 com yt 0 1 Logo 3y 2x 3y 2x ac f 3y 22 ac f 3y 2x dC aD cy cy cy As integrais de cada somando sao 1 3y2x dC 0 4t 20dt 0 ct 0 1 3y2x dC 3t4 4t 2 at 1 cy 0 26 1 3y 2x dC 3t 0 0 1dt 0 cy 0 Logo 3y 2x 1 oD Por outro lado f eQaPyatey 1 f atey 1 D D Assim o teorema de Green foi verificado Exemplo 32 Seja a regido D no semiplano y 0 de R limitada pela curva C com equacao y 5a e pela curva Cz com equagado x y 4 e seja a funcéo Fx y 2y 3x Verificar o teorema de Green Neste caso Pxy 2y e Qy 3x OyPxy 2 e 0Qxy 3 Agora vamos parametrizar C e C2 de tal maneira que se tenha 0D C UC orientado positivamente ou seja OTD Precisamos ainda determinar os pontos de intersecaéo das duas curvas Estabecido o sistema com as duas equacédes se tem que 2 y 3y40 que tem como solucao as raizes y 1 e y 4 das quais pela geometria do problema rescatamos araiz y 1 Com este valor temos x 3 Passamos agora 4 parametrizacao das curvas Para C consideramos a funcgao 7t t 3t com 3 t V3 Para Cy consideramos a funcaio y2t 2cos t2sent com t on A integral é dupla OQ OP QD fH d d Lae ay to feo V3 V4x2 dy dx v3 J2 v3 2 Vi S ae 3 3 v3 V3 2 Vi Pde dzx V3 3 3 Tendo em conta que x a x Va x2dx V a 22 y aresen a a onde a 0 temse v3 2 3 3 4 3 l vi 2 dx 3v4 a Sarcsen 5 at VA An V3 3s 27 pois arcsen v3 f Em quanto que integral de F sobre OTD é Pdx Qdy Pdr Qdy Pdx Qdy OoD C1 C2 O calculo da primeira integral é V3 rae eay Peale acnt Hat Cy 3 v3 1 2 2 5 3 1 5 dt 3 3 3 16 V3 O calculo da segunda integral é on part ean f Palo Qeal r40et 2 6 oa 22sen t 32cos t 2sen t 2cos t dt 6 8sen t 12cos t dt S 2 12 20sen t dt 6 n18 84 Bt 53 a 53 Somando as duas integrais de linha obtemse o valor da integral dupla Isto comprova o teorema de Green Exemplo 33 Neste eremplo se mostra que a Grea de uma regiado simples se pode determinar usando o teorema de Green mediante o cdlculo de uma integral de linha De fato seja D uma regiao do plano limitada com bordo positivamente orientado Entao 1 areaD ydx dy 2 JatD 28 De fatoseja a funcgao Fx y y x Entao areaD I dx y D i 2da y 3 ry D 3 f a aPaey D 3 PewderQendy oD i ydx axdy oD Exemplo 34 Consideremos a funcdo F R 00 R tal que Fa y sae zz e seja C uma curva fecha lisa por partes positivamente orientada qualquer sendo que a parte interna determinada por ela contém a origem 00 Vamos provar que Fay 2n OD Consideremos uma circunferencia Co de centro a origem e raio r contida na parte interna determinada por C Seja agora a regiao D do plano limitada por essas duas curvas O bordo de D éentao OD Co UC Nosso objetivo é aplicar o teorema de Green e para tanto OD deve estar positivamente orientado Isto exige que Cop seja orientada no sentido horario A parametrizacao yot rsentrcost Ot 27 é compativel com a orientacao estabelecida para Co Por outro lado 0Q 0P 0 Logo pelo teorema de Green temos Pdx qdy Pda qdy Pdx qdy 0D Cc Co aaP D 0 De onde Pdx Qdy Pdx Qdy Cc Co Calculamos entao Pdx Qdy Nos temos que x rsent e y rcost Co de onde dx rcost dt e dy rsent dt 29 Logo 20 Pdx Qdy P 0trcos t dt Q70trsen t dt Co 0 reos reost dt 4 78 trsent dt 9 resentr2cos t r2sen t r2cos t 27 Portanto Pdz Qdy 27 Cc Exemplo 35 Sejam os pontos V 00 V2 4 4 V3 48 e seja a fungao F xy e x senx y Determinar a integral de F sobre o tridngulo T de vértices Vi 00 V3 44 Vo 4 4 nessa ordem Consideramos a regiao D limitada pelo triangulo de vértices V V2 V3 A orientacéo de 0D T sugerida no exercicio é a negativa Denotemos 0D T o bordo de D com a orientacéo negativa Se pede Fdc T Vamos aplicar o teorema de Green Para tanto consideramos OD orientado positivamente ou seja o triangulo T com os vértices Vi 00 V2 4 4 V3 48 nessa ordem E neste caso denotamos 0D T Precisamos ainda expressar a regiao D para fins de calcular a integarl dupla D xy2a 0a4 ou D y2a4 Oy8 unidocom ya4 4y0 Entao pelo teorema de Green pac ff aaPyatew Tt D cosx ydz y D 4 2x cosx ydydx 0 x 4 sena y2 dydx 0 4 sen 3xdx 0 cos 3a5 3 3C0S 12 1 1 Portanto FdC cos 12 3 3 30 Exercicios 31 1 Use 0 teorema de Green para calcular a integral F dC onde Cc Fxy yIna y 2tg y2 e C éa fronteira da regido entre as circunferéncia x y 4 e 2 y 25 Faca o grafico de Ce indique explicitamente a orientacao da curva sob a qual esta trabalhando 2 Considere 0 campo Fzy PzyQxy e contida no dominio de F considerese uma curva C lisa com parametrizacao yt at yt at 6 Seja o vetor n t t t Cac normal a C em cada ponto yt Prove que IV Mla Finds 0P AQdery c De onde De é a regiao limitada por C 3 Considere funcoes f g definidas numa regiao D do plano limitada por uma curva lisa fechada C com parametrizacao yt xt yt at b Supor f de classe C e g de classe C em D Considere a derivada Dg Vq nm onde n é 0 vetor normal a C em cada ponto yt Prove que se gaas for vovaten ff t2a daatey ct D D Esta igualdade é conhecida como a primeira identidade de Green 4 Considere fungoes f g definidas numa regiao D do plano limitada por uma curva lisa fechada C com parametrizacao yt xt yt at b Supor f e g sao de classe C em D Prove que epz9 adds fp so8a dfn a2 F 238 Ale Esta igualdade é conhecida como a segunda identidade de Green 5 Seja a regido D de R limitada pela curva C com equacio y x e pela curva Cp com equacao 27 y4 y0Oesejaa funcdo Fx y 2y 5x Verificar 0 teorema de Green 6 Consideremos a funcdéo F de R em R com dominio R 00 tal que Fxy sake zip e seja C o losango de vértices A 10 B 05 C 10 e D 05 Considerando C orientada positivamente calcule Jo Fdc 7 Seja a funcdo F2zy cosx wye Determinar a integral de F sobre a curva C orientada no sentido horario e localizada no semiplano y 0 constituida pelas curvas y 1 y4rey qa 8 Usando o teorema de Green determinar a area da regiao D limitada no primeiro quadrante pelas curvas C y 7x Co y 5a e C3 sy3 9 Usando o teorema de Green determinar a drea da regiao triangular com vértices 03 60 e 35 31 10 Seja a regiao triangular de vertices A 0 0 B 2 2 C 5 0 e seja a funcao Fx y xy xy Verifique o teorema de Green 4 Superfıcies Trataremos este topico em R3 Uma superfıcie em R3 e um conjunto S que e a abstracao de uma superfıcie fısica Como no caso das curvas se tem superfıcies lisas e superfıcies lisas por partes 41 Superfıcies lisas ou simples Uma superfıcie S em R3 e dita uma superfıcie lisa se existe uma funcao contınua de R2 em R3 ϕu v xu v yu v zu v dita de parametrizacao de S com domınio um conjunto D de R2 aberto ou fechado com interior nao vazio em R2 tal que a ϕ e de classe C1 no interior de D isto e as derivadas uϕ e vϕ existem e sao contınuas em Do b ϕD S e ϕ e injetora no interior de D com a inversa ϕ1 ϕDo Do sendo contınua c ϕ e suave isto e em cada ponto u v do interior de D as derivadas uϕu v e vϕu v sao vetores linearmente independentes e portanto o produto vetorial n u v uϕu v vϕu v e um vetor nao nulo ortogonal a S no ponto ϕu v Nos exemplos que seguem expomos as principais superfıcies S e em cada caso expomos uma parametrizacao ϕ e calculase o vetor n u v uϕu v vϕu v ortogonal a superfıcie S Exemplo 41 Uma regiao retangular no espaco Sejam dois vetores p a b c e q d e f linearmente independentes em R3 Entao o plano gerado por p e q e que passa pelo ponto P0 x0 y0 z0 pode ser parametrizado pela seguinte funcao ϕu v x0 y0 z0 u p v q x0 au dv y0 bu ev z0 cu fv com u v D R2 Consideremos agora os pontos P0 x0 y0 z0 P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 nao co lineares Entao os vetores p e q sao definidos como p x1 x0 y1 y0 z1 z0 e q x2 x0 y2 y0 z2 z0 Logo o plano que passa pelos pontos P0 P1 P2 tem como parametrizacao 32 ϕu v x0 y0 z0 u p v q x0 x1 x0 u x2 x0 v y0 y1 y0 u y2 y0 v z0 z1 z0 u z2 z0 v com u v D R2 Neste caso uϕ u v p e vϕ u v q e n ϕu v p q Segue entao que ϕ definida no conjunto D 0 a0 b e a parametrizacao da regiao retangular S gerada pelos pontos P0 P1 P2 Se a notacao dos pontos segue a sequˆencia horaria entao o bordo e a seguinte uniao de segmentos P0P1 P1Q QP2 P2P0 onde Q e o extremo da soma de p uP1 P0 com q vP2 P0 Exemplo 42 Um cilindro circular reto Consideremos o cilindro circular reto de raio a e altura h S x2 y2 a2 0 z h Uma parametrizacao para S podemos definila como ϕu v acosu asenu v com domınio D 0 2π 0 h Neste caso temos que uϕ u v asenu acosu 0 vϕ u v 0 0 1 e n ϕu v uϕ u v vϕ u v acosu asenu 0 n ϕu v define um campo de vetores ortogonais com pontos iniciais sobre a superfıcie S e apontando para fora da superfıcie Exemplo 43 A esfera Consideremos a esfera de centro a origem 0 0 0 e raio a S x2 y2 z2 a2 Uma parametrizacao para esta superfıcie que produz um campo de vetores orotogonais o orientado para fora da superfıcie e ϕu v asenucosv asenusenv acosu com u v Dϕ 0 π 0 2π Neste caso temos uϕ u v acosucosv acosusenv asenu vϕ u v asenusenv asenucosv 0 33 e n ϕu v uϕ u v vϕ u v asenu asenucosv asenusenv acosu asenuϕu v Uma parametrizacao mais familiar e a definida como ϕu v acosusenv asenusenv acosv com u v Dϕ 0 2π 0 π Neste caso temos uϕ u v asenucosv acosusenv 0 vϕ u v acosucosv asenucosv asenv e n ϕu v uϕ u v vϕ u v asenu acosusenv asenusenv acosv asenvϕu v que e um campo de vetores que aponta para dentro pois 0 v π implica que senv 0 Neste caso esta parametrizacao fornece a orientacao negativa para esfera Exemplo 44 O grafico de uma funcao de R2 em R Seja f uma funcao de R2 em R com domınio um conjunto D f de classe C1 em Do O grafico Gf de f cuja definicao e Gf x y fx y tal que x y D ou equivalentemente Gf x y z tal que z fx y para todo x y D e uma superfıcie Uma parametrizacao para Gf e ϕu v u v fu v com u v D Neste caso temos uϕu v 1 0 ufu v e vϕu v 0 1 vfu v e portanto o vetor ortogonal n ϕu v e n ϕu v ufu v vfu v 1 34 Exemplo 45 Um paraboldide eliptico limitado Consideramos a superficie chamada de paraboloide eliptico cuja equacao é ye z sendo que z varia no intervalo 0 zo Uma parametrizacao para esta superficie é puv avcos u bv sen u v com uv 027 x 0 20 e yu0 000 com uv 027 x 0 Neste caso Ouyu v avsenu bucos u0 e a b Ovyuv ss Uu ane u i Z para v 0 e portanto o campo ortogonal n uv é b n yu v sc uav sen u Observamos que n 000 00 Exemplo 46 Um cone circular limitado Consideremos 0 cone circular z x y com 0 z b Observamos que z 2 7 assim uma parametrizacao para cone é a funcao puv ucos u vsen uv com dominio D 027 x 0 0 Neste caso as derivadas parciais de y sao Ouyu v vsen u vcos u 0 Ovpu v cos u sen u 1 XX eis Z e portanto o campo ortogonal n uv a superficie é n yuv vcos u vsen u 1 Exemplo 47 Superficie de revolugdo 35 Consideremos uma funcao f a b R tal que y fx 0 de classe C Ao rotar o grafico da funcao uma volta completa ao redor do eixo x se gera uma superfıcie de revolucao Sx em R3 Da mesma maneira ao rotar o grafico da funcao uma volta completa ao redor do eixo y se gera uma superfıcie de revolucao Sy em R3 A parametrizacao natural para Sx e ϕxu v u fucos v fusen v com u v D a b 0 2π Analogamente a parametrizacao natural para Sy e ϕyu v ucos v fu usen v com u v D a b 0 2π Vamos determinar o campo normal a superfıcie Sx As derivadas parciais de ϕxu v sao uϕxu v 1 fucos v fusen v vϕxu v 0 fusen v fucos v Logo nx ϕxu v fufu fucos v fusen v Exercıcios 41 1 Seja a superfıcie S constituıda pela semiesfera de centro a origem 0 0 0 e raio a S x2 y2 z2 a2 0 z a Prove que S e uma superfıcie lisa 2 Seja a superfıcie S constituıda pela esfera de centro a origem 0 0 0 e raio a S x2y2z2 a2 Prove que a funcao ϕu v acosusenv asenusenv acosv onde u v Dϕ 0 2π 0 π e uma parametrizacao de S com o asenvϕu v 3 Estabeleca mais duas parametrizacoes para a esfera e calcule o correspondente campo orto gonal 4 Considere uma outra parametrizacao para o paraboloide elıptico e calcule o campo ortogonal 5 Considere o elipsoide E cuja equacao e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Prove que E e uma superfıcie Defina pelo menos duas parametrizacoes e estabeleca seu campo ortogonal 6 Considere o hiperboloide de uma folha H1 cuja equacao e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 36 Prove que H1 e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 7 Considere o hiperboloide de duas folhas H2 cuja equacao e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Prove que H2 e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 8 Considere o paraboloide hiperbolico PH cuja equacao e x2 a2 y2 b2 z Prove que PH e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 9 Considere o paraboloide elıptico PE cuja equacao e x2 a2 y2 b2 z Prove que PE e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 10 Considere o cilindro parabolico CP de equacao x2 4cy Prove que CP e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 11 Considere o cilindro elıptico CE de equacao x2 a2 y2 b2 1 Prove que CE e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 12 Considere o cilindro hiperbolico CH de equacao x2 a2 y2 b2 1 Prove que CH e uma superfıcie Defina pelo menos uma parametrizacao e estabeleca seu campo ortogonal 13 Supor que C e uma curva no plano XZ que e grafico de uma funcao z fx com x a b sendo a 0 Supor que a curva e rotada ao redor do eixo Z Provar que uma parametrizacao da superfıcie de revolucao Sz obtida e ϕu v ucos v usen v fu com domınio Dϕ a b 0 2π 37 42 Superficie lisa por partes Estruturas integraveis Uma superficie lisa por partes em R é um conjunto S de R para a qual existe uma familia U de fungoes y Dj S sendo D um conjunto fechado com interior nao vazio em R e tal que a Para cada j a imagem 5S yD C S é uma superficie lisa com parametrizacao yj b SJyDj J c Qualquer intersegao S MS que acontecer é uma curva lisa por partes Nesta situagao a familia de parametrizagoes V yj serd denominada de estrutura integravel de S Se a estrutura integravel de S for o conjunto UV y1 yx podemos representar S como yiu v se uv Di p2u v se uv De S 6 Pr1U v 8 uv De1 Yru v 8 u v Dr No caso de superficies lisas por partes cada uma das superficies lisas que a compoem as deno minaremos de faces da superficie Em termos gerais diremos que um conjunto S de R é uma superficie se S é uma superficie lisa ou é uma superficie lisa por partes Exemplo 48 A esfera como superficie lisa por partes Seja a esfera S de centro a origem 000 e raio a 9 27 y2 27 a Uma estrutura diferenciavel para S pode ser definida como uv ve u v uveD w4uve S uv ve u2 v uv D w a Exemplo 49 O paralelepipedo Seja o paralelepipedo P de lados paralelos aos planos coordendados e que passam pelos pontos a00 0 b0 00 c sendo abc 0 Vamos determinar uma sequéncia de parame trizacoes para esta superficie As faces que passam pelos pontos ta paralelos ao plano yz podem ser parametrizados pelas funcoes auv auv com uv Dig bb x cc e 38 ϕau v a u v com u v Da b b c c As faces que passam pelos pontos b paralelos ao plano xz podem ser parametrizados pelas funcoes ϕbu v u b v com u v Db a a c c e ϕbu v u b v com u v Db a a c c As faces que passam pelos pontos c paralelos ao plano xy podem ser parametrizados pelas funcoes ϕcu v u v c com u v Dc a a b b e ϕcu v u v c com u v Dc a a b b Logo a sequˆencia de parametrizacoes que descreve o paralelepıpedo P e P a u v com u v Da b b c c u b v com u v Db a a c c a u v com u v Da b b c c u b v com u v Db a a c c u v c com u v Dc a a b b u v c com u v Dc a a b b Exercıcios 42 1 Seja a superfıcie S S1 S2 onde S1 e a regiao superior da esfera x2 y2 z2 a2 determinada pela intersecao desta superfıcie com o cilindro x2 y2 b2 0 z b a S2 e o cilindro ate sua intersecao com a esfera Determine uma sequˆencia de parametrizacoes para a superfıcie S 2 O cilindro com uma tampa Seja a superfıcie S S1 S2 onde S1 x2 y2 a2 0 z b e S2 x2 y2 a2 z 0 sendo a 0 Determine uma sequˆencia de parametrizacoes para o S 3 O cilindro com duas tampas Seja a superfıcie S S1 S2 S3 onde S1 x2 y2 a2 0 z b S2 x2 y2 a2 z 0 e S3 x2 y2 a2 z b sendo a 0 Determine uma sequˆencia de parametrizacoes para o S 39 4 Uma faiza de esfera com tampas Seja a superficie S US2US3 onde 5 é a regiao da esfera x y2 a compreendida entre os planos z b e Sz e 3 sAo os circulos que se produzem quando esses planos intersecam a esfera Determine uma sequéncia de parametrizacdes para a superficie S 5 Seja a superficie S S U Sy U S3 onde S é a regido do cilindro x y a determinada pela intersecao com a esfera x y z b So e S3 sao as partes da esfera que se produzem quando essas duas superficies se intersecam Determine uma sequéncia de parametrizacoes para a superficie S 6 O copo de sorvete Seja a superficie S S U So onde S é a regiao superior da esfera x y 2 a determinada pela intersecdo desta superficie com 0 cone 2 y 27 So é o cone até sua intersecéo com a esfera Determine uma sequéncia de parametrizagdes para a superficie S 7 O cubo Seja o cubo de lados paralelos aos planos coordendados e que passam pelos pontos a00 0a0 00a sendo a 0 Determinar uma sequéncia de parametrizacoes para esta superficie 43 Superficie lisa por partes Estruturas diferencidveis Uma estrutura integravel de uma superficie facilita a integracao de funcoes sobre a superficie No entanto uma estrutura integravel nao facilita perceber o fendmeno de nao orientabilidade de certas superffcies como sim ocorre quando uma superficie é munida de uma estrutra diferencidvel que passamos a definir Uma estrutura diferencidvel para uma superficie lisa por partes em R é uma familia de fungoes D S sendo D um conjunto aberto de R e tal que a Para cada j a imagem S yD C S é uma superficie lisa com parametrizagao yj b SJyDj J c Para qualquer par ij para o qual se tenha S 5 W 0 se deve ter que as imagens inversas de W pela y e pela y sao abertos de R e 5 o y é diferenciavel A fungao y5 o y definida na condigao c é dita de mudanga de coordenadas Se a estrutura diferencidvel de S for o conjunto y1 yx podemos representar S como giu v se u v ED peu v se u v D2 S 7 r1u v se u v Dy1 Yruv se uv Dy Exemplo 410 Estrutura diferencidvel para a esfera 40 Seja a esfera S de centro a origem 000 e raioa S 2 y 27 a Uma estrutura diferenciavel para S pode ser definida como uv ve u v uv eD wtwa uv ve u v uveD w a u va u vv uv eD wtwa S uve u2 v0 uveD w a ve u v uv uv eD wtwa v u v uv uveD w a Exemplo 411 A banda de Mobius M Uma estrutura diferencidvel para M estd constitufda pelo seguinte par de fungoes yuv 2 vsensenu 2 vsencosu vcoss com uv D 027 x 11 yuv 2 vsen 4cosu 2 vsen 7senu vcos F com uv Dy 0 2m x 1 1 44 Superficies orientaéveis Tratar o conceito de orientacao de superficies é de necessidade primaria tendo em conta que ele ja dever ser dilucidado na integracgaéo de funcgdes vetoriais sobre superficies como veremos a seguir Seja S uma superficie em R Um campo de vetores ortogonais a S é uma funcaio n de em R continua tal que para cada p em S n p é ortogonal a S em p Por outro lado dada uma parametrizacao y fica definido um campo de vetores Ny u v Oupu v x Ovpu v ortogonal a S no ponto uv Vamos definir 0 conceito de superficies orientaveis Definigao Em termos gerais diremos que uma superficie S é orientdvel se existe um campo vetores ortogonais a S com orientacao continua em cada ponto de S isto é se no conjunto n S nenhuma avaliagaéo n p muda de orientagaéo Se nao existir um campo de vetores com a condicao de continuidade da orientacao dizse que a superficie é nado orientdvel E de praxe mostrar a faixa de Mobius como exemplo classico de superficies nao orientaveis Fora dela todas as superficies com as quais trataremos sao orientaveis No caso de uma superficie munida de uma estrutura diferencidvel se tem o seguinte critério Uma superficie S é dita orientdvel se para qualquer estrutura diferencidvel de S se verifica a seguinte condigao cada vez que se tenha um par de parametrizagoes yi e y com 55 0 para qualquer ponto yab p ycd em p 5 S se tem 41 nϕi p nϕj p Mais tecnicamente se tem a situacao da seguinte maneira Seja Ui ϕ1 i W e Uj ϕ1 j W O conjunto Ui esta em R2 com coordenadas u v e o conjunto Uj esta em R2 com coordenadas s t Pela parte c de estrutura diferenciavel existe uma funcao s t g u v de R2 em R2 de classe C1 que leva Ui injetora e sobrejetoramente sobre Uj cuja inversa g1 tamben e de classe C1 e tal que ϕiu v ϕj gu v ϕj su v tu v As derivadas parciais de ϕiu v sao entao uϕi sϕjgu vusu v tϕjgu vutu v e vϕi sϕjgu vvsu v tϕjgu vvtu v Efetuando o produto vetorial temos entao que uϕi vϕi sϕjgu v tϕjgu vusvt sϕjgu v tϕjgu vvsut sϕjgu v tϕjgu v det usu v vsu v utu v vtu v sϕjgu v tϕjgu v detDgu v 8 de onde S e dita orientavel se para qualquer estrutura diferenciavel Φ de S se verifica a seguinte condicao cada vez que se tenha um par de parametrizacoes ϕi e ϕj Φ com Si Sj na condicao c da definicao de superfıcie se tem que o determinante da diferencial da mudanca de coordendas e positivo Uma superfıcie S e dita nao orientavel se existe uma estrutura diferenciavel Φ de S tal que a diferencial da mudanca de coordendas tem determinante negativo A natureza de nao orientabilidade se pode pode observar tambem mediante os vetores ortogonais n Neste caso uma superfıcie S sera nao orientavel se dada uma estrutura diferencial Φ de S existem parametrizacoes ϕi e ϕj tais que na situacao da condicao c da estrutura Φ os vetores nϕi p e nϕj p tem sentidos opostos em p Si Sj Em termos de motivacao fısica uma superfıcie S e dita orientavel se como um todo possui dois lados e e dita nao orientavel se como um todo possui apenas um lado Quando a superfıcie S e orientavel existem dois campos vetoriais ortogonais n e n de S em R3 tais que n p n p para todo p em S 42 Na maioria das superficies orientaveis uma maneira pratica de localizarmos as orientagdes é localizarmos o lado de fora e o lado de dentro da superficie ou seja equivalentemente localizar mos um campo de vetores ortogonais que apontam para fora da superficie e localizarmos um campo de vetores ortogonais que apontam para dentro da superficie A orientacao para fora é dita de orientacao positiva e a orientacao para dentro é dita de orientacaéo negativa Quando se considera a orientacao positiva para uma superficie S dizse que S esta orientada positivamente Por quest6es de indole pratica ou seja porque é mais facil perceber quanto por questoes de indole teérica ou seja porque facilita o desenvolvimento da teoria matematica a escolha conveniente de uma orientacao de uma superficie orientavel é escolher a orientacao positiva No caso de superficies lisas por partes as orientacoes de cada face devem ser compativeis Ou seja fixada uma orientacao para a superficie por exemplo para fora entao a orientacao de todas as faces deve também ser para fora A qualidade de orientabilidade de uma superficie S é uma propriedade de indole global ou seja da superficie como um todo Assim isto esté em relacéo com os processos de integracao que sao processos de natureza global e nao de natureza local De fato dada uma superficie qualquer existem subconjuntos dela que constituem superficies orientaveis ou seja que possuem dois lados porém como um todo isso pode nao acontecer tal é o caso das superficies nao orientéveis Quando uma superficie S é orientavel 6 importante a construcao conveniente da parametrizacao wy que defina a escolha da orientacao positiva Isto é que produza um campo de vetores n nao nulo com ponto inicial p yu v apontando para fora da superficie em cada p yu v Notacao Dada uma superficie S orientdvel denotaremos por St a superficie S munida da orientacao positiva e por S a superficie S munida da orientacao negativa Equivalentemente denotamos Sn a superficie S munida da orientacaéo positiva e por 57 a superficie S com da orientagao negativa Exemplo 412 Nos exemplos 4147 mostramse superficies lisas orientdveis nas quais se evidenciam as orientacées positiva e negativa Nos exemplos que seguem mostramse superficies lisas por partes orientaveis Exemplo 413 Uma dobradura O exemplo anterior pode ser estendido para representar funcionalmente uma dobradura De fato sejam os pontos Py x0 Yo 20 Pi 141 21 Po 2 yo 22 P3 73 ys 23 Py x4 y4 24 Ps X5Y5 25 Consideremos os paralelogramos Q1 OPP P2P3 e Qe OP P3PPs com lado comum o segmento Pj P3 nos quais se assume que a notacao dos vértices segue a sequéncia horaria Considerase ainda que esses dois paralelogramos nao sao coplanares assim eles estaéo separados por um angulo nao nulo e diferente de 7 Considerando os vetores p Pi Po q P3 Po r Ps Po a representacao funcional dessa superficie lisa por partes pode ser definida como 0Yo20 tuP ud com uv D 01 x 01 plu v voYo20 tu d ur com uv D 01 x 01 43 Neste caso o campo de vetores n P xX q perpendicular ao paralelogramo Q e 0 campo de vetores N qxr ortogonal ao paralelogramo 2 sao os campos orientados para fora que definem a orientacao positiva da superficie dobradura Exemplo 414 Um cubo O cubo é uma superficie lisa por partes constitufda por seis quadrados 1 S2 3 S4 55 Se A orientacao positiva de um cubo esta constituida pelos seis campos vetoriais ortogonais n41 no ns na ns ne ortogonais respectivamente as faces todos orientados para fora Suponha que o cubo seja S 11 x 11 x 1 1 entao a orientagao positiva de S é ni ortogonal a S 2y z y z 11 x 1 1 2 1 7 naj ortogonal a Sz x y z x z 11 x 11y 1 7 n3 7 ortogonal a S3 xy z y z 1 1 x 1 1x 1 n4 j ortogonal a S4 y z x z 11 x 11y 1 N5k ortogonal a S5 2Y 2 xy 1 1 x 1 1 z 1 ng k ortogonal a Sg zyzy 1 1 x 1121 Exemplo 415 Seja a superficie S S US onde S é a regido da esfera x y2274 abaixo do plano z 1 e S2 0 circulo no plano z 1 produzido pela intersecao deste com a esfera Assim S esté constituida pela face que corresponde 4 esfera e pela face constituida pelo circulo x y 3z 1 Consideramos a orientacaio positiva para a superficie e entao descrevemos ela funcionalmente com parametrizacgdes que produzam essa orientacao Para a esfera consideramos a parametrizacao pu v 2senucosv 2senusenv 2cosu que produz o campo de vetores n uv 2senuyu v sendo que uv Dy a 8 x 0 27 onde a e 6 o determinamos da seguinte forma De z 1 se tem 2cosu 1 e de onde u 3 Portanto a variagao de u para que fique coberta a parte que corresponde a parte esférica serd o intervalo 3 wT Portanto D 3 T x 0 27 Para o circulo consideramos a parametrizacao pu v ucosv usenv 1 onde uv 0 V3 x 027 que produz o campo de vetores n uv 00 u que aponta para cima 44 45 Exercicios Em cada um dos exercicios a seguir fixe uma orientacao para a superficie Determine agora uma sequéncia de parametrizacoes compativel com a orientacao fixada Por ultimo determine uma sequéncia de campos normais que realize a orientacao fixada 1 Um cilindro circular reto com uma tampa 2 Um cilindro circular reto com as duas tampas 3 Um cone circular reto com sua tampa 4 Um cone eliptico reto com sua tampa 5 Um tetradro truncado de vértices a00 060 000 00c com abc 0 com sua tampa determinada pelo plano z c c 6 Um paraboloide com tampa 7 Um hiperboloide de uma folha com suas tampas 8 Um hiperboloide de duas folhas com suas tampas 5 Reparametrizacoes e orientacgao Seja S uma superficie orientavel e sejam e 2 duas estruturas diferencidveis de S Seja y DC R R uma parametrizacao pertencente a ey DCR Ruma parametrizagao pertencente a 2 Uma delas é dita entao de reparametrizacao de S E um fato estabelecido entao que existe uma funcao s t 9 u v de R em R de classe C1 que leva D injetora e sobrejetoramente sobre D cuja inversa g tambén é de classe C1 e tal que yu v W gu v W su v tu v As derivadas parciais de yu v sao entao Ou Osthgu VvOusu v Oebgu vOutu v e Ove Osthgu vOusu v Opehgu vOptu v Efetuando o produto vetorial temos entao que Ou X wp Oswguv x Hwgu vOsOt Osdgu v x Opwhgu vOysOut Ousuv Oysuv Asgu v x Ow gu v det 9 Outuv Oytu v dswguv x Avgu v detDgu v 45 Assim no caso de superficies orientaveis se uma parametrizacao 6 compativel com uma ori entacao fixada dizse que uma reparametrizacao é compativel com a orientacao ou que preserva a orientacao se a funcaéo de mudanga g tem determinante positivo e é compativel com a orientacao contraria se o determinante da fungao de mudanga g é negativo 6 Integracao sobre superficies Estamos interessados nesta parte no processo de integracao sobre uma superficie limitada Isto envolve os seguintes temas drea de uma superficie integracdo de uma funcdo de R em R sobre uma superficie e integraciéo de uma funcdo de R em R sobre uma superficie Uma superficie S é dita limitada se S é um conjunto limitado de R Existe uma extensao imediata deste tema a uma dimensaéo maior no seguinte sentido as su perficies a serem consideradas seréo conjuntos de R que admitam uma parametrizacdo 2 dimensional 61 Area de uma superficie Suponhase que S é uma superficie lisa limitada com parametrizacao y D R Entao a area de S é calculada pela seguinte integral areaS I dA I Oue X Avy du v Ss Duv Se S SUUS é uma superficie lisa por partes limitada com a intersecao de qualquer par delas sendo vazia ou um conjunto de Area zero e y Di R3 o Diy IR sao as respectivas parametrizacoes de Sj S entao areaS areaS reaS I Ouyi X Ovyil Ougr X Ovr Di Diy Exemplo 61 Consideremos uma fungao f ab R tal que y fx de classe C J sabemos que ao rotar o grafico da funcaéo uma volta completa ao redor do eixo x se gera uma superficie de revolucao S em R Da mesma maneira ao rotar o grafico da funciéo uma volta completa ao redor do eixo y se gera uma superficie de revolugao S em R A parametrizacdo natural para S é Yruv u fucos v fusen v com uv D a x 0 27 Analogamente a parametrizacgao natural para S é pyu v ucos v fu usen v com uv D a x 0 27 Vamos determinar a formula que da a area da superficie S Para tanto calculamos as derivadas parciais de yy JuPyuv cos v fu sen v 46 e Oy Pyu v usen v 0 ucos v O produto vetorial destas derivadas é Oupyuv x Iypyu v uf ucos v u ufusen v cuja norma é Ouyy uv x Avpyu v ul Vf u 1 Portanto areas ff u VPP 1 due D b 2a ff a VRP FT aed a JO b 2n Vfu 1 du a que a formula que da a area da superficie Sy Exercicio Determinar a férmula que da a drea da superficie Sy Exemplo 62 Determinar a drea da superficie do paraboloide z x y z V2 Parametrizamos a superficie Definimos a fungao yuv uv u2 v7 com dominio D u v2 2 Determinamos as derivadas parciais de y Ouyuv 10 2u Ayu v 01 2v A seguir determinamos o produto vetorial ij ik Ouyuv X Opuv 1 0 2u 2u 2v 1 0 1 22 A norma deste vetor 6 Ogu v x Ovyu v V4u v2 1 Logo a area de S é areaS I Ouyuv X Oypu v du v I V4u v2 1 duv D D Considerando a mudanga a coordenadas polares u rcos v rsen coom0r V2 0 27 se tem 5 20 2 13 areaS V4u v2 1 du v rV4r2 1 drdé D 0 JO 62 Integracao de uma funcao de R em R sobre uma superficie Seja f Q C R R é uma funcao Suponhase que S é uma superficie lisa limitada com parametrizacao y D R contida em 2 Entao a integral de f sobre S é calculada pela seguinte integral fe t2aq fi sootwey liane x duel alue 47 Se S SUUS é uma superficie lisa por partes limitada contida em 2 com a intersecéo de qualquer par delas sendo vazia ou um conjunto de Area zero ey Di R Yr Diy IR sao as respectivas parametrizacoes de 1 S entao a integral de f sobre S é calculada pela seguinte formula JIsfdA Jfg fdAt fly fad SSpx feiu v Ougi x Ovpil Spr fYru v Quer X AvYr Exemplo 63 Seja a funcao f R R fzyz za y e seja superficie cénica que se estende ao longo do eixo z entre 0 el com equacdo 2 x y Determinar a integral Sf g fdA Para tanto consideramos uma parametrizacao puv ucos v usen v uw com uv D 01 x 0 27 Calculando as derivadas parciais Ou cos v sen v 1 e Ove usen v ucos v0 temos o produto vetorial igual a Ou X Opp ucos v usen v u O qual tomando norma temse Que x Ovpl V2u Agora o calculo de fyu v 6 fyuv fucosv usenv u u3 Logo o calculo da integral é entao fsa ff teow aug x deel alue S D 1 20 u x V2 udvdu 0 JO 1 20 V2u dudu 0 JO 220 5 Exemplo 64 48 63 Integracao de uma funcao de R em R sobre uma superficie Seja F OQ C R R é uma funcdo Suponhase que S é uma superficie lisa limitada e orientada contida em 2 com parametrizacao y Dy R Suponha que realiza a orientacao fixada Entao a integral de F sobre S é calculada pela seguinte integral F dr Fouv Quy x dyvd uv Ss Duv Se S 5 UUS é uma superficie lisa por partes limitada e orientada contida em 2 com a intersecdo de qualquer par delas sendo vazia ou um conjunto de Area zero e y DL R Ppt Diy R é a sequéncia de parametrizacoes de S onde parametriza S Supomos ainda que realiza a orientacao de S compativel com a orientagao fixada para a superficie S Entao JJgF dr Its Pedr e ffg Pedr Jnr Feiuv ugn x Over o Spr Fpruv Our X OvYr Como se vé neste caso devemos ter especial cuidado para que as parametrizacoes escolhidas para cada uma das faces respeitem a orientacao escolhida para superficie Isto nao é necessario quando se trata de achar a area de uma superficie e nem quando se calcula a integral de uma funcio de R em R pois como veremos a seguir a norma do produto vetorial torna a orientacao desnecessaria Integrais sobre superficies e reparametrizacoes Assim como vimos no caso das integrais sobre curvas de funcdes de R em R o valor da integral é sensfvel orientacio escolhida O mesmo ocorre com as integrais de fungdes de RY em RY sobre superficies orientaveis Vejamos isto no caso N 3 Em 9 tomando norma temos Quy x Avy Osegu v x Apvgu v detDgu v Agora vamos comparar a drea da superficie S a integral de uma funcéo f de R em Rea integral de uma funcdo de R em R quando estabelecidas segundo y e segundo 1 A A area de S segundo y é areagS ff ue x Ouel du D ff avtaue x dedgu2 aetDgudu0 A 4rea de S segundo wy aplicando o teorema da mudanca de varidvel para integrais duplas é areayS sab x eel ds D ff avaue x devalue letDyu0 au 0 49 Se pode observar que os dois valores coincidem B Exatamente como no caso A se verifica que a integral de f sobre a superficie S parametrizada segundo é igual a integral de f sobre a superficie S parametrizada segundo w C Finalmente a integral de uma funcdo F de R em R segundo é I Fdp I Fpuv Oup X Ovpdu v y D ff Feoalue 20dalue x deialusv derDou 2 au Enquanto que a integral de F sobre S segundo w aplicando o teorema da mudanga de variaveis é Fdb Fwst Ost x Oubds t D ff Foote 20dalu0 Aevalu0 fetDyuv alae De onde se detDguv 0 se tem pav ff Pac wy O lema abaixo fornece uma outra forma de apreciar este resultado Lema da orientagao Seja S uma superficie lisa orientavel Supomos que um campo de vetores nuv que provém de uma parametrizagao y é compativel com uma orientagao fixada para S e que nst 6 um campo de vetores que provém de uma parametrizacao compativel com a orientacao contraria Suponhase que F é uma funcéo de R em R de classe C tal que Dr contém S Entao Fds F dS Sn Sn De fato temos que nst nuv Entao FdS Fwst 8 tds t ff Poeturnluwaluv De ff Petuemuedue De F dS Sn 50 O O lema acima mune de uma técnica muito util quando se trata de calcular integrais de funcoes de R em R sobre superficies orientaveis De fato basta calcular a integral sobre a superficie considerando a parametrizacao mais simples ou aquela mais facil de ser localizada E de im portancia vital verificar com qual orientacao é compativel a parametrizacao Se a integral for pedida com a superficie orientada positivamente e a parametrizacao for compativel com a ori entacgao negativa entao ao resultado encontrado se deve trocar de sinal de acordo com o lema da orientacao para estarmos com o resultado correto Exemplo 65 Seja a funcdo Fx y z xz yz x7 e seja a superficie cilindrica S que se estende ao longo do eixo positivo z 22 4com 0 z 5 Calcular J J Syn Fdr onde n representa a orientacao positiva de S De fato Consideramos a orientacao positiva para S ou seja consideramos o lado de fora de S A parametrizacao da superficie compativel com esta orientacdo é a funcao y 0 27 x 05 R tal que puv 2cos u 2sen uv pois calculando as derivadas parciais de y uluv 2sen u 2cos u0 puu v 0 0 1 o que da o produto vetorial puluv X Yyu v 2cos u 2sen u 0 Observe que este campo de vetores 6 compativel com a orientacao positiva escolhida pois por exemplo para u 0 e qualquer v 05 temos y0v x Yy0v 200 é um vetor com ponto inicial o ponto y0v 20v na superficie que aponta para fora dela para todo v Agora a avaliacaéo de F em yuv é Fpuv F2cos u 2sen u v 2ucos u 2usen u 4cos u Agora o produto escalar Fyuv puuv X Yuuv é Fyuv yuv X Gyu v 4vcos u 4usen u 4v 51 Portanto Fdr I 4v duv St D I 4v duv D 20 5 4u dvdu 0 JO 1007 Exemplo 66 Seja 0 campo vetorial Fzyz 0yz e S a superficie constituta pela porcao de paraboloide y x 270 y 10 disco x 22 1 y 1 Suponha S positivamente orientada Determinar a integral Fdr S Nos temos que S é uma superficie lisa por partes fechada constituida ela uniao de duas superficies lisas S constitufda por y x z 0 y 1 52 constitufda por x 2 1 y1 Entao Par Pars ff Fdr S st sy sendo que St indica a superficie S com a orientacaéo compativel com a orientacaéo positiva fixada para S e analogamente Sy indica a superficie Sz com a orientacao compativel com a orientacgao positiva fixada para S Calculo de Fdr sf Parametrizamos Sj por y1uv ucosv u usenv com Dy Ou1 Ov2r Calculamos as derivadas parciais de v1 Ougi1 cosv 2u senv Ovp1 usenv 0 ucosv Determinamos ny uv Oupi X Ov1 y 2 2 n1 uv 2ucosv u 2usenv Observamos que y é compativel com a orientacao positiva assumida para a S De fato para 0 ponto 30 temos que ny J 0 1 30 e o vetor ny 350 com pom ponto inicial v1J0 Js 5 0 S aponta para o exterior da superficie A avaliacao de F em uv é Fpiuv F ucosv u usenv 0 u usenv 52 O produto escalar F yiu v ny uv é a 3 3 a2 F yiuv 24 uv u 2usenv Logo I Fdr I u 2usenv du v Si Do 1 20 u 2usen7v dudu 0 JO 1 20 1 cos2v 2u omy dudu o Jo 2 2 1 20 cos2u 208 se dudu 0 Jo 2 T Calculo de I Fdr Sy Parametrizamos S por y2uv ucosv 1 usenv com Dy Oul1 Ov2r Calculamos as derivadas parciais de yo Ouy2 cosv0 senv Ovp2 usenv 0 ucosv Determinamos 7 nouv Oupe X Oye no 0 Uu 0 Observamos que y2 nao é compativel com a orientacao positiva assumida para a S De fato para o ponto 50 temos que n9 30 0 40 Logo o vetor n9 50 0 40 com ponto inicial yo5 v Scosv 1 senv Sy aponta para a parte interna a superficie Segue daqui que o valor da integral sobre Sz com S parametrizada pela yo de acordo com o lema da orientagao deve ser trocado de sinal e este sera o valor da integral sobre Sz com a orientagao positiva Continuemos A avaliacao de F em you v é F youv F ucosv 1 usenv 01usenv O produto escalar F yeu v no uv é 53 youv N2 uv u Logo I Fdr u duv So Doo 1 20 u dvdu 0 JO 7T Portanto o valor da integral sobre S orientada positivamente é 7 Logo o valor da integral de F sobre S é Par Pars ff Fidr r170 st st st Exercicios 61 1 Seja a superficie S z8 com 2r42e3y3 a Determine a area da superficie b Determine a integral xy dA S c Fixando uma orientacao para a superficie S determine a integral y z0 dr S 2 Seja a superficie S constituida por ye 2 1 elas tampas y 4 a Determine a area da superficie b Determine a integral zydA S c Fixando uma orientacao para a superficie S determine a integral zz2dr S 2 3 Seja a superficie S constituida por a uv z 1eas tampas y 100 a Determine a area da superficie b Determine a integral x2dA S c Fixando uma orientacao para a superficie S determine a integral zyxdr S 4 Seja a superficie S S U S2 onde S é a porcao do cone z x y determinada quando este é intersecado pela porcdo de superficie esférica x y 2 1 z 0 e Sp 6 a tampa esférica determinada pelo cone a Determine a area da superficie b Determine a integral yz dA S c Fixando uma orientacao para S determine a integral a zyz2dr S 54 5 Seja a superficie S constituida pela porcao do paraboloide z 10 x y obtida quando este é intersecado pelo cilindro x y 36 a Determine a area da superficie b Determine a integral yz dA S c Fixando uma orientacao para S determine a integral cyy222dr S 7 O divergente e o teorema da divergéncia Seja F PQ R uma funcao de R em R Definimos o divergente de F como a fungao de R em R definida pela regra divF xy z VF xy z OPx Y z Oy Qx Y z ORa Y z Teorema 71 Teorema da divergéncia Seja Q uma regido de R com fronteira a superficie S OQ positivamente orientada Seja F uma funcéo de R em R de classe C num conjunto aberto que contém Q Entdo hat Ile ata Q Exemplo 71 Seja o sdlido Q constituido pelo sélido x y274e2z1e sejaa funcdo definida pela regra Fxyz xyy2x42 Vamos verificar 0 teorema da divergéncia Nos temos que a fronteira de 2 esta constitufda pela superficie esférica S 2yz2 4 abaixo do plano z 1 o que faz que outra superficie que conforma a fronteira de 2 seja o disco U x y 3z1 Assim OQ SUU Orientamos esta superficie positivamente e consideramos as parametrizagoes 1 u v 2senucosv 2senusenv 2cosu com Dy 37 x 027 para a superficie 9 e youv ucosv usenv 1 com Dy uv 0 V3 x 027 para a superficie U O campo de vetores n produzido por yi é n 2senuyiuv e o produzido por v2 é n 00 u Vamos calcular entao rf rr fr 00 SUU S U Calculo de F S 55 fe fp 2 eeutuw2scnugiuv S Dox 2senucosv 2senusenv 2senusenv 2cosu De 2senucosv 2cosu 2Zsenuyu v 2senucosv 2senusenv 2senusenv 2cosu De 2senucosv 2cosu 2senu 2senucosv 2senusenv 2cosu 8senu 8sensenucosv 8sensenucosv 8senucosucos Dey T 27 8senu 8sen senvcosv 8sen senvcosu z JO 3 8senucosucosv dudu 16n senudu 3 247 Calculo de F U fe ff Pleatue 000 U Des ucosv usenv usenv 1 ucosv 1 00 uv Do ucosv u Deo 27 V3 27 V3 ucosvdu du udu dv 0 0 0 0 213 2a S 31 Portanto Fo 247 30 270 0Q 56 Agora o divergente de F é divF ayz Op uty dy y 2 Oz uF 2 3 Observamos também que o sdélido esférico Q 224 y 2 4 éa uniao do sdlido do problema Q com o setor esférico H acima de z 1 Ou seja QQUH Daqui ff awry ceu2aceu2 3 fff acey2 Q Q 3 ene a I ales2 Q H Arp 4r2 32 Temos que IT dx y z volQ a lon Ste er 6 3 3 3 Vejamos o calculo de I dxyz Temos que H é 0 sélido x y224e2z21 No H que segue consideramos integracao dupla sobre a regiao D x y 3 Esta regiado é levada com o uso de coordenadas polares a regiao Dg 0 v3 x 027 Assim o cdlculo da integral tripla segue como segue II dx y 2 dz dxy H DiJ1 v4 7 y 1 dx y D Var 1 rdr 6 Dro Qn V3 49 1 rar dé 0 0 v3 an 49 1 rar 0 v3 v3 AW rV4r2dr rr 0 0 v3 v3 Wn 2 V4 r2rdr rr 0 0 57 3 12 25 v3 r2v3 20 B 40 8 FIN 1 3 3 1 an 4 32 4 0 3 1 3 ll83 on 3 327 OT Portanto II divF xy zdzy z 3 270 Q Exemplo 72 Seja 0 campo vetorial F xyz 0yz e S a superficie fechada constituta pela porcao de paraboloide y 2 270 y1e0 disco x z 1 y1 Suponha S positivamente orientada Aplicando o teorema da divergéncia determinar a integral Fds S Consideramos o solido 2 constituido por S junto com toda a parte interna a ela o que pode ser descrito como Q ya420y1 e742 1yl Agora observamos que divFx y z 0 e portanto II divF xy zdxy z 0 Q Logo pelo teorema da divergéncia FdS 0 Ss Observamos que este resultado concorda é6bviamente com o jd obtido no exemplo 66 Exercicios 71 1 Calcular o valor da integral FdS onde S é 0 sélido limitado pelos planos 1 x 2 S y3y4 25z6eF éa funcao com regra de definicao F2yz Tg yz ycos x sen z ycos x cos 2 Faca um grafico da superficie S e indique explicitamente orientacao da superficie sob a qual esta trabalhando 2 Seja a funcdo Fx yz xy y 72 Considere a superficie S constituida pelo cubo com arestas de comprimento a localizado no octante x 0 y 0 z 0 e considere o sdlido respectivo Verificar o teorema da divergéncia Ilustre com um grafico as idéias pertinentes 3 Seja a funcao Fz yz zyzyy2 Considere a superficie S constitufda pelo tetraedro de vértices A 300 B 040 C 005 e O 000 e considere o sdlido respectivo Verificar o teorema da divergéncia Ilustre com um grafico as idéias pertinentes 4 Seja a funcdo Fa y z 7 y 2 58 Considere a superficie S S US onde S é 0 paraboloide z x y e Sz é 0 circulo formado pela intersecao do paraboloide com o plano z 36 e considere o sélido respectivo Verificar o teorema da divergéncia Ilustre com um grafico as idéias pertinentes 5 Seja a funcao Fa y z xy yz vz Considere a superficie S S US2US3 onde Sy x y 25 e S e 3 sao os circulos que se obtém ao intersecar Sz com os planos z 2 e z 8 e considere o sdlido respectivo Verificar o teorema da divergéncia Ilustre com um grafico as idéias pertinentes 6 Considere o s6lido limitado pela superficie o SUT onde S x y 2 e T sua tampa T y2225 5 Considere ainda a funcdo F R R tal que Fz yz xy z a Ache o valor da integral T divF dx y z Q b Ache a o valor da integral FdS ot onde ot OTT 8 O bordo de uma superficie O bordo de uma superficie S que o denotaremos por OS é a uniao de curvas que a limitam E claro que OS é a uniao de curvas que séo imagens de algum subconjunto do bordo do dominio Dy de qualquer parametrizagao y que descreve S Para efeitos de integracao de funcoes vetoriais sobre superficies sobre tudo usando o Teorema de Stokes é conveniente conhecer a orientacao do bordo de S Para tanto se deve proceder da seguinte maneira A Fixar a orientacao da superficie a orientacao para fora da superficie ou a orientacao para dentro da superficie Por questoes de indole teérica e pratica é conveniente escolher a orientacao positiva ou seja a a orientacao para fora Com isto determinado devese procurar parametrizacoes que produzam a orientagao positiva ou seja parametrizagoes y com dominio D que produzam o campo de vetores 7 orientado para fora da superficie Fixzada a orientacao da superficie a parametrizacao de cada face deve respeitar a orientacao escolhida B Estabelecer a orientacaéo do bordo da superficie segundo a seguinte convengao Oo percurso do bordo da superficie deve deixar a superficie 4 esquerda Neste sentido a parametrizacao para o bordo deve produzir esta determinacao Cabe assinalar que a orientacao correta do bordo de uma superficie feita a escolha de uma orientacao da superficie seja a positiva ou a negativa 6 a de que o percurso do bordo da superficie deve deixar a superficie a esquerda Por outro lado seja S a face de uma superficie 59 S cabe lembrar que embora os arcos do bordo de Sj sao necessariamente imagem de um arco do bordo do domınio Dϕ de qualquer parametrizacao ϕ que descreve a face Sj a parametrizacao ϕ nao necessariamente produz a orientacao do bordo de Sj de acordo ao convencionado acima isto faz que a orientacao do bordo de uma superfıcie seja definido como uma extensao do estabelecido para a orientacao positiva do bordo de uma regiao plana simples Exemplo 81 O bordo da superfıcie triangular Se a notacao dos vertices P0 P1 e P2 da regiao triangular segue a sequˆencia horaria entao o bordo dessa superfıcie orientado positivamente e a seguinte uniao de segmentos P0P2 P2P1 P1P0 Exemplo 82 O bordo da regiao quadrangular Se a notacao dos vertices P0 P1 P2 e P3 da regiao quadrangular segue a sequˆencia horaria entao o bordo dessa superfıcie orientado positivamente e a seguinte uniao de segmentos P0P3 P3P2 P2P1 P1P0 Exemplo 83 O bordo da dobradura Consideremos a dobradura constituıda pelos paralelogramos Q1 P0P1P2P3 e Q2 P0P3P4P5 com lado comum o segmento P0P3 Assumindo que a notacao dos dos vertices de cada pa ralelogramo segue a sequˆencia horaria o bordo desta superfıcie orientado positivamente esta constituıdo pela seguinte uniao de segmentos P0P5 P5P4 P4P3 P3P2 P2P1 P1P0 Exemplo 84 O bordo de um cilindro circular reto limitado Seja o cilindro S x2 y2 a2 0 z h com h 0 O bordo desta superfıcie esta constituıdo pelas circunferˆencias C1 x2 y2 a2 z 0 e C2 x2 y2 a2 z h Para determinar a orientacao destas curvas devese ter em conta o convencionado para a orientacao do bordo Assim a orientacao de C1 deve ser o percurso antihorario e a orientacao de C2 deve ser o percurso horario Uma parametrizacao γ1 que produza a orientacao para C1 e γ1t acost asent 0 com 0 t 2π e uma parametrizacao γ2 que produza a orientacao para C2 e γ2t asent acost h com 0 t 2π Exemplo 85 O bordo da esfera A esfera e uma superfıcie sem bordo ou seja se S e a superfıcie esferica o bordo de S e o conjunto vazio Exemplo 86 O bordo da esfera sem um setor 60 Seja a superficie S constitufda pela esfera de centro a origem 000 e raio 29 2y224 sem a parte acima de z 1 Para z 1 temos que x y 3 ou seja 0 bordo de S é a circunferéncia com centro 0 ponto 001 e raio V3 A parametrizacéo que produz a orientacao correta deste bordo é definida pela funcao yt V3sent V3cost 1 Exercicios 81 1 Seja a superficie S constitufda pela esfera de centro a origem 000 eraioa S y2 a sem a parte acima de z 1 i Verifique se a parametrizacao yu v asenucosv asenusenv acosu onde uv 07 x 0 27 produz a orientacao positiva para o bordo de S 2i Verifique se a parametrizacao yuv acosusenv asenusenvacosv onde uv 0 27 x 07 produz a orientagdo positiva para o bordo de S 3i Verifique se a parametrizacao uv acosusenv asenusenv acosv onde uv 0 27 x 07 produz a orientagdo positiva para o bordo de S 2 Considere a superficie S constituida pela porcaéo limitada de um cilindro paraboloico ao ser cortado por um plano paralelo ao cilindro Assinale a orientagao positiva do bordel de S Nos seguintes exercicios determine o bordo da superficie com orientasgao compativel com a orientacao positiva da superficie 3 O bordo do semielipsdide superior 4O bordo de um cone limitado 5 O bordo de um paraboldide circular intersecado por um plano paralelo a um plano coorde nado 6 O bordo de um elipsdide intersecado por dois planos paralelos a um plano coordenado 7 O bordo de um cubo sem a tampa 8 O bordo de um segmento de toro 61 9 O rotacional e o teorema de Stokes Seja F PQ R uma funcao de R em R Definimos 0 rotacional de F como a fungao de R em R definida pela regra rotF xy z V x F xy z i j k Payz Qzy2 Rxy2 dR0Q0P 0R0Q OyP Teorema 91 Teorema de Stokes Seja F uma funcéo de R em R com dominio Q de classe C e seja S uma superficie positivamente orientada com bordo OS condizentemente orientado tal que S CQ Entao F rotF Ors St Observe que 01S OS Exemplo 91 Seja a superficie S constitutda pela esfera S x y 2 a sem o setor acima de z 1 e seja a fungdo definida pela regra Fxyz yy244 2 Vamos verificar o teorema de Stokes Noés temos que o bordo de S esta constituido pela circunferéncia 0S 2 y 32 1le cuja correta parametrizacéo compativel para esta situacgao é yt V3sent 3cost 1 com 62 0t 27 Logo a integral de F sobre OS é 20 oe row rwe Os 0 20 V3sent V3cost V3cost 1 V3sent 1 0 V3cost 3sent 0 dt 20 3c0s1 V3sent dt 0 20 3 costdt 0 2 14 cos2t 3 dt 0 2 32mr sen2t3 31 Agora calculamos o rotacional de F rotF xy 2 V x F xy z i j k Or Oy Oz Uy Yrs LzZ 1 l 1 e consideramos a parametrizacao da superficie S definida como pu v 2senucosv 2senusenv 2cosu com uv Dy a B x 027 onde a e ficam definidos da seguinte maneira De z 1 se tem 2cosu 1 e de onde u Portanto D 7 x 0 27 63 Logo a integral de rotF sobre a superficie é fotevene ff ann S S I 1 1 1 2senuyu v D I 4senucosv 4senusenv 4senucosu D T 20 4senucosv 4senusenv 4senucosu aw du 3 0 T 20 4 ff senucosud du 3 0 Tv 87 senucosudu 3 2 8ri I 3 4n2 37 Observamos que os dois valores coincidem e portanto o teorema foi verificado Exemplo 92 Consideremos a fungao Fx y z ay x y e seja a superficie S constituida pela semiesfera Si aryr z 1 1 02z1 Verificar 0 teorema de Stokes Primeiro calculamos o rotacional de F rotF xy z V x F xy z i 9 k O Oy Oz vy ay 102x 2ry Agora parametrizamos a superficie Consideramos a fungéo y com dominio D O0u 2 5 v7e com regra de definigao puv cos usen v sen usen v cos v 1 64 Calculamos agora nuv Oupu v X Ovyu v Ouyu v sen usen v cos usen v 0 e Oveu v cos ucos v sen uCOs Vv sen v e portanto nuv cos usen v sen usen v sen vcos v Agora a avaliacao rotF yu v é rotF puv rotF cos usen v sen usen v cos v 1 1 0 2cos usen v 2cos usen usen v Segue que o produto escalar rotF yuv nu v é rotF pu v nu v cos u 2cos vsen v 2sen ucos vsen v Logo roth dr rotF ou v nu vduv 8 Dy 20 T 2cos ucos vsen v 0 m2 2cos usen ucos vsen v dudu 0 Temos em conta agora que para efeitos de aplicacao do teorema de Stokes a superficie sempre seré considerada munida com a orientacao positiva Devemos verificar se a parametrizacao escolhida para o calculo da integral é compativel com tal orientagao Para tal considerando por exemplo o ponto da esfera 10 1 y0 72 se tem n0 m2 1 0 0 Observamos que este vetor com ponto inicial y072 aponta na diregéo da parte interna a superficie ou seja que a parametrizacéo y nao é compativel com a orientacao positiva de S Portanto a integral de rotF sobre S é menos 0 valor obtido Ou seja rotFdS 00 St Calculemos agora a integral de linha de F sobre o bordo da superficie O bordo OS da superficie é a circunferéncia de raio 1 no plano z 1 pois de x y z 1 1 com z 1 resulta x y 1 Parametrizamos esta curva Para tanto definimos y com regra de definicdo yt sen t cos t 1 65 com dominio J 0t 27 Esta parametrizacaéo é compativel com a orientacao de 0S Calculamos agora 7t 7t cos t sen t 0 Agora a avaliacao F7t é Fyt sen tcos t sen t cos t e portanto o produto escalar Fyt 7t é F9t 7t sen tcos t sen t e daqui FdC row 7 tdt ots I 20 sen tcos t sen t dt 0 0 Assim o teorema de Stokes foi verificado Exercicios 91 1 Seja C a curva de intersecio do paraboloide z 6 x y com o cone 2 y z Seja a funcaéo F com regra de definicéo Fx yz az vy 27 Use o teorema de Stokes para calcular detalhadamente a integral FdC de duas formas Cc a Considerando S a superficie paraboloide com bordo C b Considerando S a superficie cone com bordo C 2 Seja a superficie S z 2 y 0 z 4 e considere a funcdo F R R tal que F xyz yzxz0 Considere ainda a fungao y D C R R definida pela regra yuv vu u v2 a Desenhe a superficie e indique a orientacao positiva dela Descreva 0 bordo OS e orienteo condizentemente com a orientacao positiva da superficie b Verifique que y é uma parametrizacao de S consistente com a orientacao positiva desta c Ache o valor da integral FdC ast d Ache a o valor da integral rothdS St 3 Considere a superficie triangular S de vértices A a00 B 060 C 00c e considere a funcdo Fa yz xyz ryzryz7 Verificar 0 teorema de Stokes Faca as ilustragdes pertinentes 4 Seja a funcdo Fx y z ry yz xz e considere a superficie S x7 y 25228 66 Verificar o teorema de Stokes lustre com um grafico as idéias pertinentes 5 Seja a funcdo F xyz zyx e considere a superficie S constitufda pelo cone z x y limitado pelos planos z 3 e z 5 Verificar o teorema de Stokes lustre com um grafico as idéias pertinentes 6 Seja a superficie x y z 9 sem as tampas x 52 x 52 7 52 y 52 z 52 2 52 a Escolha uma orientacgao para S e uma orientacao compativel para o bordo de S b Determine uma parametrizagao para S e uma sequéncia funcional para o bordo de S de acordo a escolha feita em a c Seja a fungao F xyz xy yz xz Verifique o teorema de Stokes Resposta e sugestoes a os exercicios Exercicios 31 10 O valor a ser obtido é 2 Se os vértices sio A 00 B 50 C 22 0 bordo orientado positivamente é ABU BC UCA Exercicios 61 4 area 1 V2 yzdA 0 Sy area Sy 2n V2r yzdA 0 So v2 area S area Si area S2 2m Fn yzdA 0 S Considerando a orientacao positiva para S se tem a zyz2dr0 Sy a zyz2dr 2n V2r e dai I a zy2dr 2n V2r So St 5 area S 1459 1 I yzdA 0 Fixada a orientacaéo positiva para S se tem S tetuuteeta ar 10087 S