4a Lista Viraçoes Harmonicamente Forçadas com Resoluçao

CURSO: Engenharia Mecânica\nDISCIPLINA: Teoria das vibrações\nTURNO: X\nTURMA/SALA: R.TV.10\n\nExercício Avaliativo\nAssunto: Vibrações Harmonicamente Forçadas\nAluno: Arthur Bernan dos Fraguere\nN° 11622102\n\nExercício 1 - (Rao, 3.2) Indique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:\n\n(✓) O fator de amplificação é a razão entre a amplitude máxima e a deflexão estática.\n(✓) A resposta será harmônica se a excitação for harmônica.\n(✓) O ângulo de fase da resposta depende dos parâmetros do sistema m, c, k e ω.\n(+) O ângulo de fase da resposta depende da amplitude da função forçante.\n(✓) Durante o batimento, a amplitude da resposta aumenta e então, diminui seguindo um padrão regular.\n\nExercício 2 - (Rao, 3.3) Preencha os espaços em branco com a palavra adequada:\n\na) A excitação pode ser de natureza ____________, periódica, não periódica ou aleatória.\n\nb) A resposta de um sistema a uma excitação harmônica é denominada resposta ____________.\n\nc) Quando a frequência de excitação coincide com a frequência natural do sistema, a condição é conhecida como ____________.\n\nd) O fenômeno de ____________ pode ocorrer quando a frequência forçante estiver próxima da frequência natural do sistema. Exercício 3 - (Inman, 2.5) Um sistema massa-mola é retirado do repouso por meio de uma força harmônica, exibindo como resposta de deslocamento um batimento com período de 0,2π s. O período de oscilação é medido, sendo 0,02 s. Calcule a frequência natural e a frequência de entrada do sistema.\nω_n = 105 rad/s; ω = 95 rad/s\n\nT_b = 0,2 π\nf = 1 / T\nf_b = 1 / 2π m = 1,59 Hz\n\nω_m = 7 / T\nf_o = 1 / 2π\nω_n = 15,92 Hz\nω_m = 15,92 ± 7 ω_m = 100 rad/s\n\nω_s = ω_m - ω_n = 100 - 10 = 90 rad/s Exercício 4 - (Inman, 2.7) Determine a resposta em função do tempo de um sistema massa-mola com os valores de k = 1.000 N/m, m = 10 Kg, sujeito a uma força harmônica de F_o = 100 cos(8,162t) N e condições iniciais dadas por x_0 = 0,01 m e v_0 = 0,01 m/s. x(t) = 0,01 sen(10t) + 0,2896 cos(10t + 0,299 cos(8,162t)\n\nk = 1000 N/m\nm = 10 Kg\nF_e = 100 cos(8,162t) N\nω_m = √(k / m)\nω_m = √(2000 / 10) = 70 rad/s\n\nx(0) = 0,01\nv(0) = 0,01\nω_n = √(k / m)\n(10 cos(8,162t) / 10) = 10 cos(8,162t)\n\nx(t) = B * cos(ω_n t) + C * sin(ω_n t)\n\nB: Y(0) = 10 - 0 + 0,01 - 0,299 cos(0,01)\n\n0,001 = 0,01 + 0,2897 + ... = 0,989\n\nC: V(0) = 0,001\nY(t) = 0,001 MN = 10 - 0,2896 cos(0,01) + 0,001* ... Exercicio 5 - (Inman, 2.8) Considerando o sistema da figura, escreva a equação do movimento, assumindo (a) o sistema está inicialmente em equilíbrio e repouso e (b) o sistema parte de uma posição inicial 0,05 m a partir do repouso.\n\n x(t)\n\n 100 kg\n\n10cos 10t N\n\n 2.000 N/m\n\nSuperficie livre de atrito\n\nfo= 10 cos 10t\n\nm= 100 kg\n\nk= 2000 N/m\n\na) yo= 0; 00\n\n\n\nw n= sqrt(2000/100)\n\nw n= sqrt(20)\n\nb: = 0,1\n (sqrt(20)= sqrt(20)\n\nx(t)=-1,95x10^(-3)(cos(w n t)).(cos(10t))\n\ny 0= 0,05\n\n\n\nb) yo= 0,05\n\nB: 0,05i,4,5x10^(-3)= 51,95x10^(-3)\n\ny 10t 51,95x10^(-3)(sqrt(4)=1,05(cos(10t)) Exercício 6 - (Rao, 3.8) Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4.000 N/m e está sujeita a uma força harmônica de amplitude 100 N e frequência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é de 20 mm. Determine o valor de m. Despreze eventuais perdas de energia.\n\nk: 4000 N/m\n\nFo: 100 N\n\nf: 5 Hz\n\nx: 20 mm = 0,02 m\n\nw n: 2 pi f = 5 => w n = 33,416 rad/s\n\nw n: = sqrt(k/m)\n\nm: = k/w n^2\n\nm^2: 11,28\n\nm = 3,36 kg Exercício 7 - (Inman, 2.31) Calcule o valor do coeficiente de amortecimento c para que a amplitude do deslocamento na condição permanente do sistema abaixo seja 0,01 m.\n\nx(t)\n\n 100 kg\n\n20 cos 6,3t N\n\n 2.000 N/m\n\nSuperficie livre de atrito\n\nfo= 20 cos 6,3t\n\nx i= 0,01 m\n\nx i= 2.000 N/m\n\nm= 300 kg\n\nw: 6,3 rad/s\n\nF: 20 N\n\nx: 0,2\n\nsqrt((w n^2 - w^2)^\n\n\n\n(2.3,6.3,4.47)^2\n\n\nk: 0,06225\n\nCo: d m; w n D 100.4.47= 894\n\nc= C\n\n=> C: 3 Cos => 0,06225= 894\n\n=> 55,65 kg/s exercício 8 - (Rao, 3.23) Considere um sistema massa-mola-amortecedor com k = 4.000 N/m, m = 10 Kg e F = 40 N.s/m. Determine a resposta em regime permanente e a resposta total do sistema sob a força harmônica F(t) = 200 cos(20t) N e as condições iniciais x0 = 0,1 m e v0 = 0 m/s. (0.25 cos(20t - π/2) m, 0.26 - tcos(19.89t + 1.18) + 0.25 cos(20t - π/2) m\n\n k = 4000 N/m\n m = 10 kg\n F = 40 kg/s\n \n F(t) = 200 cos(20t)\n U_m = \\frac{4002}{10} = 20 m/s\n C_m = 2 \\cdot 10^{-3} \cdot 400 kg/s\n 3: 40 = 0.1\n W_d = 20 \\sqrt{1 - a^2} = 19.9 m/s\n \n x0 = \\frac{t0}{\n \\sqrt{(x_d - x_f)^2 + (\Delta x, 20)^2}}\n \n x = 20\\frac{\\sqrt{(x_d - x_f)^2 + (2.0,1.20)^2}}{\\sqrt{20}} = 0.20\n x = 20\\frac{\\sqrt{(0.1 - 20)^4}}{30} = 0.05\n y = 0.05 cos(20t - π/2) Exercício 9 - (Rao, 3.29) Um sistema massa-mola-amortecedor está sujeito a uma força harmônica. Constatou-se que a amplitude é 20 mm em ressonância e 10 mm a uma frequência 0,75 vezes a frequência de ressonância. Determine o fator de amortecimento do sistema.\n\n em ressonância W = W_m\n k = d\n x = 0,02\n\n 0,02 = \\frac{1}{\\sqrt{\\left(\\frac{K}{F_0}\\right)^2 + (2 \\cdot 3 * 1)^2}}\n W = 0,75W_m\n 0,02 - 0,2^3 = \\frac{1}{\\sqrt{0.01^{2} + 2.05^3}}\n\n 0,01^2 + 2.55^2 + 4^2\n 3 = \\sqrt{\\frac{0.101}{3.75}} = 0.138