Equações Diferenciais Ordinárias: Conteúdo e Exercícios

Calculo J o s é Armando 2 equações S e g u n d a Lei de newton ocoz F a E m i n dat d m a f Wtmido at bo âçmü m d F d t m ü m m 4 r 1 2 I exempliticação Cur w i e r t w v 1Programa da disciplina Introducão a equações dilerencias ordinarias Equações diferencials ordinarias de primeira ordem Equações de variavess separaueis equaçóes homógeas Equações ineares Equações de Bernowll Equações Exata Equação redutivel a Exata Equações dilerencias ordinarias de segunda Ordem Método da redução da Ordem método da variação dos Parâmetros 2 Bibliogratia Agres Jr F E q u a ç o e s Dilerenciais MEGRAW H i l l BOyce W E F DIPRIMA R C E q u a ç o e s dilerencias elementares e problemas de valores de contorno Gvanabarallts Nagle R K SAFF E B snider A D E q u a ç o e s dileremciais Bearson Simons 6 F Krant 2 S 6 e q u a ç o e s diterercias MOGRAbe Hill Goncalees m B 4 Fleming D m C a t c o l o A Prentice HALL I Pearson Dem doultobs B P r o b l e m a s e exercicios de analise malematica MiR 3 Avaliação Nota 12 Prowaregimental 92 avaliaçao parcial nota substi tert iwa Prova Serbstitutiva Nota Exame Exame 4 Data das Provas Exercicios t calcular a derivada 11 x 2 y 2 s 2 f g z 1 0 Gz t x 2 x 2 9 O y W x 2 1 x 2 j k y 1 x 2 l z 2 enr dx 1 I y 2 k 2 2 x dy z dx 1 1 y 2 1 2 2 x X dy z 1 y 2 usando derivada implicita x 2 4 y 2 1 x 2 t egz 1 x 2 z 2 1 egz t x 2 2 x t a g y o g o x 4 gi 2 zy x y 12 Se xy tyz 1 encontre o valor de dx ro ponto Co e t a z e r em casa 2 Calcule as Inkgrais 21 Ssenix dx Ssenudu l y sent l corn enty Ssentzudn Ssen x d x I sen x c o s x 1 Saenixdx 1 sent cosnt Solx Z 1 sento cosx E zcJGlnxdx Staydx SfInx d x St d t E t h Subststuindo L n x t diserenciando I m x dx t e l t dx 1 dt Fdx d t 1310 z Equações Diterenciais Detinicão 1 chamase equação diferencial umaexpressão que relacione uma função desconhecida y t 1 x com a sea variavel Aecomas swas devivadal dy dry dy 2 d Y axs d 7 a x n dx éuma expressão que tem a torma flxiy d ax A t y axzd 3 y axs d 7 y a x n 0 exemplos i dx 5 27 ax s e n x 3 d 3 Y dxs d Z y dxz tsenxdy dx tInx 0 Detiniçãoz Order de uma equação diferencial éo grav da derivada de maiorgrav que nela comparece exemplos Dd 3 Y dx 3 d 2 dx 2 senx 0 EDO de ordem 3 21 dy ax f d y axp c o s x E D O de ordem 1 3 d 2 y axz a i t d y ax s E D O de ondem z Detinição 3 solução de uma equação diferencial é a tunção y f e x que a satistaça on seja que a torna uma entidade exemplo D y s e n x é solução da equação diferencial dyx c o s x 0 2 y ee soluçãoda equação diferendae Definição 4 Existemtrêstiposdesolucasparaumaequacaoderedthe constantee erigualàordem da equação diferencial Fx yccz n 20 Solucas Particularéobtida da soluçãogeral como conhecimento numérico das constantes mediante as chamadas condições iniciais or condições de contorno tantas quantas são as constantes 5Solução singularnão eobtida da soluçãogeral Seráestudada futuramentel Resumindo Equação diferencial I S Soluçãosingular Soluçãogeral condições iniciais ou condições de contorno Solução particular W 2702 Equação diferencial ordinária de 10 Ordem Tipo eso de Ordem de variavels separáveis definiçãoétoda equação diferencial do tipo dy f x dx fy Soluçãoé encontrada fazendo a separação de variaveis e entrando a integração dyof X dx fy fxdx fydy integrando Sfxdx Sfyoy fxc fg c fx fly c2 c1 23 fx fy c Exercicio 1 Calcule a soluçãogeral da equação diferencial ordinária eso dada por de x dx 1 yz no verificação érmaepo de Mordem do tipo dyfx onde fx x oX f y fy 1 y Portanto éuma eino de ordem devariaveis separáveis 20 solução dy xx2 x 4x 1 y2dy d4 1 y2 IntegrandogydySityzdy 13 01 y y x3 3x 3y y3 3c B B x3 y3 3y 3x2 3x1 23 x3y33y c soluçargeral da EDO Exercício 2 2702 Resolver as seguintes equações diferenciais 21 xy y y3 22 tgxsenly dxcos2xcotyyoly 0 23 i texyy exdadas as condições iniciaisy0 1 24 ysenxyiny dadas as condiçõesinclaisy i121 Resolução 21 xyy ys como ydy podemos escrever X xy y y xde y E xdyy ydx otydyA e sótem y X integrando ambos os membros lemos SgdyS1dx vamos trabalhar o integrando da no integral afim de transformato em uma função equivalente poremmais facil de ser integrada sy 9y21 5 By c yz 1 vamos trabalhar o integrando da no integral atim de transformato em uma função 27102 S equivalente poremmais facil de ser integrada sty gy21 5 By c yz 1 Ay2 1 By cy yyz 1 Ayc A By2cy yy 1 A By2 cy A yyz 1 0y2 1 1 By2 cy Portanto A B 0 D B A BB 1 E C 0 A 1 Portanto 1 yly21 y voltandoingregg55995y y2 1 w 1yz 1dy ude zydy de ydy a SIdaInlulc 55dySawe Stay Ist n1y c1 na c Voltando a expressão 2702 1 dyG1dX Sy3 y in g1 c3 nx c4 y nx 0405 25 In 21 in xcge C5 In y C5 xyz 1 de definição de logaritimo In A B log A B e eB A y e4506 X yz 1 y a soluço geral X yz 1 22 tgx seny dx cos2xcotgy dy 0 2702 Egy senlydxcosX cotgy dy fgx sengcosx cotgy gsencycotgy ee e Igx dy COS2X dN colgy seny dxge Equação diferencial ordinária de ordem do tipo homogênea 103 Definicão S Étoda equação diferencial do tipo dy fxy dN Onde Fixy é uma função homogênea degraw zero observação dizemos que uma função fix y éhomogea degrau se ftxy fxy para tool te R Exemplo 1Veriticar se a função fixy x y éhomogenea e em caso afirmativo em que grow verificação fxy x2 y2 f x y x y2 t2x2 t2yz 2x2 yz t2fxy Portanto ftxty t2fxy a homogênea de grauz Exemplo 2 veriticarsefxyéhomogêneae veriticação fxy ftx ty 3x zy t3x tzy 3x zy x y tx ty tx y t3x2y tfxy homogênea de xy grau zero Exemplo 3 veriticar se fxy x 2 3xy éhomogenea x 5 verificação fxy x 2 3xy x 5 ftxty tx2 3 xy 2x t23xy x 5 x 5 2x2 3xy x E continuação f x y 4fxy portanto1x3 x 3x4 não éhomogênea x 5 Solução da EDO de 1 Ordem do Tipo homogênea Uma vez verificando que a função fixilehomogenea degrau zero fxy tfxy Podemos fazer uma troca de variaveis que transformaráa EDo em uma EDo de variaveis separaveis fazndo G xx Il Diferenciando dy du x ldx 1 dN dX dy dy dex u V dx dX substituindo na equação diferencial I temos de fxy du x a fxux dN onde fxmx x if1x aux u x001f1u dN de x f1a u dN de fau sotem sotem e 2703 EDO ordem linear dy Dixy ax dN y uvuv 0 dy del vrdv dN X dX du 2 udr Pxuv ax dX dX E des V Px ur 0 D da Pxe 0 dX dX udr aX ② du PX u dN dX Dxdx Ja fDIxd x e du Qxdx v get xdx InulfDIxdx u e SpNdX ①xdx Exercício 3 Resolver a EDO dity corxmnixpara y0 x 0 y 1 1verificação S dy Px y ax dX eDo ordem do tipo linear I dicay nnex I 20 Solução I y e2 dy del v udr dX dX dx Substituindo na equação diferencial de 2 COLX uV 0 ⑫ de Vedr colx Mn2x S aX dN dX udr Mn2x ② dX De v du colx 0 I dx como v toduCd xx 0 dX del COX U dX Ja gorxd Inanx 4 e Anx substituindo em eandr unx dx ArMnzeMnxnx Jdwgehnunzxdx de emux gehenx un2xdx da trigronometriarenzxzenx cax gehnxzenxcaxdezjeunx unxaxdx eitt fazendosenxt Diferenciandocarx dx dt Sede LetGetdttetet ta Fu e t du dt de etdt vSetdt et r 2 tetettC2tetzet 22 Portanto y u y ebnx ztetzet c MASt Senx y enx zeinxernzennx2 y zenxenxenxzeunx Ihnczeenx I y zunx2 cenux sorçãogeral Solução particular o para x0y 1 12 en102 cemno e 1 1 2 C 6 1 2 C 3 y zunxz 3eunx Solução Particular Equação diferencial ordinária de 10 ordem de Bernoulli Definição É toda Epo do tipo dy Dxx y axy dX ⑪ onden Fo Solução éobtida através da seguinte técnica no multiplicando ambosos membrosda EDo por y y nay xixy axxiyn y ydy Dy axy aX yny 4xyn a 20 Substituindo yln ③ M n41 Diferenclandoyn dy dX dx 1 ny1 n 1y 1 dX X y 4 n so substituindo e na expressão En Pxz ax multiplicando ambos os membros por1n dz xmPx z fax dX Px 4xz a1x Exercícios para entrega Identificar o tipo das equações e calculara soluçãogeral e quando fornecidas as condições a sonção particular 1fxyy1 1 x4 2 xyz xdx x2 ydy 0paray0 1 37 xnn YanY x 4 xy x2 y2 57y y zex 6 xy 2x mnx I y 2 y cosParay 87 xy y xnx 9 3 xy zy x3y 2 Equação Diferencial ordinária de primeira ordem do tipo exata 1 Definição toda equação equação diferencial do tipo mxydx Nxydy 01 onder Mixy e Nixy são funções das variavels xey Dizemos que a equação 1 éexata se ela obedecer a seguinte condição anxy aNxy 2 by X 2 Solucão S Se mxydx Nxy dy 0 e uma equação diferencial do tipo exata então existe uma função Fixy função das variareis x ey tal que afxy mxy ax 3fxy Nxy Semxydx Nxydy 0 e uma solução diferencial do tipo exata então a solução da equação diferencialédada por Fxy c Onde C éuma constante Exercícios Dadas asseguintes equaçõesdiferenciais veritique se são do tipo exata e calcule a solução geral 13x2y zy3 3dx x3 6xy zydy e 2 2x ydx zy xdy 0 x2 yx yz c 371 2xy 3x2yzdx x2 3y2 zxydy 0 x xy x3yz y3 c 173x4y 2y3 3dx y zydy 0 ⑪ mxydX Nxydy 0 Verificaçãopara ser chamada de ED do tipo exata devemos ler 3Mxy aNxy by X 3mxy 83x2y zy3 3 3x by Portanto a ED éa tipo exata aNxy 8x3 6xy zy 3x by X Soluçãoonde a pédo tipo exata temos que existe uma função Fxy tal que Fxy mxy Fxy 3x2y 2y3 3 x ax 0fxy Nxy saxy x36xy2 24 by De Fxy 3x2y 2y3 3 fxy 3x2y zy3 3dx 3xy zy3x 3x gy Portanto Fxy x3y zy3x 3x gy Derivando em relação al atxy x36yxdae 5 comparando 5 e 4 aFxy 13 6x d gy by dy I dgy Fxy x3 6xyzzy qy zydy zy by Portanto gy yC Assim Fxy x3y zy3x 3x y2 c1 xy zy3x 3x yc c 27ydxtidy 0 Respostaxyxye 3Mxy aNxy by X 3mxy a 2x y 1 ay aNxy a zy x 1 X X EDO do tipo exata mxydx Nxy 0 3mxy aNxy by aX I Fxy S8F meen by fxy C x yzdx zxydy 0 I mxy x yz mxydx Nxydy 0 Nxy zxy amxy dx yz zy by by amxiy aNx X 3Nxy 2xy zy X Equacão Diferencial ordinária redutivel a exata I 1 Definição Étoda equação diferencial do tipo mxydx Nxydy 0 Orde amxy aNxy by aX 2Solucão Eencontrada através da transformação deste tipo de equação diferencial exata como auxilio de um fator integrante fator Integranteeuma função que multiplicado uma equacas diferencial ordinária do tipo reativea exata a transforma em uma equação diferencial ordinária do tipo exata mxydx Nxydy 0 amxy faNxy ay X multiplicado ambos os membros da ED por Mxy fator integrante uxymxydx Nxydy 0u5xy MIxyIdx xyldy 0 mxy vxy Onde amxy 2Nxy by X 3Mxyxy bNixymIx ExercICIOS mostre que as equações diferenciais se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator dado e determine a soluçãogeral 1y2 xydx x2dy 0 uxy xyz 1 2 x 2y3 x1 yzy 0 uxy xys 1 1505 Equação diferencial ordinária de ordem do tipo redutível a exata 1 Definição I étoda ED da forma Mxydx Nxydy 01 Onde amxy bNxyz by X 2Solução éobtida através da multiplicação da EPRE por uma função kxy chamada de fator integrante então Mxydx Nxydy 0xMxy3 Mxyuxydx NxyMxydy 04 Onde 3mxyuxy aNixyluxy 5 by X 3Cálculo do Fator Integrante da expressão 5temos 3mxyuxy bNxyMxy by X mxy uxy mixyy uxy by Nxy3Mxy Nxy8 uxy 6 essa expressão deve ser particularizada em dois casos 10 uxy éfunção apenas da variavel x Mxy ux neste caso a expressão 6 fica escrita comp 3 mxy Mx Mxyarix 8 NxySMx Nxy Mx by by A 0 dux dX 8 uxyMX 3 uxyMx Nxy 8x x 1 Nxydux 8 NxyMx mixy Me 11 Nxydux 8mxyux 8 Nxy Mi Nxydux amxy 8Nxy ax dx by dux 1 8 mixy NIxy M dix WIxy by dux ex wixes maxy Nixic dx Integrando S Swixy Mixy Next dx In mix wixy Mixy a wixal dx 8X exx eNixiy ambys and ax 20 uxy éuma função apenas da variavel y salxy ry neste caso a expressão 6 fica escrita como 3 uxyMy Mxyuy3 Nxyay NexyMy by 3x e duy O dy Mxyry Mxyduly 2Nxyuy by dy 8x Mxy7day Nxyuxy 2 mxywy dy by mxyduy Nxy amixy r by 3 SageSmixie ax Nxy axydy Nxy 2Mxydy In my mixg ax by My eSmixies Nylmixy dy 2205 Equação Diferencial Ordinária de Ordem Redutível àexata mxydx Nxydy 0 amxy aNxy by ax fator integrante wxy tal que MxyMxydx wxyNxydy 0 axymxy zuxyNxy by IPuposição MX1 MX Swixies ameximanye ux e 2suposição uxy uy Imixic amigarxe uy e Equação Diferencial de 20Ordem As equações diferenciais de 20 Ordem Redutivels àordem podem ser resumidas em 3 tipos tipo y fx 2010 fxyy 0 30410 fly yy 0 Primeiro tipo Definição Sãoas equações diferenciais de zo ordem do tipo y fx soução dia fx aay fxdX integrandy fixde dy x ffix de ffxdx dy fxdy dx Integrando Sayf fixidx dx y x fxdxdx y fxdx dx XerCICIO 1 Resolvery senx y xdx dx y cx xdX y coxdx adX y fcoxdx cdX y anx x xx c3 y Mnx x1X cz cc3 y 1nx 21x c4 Renumerando as constantes y nx cx cz x fixyy 0 Segundo tipo definição etoda equação diferencial da forma fxyy 0 Solução fazendo y P dy P dx y diy 49Y a P dx desta forma obtemos fxyy fxpd 0