Aulasfinaisalgebra2_2012_1parte4

(⇐ ) Suponha que aHa⁻¹ = H QM: aH = Ha. (ya : aH ⊂ Ha) Seja x ∈ aH. Logo, existe h ∈ H tal que x = a*h. Assim, x*a⁻¹ = a*h*a⁻¹. Então x*a⁻¹ ∈ aHa⁻¹ (=H). Daí, existe h₃ ∈ H tal que x*a⁻¹ = h₃. Ou ainda, x = x*a⁻¹*a = h₃*a. Isto é, x = h₃*a. Então x ∈ Ha. (2°: Ha ⊂ aH) Por outro lado se x ∈ Ha, existe h' ∈ H tal que x = h'*a. Daí, x*a⁻¹ = h'*a*a⁻¹ = h' ∈ H. Mas H = aHa⁻¹. Assim, x*a⁻¹ = a*h₁*a⁻¹, para algum h₁ ∈ H. Portanto, x = x*a⁻¹*a = a*h₁*a⁻¹*a = a*h₁ Logo, x ∈ aH. Subgrupo Normal Um subgrupo H de um grupo G é chamado de um subgrupo normal de G se gH = Hg, ∀ g ∈ G. Vamos a descrever uma outra caracterização de subgrupos normais muito usada. Sejam H um subconjunto do grupo G e a ∈ G. Definimos o subconjunto aHa⁻¹ de G por: aHa⁻¹ = { a*h*a⁻¹ | h ∈ H } Proposição. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a ∈ G. 1. aHa⁻¹ é um subgrupo de G 2. aH = Ha se e somente se aHa⁻¹ = H. [: ] 1. Sejam x e y ∈ aHa⁻¹. Queremos mostrar que x*y ∈ aHa⁻¹. Como x e y ∈ aHa⁻¹, existem h₁ e h₂ em H tais que x = a*h₁*a⁻¹ e y = a*h₂*a⁻¹. Daí, x*y = a*h₁*a⁻¹*a*h₂*a⁻¹ = a*h₁*h₂*a⁻¹ = a*h₃*a⁻¹. Logo, x*y ∈ aHa⁻¹. Seja x ∈ aHa⁻¹. Daí x = a*h₁*a⁻¹ para algum h₁ ∈ H. Queremos mostrar x⁻¹ ∈ aHa⁻¹. Definimos x⁻¹ = a*h₁⁻¹*a⁻¹. Note que x⁻¹ ∈ aHa⁻¹ Basta verificarmos xx⁻¹, de fato, x⁻¹ é inverso de x. x*x⁻¹ = a*h₁*a⁻¹*a*h₁⁻¹*a⁻¹ = a*h₁*h₁⁻¹*a*a⁻¹ = a*a⁻¹ = eₙ x⁻¹*x = a*h₁⁻¹*a⁻¹*a*h₁*a⁻¹ = a*h₁⁻¹*h₁*a⁻¹*a*a⁻¹ = a*a⁻¹ = eₙ 2. (⇒ ) Suponha que aH = Ha. SM: aHa⁻¹ = H. Inicialmente, provamos que aHa⁻¹ ⊂ H. Seja x ∈ aHa⁻¹. Logo, x = a*h₁*a⁻¹, p/ algum h₂ ∈ H. Como aH = Ha, existem h₁ e h₂ ∈ H tais que a*h₂ = h₂*a. Assim, x = a*h₂*a⁻¹ = h₂*a*a⁻¹ = h₂ ∈ H. Agora, provamos que H ⊂ aHa⁻¹. Seja h ∈ H. Daí, h = h*a*a⁻¹ Como aH = Ha, existe h' ∈ H tal que h*a = a*h'. Assim, h = a*h'*a⁻¹ ∈ aHa⁻¹. Assim, temos uma outra caracterização para subgrupos normais. Definição (Subgrupo Normal) H ⊲ G Um subgrupo H de um grupo G é chamado de subgrupo normal de G se gHg⁻¹ = H, ∀ g ∈ G. A próxima propriedade mostra que, para verificar se um subgrupo H é subgrupo normal, basta verificar se gHg⁻¹ ⊂ H, ∀ g ∈ G. Proposição: Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Então H é um subgrupo normal de G se e somente se gHg⁻¹ ⊂ H, ∀ g ∈ G. [⇒] (⇒) Se H é um subgrupo normal de G, por definição temos que gHg⁻¹ = H, ∀ g ∈ G Logo, gHg⁻¹ ⊂ H, para todo g ∈ G. [⇐] Seja a ∈ H. Note que b = g⁻¹ag ∈ H. (pois b ∈ gHg⁻¹, já que g₁ = (g⁻¹)⁻¹ e gHg⁻¹ ⊂ H por hipótese) Logo, a = g.b.g⁻¹ = (g.g⁻¹.a.g.g⁻¹) ∈ gHg⁻¹. Dai, H ⊂ gHg⁻¹, ∀ a ∈ g Observação: Este critério pode ser reescrito da seguinte forma: H é um subgrupo normal de G se e somente se g.x.g⁻¹ ∈ H para todo x ∈ H e para todo g ∈ G. Exemplo: Seja G um grupo. Os subgrupos triviais de G, H₁ = {e} e H₂ = G são subgrupos normais de G. Exercício: Seja G um grupo abeliano. Então, todo subgrupo H de G é normal. Retomando a definição de grupo quociente com a nova nomenclatura: Grupo Quociente (Definição usando Subgrupo Normal) Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G. Então G/H, munido da operação definida em G/H, é um grupo. Chamamos este grupo de grupo quociente de G módulo H. Para lembrar, e_{G/H} = e_G H e (aH)⁻¹ = a⁻¹H Exercício: Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Então: Se G é um grupo abeliano então o grupo quociente G/H é um grupo abeliano.