Lista de Exercícios 3 - Eletromagnetismo I

Lista de Exercício 3 Eletromagnetismo I 1 Considere quatro cargas 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 localizadas nos vértices de um quadrado localizado no plano 𝑥𝑦 O quadrado tem lado 𝑎 e é centrado na origem Determine a campo elétrico no ponto de coordenadas a 000 b 00 𝑧 e b 00 𝑧 b Faça um gráfico do campo elétrico em função de 𝑧 para 𝑧 marque no gráfico os pontos 𝒛 𝒂 e 𝒛 𝟎 e as unidades dos eixos O campo devido a N cargas pontuais é dado por 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝑞𝑅6 𝑅6 𝑅6 𝑅6 Considerando que as cargas 𝑞 𝑞 𝑞 𝑒 𝑞 encontrem se localizadas nos pontos de coordenadas 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑎 0 e 𝑎 𝑎 0 respectivamente os vetores que determinam a distância da localização da carga ao ponto 00 𝑧 são 𝑅6 𝑅6 𝑧 𝑧 𝑎 𝑥C 𝑎 𝑦C 𝑅6 𝑅6 𝑧 𝑧 𝑎 𝑥C 𝑎 𝑦C 𝑅6 𝑅6 𝑧 𝑧 𝑎 𝑥C 𝑎 𝑦C 𝑅6 𝑅6 𝑧 𝑧 𝑎 𝑥C 𝑎 𝑦C Substituindo verificase que apenas a componente z do campo não se anula No ponto 000 o campo elétrico total é nulo No ponto 00 𝑧 o campo elétrico total é igual a 𝐸6 0 𝑧 NC No ponto 00 𝑧 o campo elétrico total é igual a 𝐸6 0 𝑧 NC 2 Considere um anel carregado com uma distribuição linear de carga 𝜌2 e raio 𝑎 Determine o campo elétrico no ponto de coordenadas 00 𝑧 dado que a 𝜌2 𝜌 para 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 b 𝜌2 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 para 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 c 𝜌2 𝜌 para 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 𝜋 d 𝜌2 𝜌 para 𝑟 𝑎 𝑒 𝜋 2 𝜙 3𝜋 2 O campo elétrico diferencial no ponto P devido a um elemento diferencial de carga 𝑑𝑞 é dado por 𝑑𝐸6 𝑅U 𝑑𝑞 4𝜋𝜀 𝑅 Onde 𝑅6é o vetor que aponta do elemento diferencial de carga 𝑑𝑞 em direção ao ponto P No caso do anel de carga 𝑑𝑞 𝜌2 𝑎 𝑑𝜙 e 𝑅6 𝑧 𝑧 𝑎 𝑟 𝑧 𝑧 𝑎𝑥C cos 𝜙 𝑦C sen 𝜙 Sendo assim 𝑑𝐸6 1 4𝜋𝜀 a 𝜌2 𝑎 𝑑𝜙 𝑧 𝑎 𝑧 𝑧 𝑥C 𝑎 cos 𝜙 𝑦C 𝑎 sen 𝜙 b a 𝜌2 𝜌 para 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑎 c𝑧 d𝑧 e 𝑑𝜙 f 𝑥C d𝑎 e cos 𝜙 𝑑𝜙 f 𝑦C d𝑎 e sen 𝜙 𝑑𝜙 f g 𝐸6 1 2𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑧 𝑎 𝑧 NC 𝑏 𝜌2 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 para 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑎 c𝑧 d𝑧 e 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝜙 f 𝑥C d𝑎 e 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑑𝜙 f 𝑦C d𝑎 e 𝑐𝑜𝑠𝜙 sen 𝜙 𝑑𝜙 f g 0 π 0 0 0 2π 𝐸6 1 4𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑧 𝑎 𝑧 NC 𝑐 𝜌2 𝜌 para 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 𝜋 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑎 c𝑧 d𝑧 e 𝑑𝜙 f 𝑥C d𝑎 e cos 𝜙 𝑑𝜙 f 𝑦C d𝑎 e sen 𝜙 𝑑𝜙 f g 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 𝜋 𝑧 2 𝑎 𝑦C NC 𝑑 𝜌2 𝜌 para 𝑟 𝑎 𝑒 𝜋 2 𝜙 3𝜋 2 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑎 c𝑧 d𝑧 e 𝑑𝜙 f 𝑥C d𝑎 e cos 𝜙 𝑑𝜙 f 𝑦C d𝑎 e sen 𝜙 𝑑𝜙 f g 𝐸6 1 4𝜋𝜀 𝜌 𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 𝜋 𝑧 2 𝑎 𝑥C NC 0 2 π π 0 2 3 Considere um disco carregado com uma distribuição superficial de carga 𝜌5 e raio 𝑎 Determine o campo elétrico no ponto de coordenadas 00 𝑧 dado que a 𝜌5 𝜌 para 0 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 b 𝜌5 𝜌 para 𝑎 2 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 c 𝜌5 𝜌 para 𝑎 2 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 𝜋 d 𝜌5 𝜌 para 𝑎 2 𝑟 𝑎 𝑒 𝜋 2 𝜙 3𝜋 2 O campo elétrico diferencial no ponto P devido a um elemento diferencial de carga 𝑑𝑞 é dado por 𝑑𝐸6 𝑅U 𝑑𝑞 4𝜋𝜀 𝑅 Onde 𝑅6é o vetor que aponta do elemento diferencial de carga 𝑑𝑞 em direção ao ponto P No caso do disco de carga 𝑑𝑞 𝜌2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 e 𝑅6 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟𝑥C cos 𝜙 𝑦C sen 𝜙 Sendo assim 𝑑𝐸6 1 4𝜋𝜀 a 𝜌2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑧 𝑟 𝑧 𝑧 𝑥C 𝑟 cos 𝜙 𝑦C 𝑟 sen 𝜙 b a 𝜌5 𝜌 para 0 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 𝐸6 𝜌 4𝜋𝜀 c𝑧 d𝑧 e 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 0 e 𝑑𝜙 f 𝑥C de 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 0 e cos 𝜙 𝑑𝜙 f 𝑦C de 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 0 e sen 𝜙 𝑑𝜙 f g 𝐸6 𝜌𝑧 2𝜀 a 1 𝑧 1 𝑧 𝑎 b 𝑧 NC 𝑏 𝜌5 𝜌 para 𝑎 2 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 2𝜋 𝐸6 𝜌 4𝜋𝜀 c𝑧 d𝑧 e 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 0 0 e 𝑑𝜙 f 𝑥C de 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 0 0 e cos 𝜙 𝑑𝜙 f 𝑦C de 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 0 0 e sen 𝜙 𝑑𝜙 f g 0 0 0 0 𝐸6 𝜌𝑧 2𝜀 c 1 k𝑧 𝑎2 1 𝑧 𝑎 g 𝑧 NC 𝑐 𝜌5 𝜌 para 𝑎 2 𝑟 𝑎 𝑒 0 𝜙 𝜋 CANCELADA 𝑑 𝜌5 𝜌 para 𝑎 2 𝑟 𝑎 𝑒 𝜋 2 𝜙 3𝜋 2 CANCELADA 4 Considere um fio carregado ao longo do eixo 𝑧 com uma distribuição linear de carga 𝜌2 e comprimento 𝐿 Determine o campo elétrico no ponto de coordenadas 0 𝑦 0 dado que a O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 𝐿 2 𝑧 𝐿 2 b O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 𝐿 4 𝑧 3𝐿 4 c O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 3𝐿 4 𝑧 𝐿 4 d O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 0 𝑧 𝐿 O campo elétrico diferencial no ponto P devido a um elemento diferencial de carga 𝑑𝑞 é dado por 𝑑𝐸6 𝑅U 𝑑𝑞 4𝜋𝜀 𝑅 Onde 𝑅6é o vetor que aponta do elemento diferencial de carga 𝑑𝑞 em direção ao ponto P No caso do disco de carga 𝑑𝑞 𝜌2 𝑑𝑧 e 𝑅6 𝑦 𝑦C 𝑧 𝑧 Sendo assim 𝑑𝐸6 1 4𝜋𝜀 a 𝜌2 𝑑𝑧 𝑧 𝑦 𝑦C 𝑦 𝑧 𝑧 b a O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 𝐿 2 𝑧 𝐿 2 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c𝑦C e 𝑦 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 87 𝑧 e 𝑧 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 87 g 𝐸6 𝜌2 2𝜋𝜀 𝐿 2 𝑦k𝑦 𝐿 2 𝑦C NC 0 0 b O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 𝐿 4 𝑧 3𝐿 4 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c𝑦C e 𝑦 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 87 𝑧 e 𝑧 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 87 g 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c 1 𝑦k𝑦 3𝐿 4 3𝐿 4 𝑦C 𝑦 𝑧 1 𝑦k𝑦 𝐿 4 𝐿 4 𝑦C 𝑦 𝑧g NC c O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 3𝐿 4 𝑧 𝐿 4 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c𝑦C e 𝑦 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 87 𝑧 e 𝑧 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 87 g 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c 1 𝑦k𝑦 𝐿 4 𝐿 4 𝑦C 𝑦 𝑧 1 𝑦k𝑦 3𝐿 4 3𝐿 4 𝑦C 𝑦 𝑧g NC d O fio se estende ao longo do eixo 𝑧 de 0 𝑧 𝐿 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c𝑦C e 𝑦 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 𝑧 e 𝑧 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 7 g 𝐸6 𝜌2 4𝜋𝜀 c 1 𝑦k𝑦 𝐿 𝐿𝑦C 𝑦 𝑧 1 𝑦 𝑧g NC INTEGRAIS e 𝑦 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 𝑧 𝑦k𝑦 𝑧 𝐶 e 𝑧 𝑧 𝑦 𝑑𝑧 1 k𝑦 𝑧 𝐶 e 𝑟 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 1 𝑧 𝑟 𝐶