Lista Flavia Mecanica Geral

Lista 1 - Mecânica Geral Considere g = 9,81m/s^2 na lista inteira. Seção 1.1 - Análise instantânea do movimento da partícula 1. O movimento de uma partícula é definido pela relação x = 5/2 t^3 - 5/2 t^2 - 30t + 8, com x dado em metros e o tempo em segundos. Determine o tempo, a posição e a aceleração quando v = 0. ∫ 5/2 t^2 - 5/2 t^2 - 30 t + 8 5/3 t^3 - 5/2 t^2 + 30 t 5t^2 - 5t - 30 Δ = 5/2(4)(5).(30) 25 + 600 = 625 V(3)=0 V(3): 5(3)^2 - 5(3)^2 - 30 + 8 x(3) = -59.5 5 + √625 2.5 5 ± 25 10 T: 3s ∫ -5/2 5t/10 10t - 5 a: 10t + 5 a: 10.3.5 25m/s^2 2. A aceleração de uma partícula é definida pela relação a = 78m/s^2. Sabendo que x = 20m quando t = 4s e que x = 4m quando v = 16m/s, determine a) o tempo em que a velocidade é zero, b) a velocidade e a distância total percorrida quando t = 2s. ∫ dv = -8t + C x ∫ du:∫(8t + C)dt t: 0 t: 4 ∫ [-4t^2 + C1] -8t + C L v: 8t + C C: 16 + 8t/v x: 20 [-4t^2 + C1]t^4 χ(x) χ(x) = -4t^0(2)^4 -8t+C χ(x) = -4t^4 + 32t dx = 4t^2 - 8t + C χ(x) : 4(4)(2)^4 (-4)(4)^2 + 4 ∫ 4t^3 4x^2 - 16 + 41t/4 x: -4^a^2 + C4 + 81 x(a): 3. A aceleração de uma partícula é definida pela relação a = kt^2, com k constante. a) Sabendo que v = -32m/s quando t = 0 e v = +32m/s quando t = 4s, a) determine a constante k. b) Escreva as equações de movimento, sabendo que x = 0, quando t = 4s. ∫ dv = k ∫ t^2 dt v^o v^32 V[0]^32 k [3 3 + 32 (-32) - k [3 / 3 ] v(O): 3 ∫ t^2 dt -32 [3^3 t^0 -32 b(t) : 3t + 32 -30 b(t) : t -3t^2 - 32 b[t) : t^3 - 32 v(t) : t^3 x(t) = ∫ x-4] + 32 dx = (t + 32) dt ∫ dx = (t^3 + 32) dt χ(x) = t^1/4 - 32t + 64 x(t) = t^*/4 4 χ(x)t: /4 - 32t + 64 4. Uma partícula oscila entre os pontos x = 40mm e x = 160mm com uma aceleração a = k(100-x), onde a e x são expressos em m/s^2 e mm, respectivamente, e k é uma constante. A velocidade da partícula é de 18mm/s quando x = 100mm e é zero em x = 40mm e x = 160mm. Determine a) o valor de k, b) a velocidade quando x = 120mm. ∫ v-v = 0 ∫ dy dx a x [dy= k(100-x) x -10 bχ(x)2- v(40 100)- χ(x) Lx:v(100mm, mm), dx ∫(100m.m.x.-.χ^) ∫(100x - x) ÷200 a.L.v ∫ [-100 + -[1 x = 40mm, k (100x.40|10 18^2 k (100-40) -x^) ∫ v2 100x- ∸...km 200 x^: + k(100-x^-3200) χ(x). 2 24 Lk:K[100k-x^] 80^2 a:200 v.(60)/ 55↑0 2 2 500 b) v. 180^7-4 200)v ∂ k = 0,09 5. A aceleração de uma partícula é definida pela relação a = -kv, onde k é uma constante. Sabendo que x = 0 e v = 81m/s em t = 0 e que v = 36m/s quando x = 18m, determine a) a velocidade da partícula quando x = 20m, b) o tempo necessário para que a partícula entre em repouso. ∫v-v v ∂a∫∂ (k) dx Π t:0 ∫∂v = -kx t:1 o v:81-2.5t v(20):31m/s χ(x) : 31 a) lần 2L.k t2t - k st / t ε v(20) : 36 / 25.x 81-2.5t V(20): = 31m/s V. 5k:2.5/k x(0): 81-2.5.20 t+b(0 81- χ(x) 5 2t 5(81) U bg dx = -2.5t dt 81 Sistemodf v(t): 2501 Gaynie 6 Seção 1.2 – Movimento Retilíneo 2D e 3D 1. Se a extremidade do cabo em A for puxada para baixo com um velocidade de 2m/s, determine a velocidade na qual o bloco B sobe. Figura 1: Motor Elevador. {0: V_A + 2 V_B 0: 2 V_C - V_D 0: 2 V_B - V_C {V_A - 2V_D V_D = 2V_C 2V_B = V_C V_A = -2(V_C) V_A = -4V_B V_B = -1/2V_A = -0,25m/s para 2. Determine a velocidade constante em que o cabo em A, mostrado na Fig. 2, deve ser puxado pelo motor para elevar a carga em 6m em 1,5s. V_B = 6 / 1; V_B = (4m/s) / 2V_A = V_C 2V_C = V_D V_A = -2V_D V_A = -8V_B Figura 2: Motor Elevador. 3. Se o bloco A do sistema de polias mostrado na Fig. 3 estiver descendo a 0,6m/s enquanto o bloco C estiver descendo a 1,8m/s, determine a velocidade do bloco B. L = L_A + 2L_B + 2L_C = 1 L_A + 2V_B + 2L_C = 0 0,6 + 2V_B + 2(1,8) = 0 V_B = -2,1m/s para Figura 3: Sistema de Polias. 4. Determine a velocidade do bloco A se o final do corda mostrada na Fig. 6 é puxada para baixo a uma velocidade de 4m/s. L = L_B + 2L + L(C_A - D) L = L_B + 3(L_A - 2d) L_B + 3V_B = L_A + 2d V_B + 3V_B = 0 V_B = 4/3 m/s 1. Um motorista está percorrendo uma seção curva de rodovia de raio de 750m a uma velocidade escalar de 90km/h. O motorista de repente aciona os freios, fazendo o automóvel reduzir sua velocidade escalar de forma constante. Sabendo que após 8s a velocidade escalar foi reduzida para 72km/h, determine o módulo da aceleração do automóvel imediatamente após os freios terem sido aplicados. Q = \[ \frac{\Delta U}{\Delta t} \] = 0,625 m/s^2 A_n = 90 km/h 72 km/h Figura 5: Seção curva de rodovia. 2. Determinar a velocidade periférica de uma cabine de teste de centrifugação para que a componente normal da aceleração seja 10g, se g = 9,81m/s^2. Q = 10g = 10(9,81m/s^2) = 98,1 A = v^2/p\nV = p.a = 98,1.\l V: m/a Figura 6: Teste de Centrifugação. 3. O pino A, que está fixado à haste de conexão AB, tem seu movimento restrito à ranhura circular CD, conforme mostrado na Fig. 7. Sabendo que no instante t = 0 o pino parte do repouso e se movimenta de tal modo que sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 20mm/s^2, determine a intensidade da aceleração total quando: a) t = 0 e b) t = 2s. Q_n = 20 0 C Q_A = 0 ,20 mm/s^2 Figura 7: Ranhura Circular. 4. Um trem monotrilho parte do repouso em uma curva de raio 400m e acelera com uma taxa constante a_t. Se a aceleração máxima total do trem não deve exceder 1,5m/s^2, determine a) a distância mais curta em que o trem pode alcançar a velocidade de a_\theta = \frac{V^2}{p} = \frac{(60)^2}{400} = 1000mm/s^2 a = \sqrt{a_\theta^2 + a_n^2}, a = \sqrt{a_\theta^2 - a_n^2} = \sqrt{1,5^2 - 1000^2} = \pm 1,11803m/s^2 a) \left\{ \begin{array}{l} v_0 = 0 \\ x_0 = 0 \end{array} \right. v_f^2 = v_0^2 + 2a_x (x_f - x_0) = 2a_0 x x = \frac{v^2}{2a} = \frac{(60)^2}{2 \cdot 1,11803} = 148,8mm a_0 = \pm 1,218m/s^2 5. A partir do repouso, o barco a motor viaja em torno do caminho circular mostrado na Fig. 8, com p = 50m e velocidade dada por: v = (0,8t)m/s, durante alguns segundos. Determine as magnitudes da velocidade e aceleração do barco quando ele percorrer 20m. \omega v = \frac{5,6t^2}{2} = 0,640m/s^2 p = 50m Figura 8: Ranhura Circular. Seção 2.1 - A segunda lei de Newton para movimentos gerais 1. O molde tem uma massa de 3M_g, com M = 10^8. Suspensa na posição vertical e, inicialmente, em repouso, é fornecida uma velocidade ascendente de 200mm/s em 0,3s usando um gancho guindaste H mostrado na Fig. 9. Determine a tensão nos cabos AC e AB durante esse intervalo de tempo, se a aceleração for constante. Figura 9: Gancho guindaste. 2. Se os blocos A e B de massa de 10kg e 6kg, respectivamente, forem colocados no plano inclinado mostrado na Fig. 10 e liberados, determine a força desenvolvida no elo. Os coeficientes de atrito cinético entre os blocos e o plano inclinado são \mu_A = 0,1 e \mu_B = 0,3. Negligencie a massa do link rígido. f_1 + O = 40,55 F - 6a = 74 F + 10a = 40,55 f_1 + 6a = 74 3. O caixote tem uma massa de 80kg e está sendo rebocado por uma corrente que é sempre direcionada a 20° da horizontal, como mostrado na Fig. 11. Se a magnitude de P for aumentada até que o caixote comece a deslizar, determine a aceleração inicial do caixote se o coeficiente de atrito estático for \mu_e = 0,5 e o coeficiente de atrito cinético for \mu = 0,3. F_z = \mu_N = 0,5N\cdot\delta^2\epsilon\tau\theta Figura 11: Caixote deslizando. N\ldots P\ldots N\cdot\sin 20° - 80(9,81) = 0 Por\cos 20° - 0,5N = 0 P = 363,29N \mu = 663,97N \sum F_y: ma_y;\ N - 80(9,81) + 363,29\cos 20° = 80a N = 663,97N \sum F_x: max; 363,29 \cdot\cos 20° - 0,3(663,97) = 80a a = 1,66m/s^2 4. Determine a aceleração do sistema e a tensão em cada cabo. O plano inclinado é suave (s/atrio), e o coeficiente de atrito cinético entre a superfície horizontal e o bloco C é μc = 0,2. Figura 12: Plano Inclinado. ma . g cos 30 - T = ma . a T1 - T2 = mb . g = mb . a T2 - 0,2 . mc . g = mc . a ma . g sen 30 - mb . g - 0,2 . mc . g = a(ma + mb + mc) α1 = 1,35m/s² T1 = 88,9N T2 = 33,1N 5. O bloco A, de 5kg, viaja para a direita com vA = 0,6m/s no instante mostrado. Se o coeficiente de atrito cinético for μk = 0,2 entre a superfície e A, determine a velocidade de A quando ele se mover 1,2m. O bloco B tem um peso de 100N (≈ 10kg). αA = 5,324 αB = 2,632m/s² T = 36,43 N v² - (0,6)² = 2(5,324)(1,2 - 0) v = 3,318 Momento MRUV