Lições de Cálculo Integral em Várias Variáveis

Lições de Cálculo Integral em Várias Variáveis Lições de Cálculo Integral em Várias Variáveis Belo Horizonte CAEDUFMG 2012 Dan Avritzer Mário Jorge Dias Carneiro Integral dupla UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Profº Clélio Campolina Diniz Reitor Profª Rocksane de Carvalho Norton ViceReitoria Profª Antônia Vitória Soares Aranha Pró Reitora de Graduação Profº André Luiz dos Santos Cabral Pró Reitor Adjunto de Graduação CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo Diretor de Educação a Distância Prof º Wagner José Corradi Barbosa Coordenador da UABUFMG Profº Hormindo Pereira de Souza Junior Coordenador Adjunto da UABUFMG EDITORA CAEDUFMG Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo CONSELHO EDITORIAL Profª Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº Dan Avritzer Profª Eliane Novato Silva Profº Hormindo Pereira de Souza Profª Paulina Maria Maia Barbosa Profª Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª Vilma Lúcia Macagnan Carvalho Profº Vito Modesto de Bellis Profº Wagner José Corradi Barbosa COLEÇÃO EAD MATEMÁTICA Coordenador Dan Avritzer LIVRO Lições de Cálculo Integral em Várias Variáveis Autores Dan Avritzer e Mário Jorge Dias Carneiro Revisão Jussara Maria Frizzera Projeto Gráfico Laboratório de Arte e Tecnologia para EducaçãoEBAUFMG Formatação Sérgio Luz Aula 1 Integral dupla SuMáRIo Apresentação 7 Nota do Editor 9 Aula 1 Integral Dupla 11 11 Introdução 11 12 Integral Iterada 12 121 Integral Iterada em regiões mais gerais 14 13 Integral dupla em retângulos 14 14 A integral dupla em regiões mais gerais 17 141 Propriedades da Integral Dupla 19 15 Mudança na ordem de Integração 20 16 Exercícios 22 Aula 2 Mudança de variáveis e aplicações da integral dupla 25 21 Mudança de variáveis em integral dupla 25 211 O determinante como área 26 212 Integral dupla em Coordenadas Polares 27 213 Fórmula da mudança de variáveis em Integral dupla 29 22 Aplicações da Integral Dupla 31 221 Área de figuras planas 31 222 Volume de sólidos limitados por gráficos de funções 31 223 Massa de placas planas 33 224 Área de superfícies parametrizadas 33 23 Exercícios 40 Aula 3 Integral tripla 43 31 Integral Tripla em um bloco retangular e o Teorema de Fubini 43 32 Coordenadas cilíndricas 47 33 Coordenadas esféricas 49 34 Exercícios 52 Aula 4 Integral Curvilínea 55 41 Introdução 55 42 Curvas regulares 56 43 Integral Curvilínea de uma função escalar 58 44 Campo de vetores 61 45 Integral Curvilínea de um campo vetorial 58 46 Terorema de Green 67 47 Campos Conservativos no Plano 71 48 Exercícios 74 Aula 5 Teorema de Stokes 77 51 Integral de superfície de funções escalares 77 51 Integral de superfície de campos vetoriais 78 53 Teorema de Stokes 80 54 Campos conservativos no espaço 85 55 Exercícios 88 Aula 6 Teorema da Divergência Gauss 91 61 Divergência de um campo 91 62 Teorema da Divergência de Gauss 92 63 Teorema da Divergência de Gauss em regiões mais gerais 95 64 Exercícios 97 Referências Bibliográficas 99 7 APRESENTAção Estas notas tratam do cálculo integral de funções de várias variáveis Aprendemos no curso de cálculo de uma variável que o conceito de primitiva de uma função contínua e positiva está ligado à noção de área da região limitada pelo seu gráfico e o eixo Ox Por definição a área é igual à integral de Riemann da função e a conexão mencionada acima se dá por meio do Teorema Fundamental do Cálculo O objetivo deste curso é generalizar a integral de Riemann para várias variáveis duas ou três No caso de várias variáveis veremos que o conceito de integral dupla está relacionado ao volume de uma região do espaço tridimensional limitada pelo gráfico de funções A integral tripla é usada para a obtenção do volume e massa de sólidos mais gerais Veremos que para efetuar o cálculo da integral dupla ou tripla usase um procedimento semelhante ao Princípio de Cavalieri estudado na Geometria Espacial Para calcular um volume de um determinado sólido a ideia é subdividi lo em fatias e calcular a área de cada fatia Em seguida calculase a integral ou soma da área das fatias Este é descrevendo de modo bastante simplificado o significado do Teorema de Fubini que diz que o cálculo da integral dupla ou tripla se faz por meio da integral repetida Há também outras maneiras de generalizar o cálculo integral A primeira delas é calcular a integral de funções definidas em objetos mais gerais no espaço Por exemplo suponhamos que um pedaço de arame feito de um material cuja densidade não é constante é descrito como uma curva no espaço tridimensional Qual é a massa do objeto Para resolver este tipo de problema é desenvolvido o conceito de integral curvilínea Analogamente se tivermos uma placa que tem a forma de uma superfície não plana por exemplo um pedaço de um cilindro feita de um material de densidade variável qual é a massa desta placa Aqui a generalização se faz com o desenvolvimento do conceito de integral de superfície Em particular se considerarmos a densidade igual a um estamos calculando a área da superfície Por exemplo iremos aprender como encontrar a área de uma calota esférica Ao final iremos estudar as várias generalizações do Teorema Fundamental do Cálculo em diversos contextos 8 Lições de CáLCuLo integraL em Várias VariáVeis O primeiro contexto relaciona o cálculo da integral curvilínea sobre uma curva fechada com o cálculo da integral de superfície na região delimitada pela curva Teorema de Green e Teorema de Stokes O segundo relaciona o cálculo da integral de superfície em uma superfície fechada e limitada com o cálculo da integral tripla na região delimitada pela superfície Teorema de Gauss ou da Divergência Estas notas foram escritas para ser utilizadas em um curso a distância Para isto elas se dividem em aulas Cada aula se abre com uma lista de objetivos que o aluno deve ter em mente ao estudar o material Alguns exercícios simples presentes no texto têm o objetivo de testar se o material exposto está sendo assimilado No final de cada aula uma lista de exercícios mais elaborada e complexa tem o objetivo de ajudar o aluno a absorver melhor os conceitos expostos e aprender a operar com eles Belo Horizonte março de 2012 9 NoTA Do EDIToR A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância que incluem atividades de ensino pesquisa e extensão Dentre elas destacamse as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância CAED que iniciou suas atividades em 2003 credenciando a UFMG junto ao Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância O CAEDUFMG Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais Unidade Administrativa da PróReitoria de Graduação tem por objetivo administrar coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação de pósgraduação e de extensão na modalidade a distância desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial como também produzir e editar livros acadêmicos eou didáticos impressos e digitais bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD Em 2007 diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço foi criado o Programa PróLicenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e em 2008 com a necessidade de expansão da educação superior pública foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil UAB A UFMG integrouse a esses programas visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de ensino superior Atualmente a UFMG oferece através do Prólicenciatura e da UAB cinco cursos de graduação quatro cursos de pósgraduação lato sensu sete cursos de aperfeiçoamento e um de atualização Como um passo importante e decisivo o CAEDUFMG decidiu neste ano de 2011 criar a Editora CAEDUFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento Fernando Selmar Rocha Fidalgo Editor 12 Integral Iterada O procedimento utilizado para o cálculo da integral dupla é a integral iterada que por sua conceitualização mais simples é o nosso ponto de partida Antes porém vamos recordar o conceito de soma de Riemann de uma função real Se f a b ℝ é uma função real então uma partição denotada por P do intervalo a b é uma escolha de um número finito de pontos no intervalo a x₀ x₁ xₙ b Em cada subintervalo xᵢ xᵢ₁ escolhemos um ponto arbitrário xᵢ xᵢ xᵢ₁ e calculamos a sua imagem fxᵢ A soma de Riemann de f com respeito à partição P é definida por Sf P Σᵢ₀ⁿ fxᵢxᵢ₁ xᵢ Se denominamos por P maxxᵢ₁ xᵢ o tamanho da partição então para uma função contínua f temos ₐᵇ fx dx lim P0 Sf P Este resultado será tão frequente nas próximas seções Um ponto a ser destacado é que não importa o ponto que escolhemos xᵢ no subintervalo xᵢ xᵢ₁ para formarmos uma soma de Riemann o limite existe e é igual à integral de Riemann Assim sendo podemos calcular a integral iterada Considere uma função contínua f a b c d ℝ definida em um retângulo R a b c d A maneira de definir a integral dupla que adotaremos é inteiramente análoga ao caso unidimensional Iniciamos com partições a a₀ a₁ aₙ b c₀ c₁ cₘ d de cada um dos intervalos a b e c d para obter uma partição do retângulo R em subretângulos A integral iterada é a integral da função área Ax entre os extremos x a e x b O próximo exercício será útil para que se compreenda bem a ideia de Integral Iterada Exercício 15 Calcule a integral iterada ₀¹₂³ 3x 4y² dy dx Procedendo de modo análogo definimos a integral iterada ₐᵈ ₐᵇ fy dx dy Primeiro fixamos y c d para obter uma função de x A integral By ₐᵇ fᵗx dx define uma função que depende apenas da variável y Em seguida integramos By para obter um número ₐᵈ By dy Exemplo 16 Calcule a seguinte integral iterada ₂³ ₀¹ xy²dx dy Solução Primeiramente calculamos ₀¹ xy²dx x²y²2 ₁₀ y²2 Em seguida calculamos ₃² y²2 dy y³6 ₂³ 276 86 196 121 Integral iterada em regiões mais gerais Até agora calculamos a integral iterada em retângulos a b c d Porém procedendo da mesma forma como acima podemos calcular a integral iterada em regiões mais gerais do plano Por exemplo se gx e hx são funções contínuas definidas num intervalo a b tais que gx hx em a b podendo haver igualdade nas extremidades do intervalo então faz sentido calcular a seguinte integral ᵗgx hx f y dy para obter Ax uma função apenas da variável x Em seguida podemos calcular ₐᵇ Ax dx para obter um número Este é o significado da integral iterada ₐᵇ ᵗgx hx fᵗy dy dx Observe a ordem em que calculamos a integral Vejamos um exemplo Exemplo 17 Calcule a seguinte integral iterada ₁⁰ ₂³ xy dy dx Solução Observe que no intervalo 0 1 temos x³ x² com igualdade nos pontos extremos do intervalo Primeiramente integramos em relação a y ₂³ xy dy x2 y²₂³ x2 4 9 12 x⁴ x⁶ 12 x⁵ x⁷ Em seguida calculamos ₀¹ 12 x⁵ x⁷ dx 112 x⁶₂¹ 112 116 148 Rij ai ai1 bj bj1 para i 0 n 1 e j 0 m 1 Esta partição será denotada por P Escolhendo um ponto arbitrário zij xi yj e Rij em cada um dos subretângulos podemos formar a soma dupla sf P n1i0 m1j0 fzijai1 aibj1 bj Se denotamos por Δxi ai1 ai e Δyj bj1 bj então a soma dupla acima pode ser escrita na forma sf P n1i0 m1j0 fzijΔxiΔyj Seja P maxΔxi Δyj onde max significa que estamos tomando o valor máximo entre todos os i 0 n 1 e j 0 m 1 A Integral Dupla de f no retângulo R é definida como no caso da integral de Riemann na reta R fx ydA limP0sf P Observação 110 Para entender o significado do símbolo dA que chamamos o elemento de área em coordenadas cartesianas basta verificar que para a função constante fx y 1 a integral dupla é igual à área do retângulo R Isto porque para cada partição P a soma fzij é constante e igual a soma das áreas dos subretângulos Rij Sendo assim temos R dA b ad c Vejamos mais um exemplo Exemplo 111 Calcular abcd gxhydA para g e h funções contínuas Para uma partição P qualquer dos intervalos a b e c d e somarmos pontos xi yj no interior de cada subretângulo teremos fxi yj gxihyj Logo a soma sf P se escreve sf P n1i0 m1j0 gxihyjxi1 xiyj1 yj Esta soma pode ser escrita como o produto de duas somas de Riemann em uma variável sf P n1i0 gxixi1 xim1j0 hyjyj1 yj Tomar partições de tamanho cada vez menores isto é com P 0 significa introduzir mais subintervalos cujos comprimentos tendem a zero ou seja cada fator xj1 xj e yj1 yj tende a 0 Portanto usando a definição da integral de Riemann em uma variável encontramos abcd gxhydA limP0sf P ba gxdxcd hydy Concluiuse assim que para o caso particular em que a função f é um produto de duas funções contínuas uma gx que depende apenas da variável x e outra hy que depende apenas da variável y o cálculo da integral dupla coincide com a integral repetida Mais ainda não importa o ordem de integração Exemplo 112 Vejamos um caso particular do exemplo acima 1201 x y dA 2 1 2 1 x y dydx 2 1 x 2 y22 1 2 1dy 32 2 12 34 Será que o que observou acima pode ser generalizado Ou seja é sempre verdade que o cálculo da integral dupla de uma função contínua é realizado por meio de uma integral repetida em qualquer ordem A resposta a esta pergunta é sim ao menos para funções contínuas No caso em que a região R é um retângulo e o que nos diz o Teorema 113 Fubini Se f a b c d R é uma função contínua então abcd fx ydA ba cd fx y dydx cd ba fx y dxdy Temos assim um poderoso instrumento para calcular integrais duplas O cálculo da integral dupla é feito calculandose a integral repetida Mais ainda podemos escolher a ordem de integração de acordo com a nossa conveniência Exemplo 113 Encontre a integral R xydA para R limitada pelas retas x 1 x 2 y 1 e y 2 Solução Pelo Teorema de Fubini R xydA 21 2 1 xydxdy 21 2 1 x22y2 dy 21 x22 dy 21 4 12y dy 21 2 1 x2 dxdy 32 21 1 dy 32 lny221 32 ln2 Definição 141 Dizemos que f R R é contínua por partes se a podemos escrever R R1 R2 Rk como uma união finita de regiões b as regiões Ri são subconjuntos do plano limitado por gráficos de funções contínuas c quando duas regiões intersectam a interseção coincide com as suas fronteiras isto é pedacos de curvas d a restrição de f a cada uma das regiões é contínua Ou seja são definidas por desiguais dadas do tipo ψ1y x ψ2y Definição 142 Denotamos a integral dupla de uma função contínua por partes R fxy dA R1 fxy dA R2 fxy dA Rk fxy dA Podese demonstrar mas não faremos aqui que para calcular esta integral dupla basta usar o Teorema de Fubini em cada uma das subregiões Ri Vejamos em um exemplo como fazer isto Exemplo 114 Calcule a integral R xy 1 dx dy onde R é o triângulo de vértices A 11 B 00 e C 11 Primeira Solução Inicialmente observe que os lados do triângulo são dados pelas retas y x y x e y 1 Para cada y fixado 1 y 1 temos uma região do tipo I Para calcular a integral procedemos com a fórmula acima utilizando o Teorema de Fubini R xy 1 dA R1 y1 xy 1 dxdydy 01 y3 y3 2y dy 2y201 5 8 3 8 Segunda Solução Podemos ver a mesma região R como uma região do tipo I Para isto consideramos o subdivisão do triângulo dado em dois subtriângulos R1 e R2 tais que R R1 R2 onde R1 xy R2 1 x 0 1 y x e R2 xy R2 0 x 1 1 y x Temos então utilizando primeiramente a Definição 142 que R xy 1 dA R1 xy 1 dA R2 xy 1 dA Em seguida utilizando o Teorema de Fubini temos R1 xy 1 dA 01 x1 xy 1 dydx 01 y22 yx1 dx 01 x22 x 1 dx x48 4x2801 58 38 141 Propriedades da Integral Dupla O Teorema de Fubini nos dá o caminho a ser seguido para efetuar o cálculo da integral dupla 1 Primeiro passo descreva a região de integração por meio de desigualdades Observe se há necessidade de decompor a região em subregiões mais simples 2 Segundo passo escreva a integral repetida e observe se a ordem pode ser importante para facilitar o cálculo das primitivas 3 Terceiro passo calcule a integral repetida Algumas propriedades são úteis para cálculo da integral dupla e são similares ao caso de uma variável 1 R fxy dA c R fxy dA c R constante 2 Se fxy 0 então R fxy dA 0 então R B C com B C ou é vazio ou é uma união de curvas contínuas Então R fxy dA B fxy dA C fxy dA 15 Mudança na ordem de Integração Na seção anterior vimos como fazer a integração em regiões do Tipo 1 que são descritas por desiguais a x b φ1x y φ2x e também em regiões do Tipo 2 que são descritas por desiguais c y d ψ1y x ψ2y Há regiões que podem ser descritas tanto como regiões do Tipo I como do Tipo II Considere o seguinte exemplo Exemplo 116 Mude a ordem de integração para resolver a seguinte integral 10 x 0 1 y2 dy dx A integral iterada acima é equivalente a integral dupla R 1 y2 dy dx onde S é conjunto dos pontos xy do plano xy onde 0 x 1 e 0 y 1 y2 ou seja S é o quarto do disco de raio 1 em que x e y são positivos A região S pode também ser descrita assim 0 y 1 0 x 1 y2 Temos portanto ₀¹ ₀1x² dy dx ₀¹ ₀1y² dx dy ₀¹ ₀1y² dy ₀¹ 1 y² dy y y³3 ₀¹ 23 16 EXERCÍCIOS 1 Calcule as seguintes integrais iteradas a ₀¹ ₀ₐ senx 1 y dy dx b ₀¹ ₀ x x y dy dx c ₀¹ ₃² x²y dy dx d ₀¹ ₀ₐ senx 1 y dy dx e ₀¹ ₀ x x y dy dx f ₀¹ ¹³ x³ y dy dx 2 Em cada um dos itens abaixo faça um esboço da região plana R descrita pelas desigualdades a 1 x 2 1 x y 1 x b 1 y² x 1 y c 0 y 1 y² x² 0 3 Em cada um dos exercícios abaixo é possível calcular a integral como uma região do tipo I ou como uma região do tipo II Calculeas das duas maneiras e verifique em cada caso que o resultado encontrado é o mesmo Esboce sempre a região triangular correspondente e calcule as equações das retas lados dos triângulos pois caso contrário é praticamente impossível resolver o problema a D x y dx dy onde D é a região do plano xy dada pelo interior do triângulo de vértices A 00 B 11 e C 11 b D x y dx dy onde D é a região do plano xy dada pelo interior do triângulo de vértices A 00 B 11 e C 11 c ₀¹ ₀¹ x y dy dx onde D é o triângulo do plano xy de vértices A 20 B 02 C 20 2 Mudança de variáveis e aplicações da Integral Dupla 4 Em cada um dos itens abaixo primeiramente tente calcular a integral repetida Em seguida faça um esboço da região de integração e escreva a integral iterada na ordem inversa Observe que as integrais obtidas são fáceis de calcular a ₀³ ₁³ eˣ² dy dx b ₀¹ ₂² x³ seny³ dy dx 5 Para testar a sua intuição calcule ₐᵇ fxydA para o caso em que fxy gx só depende de x e o caso em que fxy hy só depende de y Verifique que a c a gx dx dy ab gx dxd c b r hy dy c hy dyb a AULA 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS E APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA Exemplos 22 Calcular R xy dy dx na região plana R limitada pelas retas x y 1 2x y 1 x y 1 Exercício 23 Calcular R xy dy dx na região plana R limitada pelas retas 2x 3y 0 2x 3y 1 2x y 0 e 2x y 1 Segue da definição que se P x y em coordenadas cartesianas então r x² y² e cosθ x x² y² Obtivemos assim uma mudança de coordenadas definida por r θ x y e dada por x r cosθ e y r senθ Perguntase então qual é o elemento de área em coordenadas polares Observe que um pequeno retângulo de área dr dθ corresponde a um pequeno setor circular em que dr corresponde a uma pequena variação do raio e dθ corresponde a uma pequena variação do ângulo conforme a figura a seguir Responder a esta pergunta equivale a obter uma aproximação para a área deste setor Ora sabemos que um setor circular de ângulo dθ e raio r tem área igual a Ar r² dθ 2 Portanto derivando em relação a r obtemos que o elemento de área em coordenadas polares é igual a A r dr dθ Exemplo 24 Talvez o exemplo mais simples seja utilizar coordenadas polares para obter a conhecida fórmula da área de um disco D de raio a com centro na origem Em coordenadas polares o disco se escreve r a Temos D dA 2π 0 r a 0 r dr dθ 2 2π 0 r² 2r a 0 π a² No próximo exemplo veremos como calcular a área de uma região plana limitada por curvas escritas em coordenadas polares Se C é uma curva plana fechada contendo a origem no seu interior e definida em coordenadas polares por r fθ para α θ β então a área da região plana limitada por C é igual a β α fθ 0 r dr dθ β α 12 fθ² dθ Exemplo 25 Seja C dada por C r 3 2 cosθ 0 θ 2π A área da região limitada por C igual a 2π 0 32cosθ 0 r dr dθ 2π 0 32cosθ² 2 dθ Ou seja 2π 0 r32cosθ dr dθ 2π 0 3 2cosθ² dθ 1 2 2π 0 3 12cosθ 4cos²θ dθ 1 2 9 12senθ 20 sen2θ 2π 0 1 2 18π 4π 11π 213 Fórmula da mudança de variáveis em Integral dupla Nas seções anteriores vimos dois exemplos de como se transforma o elemento de área quanto fazemos uma mudança de coordenadas o caso linear e o caso das coordenadas polares Neste segundo caso usamos uma aproximação linear das coordenadas 22 Aplicações da Integral dupla 222 Volume de sólidos limitados por gráficos de funções 223 Massa de placas planas 224 Área de superfícies parametricas Recordamos como obter esta equação Por definição o plano tangente é o plano que passa pelo ponto x₀ y₀ z₀ e é gerado pelos vetores Xₓ 1 0 fₓx₀ y₀ e Xᵧ 0 1 fᵧx₀ y₀ No Cálculo Diferencial de várias variáveis vimos que o produto vetorial Xₓ Xᵧ é um vetor normal ao plano Portanto a equação vetorial do plano tangente é O nosso objetivo é mostrar como usar a integral dupla para formular o conceito de área de uma superfície e calcular algumas áreas Por exemplo a área de uma esfera de raio 1 Começamos generalizando a ideia de gráfico como uma superfície Então γt xut t yut t zut t xut yut t zut t é uma curva no espaço que parte de t 0 em u₀ v₀ P₀ O cálculo do vetor tangente a esta curva usando a regra da cadeia nos fornece γt utxₓ vtxᵧzᵦ vtzᵧ utyₓuᵧ vtyᵧz utu vtv etc a fim de obter uma aproximação linear da superfície S no ponto P₀ Exemplo 219 Encontre a área da esfera de raio 1 Solução primeiramente precisamos de uma parametrização da esfera Considere a seção circular C de raio 1 no plano yOz parametrizada por 0 senv cosv para 0 v π Ao girarmos a curva C em torno do eixo Oz obtemos a seguinte superfície parametrizada ru v cosusenv senusenv cosv 0 u 2π e 0 v π É fácil verificar que os pontos xu v yu v zu v que estão na imagem da parametrização satisfazem xu v² yu v² zu v² 1 ou seja a imagem da parametrização está contida na esfera de raio 1 Também é fácil verificar que os pontos que não estão na imagem são os pontos do meridiano interseção da esfera com o semiplano x 0 y 0 Verifique isso Assim usando a simetria da esfera precisamos calcular a área da região D da superfície parametrizada ru v cosusenv senusenv cosv descrita por 0 u 2π e 0 v π Logo calculando a norma deste vetor obtemos o elemento de área do gráfico r₂x y r₃x y fₓ² fᵧ² 1dA Exemplo 221 Calcular a área da região do gráfico da função fx y xy sobre a região R limitada pelo círculo da raio 1 x² y² 1 Como fₓ y e fᵧ x o elemento de área do gráfico é igual a y² x² 1dA Pelas características da região R e da função que iremos integrar é conveniente usar coordenadas polares Assim R corresponde à região 0 r 1 0 θ 2π Portanto a área é igual a AR 0 a 2π0 a 1 r² 1r dr dθ Fazendo a substituição u r² 1 obtemos du 2rdr 0 r 1 corresponde a 1 u 2 de modo que Portanto a área da região é igual a 1 a 2 u du 13u322 a 1 2π3 232 1 Exemplo 222 Superfície de revolução Seja C 0 fy gy uma curva regular no plano yOz isto é uma curva tal que o vetor tangente 0 fu gu é não nulo v Se além disso fu 0 então a curva não intersecta o eixo Oz e rotação de C em torno do eixo Oz gera a seguinte superfície parametrizada regular superfície de revolução ru v fvcosu fvsenu gv 0 u 2π O nome superfície de revolução ou de rotação como designam alguns autores vem do fato de que ao fixarmos v v₀ obtemos a curva ru v₀ fv₀cosu fv₀senu gv₀ que é um círculo contido no plano z gv₀ centrado na origem e de raio igual a fv₀ Este círculo é chamado paralelo A curva obtida ao fixarmos u u₀ é chamada meridiano ou geratriz Dizemos que uma superfície de revolução é gerada pela rotação do meridiano em torno de um eixo ou eixo Oz Pois rₓ rₗ fv gv² fv² positivo porque fv 0 e gv² 0 a curva é regular Concluímos que o elemento de área da superfície de revolução é igual a dA fv v gv² fv² dudd Em particular se gv v então estamos rodando um gráfico y fu no plano yOz em torno do eixo Oz Neste caso o elemento de área é igual a dA fv1 fv²² dudd Como dA não depende da variável u podemos integrar uma vez e exibir uma fórmula para a área da superfície S obtida pela rotação do gráfico de uma função fv em torno de um eixo entre dois pontos v a e v b 23 EXERCÍCIOS 1 Utilize a mudança de coordenadas x au e y bv para encontrar a área da região plana limitada pela elipse de equação fracx2a2 fracy2b2 1 2 Encontre o volume do sólido situado abaixo do parabóloide z 9 x2 y2 e acima do plano z 0 3 Encontre o volume do sólido situado abaixo do parabóloide z 2 x2 y2 e acima do paraboloide z x2 y2 4 Encontre o volume do sólido descrito pelas seguintes desigualdades x2 y2 4 e x2 y2 4 5 Considere a mudança de variáveis Fu v x y definida por x u y u2 v2 v a Faça um esboço da imagem por F do quadrado 0 1 0 1 b Calcule o elemento de área 6 Seja u x2 y2 e v 2xy uma mudança de coordenadas que envia o quadrado R 1 x 2 1 y 2 em uma região D no plano u v Calcule intD f du dv diretamente e em seguida usando a mudança de coordenadas 7 Encontre a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares r θ2 para 0 θ fracπ2 8 Se R x y 4 x2 y2 9 x 0 y 0 use coordenadas polares para calcular intintR xy dA 9 Utilize coordenadas polares para calcular int02 int0sqrt2xx2 3x 2y dy dx 10 Use coordenadas polares para calcular int intR ex2y2 dA para RK o disco centrado na origem e de raio K Observe o que ocorre com o resultado quando K 11 Em cada um dos itens abaixo calcular a massa da placa descrita por uma região plana R com densidade ρ a R 0 1 0 5 e densidade ρx y 1 3x2 5y2 b R a região limitada pelas curvas y x e y x2 e densidade ρx y 4x 41 AulA 2 mudAnçA de vAriáveis e AplicAções dA integrAl duplA 12 Calcular a area da seguinte superfıcie ru v 2cosucosv 2cosusenv senu para 0 u π 2 e 0 v π 13 Em cada um dos ıtens abaixo encontre a area da regiao descrita na superfıcie a R regiao do plano z 1 x y dentro do cilindro x2 y2 4 b R regiao do paraboloide limitada pelo cilindro x22xy2 0 use coordenadas polares 14 Calcule o elemento de area de uma plano dado pela equacao ax by cz d 15 Encontre a area do tronco de cone obtido pela rotacao da reta z y em torno do eixo Oz para 1 y 2 16 Encontre a area da superfıcie obtida pela rotacao da curva 0 evev 2 entre os pontos v 1 e v 1 catenoide 3 Integral Tripla AULA 3 INTEGRAL TRIPLA Objetivos 31 Os objetivos desta Aula são enunciar o conceito de integral tripla enunciar o Teorema de Fubini que análogamente ao caso da Integral Dupla permite calcular a integral tripla por meio da integral repetida utilizar a integral tripla para encontrar o volume de regiões de espaço limitadas por superfícies usar coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas no espaço R3 para calcular a integral tripla em regiões com certos tipos de simetria 31 Integral Tripla em um bloco retangular e o Teorema de Fubini A definição de integral tripla segue exatamente os passos da integral dupla As dificuldades que geralmente ocorrem estão na descrição ou na decomposição do domínio de integração que é agora uma região D do espaço tridimensional cujo bordo é formado por uma união de superfícies Repetiremos assim de modo sumário o que foi feito nas seções anteriores Primeiro passo a integral tripla em um bloco retangular Seja D a b c d p q R3 que contém D e P uma partição de D em blocos Dijk xi xi1 yj yj1 zk zk1 formada a partir de partições de cada um dos intervalos Ou seja consideramos z0 z1 zm q Como anteriormente o tamanho de uma partição P denotada P maxxi1 xi yj1 yj zk1 zk e sD P fxi yj zkxi1 xiyj1 yjzk1 zk onde xi yj zk é um ponto qualquer do bloco Dijk Definição 311 A integral tripla da função fx y z no bloco retangular D é igual int int intD fx y z dV limP0 sD P Note que se fx y z 1 então sD P é igual ao volume do bloco D ou seja b ad cq p Logo int int intD dV b ad cq p o que justifica chamarmos dV de elemento de volume em coordenadas cartesianas Segundo passo utilizamos o chamado Teorema de Fubini que de maneira semelhante ao caso bidimensional afirma que podemos fazer uma integral tripla podendo ser iteradas que ser alternadas fornece as diferentes trocas das permutações de dV De maneira mais precisa Teorema 311 Fubini Se f U R³ R é uma função contínua definida em um conjunto aberto que contém um bloco retangular D a b c d p q então D fx y zdV b a d c q p fx y zdzdydx De fato podemos calcular a integral usando qualquer uma das permutações do elemento de volume Entretanto é preciso atenção para que a ordem em que escrevemos os limites de integração seja compatível Assim no enunciado acima temos D fx y zdV b a q p r d fx y zdydzdx Vejamos alguns exemplos de como calcular a integral tripla em um bloco retangular utilizando o Teorema de Fubini Exemplo 32 Vamos calcular D fx y zdV onde D 0 10 10 1 fx y z xyz Como a função dada é simétrica por permutações das variáveis não há vantagem de escolha da ordem de integração Assim escrevemos D xyzdV 1 0 1 0 1 0 xyzdxdydz A primeira integral 1 0 xyzdxdz 1 0 fracy z22 fracy z22 A segunda 1 0 y zdx 1 0 y fracx22 fracy4 Finalmente 1 0 dx 1 Exemplo 33 D 0 11 11 2 fx y z xey x2z Observe que se escolhemos integrar a primeira parcela com respeito a dy então a primeira integral será 0 1 xey dx que envolve uma integração por partes Entretanto se escolhemos integrar primeiramente em relação a y então teremos 1 1 xeydy e e1 e e1 Assim sendo escrevemos D xeyd x2z dV 1 0 1 1 xeydy1 0 x ey x2z dydz É claro que já vimos este tipo de escolha na integral dupla O Teorema de Fubini é importante porque nos permite trocar a ordem de integração conforme a nossa conveniência Prosseguindo com o exemplo 1 1 1 0 xey x22dy e e 1 2zx D 1 0 xe e33 1 0 2 e e 1 Cabe agora a pergunta em que tipo de regiões do espaço além dos blocos retangulares podemos definir a integral tripla Vejamos algumas respostas 1 O primeiro tipo de região segue imediatamente da integral dupla pois é a região do tipo produto R I de uma região R plana limitada por dois gráficos de funções e um intervalo I a b Analisemos o seguinte exemplo R x y a y bx y ψx I p q O cálculo é feito por meio da integral repetida Teorema de Fubini Observe que fixados x e y então a função Fx y q p fx y zdz é uma função contínua Logo podemos calcular a integral dupla R Fx ydA como fizemos anteriormente b a d c Fx dA b a d cx fxdydx Exemplo 34 Encontre D x y zdV para D definida pelas desigualdades x y z² e 0 z 1 Solução Pelo Teorema de Fubini calculamos a integral iterada em D Já sabemos que 0 z² 1 Portanto basta descrever a região plana R que corresponde aos pontos do domínio de integração Porém esta região é definida pelas desigualdades x y z² Vemos que as curvas y x e y z² que limitam a região e intersectam em x x² ou seja para os valores x 0 e x 1 Dessa forma a região D é descrita pelas desigualdades 0 z 1 x y z² e 0 x 1 Logo D x y zdV 0 1 0 x² 1 0 x y zdzdydx Calculamos agora a integral iterada 1 0 x² 0 x y zdzdx 1 0 xy y²2 z²2 1 0 dz 1 0 x²z x²z²2 y²2 1 0 dy 1 0 x²2 dy 1 0 z II Para regiões limitadas por gráficos gx y z hx y sobre um retângulo R a b c d o procedimento é semelhante a integral Fx y hxy gx y fx y zdz define uma função contínua de modo que o Teorema Fubini implica em D fx y zdV R Fx ydA b a d c hxy gxyfxyzdzdA III Região D do espaço limitada pelo gráfico de duas funções gx y z hx y Observe que não está especificada a região do plano que corresponde a integral Devemos primeiramente responder à pergunta Qual é o conjunto R dos pontos do plano x y que correspondem à região D Melhor dizendo qual é o conjunto de pontos x y para os quais é válida a desigualdade gx y hx y Exemplo 35 Se gx y x² y² e hx y 2 x² y² o domínio de integração é dado por D x y x² y² 2 x² y² sendo que estamos interessados em obter o subconjunto R x y x² y² 2 2 x² y² Ora determinar R significa descobrir os pontos que satisfazem a inequação x² y² x² y² 2 isto é x² y² 1 Ou seja R é o conjunto de pontos interiores ao círculo de raio 1 No caso geral procedemos da mesma maneira primeiramente obtemos o conjunto de pontos do plano R que satisfazem a inequação gx y hx y e em seguida usamos novamente o Teorema de Fubini para obter D fx y zdV R Fx ydA R hxy gxy fx y zdzdA Uma recomendação para fazer a integração neste tipo de região é útil ter um bom esboço dos gráficos das funções envolvidas para seguir determinar a região R dos pontos do plano que corresponde ao domínio de integração Observe que R é precisamente a imagem do domínio D pela projeção ortogonal πx y z x y Logo é a região plana limitada pela curva de equação gx y hx y 0 Exemplo 36 Encontre D zdV para D a região do espaço limitada pelos gráficos z 1 x² e z 0 entre os planos y e e y 1 Solução observe que pela descrição da região de integração D é mais conveniente escrever dV dzdxdy na integral iterada Assim descrevemos os limites de integração na seguinte forma fixados x e y a variação de x é dada pela desigualdade 0 x 1 x² A intersecção dos gráficos é dada por 1 x² 0 ou seja z 0 e z 1 Portanto as seguintes desigualdades definem os limites de integração para a integral iterada 0 x 1 x² 0 z 1 e 1 y 1 Portanto D zdV ₀¹ ₀¹ₓ² ₀ z dzdxdy ₀¹ ₀¹ₓ² z1 x²₀ dzdxdy ₀¹ z1 x²₀¹ dy 12 ₀¹ z1 x²₀¹ dz ₀¹ z1 x²²₀¹ dy 14 Exercício 37 Como seria a integral repetida escrita na forma dxdy dz Roteiro 38 Em qualquer uma das situações descritas para calcular a integral tripla a integral repetida é obtida a partir da descrição da região D de integração da seguinte maneira e escolha a região na integração no sentido dy dzdx primeiramente devemos escrever hx z y gx z Em segundo projetase a região D em uma região de integração das demais variáveis R Fixada a variável z a região R também é descrita por uma desigualdade do tipo φ₁z x φ₂z Finalmente a projeção da região R sobre o eixo Oz é um intervalo descrito por uma desigualdade a z b Temos então D fx y zdV D φ₂z φ₁z fxyz dxdz Quando usamos coordenadas cilíndricas O critério é exatamente o que usamos para as coordenadas polares isto é quando a descrição da região de integração fica descrita de modo mais simples a integral pode ser calculada facilmente Ao optarmos pelo sistema de coordenadas cilíndricas devemos observar a simetria da região de integração em relação ao eixo Oz e a função que iremos integrar ao fazermos a substituição de variáveis Os cilíndricos os cones são exemplos de algumas superfícies que satisfazem o critério de simetria Vejamos alguns exemplos Exemplo 39 O cilindro x²y² R² em coordenadas cilíndricas se escreve r R Note que a variável z não aparece nesta equação portanto a figura é realmente um cilindro Exemplo 310 O cone z ax²y² em coordenadas cilíndricas se escreve z ar Exemplo 311 Encontre fθ cosθ fθ senθ gθv não dependendo da coordenada θ Exemplo 312 Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume Ω limitado pelos gráficos das funções z x²y² e z 2 x²y² Solução Substituindo as coordenadas polares nas expressões z x²y² e z 2 x²y² obtemos z r² e z 2 r² O fato de que as funções z 2 r² e θ significa simetria dos gráficos em relação ao eixo Oz A interseção dos gráficos é dada por r² 2 r² ou seja 2r² 2 ou r 1 Observe que o sólido é limitado superiormente por z 2 r² e inferiormente por z r² projetandose no plano xOy no disco r² 1 conforme a figura abaixo Assim sendo o sólido Ω é descrito pelas desigualdades r² z 2 r² 0 r 1 e 0 θ 2π Portanto lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV r dz dr dθ No parágrafo sobre aplicações de integral dupla calculamos a área da esfera de raio 1 centrada na origem Para isso usamos a seguinte parametrização θ φ senφ cosθ senφ senθ cosφ para 0 θ 2π 0 φ π Os círculos φ φ₀ constante correspondem aos meridianos senφ₀ cosθ senφ₀ senθ cosφ₀ As curvas que correspondem a φ φ₀ constante são círculos de raio igual a senφ₀ são chamados paralelos senφ₀ cosθ senφ₀ senθ cosφ₀ Estas duas famílias de curvas estabelecem uma maneira de localizar pontos na esfera por meio de um par de ângulos θ φ que significa localizar o meridiano e paralelo em que o ponto encontrase Por exemplo P12 22 22 localizase no paralelo φ π4 e no meridiano θ π4 Analogamente para a esfera de raio R a equação cartesiana x² y² z² R² obtemos a parametrização Rsenφ cosθ Rsenφ senθ Rcosφ Da mesma maneira que utilizamos coordenadas polares para obter um sistema de coordenadas no plano podemos construir um sistema de coordenadas no espaço usando coordenadas esféricas do seguinte modo fixase uma origem O se P ℝ³ seja ρ distPO Se P O então ρ 0 Nesta situação o ponto P encontrase numa esfera centrada na origem de raio ρ Para localizar um ponto nesta esfera precisamos encontrar o par de ângulos θ φ Dessa maneira podemos atribuir a qualquer ponto P O as coordenadas ρsenφ cosθ ρsenφ senθ ρcosφ Exemplo 313 Considere o ponto 3 3 2 Obtemos ρP 4 φP π3 e θP π6 Definimos um sistema de coordenadas esféricas cuja para cada ponto P ℝ³ associa um termo ordenado ρ θ φ Como era de se esperar a equação de uma esfera de centro O e raio R nestas coordenadas é dada pelo conjunto ρ constante Exemplo 314 Suporte a superfície de equação muito simples em coordenadas esféricas é o plano z ρsenφ y ρcosφ Equivalente a ρ constante Para calcular integrais triplas em regiões no espaço que envolvem coordenadas esféricas seria interessante obter alguma relação de simetria em relação ao enunciado talvez seja vantajoso usar coordenadas esféricas Para isso primeiramente apresentamos o elemento de volume em coordenadas esféricas dV ρ² senφ dρ dφ dθ Esta expressão é obtida de modo similar ao que foi feito com a mudança de coordenadas no plano Não discutiremos aqui a sua obtenção Apenas lembramos que ela pode ser interpretada como o volume de um paralelepípedo formado por um paralelogramo tangente à esfera e um radial apontando para fora Em termos de volume obtemos o produto do elemento de área da esfera pelo elemento dρ e o plano icosφ 3 verifique isso Portanto as seguintes desigualdades descrevem o domínio de integração 0 φ 2π 0 ρ 3cosφ Logo o volume é igual à integral repetida VolΩ ₀²π ₀¹π6 ₀³cosφ ρ² senφ dρ dφ dθ Que calculamos ₀²π ₀¹π6 ρ³cos³φ senφ dφ dθ ₀²π ₀¹π6 9 senφ dφ dθ VolΩ 92 ₀²π 1cos²φ dθ 6π É um bom exercício trabalhoso calcular o volume deste sólido usando coordenadas cartesianas 34 EXERCÍCIOS 1 Em cada uma das regiões D abaixo escreva a integral tripla D fx y zdV na forma de integral iterada a D x² y² z² 1 b D a região dentro da esfera x² y² z² 2 e acima do gráfico de z x² y² c D a regi ao fora do cone z² x² y² e dentro da esfera x² y² z² 2 2 Calcule o volume do sólido limitado pelos seguintes planos x 0 y 0 z 0 e x y z 1 3 Use integral tripla para encontrar o volume do tratado de vértices A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 0 1 D 1 1 0 Sugestão encontre a equação do plano BCD 4 Encontre o volume de um tetraedro regular de aresta igual a 2 Em que pontos colocaremos os vértices 5 Encontre a seguinte integral Ω y dV para Ω x y zx² y² z 1 6 Encontre o volume do sólido B x y zx² y² z 6 x² y² 7 Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral ₀² ₀4x² 0 4x²y² z dxdzdyx 8 Em cada um dos itens abaixo esboce a região do espaço R³ descrita em coordenadas esféricas pela equação a tanθ 1 b tanφ 1 c ρsecφ 4 AULA 3 INTEGRAL TRIPL A 4 Integral Curvilínea 55 AUlA 4 integrAl CUrvilíneA Aula Integral Curvilınea Objetivos 41 Os objetivos desta Aula sao introduzir o conceito de curva parametrizada introduzir o conceito de integral curvilınea de uma funcao escalar sobre uma curva introduzir o conceito de integral curvilınea de um campo vetorial sobre uma curva enunciar e demonstrar o Teorema de Green estudar os campos conservativos 41 Introducao Imagine um pedaco de arame na forma de uma curva C no espaco tridimensional Su ponha que o arame e feito de um material cuja densidade e uma funcao que a cada ponto p C associa um valor fp Desejase calcular a massa do objeto A ideia e proce der como foi feito nos capıtulos anteriores usar uma integral para encontrar a massa do objeto Isso sera feito subdividindo C em pequenos pedacos bem aproximados por seg mentos de retas Calculase a massa de cada pedaco e em seguida somase para obter uma aproximacao da massa do objeto A massa total e o limite dessa aproximacoes ou seja uma integral Nosso objetivo inicial sera estender o conceito de integral de Riemann para subconjuntos mais gerais curvas e superfıcies no espaco Neste capıtulo faremos a extensao para curvas usando os conceitos de caminho e de comprimento de arco e serao tratados os seguintes assuntos caminhos regulares comprimento de arco de caminhos regulares a integral em curvas regulares campo vetorial em R3 integral curvilınea ou integral de linha Teorema de Green que relaciona a integral curvilınea em uma curva fechada plana com a integral dupla na regiao limitada pela curva campos conservativos no plano AuLA 4 INTEGRAL CuRVILíNEA 42 Curvas Regulares Definição 421 Um conjunto contínuo é uma aplicação γ a b ℝ³ γt xt yt zt tal que as funções xt yt e zt são contínuas Se as funções xt yt e zt são diferenciáveis em a b então dizemos que γ é um caminho diferenciável Nesse caso o vetor γt xt yt zt é chamado vetor tangente à γ no ponto γt Se γ descreve o movimento de uma partícula movendose no plano então o vetor tangente é a velocidade da partícula no instante t Exemplo 42 δt t² t³ 0 é um caminho diferenciável com vetor tangente δt 2t 3t² 0 Por exemplo para t 1 temos o vetor δ1 2 3 que é tangente ao caminho no ponto δ1 1 1 0 Definição 422 Um caminho γt diferenciável é chamado regular se o vetor tangente nunca é nulo ou seja se γt xt yt zt 0 0 0 ou equivalentemente sua norma não é nula γt xt² yt² zt² 0 Definição 423 Dizemos que C ℝ³ é uma curva regular se é a imagem de um caminho que γt C Exemplo 43 γt cost sent t é um caminho regular pois γt sent cost 1 e γt cos²t sen²t 1 2 Exemplo 44 Por outro lado o caminho do Exemplo 42 δt t² t³ 0 não é regular pois o vetor tangente na origem é nulo Compare as figuras Exercício 45 Verifique se o caminho γt t² t³ t é regular ou não Para generalizar a definição de integral de Riemann de uma função f em um caminho primeiramente devemos dar sentido à noção de elemento de comprimento de arco que substituirá o elemento dx na integral simples unidimensional Lembrese que o princípio geral que usamos é 1 fazer uma partição P do caminho γ em pequenos arcos de comprimento Δsi 2 em seguida calcular o valor da função fti em um ponto contido em cada um dos subarcos e formar a soma sf P i0n ftiΔsi 3 Finalmente tomar o limite da soma quando P 0 Vejamos como formular um pouco mais essa ideia Definição 424 Se γt é um caminho regular o comprimento de arco de γ entre dois pontos t0 e t1 é st0 t1 t0t1 γtdt Observe que essa definição de comprimento de arco e Teorema Fundamental do Cálculo dado pela d ds é γt Novamente interpretando o caminho como a descrição do movimento de uma partícula percorrendo uma curva C então ds γt dt é a velocidade escalar da partícula Portanto γt dt é o produto da velocidade escalar pelo tempo Isto motiva a seguinte definição Definição 425 Chamase elemento de comprimento de arco de um caminho γ à expressão ds γtdt 43 Integral Curvilínea de uma função escalar Definição 431 Seja f U ℝ³ ℝ uma função contínua e γ a b ℝ³ γt xt yt zt com imagem C então a integral curvilínea da função escalar f em C é definida como C f ds ab fγtγtdt Se γt xt yt zt então γt xt² yt² zt² e escrevemos C f ds ab fxt yt ztxt² yt² zt² dt Exemplo 49 Encontre o valor da integral C y ds para C uma curva dada em γt 5t² 2t t² 0 t 2 Solução γt t 2 2t γt t² 2² 2t² portanto C y ds 02 t 2 2t t 2 2t dt 02 t 5t² 4 dt Fazendo a substituição de variáveis u 4 5t² temos du 10t dt quando t 0 u 4 quando t 1 u 9 Logo C y ds 19 15 u du 13 u3294 2715 Um caso particular importante da Integral Curvilínea de uma função escalar ocorre quando C é uma curva plana Vamos examinar este caso com detalhes Suponha que γt é um caminho tal que a imagem C é uma curva plana cujos pontos estão no plano xy Seja f uma função real de duas variáveis A Integral Curvilínea da função escalar f é dada então por C fx y ds ab fxt ytxt² yt² dt Quando fx y 0 esta integral possui a interpretação geométrica da área de uma cerca Para ver isto imagine a imagem C da função γt como base da cerca e para cada x y C imagine fx y como a altura da cerca no ponto x yveja a figura Observe que se a correspondência t ht é injetiva então uma partição no domínio a t0 t1 tk b é dada por tti pi Vejamos como obter teoricamente a função Ts no caso geral Primeiramente observe que se fixarmos um ponto t0 no domínio Um campo de vetores é dito diferenciável respectivamente de classe C1 quando cada uma das funções Fx y e Gx y é diferenciável 45 Integral Curvilínea de um campo vetorial Se X é um campo vetorial no espaço então uma partícula neste espaço por exemplo uma massa em um campo gravitacional vai ser submetida à força X Suponha que a partícula se mova ao longo de uma curva C sob a ação de uma força X Um dos conceitos fundamentais da física é o trabalho realizado por X ao longo de C Veremos que este trabalho é medido por uma integral sobre a curva Inicialmente suponha que a trajetória da partícula é um vetor deslocamento overrightarrowAB e o campo X é constante Neste caso sabemos que o trabalho é dado pelo produto escalar do campo pelo vetor overrightarrowAB overrightarrowXoverrightarrowAB força imes deslocamento na direção da força De uma maneira mais geral se o caminho é um caminho curvo no espaço podemos imaginar que ele é constituído por uma sucessão de deslocamentos retilíneos infinitesimais Assim forma que procedemos na dedução da fórmula para a integral curvilínea de uma função qualquer para uma Observação 411 chegamos a seguinte fórmula para o cálculo do trabalho realizado por um campo Xx y z no espaço sobre uma partícula que percorre de a até b em mathbbR3 gammata b rightarrow mathbbR3 extcom gammat xt yt zt Assim o trabalho W realizado pela força X para deslocar uma partícula ao longo de C é aproximadamente sX Q sum XgammatiDelta si approx sum XgammatigammatiDelta ti Finalmente tomamos o limite Q rightarrow 0 Observe que quando Q rightarrow 0 a aproximação se torna cada vez melhor e que portanto é razoável tomar como nossa definição de trabalho a integral Wgamma intab Xgammatgammatdt Esta noção de trabalho fundamental na física nos leva a definir a integral curvilínea de um campo vetorial da seguinte maneira Definição 451 Seja X um campo vetorial no mathbbR3 contínuo no caminho regular gammaa b rightarrow mathbbR3 A Integral curvilínea do campo X ao longo de gamma é definida da seguinte maneira intgamma Xds intab Xgammatgammatdt Utilizando coordenadas se o campo vetorial se escreve Xx y z Fxyz Gxyz Hxyz e gammat xt yt zt então Xgammatgammat Fxt yt ztxt Gxt yt ztyt Hxt yt ztzt Logo intgamma Xds intab Fgammatxt Ggammatyt Hgammatztdt Exemplo 419 Considere o campo vetorial Xx y z x y z2 e a curva gammat cost sint t onde 0 leq t leq pi Calcule a integral curvilínea intgamma Xds Solução O campo ao longo do caminho é igual a Xgammat cost sint t2 e o vetor tangente ao caminho é igual a gammat sent cost 1 para 0 leq t leq pi Logo Xgammatgammat cost sint t2 cdot sent cost 1 para 0 leq t leq pi Observação 421 A componente de X na direção do vetor unitário da tangente à gamma no ponto t é o produto escalar ft Xgammatgammat que é uma função escalar do parâmetro t Isto quer dizer que ao projetarmos ortogonalmente X sobre o vetor unitário da tangente obtemos a função escalar ft Obtivemos assim uma relação entre a integral curvilínea do campo e a integral de f no caminho intgamma ftds intba Xgammatgammatdt intab Xds Em outras palavras a integral curvilínea de um campo X ao longo de um caminho não depende da parametrização do caminho Faz sentido portanto definir a Integral Curvilínea de X sobre a curva regular C como a integral de linha na forma intC Fdx Gdy Hdz intgamma Xgammatgammatdt A expressão Fdx Gdy Hdz deve ser interpretada como o produto escalar do campo vetorial X F G H com o vetor tangente dado por uma parametrização regular gamma da curva C A integral de linha na forma intC Xdr Quando a curva C é fechada escrevese intC Xdr para a integral na curva completa uma volta completa Observação 423 Se γt xt yt zt e βt γa b t então o traço de ambos os caminhos coincide mas βa γb e βb γa Isto é os sentidos dos percursos são contrários βt γa b t Exercício 424 Verifique esta observação no seguinte caso Xx y z zyi xzj yk C a imagem de γt t t² t³ e C a imagem de γt t t² t³ para 1 t 2 Definição 452 A integral curvilínea pode ser estendida para um caminho regular por partes ou seja um caminho contínuo γ a b R³ constituído de uma união finita de caminhos regulares que se intersectam em no máximo um ponto Teorema 461 Green Seja Xx y Fx y Gx y um campo vetorial definido em um subconjunto aberto U do plano tal que R U X U R² onde R é uma região plana limitada por uma curva orientada γ como acima Seja gt frt a t b Temos que gt f x dx dt f y dy dt f z dz dt frt rt pela regra da cadeia R Gxx y Fyx ydA R Gxx ydA R Fyx ydA R Gxx y Fyx ydA R Fx ydx Gx ydy X é um campo gradiente de alguma função f em U Demonstração Vamos mostrar que 1 2 3 4 1 Inicialmente para ver que 1 2 considere duas curvas C₁ e C₂ regulares por partes contidas em U e unindo os pontos A e B ver figura Pela Observação 423 dada a curva C₂ existe a curva C₂ uma curva idêntica a C₂ mas com ponto inicial B e ponto final A Então C C₁ C₂ é uma curva fechada e por 1 temos que C Xdr C₁ Xdr C₂ Xdr 0 Segue que C Xdr C₁ Xdr Em seguida vamos mostrar que 2 3 Seja C uma curva ligando o ponto 0 0 a um ponto x y e suponha que X possui uma parametrização rt Defina f C Xdr Por hipóteses f depende de C Vamos mostrar que f X Para isso escolha o caminho C C₁ C₂ onde C₁ é parametrizada por r₁ t 0 0 t y Temos fx y r₁ 0 Ft 0 dt r₂ 0 Gx t dt Segue que fy Gx y De maneira semelhante permutando x e y obtemos que fx Fx y concluindo esta parte da demonstração Para ver que 3 4 suponha que X f para alguma f Isto significa que F fx G Mas então fy ²fyx Gx e ²fxy Fy Mas sabemos do curso de cálculo diferencial em várias variáveis que ²fyx ²fxy nestas condições concluindo a demonstração desta parte Finalmente é fácil mostrar que 4 1 pois o resultado segue diretamente do Teorema de Green pois C Xdr D Gy Fx dx dy D 0 dx dy 0 onde D é o interior do caminho fechado C Definição 471 Uma função f que satisfaça as condições equivalentes do Teorema 471 é chamada uma Função Potencial ou seja f é potencial se existe um campo X tal que f V Neste caso dizemos que o campo X é um Campo Conservativo Observação 434 Podemos usar o Teorema 471 para encontrar uma função potencial de um campo conservativo e para calcular facilmente algumas integrais curvilíneas de campos conservativos Observe o exemplo a seguir Exemplo 435 Considere o campo X FG 2xy x² y² no plano 1 Verifique que X é um campo conservativo Solução Como as condições do Teorema 471 são equivalentes basta mostrar que a condição 4 é satisfeita Com efeito Fy 2x e Gx 2x Logo Gx Fy 0 e o campo é conservativo 2 Encontre uma função potencial para o campo X Solução Estamos procurando uma função f tal que f X 2xy x² y² Sabemos que fx 2xy Integrando em relação a x podemos conclui 48 EXERCÍCIOS 1 Verifique se cada um dos caminhos abaixo é regular ou não a γt t² t³ t⁴ b γt tant t et 0 t π c γt 0 1 1t² d γt et cost et sint t 2 Dados dois pontos A a₁ a₂ a₃ e B b₁ b₂ b₃ em ℝ³ encontre um caminho diferenciável cuja imagem é a reta que passa pelos pontos 3 Se N 1 0 S 1 0 encontre um caminho cuja imagem está contido no círculo x² y² 1 e se inicia em N e termina em S 4 Mostre que o caminho θ 3cosθ 4senθ é regular e sua imagem está contida na elipse de equação x²9 y²16 1 5 Encontre C ydx C x x² para 0 x 1 Atenção Devemos ter cautela ao aplicar o Teorema 471 Seja Xx y fracyx2y2 fracxx2y2 5 Teorema de Stokes 77 AUlA 5 teoremA de stokes Aula5 Teorema de Stokes Objetivos 51 Os objetivos desta Aula sao calcular a integral de uma funcao escalar e de um campo vetorial sobre uma regiao contida em uma superfıcie integral de superfıcie estudar as propriedades de campos vetoriais por meio do rotacional e da divergˆencia introduzir o conceito de fluxo de um campo atraves de uma superfıcie relacionar a integral curvilınea de um campo ao longo de uma curva com o fluxo do rotacional do campo na regiao da superfıcie limitada pela curva estudar um tipo de campo importante os campos conservativos Nosso proximo objetivo e generalizar o Teorema de Green para campos de vetores no espaco tridimensional As generalizacoes que descreveremos tˆem aplicacoes importantes tanto na matematica quanto no eletromagnetismo ou na mecˆanica dos fluidos por exemplo Conforme o ponto de vista adotado ha duas generalizacoes para o Teorema de Green A primeira considera a integral curvilınea sobre uma curva C S que limita uma regiao D rR contida na imagem de superfıcie parametrizada regular S Lembrese que o Te orema de Green no plano relaciona a integral curvilınea sobre uma curva parametrizada γ a uma integral dupla de uma certa expressao do campo no interior de R A primeira generalizacao que estudaremos neste capıtulo relaciona a integral curvilınea em C com uma integral de superfıcie no interior da regiao D A segunda generalizacao que sera tema do proximo capıtulo relaciona uma integral sobre uma superfıcie parametrizada regular S que limita uma regiao no espaco Ω com uma integral tripla no interior da regiao Nesta generalizacao ao inves de integral curvilınea teremos uma integral numa superfıcie e no lugar de integral dupla teremos integral tripla Neste sentido dizemos que esta e uma generalizacao na dimensao Iniciemos com a generalizacao da Integral Curvilınea 51 Integral de Superfıcie de funcoes escalares No Capıtulo II aplicamos a integral dupla para calcular a area de uma superfıcie para metrizada Recordemos a definicao de superfıcie parametrizada regular Definicao 511 Uma superfıcie parametrizada regular e uma aplicacao r U R2 R3 ru v xu v yu v zu v tal que os vetores ruu v xuu v yuu v zuu v e rvu v xvu v yvu v zvu v sao linearmente independentes para todo u v U A imagem rU S e chamada superfıcie regular A expressao dS rurvdA e chamada elemento de area da superfıcie parametrizada Seja f W R3 R uma funcao contınua cujo domınio contem S a imagem de uma superfıcie parametrizada r Sejam R U uma regiao contida no domınio de r e D rR AuLA 5 TEoREMA DE STokES Definição 512 A Integral de Superfície de uma função escalar f em D é definida pela seguinte expressão iintD fds iintR fxuvyuvzuvRu x RvdA A integral da superfície definida acima de um campo X sobre uma superfície S é denominada o fluxo de X através de S Ou seja temos duas expressões equivalentes para o fluxo Vamos explorar este fato mais adiante Definição 531 Considere Xx y z Fx y z Gx y z Hx y z um campo de vetores em R³ Dada uma curva regular fechada C S que limita uma região D simples na superfície podemos escolher uma parametrização γt para C 97 AUlA 9 VAriáVeis 64 ExERCíCIoS 64 Exercıcios 1 a Se Xx y z z y x mostre que divX 0 b Se Xx y z y x 0 mostre que divX 0 2 Vamos utilizar a notacao x y z a Prove que se U e uma funcao com derivadas de segunda ordem contınuas entao rotU 0 b E verdade que divU 0 c Mostre que podemos escrever divX X d Se Xx y z 2x x2y2z2 2y x2y2z2 2z x2y2z2 calcule divX 3 Prove que divrotX 0 4 Calcule o fluxo do campo Xx y z xy2jyz2zx2k sobre a esfera x2y2z2 1 com vetor normal apontando para o exterior da bola 5 Use o Teorema da Divergˆencia para calcular o fluxo do campo Xx y z x3 0 zx2 sobre a esfera centrada na origem e de raio 1 com vetor normal apontando para fora 6 a E possıvel calcular o fluxo do campo Xx y z 2x x2y2z2 2y x2y2z2 2z x2y2z2 sobre a esfera centrada na origem e de raio 1 com vetor normal apontando para fora utilizando o Teorema de Gauss Por que b E na esfera x 22 y2 z2 1 Explique c E verdade que os fluxos do campo X nas esferas x2y2z2 1 e x2y2z2 4 sao iguais Explique 99 Referˆencias Bibliograficas 1 Marsden Jerrold e Tromba Anthony Vector Calculus 2nd Edition WH Freeman Company San Francisco 1981 2 Pinto Diomara e Morgado Maria Cˆandido Ferreira Calculo Diferencial e Integral de Funcoes de Varias Variaveis Editora UFRJ Rio de Janeiro 1997 3 Stewart JamesCalculo Volume 2 6a edicao norteamericana Editora Cengage Learning SP 2010 4 Fusaro Pinto Marcia MariaIntroducao ao Calculo Integral Editora UFMG Belo Horizonte 2010 5 Avritzer Dan Geometria Analıtica e Algebra Linear uma visao geometrica Tomo I Editora UFMG Belo Horizonte 2009 6 Avritzer Dan Geometria Analıtica e Algebra Linear uma visao geometrica Tomo II Editora UFMG Belo Horizonte 2009 91 REFERêNCIAS BIBLIoGRáFICAS Composto em caracteres Aller Arial Calibri PT Sans e Times New Roman Editorado pelo Centro de Apoio à Educação a Distância da UFMG CAEDUFMG Capa em Supremo 250g 4 X 0 cores Miolo Off Set 120g 2X2 cores 2012