Exercícios sobre Grupos

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ\nCâmpus Toledo\nCurso de Licenciatura em Matemática\n\nEXERCÍCIOS RESOLVIDOS\n\nAdina Veronica Remor\n\nToledo,\n17 de agosto de 2019 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS\n1.1 Grupos\n1. Mostre que é grupo.\nSolução: Precisamos mostrar que . Assim:\n\nComo então a propriedade associativa é válida.\nAgora temos que encontrar tal que .\n\nComo encontramos e de fato , podemos concluir que o elemento neutro para esta operação é .\nPor fim precisamos encontrar tal que . Assim: Assim, de fato existe elemento inverso, que é .\nLogo, provamos que\n2. Mostre que munido da operação definida por é um grupo abeliano.\nSolução: Precisamos mostrar que é grupo. Assim considera , e . Temos que mostrar que . Logo:\n\nComo então a propriedade associativa é válida. Agora precisamos verificar se tal que . Assim, considere e\nTemos:\n\nDessa forma encontramos o sistema:\n\nCuja solução é e . Ao calcular a mesma solução, Logo podemos concluir que existe elemento neutro, que é .\nAgora, resta verificar se qualquer elemento de possui simétrico. Logo, sejam e tais que .\n\nAssim:\n\nA equação acima nos fornece o sistema:\n\nCuja solução é e . Ao operarmos encontramos a mesma solução acima. Assim, temos .\nObserve ainda que e temos:\n\nPortanto é grupo abeliano. 3. Seja um grupo multiplicativo e seja uma operação sobre assim definida: . Demonstre que é grupo.\n\nSolução: Precisamos verificar se\nAssim, temos:\n\nObserve que por ser grupo multiplicativo, goza da propriedade associativa, e como , podemos concluir que , logo Assim a operação também é associativa.\n\nPerceba que , já que é grupo multiplicativo, logo tem-se \nE da mesma forma, existe - , simétrico de tal que - \nPortanto é grupo.\n\n4. Sejam um conjunto, um grupo e uma aplicação bijetora. Para cada , define o produto . Mostre que essa multiplicação define uma estrutura de grupo sobre .\n\nPrimeiro mostraremos que . Assim:\n\nComo podemos concluir que é associativa.\nAgora precisamos encontrar tal que . Logo: e\n\nDe fato, existe elemento neutro. Basta tomar . Agora, vamos encontrar o elemento simétrico de :\n\nDa mesma forma tem-se:\n Portanto, existe o elemento simétrico e ele é dado por .\nLogo, possui estrutura de grupo.\n5. Seja um grupo finito. Mostre que dado tal que .\nSolução: Suponha, por absurdo, que não existe tal que , . Mas, por ser grupo e portanto fechado para a operação, temos que . Da mesma forma, temos ; ceba que essa processo irá se repetir infinitamente, logo há infinitos . Contradição, já que por hipótese é finito.\nLogo tal que .\n1.2 Subgrupos\n1. Verifique se ___ é subgrupo de .\nSolução: Sejam , onde , e ___, com verificar se : \n- . Precisamos mostrar que . Assim, vamos .\nDe fato . Portanto:\nLogo ___ é subgrupo de . Assim já que . Logo . Portanto os conjuntos são subgrupos de .\n3. Prove que se e são subgrupos de um grupo , então também é subgrupo de .\nSolução: Como por hipótese e então e , logo\nAgora temos que mostrar que Como . Por hipótese, temos e subgrupos, então e e como e são fechados para a operação, então e . Assim . Portanto é subgrupo de .\n4. Prove que se e são subgrupos de , então é um subgrupo de se, e somente se ou . Construa um contra-exemplo no qual não é subgrupo de .\nSolução: Sejam , e . Precisamos mostrar que ou . Assim, seja e . Como , temos que , logo ou . Assim, se:\nLogo, como então . Se , temos que . Assim concluímos que se ou , como e então\nContra-exemplo: Sejam , mas observe que não é fechado para a operação já que mas Portanto não é subgrupo de .\n5. Seja um grupo e um elemento de . Provar que é subgrupo de .\nSolução: Considere . Assim temos que implica que e . Então: \nLogo , assim .\n1.3 Homomorfismo de grupos\n1. Prove que definida por é um homomorfismo do grupo em . Calcule .\nDemonstração:\n- Homomorfismo: Sejam , assim e . Como é grupo, temos .\nAssim, temos que provar que . Logo:\n- Injetora: Dados temos: . Logo é injetora.\n- Sobrejetora: Observe que não é sobrejetora, já que mas Logo definida por é um homomorfismo injetor de em Como , então:\n\nObserve que no item acima não seria necessário calcular o núcleo de , já que é um homomorfismo injetor. Desse modo poderíamos logo concluir que , onde é o elemento neutro de\n\n2. Prove que a aplicação definida por é um homomorfismo sobrejetor de em .\n\nDemonstração:\n\n- Homomorfismo: Sejam . Temos que Assim é homomorfismo.\n\n- Sobrejetora: Seja , será sempre um número estritamente positivo, logo a imagem desta função é estritamente .\n\nAssim é homomorfismo injetor de em .\n\n3. Mostre que é abeliano se e somente se definida por é um homomorfismo.\n\nDemonstração:\n\nPor hipótese, é um grupo abeliano, logo Assim, sejam . Temos:\n\nLogo é homomorfismo.\n\nPor hipótese, é homomorfismo, portanto tem-se . Logo: