Sistemas com Vários Graus de Liberdade - Capítulo 6

Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 1 Os sistemas de engenharia em sua maioria são contínuos e têm infinitos graus de liberdade Tais sistemas contínuos requerem soluções de equações diferenciais parciais Não existem soluções analíticas das equações diferenciais parciais em casos de sistemas complexos A análise de sistemas com muitos graus de liberdade requer a solução de um conjunto de equações diferenciais ordinárias o que é relativamente simples Para simplificar a análise sistemas contínuos são frequentemente aproximados como sistemas com vários graus de liberdade As equações de movimento podem ser obtidas a partir de 2a lei de Newton Utilização dos coeficientes de influência ou a equação de Lagrange Há 𝑛 frequências naturais cada uma associada à sua própria forma modal quando o sistema tem 𝑛 gdls 61 Introdução Capitulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 2 Existem métodos de aproximação de sistemas contínuos por meio de sistemas discretos a saber Substituir a massa ou a inércia distribuídas do sistema por um número finito de massas concentradas ou corpos rígidos ligadas por elementos elásticos e amortecedores desprovidos de massa coordenadas lineares ou angulares 62 Modelagem de sistemas contínuos como sistemas com vários graus de liberdade Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 3 Elasticidade 2D com elementos lineares Problemas Axissimétricos Substituir a geometria do sistema por um grande número de pequenos elementos elementos finitos Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 4 Determine as coordenadas adequadas para descrever as posições das várias massa pontuais e corpos rígidos no sistema Determine a configuração do sistema em equilíbrio estático e meça os deslocamentos das massas e corpos rígidos em relação as respectivas posições de equilíbrio estático Desenhe o diagrama de corpo livre de cada massa e corpo rígido no sistema Aplique a segunda lei de Newton à cada massa ou corpo rígido segundo o dcl respectivo 63 Utilização da segunda lei de Newton para deduzir equações de movimento O procedimento para estabelecer as equações de movimento de um sistema de 𝑛 gdls pode ser resumido em para a massa 𝑚𝑖 para corpo rígido de momento de inércia polar de massa 𝐽𝑖 𝑚𝑖 𝑥 𝑗 𝐹𝑖𝑗 𝐽𝑖 𝜃𝑖 𝑗 𝑀𝑖𝑗 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 5 Exemplo 61 Equações de movimento de um sistema massamola amortecedor Deduza as equações de movimento do sistema massamolaamortecedor mostrado na figura Aplicando a segunda lei de Newton à massa 𝑚𝑖 dá Utilizando a equação acima para a massa 𝑖 1 temos 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑘𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑘𝑖1 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 𝑐𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑐𝑖1 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 𝐹𝑖 𝑖 2 𝑛 1 𝑚1 𝑥1 𝑘1 𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑐1 𝑥1 𝑐2 𝑥2 𝑥1 𝐹1 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 6 As equações de movimento na forma matricial é Sendo as matrizes definidas como Massa Rigidez Amortecimento Utilizando a equação acima para a massa 𝑖 𝑛 temos 𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑘𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑘𝑛1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑐𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑐𝑛1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝐹𝑛 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 𝑚 𝑚1 0 0 0 0 𝑚2 0 0 0 0 𝑚3 0 0 0 0 𝑚𝑛 𝑘 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 0 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘3 0 0 𝑘3 𝑘3 𝑘4 0 0 0 0 𝑘𝑛 𝑘𝑛1 𝑐 𝑐1 𝑐2 𝑐2 0 0 𝑐2 𝑐2 𝑐3 𝑐3 0 0 𝑐3 𝑐3 𝑐4 0 0 0 0 𝑐𝑛 𝑐𝑛1 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 7 E os vetores definidos como Deslocamento Velocidade Aceleração Força 𝑥 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥3𝑡 𝑥𝑛𝑡 𝑥 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥3𝑡 𝑥𝑛𝑡 𝑥 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥3𝑡 𝑥𝑛𝑡 𝐹 𝐹1𝑡 𝐹2 𝑡 𝐹3𝑡 𝐹𝑛𝑡 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 8 Exemplo 62 Equações de movimento de um sistema trailerpêndulo composto Fig 64 Sistema pêndulo Composto e Trailer Deduza as equações de movimento do sistema trailerpêndulo composto mostrado na figura Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 9 Fig 64 Sistema pêndulo Composto e Trailer Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 10 Podese expressar a relação entre o deslocamento em um ponto e as forças que agem em vários outros pontos do sistema por meio de coeficientes de influência de rigidez O coeficiente de influência de rigidez 𝑘𝑖𝑗 é definido como a força no ponto 𝑖 devido a um deslocamento unitário no ponto 𝑗 quando todos os outros pontos exceto o ponto 𝑗 são fixos A força total no ponto 𝑖 pode ser escrito como 64 Coeficientes de influência As equações de movimento podem ser escritas em termos de coeficientes de influência usados na engenharia estrutural Esses coeficientes podem ser associadas a cada uma das matrizes envolvidas nas equações de movimento 641 Coeficientes de influência de rigidez Na forma matricial como 𝐹𝑖 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑖 12 𝑛 𝐹 𝑘 𝑥 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 11 E a matriz de Rigidez é definida como Teorema da reciprocidade de Maxwell 𝑘𝑖𝑗 𝑘𝑗𝑖 Calculados aplicando princípios de estática e mecânica dos sólidos Para sistemas torcionais definidos em termos do deslocamento angular unitário e do torque que provoca o deslocamento angular Nos coeficientes de influência cumpresse Fig 65 Sistema massamola com vários graus de liberdade 𝑘 𝑘11 𝑘21 𝑘31 𝑘𝑛1 𝑘12 𝑘22 𝑘11 𝑘𝑛2 𝑘13 𝑘23 𝑘33 𝑘𝑛3 𝑘1𝑛 𝑘2𝑛 𝑘3𝑛 𝑘𝑛𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 12 Exemplo 63 Coeficientes de influência de rigidez Determine os coeficientes de influência de rigidez do sistema mostrado na figura Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 13 Assim a matriz de Rigidez do sistema é dada por 𝑘 𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘3 0 𝑘3 𝑘3 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 14 O coeficiente de influência de flexibilidade 𝑎𝑖𝑗 é definido como a deflexão no ponto 𝑖 provocada por uma carga unitária no ponto 𝑗 642 Coeficientes de influência de flexibilidade Slide 14 A geração dos coeficientes de influência de flexibilidade mostra ser mais simples e mais conveniente Vamos a considerar que o sistema sofra a ação de apenas uma força 𝐹𝑗 e que o deslocamento no ponto 𝑖 massa 𝑖 devido a 𝐹𝑗 seja 𝑥𝑖𝑗 Na forma matricial Se varias forças 𝐹𝑗 𝑗 12 𝑛 agirem em diferentes pontos do sistema a deflexão total em qualquer ponto 𝑖 é E a matriz de flexibilidade é definida como 𝑥𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗𝐹𝑗 𝑥𝑖 𝑗1 𝑛 𝑥𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑗1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝐹𝑗 𝑖 12 𝑛 𝑥 𝑎 𝐹 𝑎 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 𝑎11 𝑎𝑛2 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎𝑛3 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎3𝑛 𝑎𝑛𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 15 Num sistema linear cumprese o teorema de reciprocidade de Maxwell 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 Os coeficientes de influência de flexibilidade de um sistema torcional podem ser definidos em termos do torque unitário e da deflexão angular que ele causa As matrizes de flexibilidade e de rigidez são as inversas uma da outra 𝑥 𝑎 𝐹 𝑎 𝑘 𝑥 𝐼 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘1 k 𝑎1 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 16 Exemplo 65 Coeficientes de influência de flexibilidade Determine os coeficientes de influência de flexibilidade do sistema mostrado Na figura Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 17 A matriz de flexibilidade é Fig 68 Determinação dos coeficientes de influencia de flexibilidade 𝑎 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎 1 𝑘1 1 𝑘1 1 𝑘1 1 𝑘1 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘1 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘3 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 18 Exemplo 66 Matriz de flexibilidade de uma viga Deduza a matriz de flexibilidade de uma viga sem peso mostrada na figura A viga esta simplesmente apoiada nas duas extremidades e as 3 massas estão localizadas a intervalos iguais Considere que a viga seja uniforme com rigidez 𝐸𝐼 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 19 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade Lista de símbolos 20 𝑚 Massa 𝑥 Aceleração 𝐹 Força resultante 𝐽 Momento de inércia polar de massa 𝜃 Aceleração angular 𝑀 Momento resultante 𝑘 Constante elástica 𝑥 Deslocamento 𝑐 Constante de amortecimento 𝑥 Velocidade 𝑎 Coeficiente de influência de flexibilidade