Revisão de Matemática Financeira: Análise de Investimentos

Curso de Gestão Empresarial Curso de Gestão Empresarial Análise de Investimentos Análise de Investimentos Prof Dr MARCO ANTONIO DIAS 33 Revisão de Matemática Financeira Revisão de Matemática Financeira Matemática financeira A Matemática Financeira tem por finalidade estudar o valor do dinheiro no tempo tanto nas aplicações financeiras como nos pagamentos de empréstimos Os objetivos principais da Matemática Financeira são A transformação e o manuseio de fluxos de caixa com a aplicação das taxas de juros de cada período levandose em conta o valor do dinheiro no tempo A obtenção da taxa interna de juros que está implícita em um fluxo de caixa A análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa 44 Matemática financeira Capital Principal Valor Atual Valor Presente Valor Aplicado Present Value Juros Taxa de juros Montante Prazo 55 Regimes de capitalização JUROS SIMPLES no regime de juros simples o percentual de juros incidirá apenas sobre o valor principal aplicado JUROS COMPOSTOS no regime de juros compostos os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes 66 Comparação dos regimes de capitalização Aplicação de 1000 durante 3 anos à taxa de 10 ao ano com pagamento de juros ao final da operação No regime de capitalização simples teremos 1º ano 1000 x 010 juros de 100 2º ano 1000 x 010 juros de 100 3º ano 1000 x 010 juros de 100 Portanto o montante após 3 anos será de 1300 No regime de capitalização composta teremos 1º ano 1000 x 010 juros de 100 montante 1100 2º ano 1100 x 010 juros de 110 montante 1210 3º ano 1210 x 010 juros de 121 montante 1331 Portanto o montante após 3 anos será de 1331 77 Comparação dos regimes de capitalização Capital inicial 10000 Taxa de juros 10 aa Prazo 4 anos 88 Relações básicas em juros simples J C i n M C 1 in i J C i M C 1 99 Valor nominal e valor atual ou valor presente em juros simples Valor nominal N valor da dívida na data de seu vencimento Valor atual ou valor presente V valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal V Vin N 10 10 Juros compostos Fórmula do montante Taxas equivalentes em juros compostos 11 11 Valor nominal e valor atual ou valor presente em juros compostos 12 12 Fluxo de caixa Fluxos de caixa homogêneos Problema tipo DADO PMT ACHAR FV 14 14 Fluxos de caixa homogêneos Problema do tipo DADO FV ACHAR PMT 15 15 Fluxos de caixa homogêneos Problema do tipo DADO PMT ACHAR PV 16 16 Fluxos de caixa homogêneos Problema do tipo DADO PV ACHAR PMT 17 17 18 18 Análise de Investimento Análise de Investimento Análise de investimentos Fatores de incerteza do retorno prometido por um projeto de investimento Modificação de tecnologia Surgimento ou desaparecimento de concorrentes ou de produtos complementares ou de produtos substitutos Comportamento da economia nacional e internacional Mudanças de política governamental de controle de preços ou de custos dos insumos utilizados 19 19 Análise de investimentos Uma empresa pode ser compreendida como um conjunto de projetos de investimentos em diferentes momentos de sua atividade Logo o objetivo financeiro na avaliação das alternativas de investimentos é maximizar a contribuição marginal desses recursos de capital promovendo o incremento de sua riqueza líquida 20 20 Dispêndio de capital O perfil do ativo das empresas é determinado pela natureza das atividades operacionais Empresas comerciais estoques de mercadorias e contas a receber de clientes Indústrias bens de produção e outros ativos fixos costumam ser maiores do que os fundos do ativo circulante Empresas de transportes telecomunicações energia e serviços públicos predomínio de imobilizações técnicas 21 21 Dispêndio de capital Investimentos em ativos fixos envolvem grandes montantes de recursos e podem referirse à substituição de bens de capital obsoletos aquisição de novos bens implementação de projetos de construção instalações de unidades operacionais completas dispêndios com pesquisas e desenvolvimento de produtos e tecnologias 22 22 Dispêndio de capital As empresas realizam investimentos para preservar ou aumentar sua competitividade Decisões acertadas permitem a manutenção de posições confortáveis no mercado durante muitos anos Entretanto erros podem comprometer irremediavelmente a liquidez e a rentabilidade em função do volume de recursos envolvidos 23 23 Orçamento de capital A definição de onde quando e quanto investir requer um processo específico que está compreendido no orçamento de capital que tem como escopo a seleção de um conjunto de investimentos que seja mais vantajoso em termos de retorno e risco 24 24 Orçamento de capital Outro aspecto relevante das decisões de investimento a longo prazo é o equacionamento das fontes de recursos que financiarão o projeto e a determinação do seu custo de capital Investimentos que apresentem retorno superior ao custo de capital contribuirão para aumentar o valor de mercado da empresa e a riqueza de seus acionistas 25 25 Orçamento de capital Podemos conceituar Orçamento de Capital como o processo que consiste em avaliar e selecionar investimentos a longo prazo que sejam coerentes com o objetivo da empresa de maximizar a riqueza de seus proprietários O orçamento de capital é um conjunto de procedimentos compostos de métodos e técnicas que permitem avaliar e selecionar investimentos de longo prazo permanentes 26 26 O processo de orçamento de capital Os métodos formais da decisão de investimento possuem normalmente três fases Preparação de um orçamento de capital para a empresa As autorizações dos projetos são aprovadas para se avançar com projetos específicos As avaliações dos investimentos a posteriori verifica o progresso dos investimentos recentes 27 27 O processo de orçamento de capital Alguns investimentos podem não constar no orçamento de capital Investimentos em tecnologias de informação Pesquisa e desenvolvimento Marketing Treinamento e desenvolvimento de pessoal Acúmulo de pequenas decisões 28 28 Razões para o dispêndio de capital Os motivos básicos para dispêndios de capital são Expansão Substituição Modernização Outras finalidades 29 29 Etapas do processo de orçamento de capital O processo de orçamento de capital consiste em cinco etapas distintas porém interrelacionadas geração de propostas avaliação e análise tomada de decisão Implementação acompanhamento 30 30 Características gerais das propostas de investimentos A diferenciação entre gastos operacionais e gastos de capital é feita em função da duração dos benefícios correspondentes e dos valores envolvidos gastos operacionais seus benefícios exaurem a curto prazo até um ano compra de matérias primas salários e despesas diversas gastos de capital seus benefícios perduram por períodos superiores a um ano 31 31 Características gerais das propostas de investimentos Em função de sua natureza as propostas de gastos de capital poderão ser classificadas em propostas independentes propostas mutuamente excludentes propostas colidentes propostas contingentes 32 32 Decisões de investimento As decisões de investimento são voltadas a promover alterações no volume de capital destinado a produção de bens e serviços Todo o processo de decisões financeiras requer uma compreensão dos princípios de formação e utilização das taxas de juros do mercado 33 33 Decisões de investimento Um investimento é atraente quando seu retorno for superior às taxas de remuneração do capital O processo de avaliação e seleção de alternativas de investimento envolve dimensionamento dos fluxos de caixa avaliação dos fluxos de caixa definição das taxas de retorno exigidas introdução do risco 34 34 Decisões de investimento As propostas de gastos de capital envolvem benefícios não monetários que são avaliados subjetivamente aspectos monetários que devem ser avaliados tecnicamente e riscos que devem ser avaliados da melhor forma possível 35 35 Disponibilidade de fundos As empresas podem apresentar dois tipos de fundos ilimitados ou limitados Fundos ilimitados são aqueles em que se pode implementar todos os projetos disponíveis desde que viáveis e independentes ou seja os fundos disponíveis são maiores que o custo de execução de todos os projetos Fundos limitados situação mais comum existe uma situação de racionamento de capital fundos limitados ou seja os fundos disponíveis não são suficientes para viabilizar todos os projetos desejáveis 36 36 Abordagens para decisão sobre investimento de capital aceitarrejeitar utilizada por empresas que possuem fundos ilimitados Aplicamse critérios predeterminados a uma proposta e a comparação do retorno resultante com o retorno mínimo aceitável definido classificação os projetos devem ser classificados em função de algum ou de alguns critérios predeterminados e apenas os projetos aceitáveis devem ser classificados 37 37 Decisões de investimento Uma empresa dispõe de um total de fundos de 800000 para aplicar oito projetos que estão em análise Os projetos A B e C são mutuamente excludentes os projetos F G e H também são mutuamente excludentes e D e E são independentes de cada um dos outros projetos No quadro seguinte são listados os projetos com os seus respectivos valores e retornos anuais 38 38 Decisões de investimento PROJETO SITUAÇÃO VALOR RETORNO A mutuamente excludentes 400000 16 B 900000 19 C 400000 11 D Independentes 350000 15 E 400000 13 F mutuamente excludentes 900000 21 G 400000 20 H 400000 17 39 39 Decisões de investimento Os projetos B e F são excluídos pois os valores dos mesmos ultrapassam a disponibilidade financeira sobram A C D E G H 40 40 Decisões de investimento Entre os projetos A e C mutuamente excludentes ficamos com A pois ambos tem o mesmo valor porém A apresenta maior retorno 16 x 11 de C sobram A D E G H 41 41 Decisões de investimento Entre os projetos G e H também mutuamente excludentes ficamos com G pois ambos tem o mesmo valor porém G apresenta maior retorno 20 x 17 de H sobram A D E G 42 42 Decisões de investimento Entre os projetos restantes A D E G a escolha final é entre A e G pois são os que apresentam maiores taxas de retorno entre os quatro A 16 G 20 D 15 E 13 43 43 Decisões de investimento Como resolução temos que a seguinte classificação 1º Projeto G valor de 400000 retorno de 20 2º Projeto A valor de 400000 retorno de 16 44 44 Fluxo de caixa O ponto de partida do orçamento de capital é a estimativa de fluxos de pagamentos e recebimentos distribuídos durante a vida útil do projeto Na avaliação de um projeto a primeira preocupação referese às entradas e às saídas de caixa do projeto ou seja ao seu fluxo de caixa 45 45 Fluxo de caixa Os fluxos de caixa são de vários tipos investimento inicial despesas operacionais receitas operacionais despesas não desembolsáveis e IR vendas de ativos capital de giro 46 46 Fluxo de caixa A avaliação dos fluxos de caixa é realizada mediante a utilização de técnicas simples prazo de retorno ou de métodos sofisticados que consideram o valor do dinheiro no tempo valor atual líquido e taxa interna de retorno A validade das conclusões obtidas com a utilização destas técnicas dependerá do grau de exatidão das projeções dos fluxos de caixa 47 47 O que descontar Regras gerais apenas o fluxo de caixa é relevante estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental seja consistente no modo de tratar a inflação considere as interações dos projetos 48 48 Apenas o fluxo de caixa é relevante O valor presente líquido depende dos futuros fluxos de caixa O fluxo de caixa é um conceito muito simples tratase apenas da diferença entre o dinheiro recebido e o dinheiro pago Não se deve confundir o fluxo de caixa com os lucros contábeis Na contabilidade inicialmente o lucro é mostrado à medida que ele é ganho em vez de fazer isso apenas quando a empresa e o cliente pagam as suas contas 49 49 Apenas o fluxo de caixa é relevante Em segundo lugar os fluxos de caixa negativos são classificados em despesas correntes e despesas de investimentos As despesas correntes são deduzidas na determinação do lucro o mesmo não acontecendo com as despesas de investimento As despesas de investimento são depreciadas durante um determinado número de anos sendo esta depreciação deduzida anualmente dos lucros Por este procedimento os lucros incluem alguns fluxos de caixa e excluem outros e são reduzidos pela depreciação que não são de modo algum fluxos de caixa 50 50 Apenas o fluxo de caixa é relevante Nem sempre é fácil transformar dados contábeis habituais em dinheiro real Na dúvida sobre o que é um fluxo de caixa conte simplesmente o dinheiro que entra e retire o dinheiro que sai Não se deve admitir a possibilidade sem verificação de se encontrar fluxos de caixa pela simples manipulação dos dados contábeis Devese sempre realizar a estimativa dos fluxos de caixa líquidos de impostos 51 51 Apenas o fluxo de caixa é relevante É preciso certificarse de que os fluxos de caixa são registrados apenas quando ocorrem e não quando a receita é registrada ou a responsabilidade é assumida Por exemplo os impostos devem ser considerados com base na sua data real de pagamento e não quando a obrigação é registrada na contabilidade da empresa Concentrese nos fluxos de caixa posteriores aos impostos Tenha cuidado com os dados contábeis disfarçados de fluxos de caixa 52 52 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental O valor de um projeto depende de todos os fluxos de caixa incrementais resultantes da sua realização Algumas observações sobre os fluxos que devem ser incluídos Não confunda resultados médios com resultados incrementais Inclua todos os efeitos derivados Não esqueça as necessidades de capital de giro Inclua os custos de oportunidade Esqueça os custos irrecuperáveis Atenção à imputação das despesas gerais 53 53 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Não confunda resultados médios com resultados incrementais Os gestores naturalmente hesitam em desperdiçar um bom dinheiro Por exemplo não querem investir mais dinheiro em uma divisão deficitária Mas ocasionalmente poderão encontrar oportunidades de recuperação de investimentos em que o VPL incremental de um investimento em um projeto deficitário é muito positivo Uma divisão que tenha apresentado bons lucros no passado poderá ter esgotado todas as suas oportunidades 54 54 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Inclua todos os efeitos derivados É importante incluir todos os efeitos derivados dos demais negócios Por exemplo um ramal de estrada de ferro pode tem um VPL negativo se considerado isoladamente mas mesmo assim ser um investimento valioso se considerarmos o tráfego adicional que proporciona à linha principal Os efeitos derivados podem estenderse até um futuro longínquo 55 55 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Inclua todos os efeitos derivados Para um fabricante de motores os fluxos de caixa positivos não se limitam às receitas provenientes dos motores Após a venda um motor pode ter uma vida útil de 10 anos ou mais havendo durante este período uma procura estável de peças de reposição Pode ocorrer também a oportunidade de oferecer versões modificadas ou melhoradas do motor destinadas a outros usos Todas essas atividades geram fluxos de caixa incrementais significativos 56 56 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Não esqueça as necessidades de capital de giro Capital de giro é a diferença entre os ativos e os passivos de curto prazo ou seja ativo e passivo circulante A maioria dos projetos acarreta um investimento adicional em capital de giro que deve ser considerado nas previsões dos fluxos de caixa Quando o projeto é concluído ele geralmente recupera uma parcela do investimento em capital de giro considerado um fluxo positivo de caixa 57 57 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Inclua os custos de oportunidade O custo de um recurso pode ser relevante para a decisão de investimento mesmo quando o dinheiro não muda de mão Suponha uma nova unidade industrial que vai utilizar um terreno que poder ser vendido por um determinado valor Este recurso não é gratuito há um custo de oportunidade que é o dinheiro que poderia ser gerado para a empresa se o projeto fosse rejeitado e o terreno vendido ou utilizado para qualquer outro fim produtivo Por vezes é difícil estimar o valor do custo de oportunidade Se o recurso puder ser livremente negociado o seu custo de oportunidade é apenas igual ao preço de mercado 58 58 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Esqueça os custos irrecuperáveis Os custos irrecuperáveis são desembolsos passados e irreversíveis Como fazem parte do passado os custos irrecuperáveis não podem afetar a decisão de aceitar ou rejeitar um projeto devendo ser ignorados 59 59 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Atenção à imputação das despesas gerais O conceito de despesas gerais inclui itens como os salários os aluguéis o aquecimento e a luz Essas despesas podem não estar relacionadas com nenhum projeto específico mas devem ser pagas de qualquer maneira O princípio dos fluxos de caixa incrementais considera que na análise de um projeto devemos considerar apenas as despesas adicionais que resultarem do projeto Um projeto pode ou não originar despesas gerais adicionais 60 60 Estime sempre os fluxos de caixa em uma base incremental Avalie sempre os investimentos em uma base incremental Identifique incansavelmente todas as consequências da sua decisão sobre os fluxos de caixa Inclua os custos de oportunidade Ignore os custos irrecuperáveis ou seja os custos já assumidos 61 61 Seja consistente no modo de tratar a inflação As taxas de juros são habitualmente consideradas em termos nominais e não em termos reais Se a taxa de desconto for estabelecida em termos nominais então a coerência exige que os fluxos de caixa sejam estimados em termos nominais tomando em consideração as tendências dos preços de venda dos custos de mão de obra dos materiais etc Isso exige mais do que aplicar uma simples taxa presumível de inflação a todos os componentes do fluxo de caixa 62 62 Seja consistente no modo de tratar a inflação Não existe nada de errado em se descontar os fluxos de caixa reais a uma taxa de desconto real A mensagem em relação à inflação é muito simples Desconte os fluxos de caixa nominais à taxa de desconto nominal Desconte os fluxos de caixa reais à uma taxa real Nunca misture fluxos de caixa reais com taxas nominais ou fluxos nominais com taxas de juros reais Trate a inflação com consistência 63 63 Considere as interações dos projetos As decisões que envolvem apenas a escolha entre a aceitação ou a rejeição de um projeto são muito raras pois os projetos de investimento raramente podem ser isolados de outros projetos ou outras alternativas A decisão mais simples com a qual normalmente podemos deparar é aceitar rejeitar ou adiar Um projeto que tenha hoje um VPL positivo pode têlo ainda mais alto se for empreitado amanhã 64 64 Considere as interações dos projetos Os projetos também interagem pelo fato de serem mutuamente excludentes Podese instalar a máquina A ou B mas não ambas Quando as opções mutuamente excludentes envolvem diferentes durações ou padrões temporais de fluxos de caixa a comparação é difícil a não ser que os valores presentes sejam convertidos em custos anuais equivalentes 65 65 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Os itens do fluxo de caixa não devem corresponder a valores contábeis mas sim a entrada e saída de dinheiro Os resultados por período devem ser apresentados após o imposto de renda recebendo em seguida o acréscimo das depreciações 66 66 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Os juros de financiamentos do projeto não devem ser incluídos como despesa as despesas financeiras não são operacionais a não ser que o projeto seja a constituição e operação de uma instituição financeira e mais importante ainda a avaliação de um projeto deve ser feita com base nos seus próprios méritos como contribuição à rentabilidade da empresa independentemente de como será financiado 67 67 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Não é necessário que todos os projetos tenham todos os tipos de fluxo de caixa citados anteriormente É possível como no caso de substituição de equipamentos que o projeto não tenha receitas operacionais diretas e que o seu beneficio em termos de retorno positivo seja apenas uma redução das despesas operacionais da empresa em consequência de um investimento 68 68 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Mesmo que o projeto seja de aplicações no ativo imobilizado há casos nos quais existe um efeito sobre os valores aplicados em capital de giro disponível contas a receber estoques O lançamento de um novo produto pode requerer uma política especial de crédito com investimentos adicionais em contas a receber que por sua vez precisarão ser financiadas Esses investimentos devem ser considerados desembolsos Passado um tempo ao fim do qual o produto atinge o estágio avançado do seu ciclo de vida as necessidades de capital de giro diminuem levando a liberação de recursos Os valores liberados devem ser considerados como entrada de caixa 69 69 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa No caso do lançamento de um novo produto que venha a concorrer com outros produtos tradicionais da empresa deve se considerar como abatimento das vendas do novo produto as quedas previstas nas vendas dos produtos antigos devidas à concorrência interna Ás vezes a empresa possui recursos que não fosse pela aceitação do projeto poderiam ser vendidos ou usados em outras aplicações Esses recursos têm o chamado custo de oportunidade Ao ser aceito o projeto esse valor tornase parte do investimento devendo ser incluído como desembolso mesmo que não ocorra qualquer pagamento efetivo 70 70 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Na nova proposta não devem ser incluídos os custos com perdas sofridas com um projeto fracassado que seria substituído pelo novo projeto pois as perdas são decorrentes de decisões anteriores Se houver a utilização de um bem ocioso na proposta devese considerar o valor de mercado do bem ocioso como parte do investimento Os acréscimos de desembolsos com despesas operacionais devem ser subtraídos das entradas de caixa adicionais 71 71 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Os valores oriundos da venda de ativos fixos substituídos com a implementação da proposta devem ser deduzidos dos desembolsos projetados com as novas aquisições Da mesma forma deve ser subtraído o valor residual dos novos ativos fixos no final da vida útil do projeto Devem ser consideradas no fluxo de caixa as alterações dos desembolsos com o imposto de renda provocadas pela nova proposta 72 72 Critérios para a elaboração do fluxo de caixa Em resumo os fluxos de caixa operacionais incrementais devem compreender os valores distribuídos no tempo que correspondem às saídas líquidas de caixa ou investimento líquido e às entradas líquidas de caixa ou benefícios monetário líquidos 73 73 Exemplo de investimento líquido compra de uma máquina para substituir outra 74 74 Valor da nova máquina inclusive despesas com frete e instalação Despesas com instalações e equipamentos necessários ao funcionamento da nova máquina Recursos obtidos com a venda da máquina antiga IR a pagar ou a deduzir sobre o lucro ou prejuízo com a venda da máquina antiga Valor residual da nova máquina no final da sua vida útil Saídas Líquidas de Caixa distribuídas no tempo Exemplo de investimento líquido construção de uma nova fábrica 75 75 Valor de aquisição do terreno despesas com escritura etc ou valor de mercado do terreno se o mesmo já pertencer à empresa Dispêndios com projetos Desembolsos com construção civil e instalações em geral Valor de aquisição de máquinas equipamentos ferramentas etc Dispêndios com assessoria técnica na montagem dos equipamentos Recursos aplicados no capital de giro estoques duplicatas a receber etc Saídas Líquidas de Caixa distribuídas no tempo Exemplo de benefício monetário liquido 76 76 Resultado contábil Fluxo de Caixa Acréscimos nas Receitas de Vendas 10000 10000 nas Despesas de Vendas 6000 6000 Decréscimos nas Desp Materiais MOD Manutenção 5000 5000 Acréscimos na Depreciação Anual 2000 no Lucro Tributável 7000 no Imposto de Renda 35 2450 2450 no Lucro Líquido 4550 Entradas Líquidas Anuais de Caixa 6550 Fluxo de caixa incrementais A elaboração dos fluxos de caixa incrementais poderá demandar a colaboração de elementos da área financeira pois será fundamental dispor de estimativas as mais exatas possíveis Na etapa seguinte a equipe financeira terá papel preponderante na avaliação dos fluxos monetários visando determinar se a proposta é passível de aceitação considerando os critérios de seleção estabelecidos comparar as propostas aceitáveis ordenandoas pelos benefícios que propiciarão à empresa 77 77 78 78 Métodos de Avaliação de Investimentos Métodos de Avaliação de Investimentos Métodos de avaliação de investimentos Os métodos de análise de investimentos dividemse em dois grandes segmentos Modelos quantitativos de análise de viabilidade econômica das alternativas de investimentos Estudo das principais limitações e contribuições práticas de cada método de avaliação considerado Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 79 Métodos de avaliação de investimentos Os métodos quantitativos de análise econômica de investimentos podem ser classificados em dois grandes grupos os que não levam em conta o valor do dinheiro no tempo os que consideram essa variação por meio do critério do fluxo de caixa descontado Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 80 Métodos de avaliação de investimentos Métodos mais difundidos para avaliar propostas de investimentos Taxa média de retorno Prazo de retorno payback period Payback atualizado Valor atual líquido Índice de lucratividade Taxa interna de retorno Valor atual líquido anualizado 81 Métodos de avaliação de investimentos Na análise dos métodos de avaliação de investimentos assumiremos algumas hipóteses Inexistência de incerteza nas estimativas dos fluxos de caixa As propostas apresentam o mesmo grau de risco possibilitando sua comparação direta Os desembolsos e recebimentos ocorrerão em cada final de período Os valores previstos para cada período refletem moeda de mesmo valor aquisitivo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 82 Taxa média de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 83 Taxa média de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 84 Taxa média de retorno A taxa média de retorno não é recomendada para a análise financeira não considera o valor do dinheiro no tempo utiliza o lucro contábil e não o fluxo de caixa ignorando a depreciação como uma fonte de entrada de caixa o valor presente do valor residual do equipamento não é computado na taxa média de retorno A taxa de retorno efetiva fica subestimada quando residual é ignorado no cálculo desconsidera a sequência cronológica dos lucros líquidos Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 85 Taxa média de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 86 Prazo de retorno payback period O prazo de payback ou período de recuperação do capital é definido como sendo o número de anos ou meses dependendo da escala utilizada que são necessários para que o desembolso correspondente ao investimento inicial seja recuperado ou ainda igualado e superado pelas entradas líquidas acumuladas Este método leva em consideração apenas o tempo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 87 Prazo de retorno payback period O cálculo do prazo de retorno é simples entradas líquidas anuais de caixa uniformes devese dividir o investimento inicial pelas entradas anuais de caixa entradas líquidas anuais de caixa desiguais devese acumular as entradas líquidas anuais até atingir o valor do investimento apurando se o prazo de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 88 Prazo de retorno payback period Proposta A 2875 anos ou 345 meses Proposta B 2667 anos ou 32 meses Proposta C 2429 anos ou 291 meses Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 89 Prazo de retorno payback period Proposta A 2875 anos ou 345 meses Proposta B 2667 anos ou 32 meses Proposta C 2429 anos ou 291 meses Considerando que o prazo máximo exigido seja de 3 anos as três propostas seriam aceitas mas como elas são mutuamente excludentes a Proposta C seria a escolhida por apresentar menor prazo de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 90 Prazo de retorno payback period Digamos que a administração estabelecesse que a margem de risco seria de 20 do prazo calculado Então se 120 x prazo calculado for maior ou igual ao prazo limite o projeto deverá ser aceito caso contrário deverá ser rejeitado 3450 anos para a proposta A 12 x 2875 anos 3450 anos 3200 anos para a proposta B 12 x 2667 anos 3200 anos 2914 anos para a proposta C 12 x 2429 anos 2914 anos Nesse caso as propostas A e B seriam inaceitáveis permanecendo como válida apenas a proposta C Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 91 Prazo de retorno payback period O prazo de retorno apresenta duas deficiências Não reconhece as entradas de caixa previstas para ocorrerem após a recuperação do investimento sem proporcionar uma visão do projeto como um todo e não servindo como uma medida de lucratividade Não avalia adequadamente o valor do dinheiro no tempo O critério do período de recuperação dá pesos iguais a todos os fluxos de caixa que ocorrem antes do período limite Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 92 Prazo de retorno payback period Algumas empresas descontam o fluxo de caixa antes de calcular o período de recuperação No critério do período de recuperação com desconto perguntase quantos períodos de tempo o projeto precisa durar para ser aceitável em termos de valor presente líquido Mesmo assim o período de recuperação com desconto continua a desconsiderar os fluxos de caixa que ocorrem após o período limite Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 93 Payback atualizado Quanto menor for o índice obtido nesta relação melhor será a proposta um índice menor do que 1 significa que em valores atuais as entradas líquidas de caixa superam o investimento líquido um índice superior a 1 indica que a proposta não cobrirá o custo de capital devendo portanto ser rejeitada Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 94 Payback atualizado Proposta D 20 anos Proposta E 25 anos Proposta F 30 anos Portanto a proposta D é a melhor proposta pelo método do prazo de retorno 95 Payback atualizado Para o cálculo do payback atualizado vamos utilizar a taxa de retorno de 18 ao ano que corresponde ao custo de capital da empresa Calcularemos inicialmente os fatores de valor atual relativo a um pagamento simples ou único FVAs para cada período utilizando a fórmula abaixo 96 Payback atualizado Proposta D 60000 59126 1015 Proposta E 60000 71019 0845 Proposta F 60000 72073 0832 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 97 Payback atualizado Proposta D 60000 59126 1015 Proposta E 60000 71019 0845 Proposta F 60000 72073 0832 Pelo método do payback atualizado a proposta D deve ser rejeitada porque o valor atual líquido de suas entradas líquidas de caixa é menor do que o valor atual do investimento As outras duas propostas são aceitáveis porém a proposta F é a melhor porque apresenta o menor índice de payback atualizado 98 Payback atualizado O payback das duas alternativas é igual a dois anos podendo ser implementados se o prazo fixado pela empresa for esse e os projetos forem considerados independentes Porém é nítida a preferência por A1 em razão de promover um retorno em termos de fluxos de caixa 80 do valor do investimento no primeiro ano e os 20 restantes no segundo ano Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 99 Payback atualizado Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 100 Valor Atual Líquido VAL O valor atual líquido VAL é a diferença entre os valores atuais das entradas líquidas de caixa e os das saídas de caixa relativas ao investimento líquido correspondendo a uma quantificação dos benefícios adicionais provocados pela proposta Neste método os fluxos de caixa são convertidos ao valor presente através da aplicação de uma taxa de desconto predefinida que corresponde ao custo de capital da empresa ou à rentabilidade mínima aceitável em face do risco envolvido ou seja a taxa mínima de atratividade do projeto Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 101 Valor Atual Líquido VAL VAL zero a proposta gerará um retorno maior que a taxa de desconto utilizada o investimento poderá ser aprovado VAL zero a proposta gerará um retorno igual à taxa mínima aceitável após o pagamento dos valores investidos proposta viável VAL zero a proposta gerará um retorno menor que o custo de capital ou menor que a rentabilidade mínima exigida proposta economicamente inviável Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 102 Valor Atual Líquido VAL O cálculo do VAL pode ser expresso pela fórmula abaixo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 103 Valor Atual Líquido VAL Voltando às propostas D E e F Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 104 Valor Atual Líquido VAL Calculamos os valores atuais dos fluxos de caixa descontandoos à taxa de 18 ao ano 105 Valor Atual Líquido VAL A seguir o Valor Atual Líquido VAL de cada proposta 106 Valor Atual Líquido VAL Vantagens do uso do VAL Informa se o projeto de investimento aumentará o valor da empresa Considera o valor do dinheiro no tempo Incluiu todos os capitais na avaliação Considera também o risco já embutido no custo de oportunidade Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 107 Valor Atual Líquido VAL Desvantagens do uso do VAL É preciso conhecer o custo de oportunidade Resposta em valor monetário é difícil por exemplo responder se é melhor investir 100 para um VAL de 5 ou investir 10 para um VAL de 3 108 Valor Atual Líquido VAL Outro exemplo de VAL ou NPV Uma empresa está avaliando um investimento de 3000000 com benefícios anuais esperados de 1000000 1500000 e 2000000 nos próximos 3 anos Considerando a taxa de retorno de 20 temos Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 109 Índice de Lucratividade IL O Índice de Lucratividade IL é obtido através do quociente entre os valores atuais das entradas líquidas de caixa e os valores atuais das saídas líquidas de caixa usandose como taxa de desconto a taxa mínima de atratividade do projeto Esse índice indica o retorno apurado para cada R 100 investido em moeda atualizada pela taxa de atratividade ou seja indica em termos de valor presente quanto o projeto oferece de retorno para cada unidade monetária investida 110 Índice de Lucratividade IL Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 111 Índice de Lucratividade IL O índice de lucratividade reflete a razão benefíciocusto da proposta fornecendo uma medida do retorno esperado por unidade monetária investida IL 1 a proposta produzirá benefícios monetários superiores ou iguais às saídas líquidas de caixa IL 1 proposta economicamente inviável Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 112 Índice de Lucratividade IL Voltamos às propostas D E e F Calculamos os valores atuais das entradas líquidas de caixa utilizandose a taxa de desconto de 18 ao ano Utilizamos estes valores atuais para o cálculo do valor atual líquido VAL e do índice de lucratividade IL 113 Índice de Lucratividade IL Outro exemplo de Índice de Lucratividade Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 114 Valor Atual Líquido VAL versus Índice de Lucratividade IL Nem sempre a melhor proposta indicada pelo VAL também é a melhor proposta indicada pelo IL Consideraremos o exemplo abaixo com duas propostas mutuamente excludentes Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 115 Valor Atual Líquido VAL versus Índice de Lucratividade IL Calcularemos os valores atualizados utilizando a taxa de desconto de 18 ao ano Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 116 Valor Atual Líquido VAL versus Índice de Lucratividade IL As duas propostas apresentam VAL 0 e IL 1 portanto ambas poderiam ser aceitas O VAL levaria à escolha da proposta H enquanto o IL levaria à escolha da alternativa G Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 117 Valor Atual Líquido VAL versus Índice de Lucratividade IL As duas propostas apresentem o mesmo grau de risco condicionando a resposta à disponibilidade de recursos disponíveis para a implementação dos projetos restrição de recursos prevalece o índice de lucratividade maximizando o retorno dos projetos proposta G sem restrição de recursos prevalece o valor atual líquido visando a maior soma de benefícios monetários adicionais do projeto escolha da proposta H Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 118 Taxa Interna de Retorno TIR A taxa interna de retorno TIR ou Internal Rate of Return IRR corresponde a uma taxa de desconto que iguala o valor atual das entradas líquidas de caixa ao valor atual dos desembolsos relativos ao investimento líquido Em outras palavras é uma taxa de desconto que produz um VAL igual a zero Ela representa a taxa de desconto que iguala num único momento os fluxos de entrada de caixa com os de saída de caixa Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 119 Taxa Interna de Retorno TIR Na igualdade abaixo o i corresponde à TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 120 Taxa Interna de Retorno TIR Como na equação acima o i corresponde à TIR podemos ter a seguinte expressão 121 Taxa Interna de Retorno TIR A TIR deve ser comparada com a taxa de rentabilidade mínima exigida em face do risco do projeto TIR maior ou igual à taxa mínima estipulada a proposta de investimento poderá ser aprovado TIR menor que a taxa mínima estipulada a proposta deve ser rejeitada sua implementação afeta negativamente a rentabilidade global da empresa Uma TIR igual à taxa mínima estipulada também indica que a proposta é viável pois o mínimo esperado está sendo atingido 122 Taxa Interna de Retorno TIR Vamos considerar os dois fluxos de caixa abaixo para demonstrar o cálculo da TIR A proposta X apresenta como fluxo de caixa uma série uniforme e a proposta Y apresenta como fluxo de caixa uma série mista Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 123 Taxa Interna de Retorno TIR Cálculo da TIR para a proposta X 1º passo Calcular o período de payback médio para a proposta Podemos obter o payback médio de uma série uniforme dividindo o valor do investimento inicial pela entrada de caixa anual de 14000 Portanto o período de payback médio da proposta X é de 3 anos 42000 14000 3 anos Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 124 Taxa Interna de Retorno TIR Cálculo da TIR para a proposta X 2º passo Na tabela de Fator de Valor Atual Relativo a uma Série Uniforme de Pagamentos localizamos os fatores mais próximos de 3 para cinco anos que são 30576 para 19 e 29906 para 20 Portanto a TIR da proposta X está entre 19 e 20 Podemos dizer que a TIR da proposta X é de 20 com 1 de aproximação estando o seu valor real entre 19 e 20 125 Taxa Interna de Retorno TIR Cálculo da TIR para a proposta X O valor real da TIR pode ser calculado através de calculadora financeira de computador ou por regra de três Vamos realizar o cálculo por regra de três Calcularemos os valores atuais das entradas líquidas Ej da Proposta X considerando as taxas de desconto de 19 ao ano e de 20 ao ano Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 126 Taxa Interna de Retorno TIR Quando i aumenta 1 de 19 para 20 o valor atual diminui 938 de 42807 para 41869 Quanto deveria ser acrescido aos 19 para o valor atual reduzir apenas 807 de 42807 para 42000 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 127 Taxa Interna de Retorno TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 128 Taxa Interna de Retorno TIR Cálculo da TIR para a proposta Y 1º passo Calcular o período de payback médio para a proposta O fluxo de caixa é uma série mista portanto calculamos inicialmente a entrada de caixa média anual da proposta 2800012000100001000010000 5 14000 Obtemos o payback médio dividindo o valor do investimento inicial pela entrada de caixa média anual 45000 14000 3214 anos Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 129 Taxa Interna de Retorno TIR Cálculo da TIR para a proposta Y 2º passo Na tabela de Fator de Valor Atual Relativo a uma Série Uniforme de Pagamentos os fatores mais próximos de 3214 para cinco anos que são 32743 para 16 e 31993 para 17 Portanto a estimativa inicial da TIR da proposta X está entre 16 e 17 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 130 Taxa Interna de Retorno TIR Cálculo da TIR para a proposta Y 3º passo Como as entradas de caixa reais nos primeiros anos são maiores do que as entradas de caixa médias de 14000 aumentaremos subjetivamente 3 na taxa de desconto Portanto podemos dizer que a TIR da proposta X é de 20 com 1 de aproximação estando o seu valor real entre 19 e 20 Se as entradas de caixa reais dos primeiros anos forem menores do que as entradas médias ajustaremos a taxa de desconto para baixo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 131 Taxa Interna de Retorno TIR As entradas líquidas de caixa descontadas à taxa de 19 ao ano geraram um valor atual de 47113 e descontadas à taxa de 20 geraram um valor de 46294 O valor atual encontrado é superior aos 45000 do investimento inicial Faremos mais uma tentativa com a taxa de desconto de 21 ao ano Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 132 Taxa Interna de Retorno TIR Com a taxa de desconto de 21 ao ano as entradas líquidas de caixa geraram um valor atual de 45500 superior ao valor do investimento inicial de R 45000 Portanto vamos fazer mais uma tentativa considerando a taxa de desconto de 22 ao ano 133 Taxa Interna de Retorno TIR Com a taxa de desconto de 22 ao ano as entradas líquidas de caixa geraram um valor atual de 44736 inferior ao valor do investimento inicial de R 45000 Portanto a taxa de desconto desejada é superior a 21 ao ano valor atualizado de 45500 e inferior a 22 ao ano valor atualizado de 44736 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 134 Taxa Interna de Retorno TIR Quando i aumenta 1 de 21 para 22 o valor atual diminui 764 de 45500 para 44736 Quanto deveria ser acrescido aos 21 para o valor atual reduzir apenas 500 de 45500 para 45000 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 135 Taxa Interna de Retorno TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 136 Taxa Interna de Retorno TIR Retomando as propostas G e H com seus fluxos de caixa quais seriam as TIRs das mesmas A proposta G apresentou uma TIR de 33425 e a proposta H de 27177 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 137 Taxa Interna de Retorno TIR Como a taxa mínima de rentabilidade anual exigida é de 18 as duas propostas podem ser aprovadas Como as propostas são mutuamente excludentes a proposta G seria a escolhida por sua TIR superior à TIR da proposta H A TIR é um método muito utilizado no orçamento de capital entretanto muitas vezes fornece taxas de retorno não realistas Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 138 Taxa Interna de Retorno TIR A proposta G apresentou uma TIR 33425 enquanto a taxa mínima de rentabilidade anual exigida era de 18 Isto não significa que a administração deva aceitar imediatamente o projeto G por causa da sua TIR de 33425 Uma TIR de 33425 implica que a empresa tem a oportunidade de reinvestir seus fluxos de caixa futuros à taxa de 33425 ao ano 139 Taxa Interna de Retorno TIR Se a experiência passada e a economia indicarem que 33425 é uma taxa não realista para investimentos futuros então uma TIR de 33425 é suspeita A TIR calculada pode servir como parâmetro de aceitação ou rejeição de um projeto somente se ela for uma taxa razoável para reinvestimentos dos fluxos de caixa futuros 140 141 141 Variações da Taxa Interna de Retorno TIR Variações da Taxa Interna de Retorno TIR Reinversões à taxas diferentes da TIR Caso uma proposta ofereça uma TIR muito elevada esta provavelmente não será verdadeira devido à ausência de alternativas de reaplicações das entradas de caixa à mesma taxa A proposta G apresentou uma TIR de 33346 ao ano superior aos 27177 ao ano da proposta H Supondo que a melhor alternativa de reinvestimento das entradas de caixa das propostas fosse de 12 ao ano as TIRs seriam efetivamente mais baixas podendo ocorrer uma alteração na classificação das propostas Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 142 Reinversões à taxas diferentes da TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 143 Reinversões à taxas diferentes da TIR A proposta G apresentou uma TIR de 33346 ao ano superior aos 27177 ao ano da proposta H Reaplicando as entradas de caixa a 12 ao ano a proposta G apresentou uma TIR efetiva de 21344 e a proposta H de 21756 passando a ser a mais vantajosa Alterando a taxa de reaplicação teríamos outras TIRs efetivas e possivelmente novas trocas na classificação das propostas Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 144 Considerações sobre a TIR Se a taxa interna de retorno exceder ou igualar o percentual mínimo desejado pela empresa considerase o investimento como economicamente atraente devendo ser aceito O projeto pode até ser lucrativo mas se produzir uma taxa de retorno inferior à desejada pela empresa será inviável 145 Considerações sobre a TIR A taxa interna de retorno TIR de um projeto somente será verdadeira se todos os fluxos intermediários de caixa forem reinvestidos à própria TIR calculada para o investimento Se os valores intermediários de caixa não conseguirem atingir tal rentabilidade a TIR do investimento será reduzida Assim muitos projetos lucrativos em determinada época poderão deixar de sêlo ao longo de sua vida Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 146 Outro exemplo de TIR Investimento de 300 com benefícios de caixa de 100 150 180 e 120 respectivamente nos próximos quatro anos Resolvendose com o auxílio da calculadora financeira temos K 2804 K TIR A rentabilidade total do projeto atinge 1688 ou seja Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 147 Outro exemplo de TIR Calculando o valor econômico acumulado pelo projeto ao final do último ano da vida estimada temos FV 100 128043 150 128042 180 12804 120 FV 20991 24591 23047 12000 FV 80629 Relacionandose esse montante com o investimento inicial obtémse a taxa de rentabilidade referente aos quatro anos Taxa de Retorno 80629 300 1 x 100 1688 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 148 Outro exemplo de TIR Considerando o reinvestimento dos fluxos de caixa do investimento anterior às taxas de 26 24 e 20 temos FV 100 1263 150 1242 180 120 120 FV 20000 23060 21600 12000 FV 76660 Rentabilidade total do investimento 76660 30000 1 x 100 1556 para 4 anos Rentabilidade anual 255614 1 x 100 264 aa A impossibilidade de reinvestilos pela TIR anual calculada de 2804 aa reduz a rentabilidade do projeto para 264 aa Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 149 Taxa interna de retorno modificada MIRR Considerando o investimento abaixo com os fluxos de caixa Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira TIR 40 aa Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 150 Taxa interna de retorno modificada MIRR Admitindo que os fluxos de caixa do investimento sejam reinvestidos às taxas anuais de retorno de 25 a rentabilidade esperada reduzse para 329 ao ano FV 2703830 1253 2703830 1252 2703830 125 2703830 FV 15589270 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 151 Reinversões à taxas diferentes da TIR A representação gráfica original desse projeto é Resolvendose MIRR r 329 aa Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 152 Padrão de fluxo de caixa convencional Nessa situação há somente uma inversão de sinais a qual ocorre após o último fluxo de saída de caixa período 2 e se passa de negativo para positivo 153 Padrão de fluxo de caixa não convencional Nessa situação ocorrem diversas inversões de sinais gerando fluxo de caixas negativos e positivos ao logo da duração do projeto Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 154 Padrão de fluxo de caixa não convencional Nesses casos padrão de fluxo de caixa não convencional mediante a aplicação do critério da TIR poderão ser encontradas três respostas 1Múltiplas taxas de retorno que igualam em determinado momento as entradas com as saídas de caixa 2Uma única taxa interna de retorno 3Taxa interna de retorno indeterminada não há solução Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 155 Algumas considerações sobre a TIR Algumas pessoas confundem a TIR com o custo de oportunidade do capital ambos surgem como taxas de desconto na fórmula do VAL A TIR é uma medida de retorno que depende exclusivamente do montante e da data de ocorrência dos fluxos de caixa do projeto Já o custo de oportunidade do capital é um padrão de retorno para o projeto que utilizamos para calcular o valor do projeto O custo de oportunidade do capital se estabelece nos mercados de capitais e equivale à taxa de retorno esperada e oferecida por outros ativos com um risco equivalente ao do projeto em avaliação 156 Algumas considerações sobre a TIR O critério para a decisão de investimento com base na taxa interna de retorno é o de aceitar um projeto de investimento se o custo de oportunidade do capital for menor do que a taxa interna de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 157 Algumas considerações sobre a TIR Se o custo de oportunidade do capital for menor do que a TIR então o projeto tem um VAL positivo quando for descontado à taxa do custo de oportunidade do capital Se for igual à TIR o projeto terá um VAL nulo E se for maior do que a TIR então o projeto terá um VAL negativo Portanto quando comparamos o custo de oportunidade do capital com a TIR do nosso projeto estamos efetivamente perguntando se o nosso projeto tem um VAL positivo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 158 159 159 Restrições e armadilhas da TIR Restrições e armadilhas da TIR Restrições à TIR A TIR apresenta sérias restrições A principal restrição à TIR é que muitas vezes o método fornece taxas de retorno não realistas A TIR somente é valida se as entradas de caixa geradas pelo projeto forem reaplicadas à mesma taxa interna de retorno Portanto quanto mais elevada for a TIR menos realista ela será em face da ausência de opções de investimentos igualmente rentáveis Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 160 Restrições à TIR O VAL também apresenta restrições que são superadas pela utilização do índice de lucratividade A vantagem do VAL IL é o uso de uma taxa de desconto predeterminada Se essa taxa de desconto refletir adequadamente o custo de capital da empresa e se as entradas de caixa geradas pelo projeto puderem ser reaplicadas pelo menos a esta taxa as respostas fornecidas pelo VAL IL serão mais confiáveis do que as obtidas pela TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 161 Restrições à TIR Outra limitação quanto à aplicação da TIR referese à propostas que apresentem fluxos de caixa com mais de uma troca de sinais ou seja mais de uma saída líquida de caixa gerando condições para a existência de diversas TIRs Nestes casos de propostas não convencionais devemos realizar as avaliações utilizando o método do valor atual líquido uma vez que nenhuma das TIRs encontradas será verdadeira Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 162 Restrições à TIR As limitações apresentadas pelo método da TIR são decorrentes das propriedades matemáticas envolvidas no cálculo A taxa interna de retorno TIR definese como a taxa de desconto para a qual um projeto tem um valor presente líquido igual a zero O critério da TIR estipula que as empresas devem aceitar qualquer investimento que ofereça uma TIR superior ao custo de oportunidade do capital O critério da TIR tal como o valor presente líquido baseiase nos fluxos de caixa descontados Dá portanto resposta correta se utilizado adequadamente O problema se encontra no fato de ser frequentemente mal utilizado Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 163 Armadilhas da TIR Armadilha 1 emprestar ou endividarse Considerando os projetos abaixo Cada projeto tem uma TIR de 50 Porém isto não significa que ambos são igualmente atraentes Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 164 Armadilhas da TIR Armadilha 1 emprestar ou endividarse No Projeto A existe um desembolso inicial de 1000 portanto estamos emprestando dinheiro a 50 No Projeto B recebemos no início 1000 portanto estamos pedindo emprestado à taxa de 50 Quando emprestamos desejamos uma alta taxa de retorno quando nos endividamos queremos uma baixa taxa de retorno Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 165 Armadilhas da TIR Armadilha 1 emprestar ou endividarse Se um projeto proporcionar fluxos de caixa positivos seguidos de fluxos de caixa negativos o VPL aumentará com a elevação da taxa de desconto Esses projetos deverão ser aceitos se a sua TIR for inferior ao custo de oportunidade do capital Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 166 Armadilhas da TIR Armadilha 2 taxas de retorno múltiplas Alguns projetos apresentam dupla mudança de sinal da corrente dos fluxos de caixa Pode haver tantas taxas internas de retorno para um projeto quanto as mudanças de sinal dos fluxos de caixa Sempre que se espera que a corrente de fluxos de caixa mude de sinal mais do que uma vez é possível que a empresa confrontese com mais do que uma TIR Para aumentar mais as dificuldades há ainda casos em que não existe taxa de interna de retorno Se houver mais do que uma mudança de sinal nos fluxos de caixa o projeto poderá ter várias TIR ou nenhuma Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 167 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes Com frequência as empresas têm de escolher entre vários modelos alternativos de realizar o mesmo trabalho ou de utilizar a mesma instalação Ou seja precisam escolher um entre vários projetos mutuamente excludentes Nesses casos o critério da TIR também pode ser enganador Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 168 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes O projeto D é de uma máquina ferramenta controlada manualmente e o projeto E é de uma máquina idêntica mas controlada por computador Ambos são bons investimentos mas o projeto E tem um VPL maior e é portanto melhor Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 169 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes Contudo o critério da TIR parece indicar que se tiver de escolher devese preferir o projeto D pois tem uma TIR mais elevada Seguindo o critério da TIR teremos a satisfação de obter uma taxa de retorno de 100 seguindo o critério do VPL ficaremos 11818 mais rico Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 170 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes Nesses casos podese recuperar o critério da TIR analisando a taxa interna de retorno dos fluxos adicionais Vamos considerar inicialmente o projeto menor no exemplo o projeto D que tem uma TIR de 100 muito maior do que os 10 do custo de oportunidade do capital Portanto o projeto D é aceitável Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 171 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes A pergunta agora é se compensa fazer o investimento adicional de 10000 no projeto E Abaixo os fluxos adicionais de realizar o projeto E em vez do projeto D Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 172 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes A TIR do investimento inicial é de 50 o que também excede largamente os 10 do custo de oportunidade do capital Assim o projeto E D é preferível ao projeto D Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 173 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes A menos que se analise o investimento adicional a TIR não é um critério confiável para ordenar projetos de tamanhos diferentes Também não é confiável na ordenação de projetos que geram padrões diferentes de fluxos de caixa ao longo do tempo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 174 Armadilhas da TIR Armadilha 3 projetos mutuamente excludentes O critério da TIR pode levar a uma hierarquização errada dos projetos mutuamente excludentes que se diferenciam pela sua vida econômica ou pela sua dimensão de investimento exigido Ao se insistir na utilização da TIR para ordenar projetos mutuamente excludentes deverá se examinar a TIR de cada investimento adicional Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 175 Armadilhas da TIR Armadilha 4 o que acontece quando não podemos iludir a estrutura temporal das taxas de juros O custo de capital para os fluxos de caixa de curto prazo pode ser diferente dos de longo prazo Na discussão sobre a decisão de investimento pressupomos que o custo de oportunidade do capital é o mesmo para todos os fluxos de caixa C1 C2 C3 etc Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 176 Armadilhas da TIR Armadilha 4 o que acontece quando não podemos iludir a estrutura temporal das taxas de juros O critério da TIR nos informa que aceitamos um projeto se a TIR for maior do que o custo de oportunidade do capital Mas o que fazer quando temos vários custos de oportunidade do capital Comparamos a TIR com r1 r2 r3 etc Efetivamente teríamos que determinar uma média ponderada complexa a partir dessas taxas para obter um número comparável à TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 177 Armadilhas da TIR Armadilha 4 o que acontece quando não podemos iludir a estrutura temporal das taxas de juros Isso significa dificuldades para o critério da TIR sempre que a estrutura temporal das taxas de juros seja importante Em uma situação em que isso se revele importante teremos que comparar a TIR do projeto com a TIR esperada retorno até o vencimento oferecida por um título negociável que tenha um risco equivalente ao do projeto e que ofereça o mesmo padrão temporal dos fluxos de caixa que o projeto Essa comparação é mais fácil de falar do que de fazer Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 178 Armadilhas da TIR Armadilha 4 o que acontece quando não podemos iludir a estrutura temporal das taxas de juros Muitas empresas utilizam a TIR supondo implicitamente que não há diferença entre as taxas de juros de curto e de longo prazo Fazem isso pela mesma razão pela qual até agora iludimos a estrutura temporal simplicidade Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 179 Armadilhas da TIR Armadilha 4 o que acontece quando não podemos iludir a estrutura temporal das taxas de juros O critério da TIR exige que se compare a TIR do projeto com o custo de oportunidade do capital Mas por vezes há um custo de oportunidade do capital para os fluxos de caixa a um ano um custo diferente de oportunidade do capital para fluxos de caixa a dois anos e assim sucessivamente Nesses casos não haverá um valor de referência simples para a avaliação da TIR do projeto Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 180 O veredicto sobre a TIR Atualmente são poucas as grandes empresas que utilizam o payback ou o retorno contábil como os principais critérios da atratividade de um projeto Muitas empresas utilizam os fluxos de caixa descontados FCD e para muitas empresas FCD significa TIR e não VPL Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 181 O veredicto sobre a TIR Para projetos normais de investimento com fluxo de caixa negativo inicial seguido de uma série de fluxos de caixa positivos não há dificuldades de utilização da taxa interna de retorno para formular decisões simples de aceitaçãorejeição Acreditamos que os gestores financeiros devem se preocupar mais com a armadilha 3 projetos mutuamente excludentes Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 182 O veredicto sobre a TIR Os administradores financeiros nunca percebem todos os projetos possíveis A maioria dos projetos é proposta pelos gestores operacionais Uma empresa que ensina gestores não financeiros a olhar primeiro para a TIR provoca a procura dos projetos com TIR mais elevadas em detrimento dos que têm VPL mais elevados Também encoraja os gestores a modificar a projetos para aumentar a TIR Onde é que normalmente se encontram as TIR mais elevadas Em projetos de curto prazo com pequenas necessidades de investimentos iniciais Esses projetos não poderão acrescentar muito valor à empresa Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 183 Conclusões TIR O desempenho de um investimento depende não só das projeções de caixa mas também da taxa de reinvestimento Cenários recessivos podem reduzir sua taxa de retorno diante de oportunidades menos lucrativas de reinvestimentos Em momentos de expansão da economia os investimentos demonstram maior atratividade determinada pelas melhores condições reaplicação dos fluxos intermediários de caixa Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 184 185 185 Cálculo do Valor Atual Líquido VALA Cálculo do Valor Atual Líquido VALA Investimento Incremental Investimento Incremental Valor atual líquido anualizado VALA Muitas vezes temos que selecionar a melhor proposta entre propostas com vidas desiguais Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 186 Valor atual líquido anualizado VALA Utilizaremos o custo de capital de 18 ao ano e o VAL IL Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 187 Valor atual líquido anualizado VALA A proposta J é superior à proposta I maiores VAL e IL A análise está incompleta propostas mutuamente excludentes É necessário equipararse os prazos para efetuar o julgamento das propostas valor atual líquido anualizado VALA Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 188 Valor atual líquido anualizado VALA O VALA transforma o valor presente líquido de projetos de vidas desiguais num montante anual equivalente em termos de VAL que pode ser usado para escolher a melhor proposta O VALA transforma os VALs correspondentes à vidas úteis dos investimentos em valores anuais equivalentes e permite comparar investimentos com prazos desiguais Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 189 Valor atual líquido anualizado VALA Calcular o valor atual líquido VAL de cada projeto durante a sua via útil empregando o custo de capital apropriado Dividir o valor atual líquido VAL de cada projeto com um VAL positivo pelo fator de valor atual de anuidade relativo a uma série uniforme de pagamentos FVAin ao custo e vida do projeto dado obtendo o valor atual líquido anualizado VALA O projeto com valor atual líquido anualizado VALA mais alto será o melhor Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 190 Valor atual líquido anualizado VALA O FVAin fator de valor atual de uma anuidade relativo a uma série uniforme de pagamentos é calculado utilizando a fórmula abaixo O VALA é calculado pela fórmula abaixo Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 191 Valor atual líquido anualizado VALA Os dados levam a conclusão que a proposta I deverá ser a escolhida devido ao seu maior valor atual líquido anualizado Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 192 Valor final O método do valor final VF ou final value FV envolve o processo inverso do VAL Ao invés de se encontrar o valor atual de um fluxo de caixa determinaremos o valor futuro de tal fluxo de caixa Em vez de descontarmos os fluxos faremos a capitalização dos mesmos pela taxa mínima de atratividade O projeto é viável quando seu valor final VF for positivo e poderá ser aceito Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 193 Valor final Vamos considerar as propostas P e Q com as suas respectivas taxas mínimas de atratividade de 15 e de 25 As duas propostas são viáveis uma vez que seus valores finais VF são positivos Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 194 Investimento incremental Vamos considerar que o valor a investir seja limitado a 350000 e que as duas propostas sejam mutuamente excludentes ou seja podemos aplicar em uma ou em outra e que a taxa mínima de atratividade é 15 Os fluxos das duas propostas estão demonstrados no quadro abaixo investimento fluxos de caixa líquidos em valores correntes projetos inicial ano 1 ano 2 ano 3 soma A 150000 55000 80000 100000 235000 B 350000 120000 180000 220000 520000 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 195 Investimento incremental Os fluxos de caixa líquidos futuros dos Projetos A e B descontados à taxa mínima de atratividade de 15 são de 174069 e 385107 respectivamente conforme quadro abaixo investimento fluxos de caixa líquidos descontados projetos inicial ano 1 ano 2 ano 3 soma A 150000 47826 60491 65752 174069 B 350000 104348 136106 144653 385107 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 196 Investimento incremental Realizamos os cálculos da Taxa Interna de Retorno TIR do Índice de Lucratividade IL e do Valor Atual Líquido VAL e obtivemos os seguintes resultados para cada proposta A melhor alternativa de investimento é o projeto B que apresenta maior valor de VAL embora apresente TIR e IL menores do que os do projeto A critérios de análise projetos TIR IL VAL A 2353 11605 24069 B 2038 11003 35107 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 197 Investimento incremental Para melhor compreensão podemos extrair o fluxo de caixa incremental diferença entre o maior e o menor valor de projeto e calcular sua TIR Se o fluxo de caixa dos projetos A e B for igualado qualquer método IL VAL ou TIR apresentará os resultados idênticos para os dois projetos investiment o fluxos de caixa líquidos em valores correntes projetos inicial ano 1 ano 2 ano 3 soma A 150000 55000 80000 100000 235000 B 350000 120000 180000 220000 520000 B A 200000 65000 100000 120000 285000 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 198 Investimento incremental Calculamos a Taxa Interna de Retorno TIR o Índice de Lucratividade IL e o Valor Atual Líquido VAL do fluxo de caixa incremental projeto B A O fluxo de caixa incremental apresenta TIR de 1798 maior que a TMA e VAL de 11038 Se somarmos ao VAL do projeto B A 11038 o VAL da fluxo de caixa do projeto A 24069 teremos o VAL de 35107 critérios de análise projeto TIR IL VAL B A 1798 10552 11038 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 199 Investimento incremental Se o projeto A fosse implementado o VAL por ele gerado seria de 24069 Sobrariam recursos ociosos de 200000 que seriam aplicados no mercado financeiro à taxa de 15 ao ano O fluxo gerado pela aplicação financeira dos recursos ociosos descontados à taxa de atratividade de 15 ao ano gerará uma valor presente de 200000 produzindo um VAL nulo Portanto a soma do VAL do projeto A com o VAL da aplicação financeira seria de 24069 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 200 Investimento incremental De forma genérica temos Projeto A 150000 x 2353 200000 x 15 35295 30000 65295 Projeto B 350000 x 2038 71330 Então melhor implantar o projeto B Essa análise só se aplica quando as duas propostas têm a mesma duração Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 201 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Caso os projetos tenham duração diferente as alternativas são as seguintes reinvestir o fluxo do projeto de menor duração pela TMA até o final do projeto de maior duração ou utilizar a possibilidade de repetição dos projetos pelo prazo igual ao MMC das durações individuais MMC mínimo múltiplo comum Essa última alternativa só se viabiliza se houver a possibilidade de repetição e os períodos de duração dos projetos forem curtos Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 202 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Sejam dois projetos com TMA de 15 aa Conflito de critérios pelo método da TIR a melhor opção é o projeto A pelo VPL a melhor opção passa a ser o projeto B O problema é o que fazer após o segundo ano se optarmos pelo projeto A fluxos de caixa critérios projetos ano 0 ano1 ano2 ano3 TIR VAL A 100000 55000 80000 2107 8318 B 100000 30000 40000 80000 1950 8934 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 203 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos reinvestir o fluxo do projeto de menor duração projeto A pela TMA até o final do projeto de maior duração projeto B No método do VAL temos que comparar os fluxos numa mesma data Neste caso vamos levar os valores para o futuro ou seja é como se criássemos um método do valor futuro líquido VFL que seria o inverso do VAL Esse critério pressupõe que a empresa consegue reinvestir o VFL auferido pelo projeto A a uma taxa idêntica à taxa de atratividade até o ano 3 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 204 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos reinvestir o fluxo do projeto de menor duração projeto A pela TMA até o final do projeto de maior duração projeto B Projeto A vamos levar os valores para o ano 2 usando a taxa mínima de atratividade TMA dada de 15 data zero 100000 x 1 i2 100000 x 1152 132250 data 1 55000 x 1 i1 55000 x 115 63250 data 2 80000 x 1 i0 80000 x 1 80000 O valor futuro líquido VFL do projeto A na data 2 é de 11000 132250 63250 80000 11000 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 205 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos reinvestir o fluxo do projeto de menor duração projeto A pela TMA até o final do projeto de maior duração projeto B Para igualar os prazos dos dois projetos deveríamos aplicar o valor futuro líquido VFL na data 2 pela taxa mínima de lucratividade TMA por mais um ano e teríamos o projeto A com 3 anos mesma duração do projeto B Isto daria o seguinte para a proposta A VFLA3 11000 x 1 TMA1 11000 x 115 12650 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 206 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos reinvestir o fluxo do projeto de menor duração projeto A pela TMA até o final do projeto de maior duração projeto B Por sua vez o valor futuro líquido VFL do projeto B na data 3 seria data zero 100000 x 1 i3 100000 x 1153 152088 data 1 30000 x 1 i2 30000 x 1152 39675 data 2 40000 x 1 i1 40000 x 115 46000 data 3 80000 x 1 i0 80000 x 1 80000 O valor futuro líquido VFL do projeto B na data 3 é de 13588 152088 39675 46000 80000 13588 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 207 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos reinvestir o fluxo do projeto de menor duração projeto A pela TMA até o final do projeto de maior duração projeto B Na comparação final com os dois projetos com a mesma duração teríamos Nesse caso o melhor projeto pelo VFL seria o projeto B Propostas V F L A 12650 B 13588 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 208 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos aplicar aos mesmos projetos o método do MMC ou seja utilizar a possibilidade de repetição dos projetos pelo prazo igual ao MMC das durações individuais MMC mínimo múltiplo comum Esse critério parte da premissa de que a empresa consegue reinvestir em ativos similares com a suposição de que os ciclos de cada projeto se repetirão até atingir o prazo calculado pelo mínimo múltiplo comum MMC Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 209 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos aplicar aos mesmos projetos o método do MMC ou seja utilizar a possibilidade de repetição dos projetos pelo prazo igual ao MMC das durações individuais MMC mínimo múltiplo comum Assim se fosse possível repetir as propostas a proposta A aconteceria 3 vezes enquanto a proposta B aconteceria 2 vezes ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5 ano 6 proposta A 1ª vez proposta A 2ª vez proposta A 3ª vez proposta B 1ª vez proposta B 2ª vez Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 210 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos aplicar aos mesmos projetos o método do MMC ou seja utilizar a possibilidade de repetição dos projetos pelo prazo igual ao MMC das durações individuais MMC mínimo múltiplo comum A análise final teria os seguintes fluxos proposta A ano 0 ano 1 ano 2 Ano 3 ano 4 ano 5 ano 6 A 1ª vez 100000 55000 80000 A 2ª vez 100000 55000 80000 A 3ª vez 100000 55000 80000 A Total 100000 55000 20000 55000 20000 55000 80000 proposta B ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5 ano 6 B 1ª vez 100000 30000 40000 80000 B 2ª vez 100000 30000 40000 80000 B Total 100000 30000 40000 20000 30000 40000 80000 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 211 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Vamos aplicar aos mesmos projetos o método do MMC ou seja utilizar a possibilidade de repetição dos projetos pelo prazo igual ao MMC das durações individuais MMC mínimo múltiplo comum Para a análise final calculamos a taxa interna de retorno TIR e o valor atual líquido VAL de cada proposta obtendo os resultados abaixo Nesta análise a melhor opção seria a proposta A com 3 repetições Note que tanto a TIR quanto o VAL para o projeto A superam os mesmos parâmetros para o projeto B Propostas TIR VAL A 3 vezes 2107 19362 B 2 vezes 1950 14808 Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 212 Investimento incremental projetos com prazos diferentes Os diferentes resultados obtidos nas duas análises significam que em princípio qualquer um dos dois projetos poderiam ser implementados desde que não fossem mutuamente excludentes e fosse possível sua repetição pela empresa Normalmente essa condição de repetição só se verifica para períodos curtos semanas ou meses e no caso estamos nos referindo a anos Podemos concluir também que para projetos com prazos diferentes o método de VFL ou do VAL apresenta condições melhores de decisão que o método da TIR Fatec Zona Sul Análise de Investimentos 213 214 Taxa Interna de Retorno TIR n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 1 09901 09804 09709 09615 09524 09434 09346 09259 09174 09091 1 2 19704 19416 19135 18861 18594 18334 18080 17833 17591 17355 2 3 29410 28839 28286 27751 27232 26730 26243 25771 25313 24869 3 4 39020 38077 37171 36299 35460 34651 33872 33121 32397 31699 4 5 48534 47135 45797 44518 43295 42124 41002 39927 38897 37908 5 6 57955 56014 54172 52421 50757 49173 47665 46229 44859 43553 6 7 67282 64720 62303 60021 57864 55824 53893 52064 50330 48684 7 8 76517 73255 70197 67327 64632 62098 59713 57466 55348 53349 8 9 85660 81622 77861 74353 71078 68017 65152 62469 59952 57590 9 10 94713 89826 85302 81109 77217 73601 70236 67101 64177 61446 10 11 103676 97868 92526 87605 83064 78869 74987 71390 68052 64951 11 12 112551 105753 99540 93851 88633 83838 79427 75361 71607 68137 12 13 121337 113484 10635 0 99856 93936 88527 83577 79038 74869 71034 13 14 130037 121062 11296 1 105631 98986 92950 87455 82442 77862 73667 14 15 138651 128493 11937 9 111184 10379 7 97122 91079 85595 80607 76061 15 215 Taxa Interna de Retorno TIR n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n 1 09009 08929 08850 08772 08696 08621 08547 08475 08403 08333 1 2 17125 16901 16681 16467 16257 16052 15852 15656 15465 15278 2 3 24437 24018 23612 23216 22832 22459 22096 21743 21399 21065 3 4 31024 30373 29745 29137 28550 27982 27432 26901 26386 25887 4 5 36959 36048 35172 34331 33522 32743 31993 31272 30576 29906 5 6 42305 41114 39975 38887 37845 36847 35892 34976 34098 33255 6 7 47122 45638 44226 42883 41604 40386 39224 38115 37057 36046 7 8 51461 49676 47988 46389 44873 43436 42072 40776 39544 38372 8 9 55370 53282 51317 49464 47716 46065 44506 43030 41633 40310 9 10 58892 56502 54262 52161 50188 48332 46586 44941 43389 41925 10 11 62065 59377 56869 54527 52337 50286 48364 46560 44865 43271 11 12 64924 61944 59176 56603 54206 51971 49884 47932 46105 44392 12 13 67499 64235 61218 58424 55831 53423 51183 49095 47147 45327 13 14 69819 66282 63025 60021 57245 54675 52293 50081 48023 46106 14 15 71909 68109 64624 61422 58474 55755 53242 50916 48759 46755 15 216 Taxa Interna de Retorno TIR n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n 1 08264 08197 08130 08065 08000 07937 07874 07813 07752 07692 1 2 15095 14915 14740 14568 14400 14235 14074 13916 13761 13609 2 3 20739 20422 20114 19813 19520 19234 18956 18684 18420 18161 3 4 25404 24936 24483 24043 23616 23202 22800 22410 22031 21662 4 5 29260 28636 28035 27454 26893 26351 25827 25320 24830 24356 5 6 32446 31669 30923 30205 29514 28850 28210 27594 27000 26427 6 7 35079 34155 33270 32423 31611 30833 30087 29370 28682 28021 7 8 37256 36193 35179 34212 33289 32407 31564 30758 29986 29247 8 9 39054 37863 36731 35655 34631 33657 32728 31842 30997 30190 9 10 40541 39232 37993 36819 35705 34648 33644 32689 31781 30915 10 11 41769 40354 39018 37757 36564 35435 34365 33351 32388 31473 11 12 42784 41274 39852 38514 37251 36059 34933 33868 32859 31903 12 13 43624 42028 40530 39124 37801 36555 35381 34272 33224 32233 13 14 44317 42646 41082 39616 38241 36949 35733 34587 33507 32487 14 15 44890 43152 41530 40013 38593 37261 36010 34834 33726 32682 15 217 Taxa Interna de Retorno TIR n 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 n 1 07634 07576 07519 07463 07407 07353 07299 07246 07194 07143 1 2 13461 13315 13172 13032 12894 12760 12627 12497 12370 12245 2 3 17909 17663 17423 17188 16959 16735 16516 16302 16093 15889 3 4 21305 20957 20618 20290 19969 19658 19355 19060 18772 18492 4 5 23897 23452 23021 22604 22200 21807 21427 21058 20699 20352 5 6 25875 25342 24828 24331 23852 23388 22939 22506 22086 21680 6 7 27386 26775 26187 25620 25075 24550 24043 23555 23083 22628 7 8 28539 27860 27208 26582 25982 25404 24849 24315 23801 23306 8 9 29419 28681 27976 27300 26653 26033 25437 24866 24317 23790 9 10 30091 29304 28553 27836 27150 26495 25867 25265 24689 24136 10 11 30604 29776 28987 28236 27519 26834 26180 25555 24956 24383 11 12 30995 30133 29314 28534 27792 27084 26409 25764 25148 24559 12 13 31294 30404 29559 28757 27994 27268 26576 25916 25286 24685 13 14 31522 30609 29744 28923 28144 27403 26698 26026 25386 24775 14 15 31696 30764 29883 29047 28255 27502 26787 26106 25457 24839 15 marcodias01fatecspgovbr wwwprofmadiasblogspotcombr wwwtwittercomprofmadias FALE COMIGO 218