Matemática Financeira Aplicada - Rogério Paulucci Mauad

Rogério Paulucci Mauad Matemática financeira aplicada Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Jeane Passos de Souza CRB 8a6189 Mauad Rogério Paulucci Matemática financeira aplicada Rogério Paulucci Mauad São Paulo Editora Senac São Paulo 2020 Série Universitária Bibliografia eISBN 9786555361926 ePub2020 eISBN 9786555361933 PDF2020 1 Matemática financeira I Título II Série 201161t CDD 5139 BISAC BUS091000 MAT034000 Índice para catálogo sistemático 1 Matemática financeira 5139 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA Rogério Paulucci Mauad Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Administração Regional do Senac no Estado de São Paulo Presidente do Conselho Regional Abram Szajman Diretor do Departamento Regional Luiz Francisco de A Salgado Superintendente Universitário e de Desenvolvimento Luiz Carlos Dourado Editora Senac São Paulo Conselho Editorial Luiz Francisco de A Salgado Luiz Carlos Dourado Darcio Sayad Maia Lucila Mara Sbrana Sciotti Jeane Passos de Souza GerentePublisher Jeane Passos de Souza jpassosspsenacbr Coordenação EditorialProspecção Luís Américo Tousi Botelho luistbotelhospsenacbr Márcia Cavalheiro Rodrigues de Almeida mcavalhespsenacbr Administrativo João Almeida Santos joaosantosspsenacbr Comercial comercialeditorasenacspcombr Acompanhamento Pedagógico Mônica Rodrigues dos Santos Designer Educacional Wallace Roberto Bernardo Revisão Técnica Maria Carolina Cascino da Cunha Carneiro Preparação e Revisão de Texto Juliana Ramos Gonçalves Projeto Gráfico Alexandre Lemes da Silva Emília Corrêa Abreu Capa Antonio Carlos De Angelis Editoração Eletrônica Michel Iutti Navarro Ilustrações Michel Iutti Navarro Imagens Adobe Stock Epub Ricardo Diana Proibida a reprodução sem autorização expressa Todos os direitos desta edição reservados à Editora Senac São Paulo Rua 24 de Maio 208 3o andar Centro CEP 01041000 São Paulo SP Caixa Postal 1120 CEP 01032970 São Paulo SP Tel 11 21874450 Fax 11 21874486 Email editoraspsenacbr Home page httpwwwlivrariasenaccombr Editora Senac São Paulo 2020 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Sumário Capítulo 1 Fundamentos da matemática financeira 7 1 Porcentagem 9 2 Operações com mercadorias cálculo do preço de venda do preço de custo e da taxa aplicações 10 3 Principais conceitos juros valor presente capital valor futuro montante taxa e diagrama de fluxo de caixa 13 Considerações finais 15 Referências 16 Capítulo 2 Capitalização simples 17 1 Cálculo do valor futuro montante 18 2 Cálculo do valor presente capital 19 3 Cálculo da taxa 20 4 Cálculo do período 21 5 Aplicações soluções algébricas e com uso de HP12C 22 Considerações finais 24 Referências 25 Capítulo 3 Capitalização composta 27 1 Cálculo do valor futuro montante 28 2 Cálculo do valor presente capital 29 3 Cálculo da taxa 30 4 Cálculo do período 31 5 Diferenças entre capitalização simples e composta 31 6 Aplicações soluções algébricas e com uso de HP12C 33 Considerações finais 35 Referências 35 Capítulo 4 Descontos 37 1 Desconto comercial simples 38 2 Desconto comercial composto 39 3 Desconto racional simples 40 4 Desconto racional composto 41 5 Principais diferenças entre desconto comercial e racional 42 6 Aplicações soluções algébricas e com uso de HP12C 43 Considerações finais 47 Referências 48 Capítulo 5 Taxas 49 1 Taxas proporcionais 50 2 Taxas equivalentes 51 3 Taxas nominal e efetiva 52 4 Taxa acumulada 54 5 Taxa média 54 6 Taxas aparente e real 55 Considerações finais 57 Referências 57 Capítulo 6 Equivalência de capitais e análise de alternativa de investimentos 59 1 Equivalência de capitais no regime de capitalização simples 61 2 Equivalência de capitais no regime de capitalização composta 63 3 Método do valor presente líquido VPL VAL ou NPV valor presente líquido na análise de projetos 65 4 Método da taxa interna de retorno TIR usando HP12C 68 5 Aplicações soluções algébricas e com uso da HP12C 71 Considerações finais 73 Referências 74 6 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 7 Série de pagamentos ou rendas 75 1 Séries de pagamentos postecipados 76 2 Séries de pagamentos antecipados 80 3 Séries de pagamentos diferidas 82 4 Aplicações soluções algébricas e com uso da HP12C 84 Considerações finais 88 Referências 88 Capítulo 8 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 89 1 Sistema Price de amortização ou tabela Price principais características e aplicações no cotidiano 90 2 Sistema de amortização constante SAC principais características e aplicações no cotidiano 92 3 Comparação entre o sistema SAC e a tabela Price 95 4 Sistema de amortização misto 98 5 Sistema de amortização americano 101 6 Principais aplicações no cotidiano 102 Considerações finais 104 Referências 105 Sobre o autor 107 7 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 1 Fundamentos da matemática financeira Neste livro abordaremos conceitos e tópicos muito utilizados no dia a dia da matemática financeira tais como taxas de juros descontos risco lucro e prejuízo Ao longo dos oito capítulos estudaremos como calcular preços valores presentes e futuros e taxa interna de retorno além de comparar os diversos sistemas de amortização de emprésti mos e financiamentos Podemos conceituar o estudo da disciplina matemática financeira sob diversos ângulos Sua definição mais tradicional envolve calcular o valor do dinheiro no tempo Camargos 2013 fornece algumas questões que exemplificam como o dinheiro tem um custo associado ao tempo 8 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Qual o valor a ser resgatado daqui a dois anos de uma quantia nominal de R 100000 depositada hoje Qual deve ser o valor do pagamento de uma dívida de R 500000 seis meses antes do vencimento Pretendo financiar a compra de meu apartamento em 20 anos com uma taxa de juros de 9 ao ano Qual será o valor da minha prestação Esses exemplos simples envolvem uma quantia monetária e um dado período Percebemos que o tempo meses anos é uma variável fundamental para apurar o valor correto do dinheiro Para responder a essas questões devemos realizar alguns cálculos que envolvem taxas de juros descontos e sistemas de amortização de empréstimos con ceitos extraídos da matemática financeira que fornece as técnicas para apurar o valor correto do dinheiro em diversos períodos Castelo Branco 2015 atribui também conceitos sociais e pedagó gicos à matemática financeira definindoa como o segmento da ma temática que permite aos indivíduos exercer sua cidadania e conhecer a linguagem de alfabetização em uma sociedade capitalista em que relações se expressam por intermédio de termos financeiros como a realização de investimentos a obtenção de empréstimos bancários os financiamentos imobiliários e a análise de balanços de empresas Com a ajuda da matemática financeira um indivíduo encontrará as ferramen tas mais eficazes para auxiliar suas decisões financeiras em busca da melhor alocação para seus recursos evitando por exemplo taxas de juros altas muito praticadas em certas modalidades de empréstimos bancários e financiamentos de bens de consumo Neste primeiro capítulo iniciaremos o estudo da matemática finan ceira com porcentagem aprenderemos a calcular taxas de juros e pre ços e a definir capital montante e fluxos de caixa conceitos que se fa zem presentes em nosso cotidiano 9 Fundamentos da matemática financeira Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Porcentagem A palavra porcentagem ou percentagem é derivada da expressão latina per centum cujo significado é por cento ou para cada centena Pode ser definida como uma razão divisão de um número pela base cem 100 Segundo Camargos 2013 ela é muito utilizada para estu dar o valor de variação de uma grandeza de ordem financeira ou não A porcentagem é representada pelo símbolo O cálculo da porcentagem é relativamente simples Dividese um va lor por 100 e multiplicase pela quantia da qual se deseja extrair a por centagem como no primeiro exemplo a seguir 1 Quanto é 65 de R 40000 65 de R 40000 R 40000 65 100 065 R 40000 R 26000 Resposta 65 de R 40000 é igual a R 26000 No próximo exemplo o raciocínio de cálculo será o mesmo 2 Preciso pagar uma porcentagem de 675 a título de comissão de corretagem sobre o preço de venda do meu apartamento que foi de R 50000000 Quanto devo pagar 675 de R 50000000 R 50000000 675 100 00675 R 50000000 R 3375000 Resposta a comissão de 675 sobre o preço de venda de meu apartamento é de R 3375000 10 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Podemos responder a este segundo exemplo com o uso da calcula dora financeira HP12C 500000 ENTER 675 33750 2 Operações com mercadorias cálculo do preço de venda do preço de custo e da taxa aplicações A partir do cálculo da porcentagem encontramos os preços de ven da de custo e o lucro de uma mercadoria 21 Cálculo do preço de venda a partir da determinação do lucro O preço de venda de uma determinada mercadoria deve abranger o preço de custo e o lucro desejado pelo produtor ou comerciante No exemplo a seguir demonstramos esse cálculo Exemplo 1 um comerciante pagou por uma mercadoria a quantia de R 95000 Por quanto deverá vendêla para obter um lucro bruto de 35 O primeiro passo será calcular o lucro bruto desejado pelo comerciante Lucro desejado 35 de R 95000 R 95000 35 100 035 R 95000 R 33250 11 Fundamentos da matemática financeira Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto o lucro bruto desejado pelo comerciante é de R 33250 Na sequência somamos o lucro ao preço de custo para obtermos o preço de venda da mercadoria Preço de venda R 95000 R 33250 R 128250 O comerciante deverá vender a mercadoria por R 128250 para ob ter um lucro bruto de 35 visto que pagou R 95000 por ela Podemos resolver esse mesmo problema multiplicando o preço de custo por 100 mais o percentual desejado de lucro Nesta resolução 100 representa 100 do preço de custo ou seja R 95000 e 035 corresponde ao lucro de 35 desejado pelo comerciante Preço de venda Preço de custo 1 de lucro Preço de venda R 95000 135 R 128250 Respondendo a esse exemplo com o uso da calculadora financeira HP12C temos 950 ENTER 135 X 128250 22 Cálculo do preço de custo a partir do lucro O custo inicial de uma mercadoria também chamado de valorbase para cálculo do lucro e do preço de venda CASTELO BRANCO 2015 é encontrado pela seguinte fórmula Custo inicial Total do lucro Percentual do lucro 12 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Utilizando essa fórmula no exemplo anterior vamos calcular a partir do lucro do comerciante na venda da mercadoria e de seu percentual de lucro o seu custo inicial Custo inicial R 95000 R 33250 035 Realizamos portanto uma operação inversa à anterior quando cal culamos o lucro a partir do preço de custo da mercadoria e do percen tual de lucro Essa mesma operação pode ser realizada com o auxílio da calcula dora financeira HP12C 33250 ENTER 035 95000 23 Cálculo da taxa com base no preço de venda e no preço de custo Para encontrarmos a taxa percentual do lucro a partir do preço de venda da mercadoria e do lucro obtido na transação utilizamos a se guinte fórmula Taxa percentual de lucro 1 100 Preço de venda Preço de custo Assim vamos calcular a taxa percentual de lucro do exemplo Taxa percentual de lucro 1 100 R 128250 R 95000 Taxa percentual de lucro 135 1 100 35 13 Fundamentos da matemática financeira Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Realizando essa operação com a calculadora financeira HP12C temos 12825 ENTER 950 1 100 X 35 3 Principais conceitos juros valor presente capital valor futuro montante taxa e diagrama de fluxo de caixa No estudo da matemática financeira devemos fixar alguns concei tos básicos como juro capital montante taxa e fluxos de caixa Juro é a remuneração do capital investido VANNUCCI 2017 ou o alu guel pago pelo uso de uma quantia pertencente a um terceiro CAMARGOS 2013 Os juros são pagos por quem tomou emprestado uma quantia por um determinado período e são recebidos por quem a emprestou Capital principal ou valor presente é o recurso financeiro ou a quan tia expressa em moeda cujo uso será remunerado pelo pagamento do juro Portanto o juro também pode ser entendido como o preço pago pelo uso de um capital por certo período ASSAF NETO 2017 Com base nesses conceitos definimos a taxa de juros i como a razão entre o juro J e o capital ou valor presente PV present value multiplicada por 100 para ser expressa em termos percentuais 14 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo i 100 J PV Segundo Assaf Neto 2017 as taxas de juros devem ser eficientes de modo a remunerar o risco envolvido na aplicação a perda do poder de compra do capital decorrente da inflação e o lucro do proprietário do capital para compensar sua privação em determinado período Já o montante ou valor futuro FV future value é a soma do capi tal ou valor presente PV com o juro J FV PV J Período ou prazo por sua vez é o tempo expresso em dias sema nas meses anos ou outra unidade temporal que o capital aplicado a uma determinada taxa de juros necessita para produzir um montante CASTELO BRANCO 2015 Vejamos a utilização desses conceitos na prática a partir de um exemplo Exemplo 2 um capital de R 820000 investido em um fundo de renda fixa por um determinado período obteve um rendimento total de R 68000 Calcule a taxa de juros i e o montante ou valor futuro FV a ser resgatado pelo investidor i 100 82927 pelo período investido R 68000 R 820000 FV R 820000 R 68000 R 880000 15 Fundamentos da matemática financeira Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O diagrama dos fluxos de caixa por fim identifica as entradas e sa ídas de recursos durante um horizonte de tempo É de grande utilidade para as operações de matemática financeira pois permite que se visu alizem no tempo os movimentos que ocorrem com o capital ASSAF NETO 2017 A linha horizontal representa os diversos períodos e as linhas verticais ascendentes e descendentes representam respectiva mente as entradas e saídas de recursos como no exemplo ilustrativo a seguir Exemplo 3 um credor empresta a quantia de R 1000000 para pa gamento em 5 parcelas mensais de R 225000 Temos o seguinte dia grama de fluxos de caixa que representa a saída inicial e as cinco entra das de recursos para o credor 1º mês 225000 1000000 2º mês 225000 3º mês 225000 4º mês 225000 5º mês 225000 Considerações finais Neste capítulo aprendemos os primeiros conceitos de matemática financeira como porcentagem juro capital montante e taxa de juros com aplicações práticas no cálculo do preço de custo no preço de ven da e no lucro de operações com mercadorias Conhecemos o diagrama de fluxo de caixa e sua importância para analisar as entradas e saídas de dinheiro em um horizonte de tempo O estudo da matemática financeira é essencial para evitarmos as chamadas armadilhas financeiras comuns em nosso cotidiano e que podem gerar péssimas decisões e prejuízos Um exemplo é o da compra financiada de um bem durável Financiar um automóvel para 16 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo pagamento em 60 meses com taxas de juros de 250 ao mês significa após cinco anos ter pago quase dois veículos No Brasil um país de passado inflacionário e com tradição de altas taxas de juros as disci plinas ligadas à educação financeira da população com destaque para a matemática financeira exercem papel fundamental pois preparam o indivíduo para alocar melhor seus recursos orçamentários melhorando a qualidade de suas decisões financeiras Nos próximos capítulos aprofundaremos os estudos e conhecere mos conceitos e aplicações práticas que permitem gerir melhor o capi tal nas decisões financeiras Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira edição universitária São Paulo Atlas 2017 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos 1 ed São Paulo Saraiva 2013 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método al gébrico HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 VANNUCCI Luiz Roberto Matemática financeira e engenharia econômica princípios e aplicações 2 ed São Paulo Blucher 2017 17 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 2 Capitalização simples Em um investimento ou empréstimo devemos conhecer como os ju ros periódicos serão calculados e acrescentados ao capital No regime de juros simples os juros periódicos são determinados com base ape nas no capital inicial enquanto no regime de juros compostos eles são calculados com base no capital inicial acrescido dos juros capitalizados pagos nos períodos anteriores Os regimes de juros simples e compostos levam a resultados ab solutamente diferentes quanto ao montante final A capitalização com posta fará o capital inicial crescer a uma taxa maior em razão dos juros periódicos serem computados sobre um capital cada vez maior resul tado da soma dos juros anteriores ao principal Neste capítulo iniciaremos o estudo do regime de capitalização de juros simples também conhecido como método linear Embora seja pouco utilizado em investimentos e financiamentos o conhecimento do regime de juros simples proporciona uma visão de como os juros credi tados periodicamente fazem crescer o capital inicial 18 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Cálculo do valor futuro montante No regime de capitalização simples os juros são gerados exclusiva mente pelo capital inicial investido CAMARGOS 2013 Segundo Assaf Neto 2017 o regime de capitalização simples comportase como se fosse uma progressão aritmética PA pois à medida que os juros fo rem creditados ao capital o montante crescerá de forma linear ao longo do tempo Assim os juros na capitalização simples após capitalizados ao principal não renderão mais juros nos próximos períodos e sempre incidirão apenas sobre o valor do capital inicial CASTELO BRANCO 2015 Por exemplo um capital inicial de R 100000 aplicado pelo prazo de 5 anos com uma taxa de juros de 12 ao ano em regime de capita lização simples gerará um montante final de R 160000 Na tabela 1 apresentamos a evolução do montante ao final de cada ano cujo cres cimento linear de R 12000 por ano se verifica à medida que os juros são pagos e incorporados ao capital capitalizados Tabela 1 Regime de capitalização simples ANO CAPITAL PRINCIPAL OU VALOR PRESENTE PV JUROS CREDITADOS AO CAPITAL A CADA ANO J MONTANTE OU VALOR FUTURO DE CADA ANO FV 1º ano R 100000 1000 12 R 12000 R 112000 2º ano R 100000 1000 12 R 12000 R 124000 3º ano R 100000 1000 12 R 12000 R 136000 4º ano R 100000 1000 12 R 12000 R 148000 5º ano R 100000 1000 12 R 12000 R 160000 No capítulo anterior aprendemos que o juro J de um período é igual ao capital ou valor presente PV multiplicado pela taxa de juros do pe ríodo i 19 Capitalização simples Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo J PV i Portanto a partir desse exemplo temos que o total de juros J a se rem creditados ao capital PV em um regime de capitalização simples é igual ao juro de um período multiplicado pelo número de períodos n Podemos então deduzir a fórmula dos juros simples J PV i n Na sequência derivamos a fórmula para cálculo do montante ou va lor futuro FV FV PV J FV PV PV i n FV PV 1 i n Exemplo 1 um indivíduo depositou R 500000 em uma conta re munerada que rende taxas de juros mensais de 05 em regime de ca pitalização simples Sabendo que ele pretende sacar seu dinheiro daqui a dois anos qual será o montante ou valor futuro que ele irá levantar Nesse exemplo a taxa de juros está expressa em termos mensais e o período está expresso em termos anuais Será necessário multiplicar a taxa mensal por 24 para encontrarmos a taxa de juros correspondente ao período de capitalização de dois anos FV R 500000 1 0005 24 FV R 500000 112 R 560000 2 Cálculo do valor presente capital No regime de capitalização simples calculamos o capital ou valor presente com a seguinte equação PV J i n 20 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Exemplo 2 determinar o principal ou valor presente que capitalizado em regime simples a uma taxa mensal de 082 durante 7 meses ren deu um juro de R 45920 Ao colocarmos os dados na fórmula temos PV R 800000 45920 00082 7 Conhecendo o montante ou valor futuro a taxa de juros e o número de períodos encontramos também o capital inicial ou valor presente PV FV 1 i n Exemplo 3 um poupador depositou uma certa quantia em um fun do que rende uma taxa de juros de 09 ao mês em regime de capi talização simples Ao final de doze meses resgatou a quantia de R 1440400 Quanto foi a quantia originalmente depositada Devemos observar primeiro se a taxa de juros e o período estão expressos na mesma unidade de tempo No exemplo taxa de juros e período estão expressos em termos mensais Caso estivessem ex pressos em unidades de tempo diferentes seria necessário igualálos antes de iniciar o cálculo Resolvendo o exercício de forma algébrica temos PV R 1300000 14404 1 0009 12 O poupador depositou R 1300000 e após 12 meses de capitaliza ção simples com taxas de juros de 09 ao mês resgatou R 1440400 3 Cálculo da taxa Colocando a taxa de juros i em evidência na fórmula de juros sim ples obtemos a equação 21 Capitalização simples Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Exemplo 4 um capital de R 400000 depositado em um banco pelo período de 18 meses rendeu R 47000 em juros Determinar qual a taxa de juros mensal que incidiu nessa aplicação Podemos também determinar a taxa de juros total que incide em uma capitalização simples a partir do capital do montante e do período Exemplo 5 um capital de R 500000 aplicado por 14 meses gerou um montante de R 595000 Determinar a taxa de juros total para o período da aplicação Como se trata de capitalização simples para conhecermos a taxa mensal dividimos a taxa de juros total do período pelo número de me ses efetuando a proporcionalidade 4 Cálculo do período Para calcular o período basta colocálo em evidência a partir da fór mula do juro simples i J PV n i 0006528 ou 06528 ao mês 47000 400000 18 i 1 FV PV i 1 i 19 em 14 meses 5950 5000 i mensal 13571 ao mês 19 14 n J PV i 22 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Exemplo 6 um indivíduo tomou emprestado R 600000 e deverá pagar R 90000 de juros Sabendo que a taxa de juros mensal é de 3 e que o regime de capitalização é linear qual o prazo do empréstimo n n 5 meses 900 600000 003 5 Aplicações soluções algébricas e com uso de HP12C Nas aplicações práticas os juros o capital o montante a taxa de juros e o período podem ser encontrados com cálculos algébricos ou com o uso da calculadora financeira HP12C Exemplo 7 um capital de R 500000 é aplicado a uma taxa de juros simples de 085 ao mês durante 24 meses Determine o juro recebido e o montante ou valor futuro Temos então que PV R 5000 i 085 ao mês e n 24 meses Devemos encontrar J e FV Para efetuarmos o cálculo temos de utilizar a fórmula dos juros simples J PV i n e FV PV J J 500000 00085 24 R 102000 FV R 500000 R 102000 R 602000 Com a calculadora HP12C efetuamos o mesmo cálculo 5000 ENTER 085 24 X 23 Capitalização simples Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1020 5000 6020 As respostas serão juros de R 102000 e montante de R 602000 Uma alternativa ao cálculo em regime de capitalização simples utili za as teclas financeiras da calculadora HP12C Para tanto nesse exem plo será necessário converter a taxa mensal para a taxa anual multi plicandoa por 12 e o período de meses para dias multiplicandoo por 30 Temos então i 1020 ao ano e n 720 dias Digitamos o valor do capital e a tecla CHS para transformar o valor em negativo pois o depó sito representa uma saída Os passos na HP12C serão 5000 CHS PV 102 i 720 n f INT 1020 6020 Exemplo 8 calcular o juro e o montante de uma aplicação de R 200000 pelo período de um ano no regime de capitalização simples com uma taxa de 075 ao mês J PV i n 200000 00075 12 R 18000 FV PV j 200000 18000 R 218000 24 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Utilizando a HP12C convertemos um ano para 360 dias n e 075 ao mês para 9 ao ano i 360 n 9 i 2000 CHS PV f INT 180 2180 Considerações finais Neste capítulo estudamos a capitalização simples regime em que os juros periódicos incidem apenas sobre o capital inicial ou principal e não sobre os juros acumulados VIEIRA SOBRINHO 2007 No mercado financeiro utilizamse os juros simples apenas para operações de cur tíssimo prazo inferiores a um mês e em operações bancárias como o desconto de duplicatas O regime de capitalização simples também é utilizado para cobran ças de dívidas em casos de inadimplência como nas contas referentes ao consumo de água luz e gás em que a multa pelo não pagamento será de no máximo 2 sobre o valor da dívida e os juros de mora de terminados por lei serão de até 1 ao mês ou 0033 por dia de atraso No próximo capítulo estudaremos o regime de juros em capitaliza ção composta amplamente utilizado no mercado financeiro e em suas aplicações práticas para investidores e devedores 25 Capitalização simples Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira edição universitária São Paulo Atlas 2017 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método al gébrico HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 VIEIRA SOBRINHO José Dutra Matemática financeira edição compacta 3 ed São Paulo Atlas 2007 27 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 3 Capitalização composta No regime de capitalização composta os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante ASSAF NETO 2017 Eles são popularmente conhecidos como juros sobre juros por que ao contrário da capitalização simples os juros do período anterior quando capitalizados ao principal renderão novos juros para o próximo período Nesse regime o montante crescerá de forma exponencial se melhante a uma progressão geométrica PG Uma citação atribuída ao físico alemão Albert Einstein caracteriza os juros compostos como a força mais poderosa do universo A capitalização composta é utilizada no sistema financeiro para remu nerar as aplicações e os investimentos e calcular as prestações em um fi nanciamento Nos investimentos os juros compostos são uma excelente ferramenta para acumular riqueza pois potencializam o crescimento do montante Contudo como também são adotados em algumas modalida des de crédito aumentam também o montante total das dívidas 28 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Neste capítulo estudaremos as fórmulas de cálculo utilizadas no regime de capitalização composta e compararemos o crescimento do montante entre ambos os regimes simples e composto 1 Cálculo do valor futuro montante Segundo Vieira Sobrinho 2007 na capitalização composta o con ceito de montante é o mesmo que o da capitalização simples a soma do capital aplicado ou devido acrescido do valor dos juros correspon dentes ao prazo de aplicação ou da dívida A cada período os juros já pagos e acrescidos ao capital renderão novos juros o que fará o mon tante crescer de forma mais rápida Por exemplo um capital inicial de R 100000 aplicado pelo prazo de 5 anos com uma taxa de juros de 12 ao ano em regime de capitaliza ção composta gerará um montante final de R 176234 Na tabela 1 apresentamos a evolução do montante ao final de cada ano cujo cres cimento exponencial ocorre à medida que os juros do período são incor porados ao capital e renderão novos juros para os próximos períodos Tabela 1 Regime de capitalização composta ANO CAPITAL PRINCIPAL OU VALOR PRESENTE PV JUROS CREDITADOS AO CAPITAL A CADA ANO J MONTANTE OU VALOR FUTURO DE CADA ANO FV 1º ano R 100000 100000 12 R 12000 R 112000 2º ano R 112000 112000 12 R 13440 R 125440 3º ano R 125440 125440 12 R 15053 R 140493 4º ano R 140493 140493 12 R 16859 R 157352 5º ano R 157352 157352 12 R 18882 R 176234 Portanto a partir desse exemplo temos que o montante ou valor futuro FV future value em um regime de capitalização composta é 29 Capitalização composta Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo igual ao capital ou valor presente PV present value multiplicado por um mais a taxa de juros i e elevado ao número de períodos de capita lização n FV PV 1 i 1 i 1 i 1 i FV PV 1 i n Exemplo 1 um indivíduo depositou R 1000000 em um fundo de investimentos que rende taxas de juros mensais de 05 em regime de capitalização composta pelo prazo de três anos Qual foi o montante ou valor futuro levantado Neste exemplo a taxa de juros está expressa em termos mensais e o período está expresso em termos anuais Para encontrarmos o mon tante após o período de capitalização devemos somar um à taxa de juros mensal e eleválos por 36 multiplicando este resultado obtido pelo capital aplicado FV 1000000 1 000536 FV 1000000 119668 R 1196681 2 Cálculo do valor presente capital Para calcularmos o capital ou valor presente PV em uma capitaliza ção composta colocamos esse termo em evidência que será igual ao valor futuro FV dividido por um mais a taxa de juros i elevados ao número de períodos de capitalização PV FV 1 iⁿ Exemplo 2 após dois anos de aplicação um investidor resgatou a quantia de R 5568890 Sabendo que a taxa de juros mensal era de 30 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 045 capitalizados de forma composta qual a quantia originalmente depositada Utilizando a fórmula temos PV R 5000000 5568890 1 0004524 3 Cálculo da taxa Para encontrarmos a taxa de juros i em uma capitalização compos ta basta colocála em evidência a partir das fórmulas anteriores 1 iⁿ FV PV 1 i n 1 FV PV i n 1 ou i ⁿ 1 1 FV PV FV PV Em seguida multiplicase o resultado obtido por 100 para expressar a taxa de juros em termos percentuais Exemplo 3 Carlos investiu R 2000000 pelo prazo de 5 anos e res gatou ao final desse período R 3850000 Calcular a taxa de juros mensal sabendo que o regime de capitalização desse investimento é composto Em primeiro lugar precisamos converter o período de 5 anos em meses multiplicandoo por 12 pois o enunciado pergunta qual a taxa mensal de juros Na sequência aplicando a fórmula temos n 5 anos 12 60 meses i 60 1 100 i 10975 ao mês 3850000 1 2000000 31 Capitalização composta Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4 Cálculo do período Segundo Castelo Branco 2015 o cálculo do período no regime de capitalização composta não é possível por meio de uma forma descom plicada como na capitalização simples No entanto como o período n é expresso originalmente como uma potência para calculálo de forma algébrica devemos recorrer às propriedades dos logaritmos 1 in FV PV In FV PV n ou n In 1 i InFV InPV In 1 i Exemplo 4 calcular o prazo necessário para que uma quantia de R 1500000 dobre de valor com uma taxa de juros de 045 ao mês Aplicando a fórmula algébrica temos In 3000000 1500000 n In 1 00045 n In 2 In 10045 n 15437 0693147 00044899 In 3000000 1500000 n In 1 00045 n In 2 In 10045 n 15437 0693147 00044899 Como os juros são capitalizados apenas ao final de cada mês a res posta será 155 meses 5 Diferenças entre capitalização simples e composta As diferenças entre os dois regimes de capitalização de juros são facilmente perceptíveis nos juros periódicos e no montante fi nal Na capitalização composta haverá o crescimento exponencial 32 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo do montante enquanto na capitalização simples ocorrerá o cresci mento linear CAMARGOS 2013 Para ilustrar as diferenças entre ambos os regimes vejamos na tabela 2 a evolução do montante de uma quantia de R 1000000 aplicada a uma taxa de juros de 10 ao ano pelo período de 7 anos em capitalização simples e capitalização composta Tabela 2 Evolução do montante capitalização simples e capitalização composta ANO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA PV JUROS FV PV JUROS FV 1 R 1000000 R 100000 R 1100000 R 1000000 R 100000 R 1100000 2 R 1000000 R 100000 R 1200000 R 1100000 R 110000 R 1210000 3 R 1000000 R 100000 R 1300000 R 1210000 R 121000 R 1331000 4 R 1000000 R 100000 R 1400000 R 1331000 R 133100 R 1464100 5 R 1000000 R 100000 R 1500000 R 1464100 R 146410 R 1610510 6 R 1000000 R 100000 R 1600000 R 1610510 R 161051 R 1771561 7 R 1000000 R 100000 R 1700000 R 1771561 R 177156 R 1948717 As diferenças entre os montantes anuais nos dois regimes também são observadas quando transportamos os resultados de cada ano para um gráfico Apenas no período inicial período 1 os resultados serão idênticos Conforme os períodos vão se sucedendo os juros pagos na capitalização composta ficarão maiores juros sobre juros e farão o montante crescer de forma exponencial enquanto na capitalização simples ele crescerá linearmente 33 Capitalização composta Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Gráfico 1 Capitalização simples x capitalização composta R 2000000 R 1900000 R 1800000 R 1700000 R 1600000 R 1500000 R 1400000 R 1300000 R 1200000 R 1100000 R 1000000 7 6 5 4 3 2 1 Simples Composta 0 6 Aplicações soluções algébricas e com uso de HP12C Os cálculos de valor presente valor futuro taxa de juros e período podem ser realizados de forma algébrica ou com o uso das teclas finan ceiras da calculadora financeira HP12C Exemplo 5 determine o montante ou valor futuro de um capital de R 5000000 aplicado a uma taxa de juros de 075 ao mês em capita lização composta pelo período de 3 anos Temos PV R 5000000 i 075 ao mês e n 36 3 12 Pedese para encontrar o FV A solução algébrica será FV 5000000 1 0007536 R 6543227 Refazemos o mesmo cálculo utilizando as teclas financeiras da cal culadora HP12C 34 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 50000 CHS PV 075 i 36 n FV 6543227 Exemplo 6 um capital de R 10000000 aplicado por quatro anos com capitalizações mensais gerou um valor futuro de R 15700000 Qual foi a taxa de juros dessa aplicação Temos PV R 10000000 n 48 4 12 e FV R 15700000 Pedese para encontrar a taxa de juros mensal i A solução algébrica será i 48 1 100 094417 ao mês 15700000 10000000 1 Encontramos o mesmo resultado com o uso das teclas financeiras da calculadora HP12C 100000 CHS PV 157000 FV 48 n i 094417 35 Capitalização composta Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Considerações finais Neste capítulo aprendemos o regime de capitalização composta em que os juros periódicos incidem sobre o capital inicial acrescidos dos juros pagos nos períodos anteriores Esse método de capitalização é amplamente utilizado no mercado financeiro tanto para investimen tos quanto para financiamentos Em razão do crescimento exponencial do montante a capitalização composta é um método eficaz para multiplicar um capital e acumular riqueza e por isso os investidores procuram sempre utilizar os juros compostos em seu favor Todavia quando o indivíduo se encontra em posição desfavorável frente aos juros compostos verá o montante de sua dívida crescer exponencialmente fato muito comum nas modalida des de crédito mais caras como cheque especial ou cartão de crédito nas quais se praticam taxas de juros muito altas que capitalizadas de forma composta farão crescer o montante transformandoo em uma grande dívida No próximo capítulo abordaremos os conceitos de descontos ante cipação e liquidação de dívidas e títulos Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira edição universitária São Paulo Atlas 2017 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método al gébrico HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 VIEIRA SOBRINHO José Dutra Matemática financeira edição compacta 3 ed São Paulo Atlas 2007 37 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 4 Descontos Para estudarmos os descontos tema deste capítulo 4 devemos conhecer os conceitos básicos de títulos de crédito documentos que representam dívidas e obrigações a serem pagas em um momento futuro Os principais títulos de crédito emitidos no mercado brasilei ro são a nota promissória a letra de câmbio a duplicata e o cheque Empresas emitem duplicatas que deverão ser pagas por seus clientes e que são extraídas de notas fiscais de vendas de mercadorias a pra zo Comerciantes aceitam receber pelas vendas de bens ou serviços cheques prédatados que representam promessas de pagamento em datas futuras Por intermédio dos títulos de crédito os bens e serviços circulam entre os diversos agentes da economia 38 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Uma operação de desconto consiste em efetuar o resgate de um título de crédito antes de seu vencimento e nessa operação o detentor do título tem um abatimento sobre o valor nominal ou de face em razão da antecipação CAMARGOS 2013 Assaf Neto 2017 destaca que a operação de liquidar um título antes de seu vencimento envolve uma recompensa ou um desconto no valor nominal pelo pagamento ante cipado Portanto o desconto é a diferença entre o valor de face do títu lo também conhecido como valor nominal ou valor futuro FV future value e o valor efetivamente pago em razão da antecipação também chamado de valor atual ou valor presente PV present value Os descontos são amplamente praticados nas operações empresa riais e facilitam a obtenção pelas empresas de recursos de curto prazo capital de giro Em vez de esperar muitos meses pelo recebimento de suas vendas a prazo a empresa procura uma instituição financeira e cede a esta seus títulos de crédito a vencer em data futura recebendo o valor nominal diminuído do desconto calculado em razão do tempo res tante até o vencimento do título São operações realizadas nos regimes de juros simples ou compostos e são classificadas como desconto ra cional ou por dentro e desconto bancário ou comercial ou por fora 1 Desconto comercial simples O desconto comercial ou bancário simples incide sobre o valor no minal do título Castelo Branco 2015 defineo como o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal antes de seu vencimento Segundo Assaf Neto 2017 a modalidade de desconto por fora é am plamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo Calculamos o desconto comercial no regime de juros simples pela fórmula Dcs N i n 39 Descontos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Em que Dcs desconto comercial simples N valor nominal do título i taxa de desconto periódica da operação e n prazo de antecipação isto é número de períodos verificados antes do vencimento do título O valor descontado por fora é calculado de forma linear ou seja o valor que o empresário ou o comerciante efetivamente recebe do banco na operação será VCS N DCS VCS N N i n VCS N 1 i n Exemplo 1 um título de valor nominal de R 1000000 é liquidado 5 meses antes de seu vencimento A taxa de desconto adotada é de 2 ao mês Calcular o desconto comercial simples e o valor descontado dessa operação DCS N i n DCS 1000000 002 5 R 100000 VCS N 1 i n ou VCS N DCS VCS 1000000 100000 R 900000 2 Desconto comercial composto Segundo Camargos 2013 o desconto comercial ou bancário com posto caracterizase pela incidência sucessiva da taxa de desconto so bre o valor nominal do título deduzindose em cada período os descon tos obtidos nos períodos anteriores Em razão das altas taxas de juros praticadas no país sua utilização sempre foi limitada VCC N 1 i n Exemplo 2 um titulo cujo valor nominal é de RS 1500000 é utiliza 3 do em uma operagao de desconto comercial composto seis meses an 8 tes de seu vencimento e com taxa de desconto de 22 ao més Calcule 3 o valor descontado por fora e o desconto composto VNi V 1500000 1 0022 R 1312576 DNV ou DN11i 1500000 1312576 R 187424 5 3 Desconto racional simples O desconto racional simples 6 aquele em que a taxa de juros incide 2 sobre o valor atual do titulo calculado sob o regime da capitalizagao 3 simples ou linear Segundo Camargos 2013 esta 6 uma operagao pou 5 co utilizada no mercado brasileiro O valor do desconto racional simples 8 é igual ao dos juros calculados sobre o valor presente PV do regime de capitalizagao simples como nas formulas a seguir a DVien i D Nuin 1in D N V V x 5 n i 1 g i V 5 j 4 a1 i n V 3 40 Matematica financeira aplicada Em que D desconto racional simples V valor presente valor 8 descontado ou valor atual do titulo N valor nominal do titulo i taxa é de juros en numero de periodos Exemplo 3 um titulo de valor nominal de RS 1600000 vencivel em 5 um ano sera liquidado cinco meses antes do vencimento Sendo 23 3 3 ao més a taxa de juros calcule o desconto racional simples e o valor S presente ou valor descontado do titulo 3 g D Nin a 1in D 160000000235 D R 165022 Z s 1 00235 s V N D f V 1600000 165022 R 1434978 4 Desconto racional composto 8 O desconto racional composto é caracterizado pela incidéncia su a cessiva da taxa de desconto sobre o valor presente ou atual do titulo o qual é deduzido em cada periodo dos descontos obtidos em periodos 3 anteriores CAMARGOS 2013 Nessa operacao utilizase o regime de 8 capitalizagdo composto e as formulas de calculo sao semelhantes as empregadas para os juros compostos 3 v 3 1 i 2 D N Vi 5 DN N s 1 i g DN 1 3 1 i 5 Descontos AI 42 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Em que Drc desconto racional composto Vrc valor atual valor des contado ou valor presente do título N valor nominal ou valor futuro i taxa de juros e n número de períodos Essa é uma operação muito utilizada para precificar títulos públicos federais como as Letras do Tesouro Nacional LTN que serão resgata das pelo seu valor nominal também chamado de valor de face Exemplo 4 calcule o valor atual ou valor presente de um título públi co com valor nominal de R 100000 e o desconto racional composto em relação ao seu valor de face 540 dias úteis antes de seu vencimento e cujas taxas de juros são de 5 ao ano Em primeiro lugar como a taxa de juros está expressa em termos anuais e o período em dias úteis devemos convertêlos para a mesma unidade de tempo Passamos então o período de 540 dias úteis para ano lembrando que de acordo com o critério do Banco Central do Brasil um ano tem em média 252 dias úteis n anos 540 252 Vrc N 1 iⁿ Vrc R 90073 100000 1 05252 540 Drc N Vrc 100000 90073 R 9927 5 Principais diferenças entre desconto comercial e racional Vamos fazer uma análise comparativa dos dois sistemas de descon to em suas formas simples e composta ilustrandoa com o exemplo a seguir 43 Descontos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Um título com valor nominal de R 20000 foi descontado 5 meses antes de seu vencimento A taxa de desconto é de 2 ao mês Ao calcu larmos o valor do desconto e o valor presente nas quatro formas estu dadas neste capítulo encontramos os resultados da tabela 1 Tabela 1 Análise comparativa entre desconto comercial e racional SISTEMA DE DESCONTO VALOR DO DESCONTO VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE Desconto comercial simples R 200000 R 1800000 Desconto racional simples R 181818 R 1818182 Desconto comercial composto R 192158 R 1807842 Desconto racional composto R 188538 R 1811462 Os resultados mostram que para o cliente da instituição financeira que irá receber adiantadamente os recursos o melhor método será o desconto racional simples Para a instituição financeira que irá liberar os recursos antecipadamente será mais vantajoso o método do desconto comercial simples em que o valor presente será menor e o desconto concedido maior Esta é a modalidade de desconto aplicada pelas insti tuições financeiras em operações de adiantamento de crédito também conhecido como desconto bancário ou desconto por fora 6 Aplicações soluções algébricas e com uso de HP12C Os cálculos dos descontos comercial e racional nas formas simples e composta podem ser realizados de forma algébrica ou com o uso das teclas financeiras da calculadora financeira HP12C 44 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Exemplo 5 um título de valor nominal de R 5000000 é descontado a uma taxa de juros de 18 ao mês 6 meses antes de seu vencimento Determine o valor presente do título e o valor do desconto pelos métodos dos descontos comercial e racional nas formas simples e composta 1ª solução desconto comercial simples Vcs 5000000 1 0018 6 R 4460000 Dcs 5000000 4460000 R 540000 Na calculadora financeira HP12C temos 50000 ENTER 1 ENTER 0018 ENTER 6 X X 44600 2ª solução desconto comercial composto Vcc 5000000 1 00186 R 4483725 Dcc 5000000 4483725 R 516275 A solução na calculadora financeira HP12C será 45 Descontos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 50000 ENTER 1 ENTER 0018 6 yx X 4483725 3ª solução desconto racional simples Vrs R 4512635 5000000 1 0018 6 Drs 5000000 4512635 R 487365 Temos a seguir a resposta na calculadora financeira HP12C 50000 ENTER 0018 ENTER 6 X 1 4512635 46 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4ª solução desconto racional composto Vrc R 4492451 5000000 1 0018 6 Drc 5000000 4492451 R 507549 O mesmo cálculo na calculadora financeira HP12C será 50000 ENTER 1 ENTER 0018 6 yx 4492451 Usando as teclas financeiras da calculadora HP12C chegamos ao mesmo resultado 50000 FV 6 i 6 n PV 4492451 47 Descontos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O resultado está com sinal negativo pois para a instituição finan ceira a quantia descontada representa uma saída de recursos ao pas so que o recebimento do título no futuro pelo seu valor nominal de R 5000000 representará uma entrada Considerações finais Neste capítulo aprendemos sobre as duas modalidades de descon tos praticadas o desconto comercial ou bancário e o desconto racional nos dois regimes de capitalização simples e composto Os descontos são aplicados sobre os títulos de crédito antes dos respectivos venci mentos e representam um diferencial negativo de valor para o detentor do título que deseja o adiantamento de recursos de curto prazo para o seu negócio Conceder adiantamento de recursos por intermédio do desconto de duplicatas é um dos principais serviços oferecidos pelas instituições fi nanceiras aos seus clientes As taxas de juros aplicadas nos descontos variam conforme o risco representado pelo devedor do título de quem será cobrado o valor nominal no vencimento e o tempo restante até esse mesmo vencimento Os bancos adiantam os recursos representa dos no título aos seus clientes em troca de um desconto concedido e recebem o valor nominal por ocasião do vencimento lucrando assim a diferença Essa operação representa uma alternativa à indústria ou ao comércio pois transforma uma venda a prazo em uma injeção de recursos à vista No próximo capítulo estudaremos as diversas taxas de juros pratica das nas principais operações financeiras 48 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira edição universitária São Paulo Atlas 2017 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos 1 ed São Paulo Saraiva 2013 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método al gébrico HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 49 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 5 Taxas As taxas de juros são essenciais nas operações bancárias e no mer cado financeiro Diversas taxas de juros fazem parte do nosso cotidia no como a taxa básica de juros Selic cuja meta é fixada pelo Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil Copom e que serve de parâmetro para a remuneração de diversos títulos públicos e as taxas de juros cobradas pelos bancos e demais instituições financeiras nas diversas modalidades de operações de crédito Em uma sociedade capitalista as taxas de juros representam o percentual cobrado dos to madores de recursos e a remuneração dos proprietários do capital 50 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Como representam a remuneração do capital as taxas de juros são uma medida eficiente para avaliarmos o risco de uma operação Quanto maiores as taxas de juros maior será o risco de o tomador dos recursos não pagar a dívida e de o proprietário do capital não receber a quantia originalmente emprestada A relação entre o risco da operação e o retor no esperado pelo concessor dos recursos é observada por intermédio das taxas de juros cobradas Em operações de crédito de maior risco como as modalidades de conta garantida cheque especial e cartão de crédito as taxas de juros são muito altas de modo que o risco do tomador de recursos cliente do banco ou da operadora de cartão são igualmente altos Em outras operações como financiamento de imóvel ou veículo as taxas de juros serão menores pois em caso de inadim plência do devedor o próprio bem financiado constitui uma garantia de pagamento para a instituição financeira concessora do crédito Conhecer as diversas taxas de juros e calculálas é um dos principais pilares da educação financeira Neste capítulo aprenderemos como as diversas modalidades de taxas de juros são interpretadas do ponto de vista da matemática financeira 1 Taxas proporcionais Duas taxas de juros diferentes são consideradas proporcionais quan do incidindo sobre o mesmo capital resultam em um mesmo montante ao final de determinado período CAMARGOS 2013 As taxas propor cionais são facilmente calculadas no regime de capitalização simples obtidas pela divisão ou multiplicação entre as taxas e os períodos de capitalização observandose as devidas proporções entre os períodos ianual 2isemestral 4itrimestral 12imensal Dessa forma podemos considerar como taxas proporcionais 24 ao ano 12 ao semestre e 2 ao mês Isso posto em um regime de capitalização simples será indiferente ao poupador aplicar seu dinheiro 51 Taxas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo a uma taxa de juros de 1 ao mês ou 12 ao ano pois o resultado final será o mesmo Para Vieira Sobrinho 2007 a proporcionalidade linear é uma característica do regime de capitalização simples 2 Taxas equivalentes Como percebemos as taxas de juros proporcionais no regime de ca pitalização simples também podem ser consideradas equivalentes isto é quando incidem sobre um mesmo capital em um mesmo período e geram um mesmo montante Portanto no regime linear uma taxa de juros de 2 ao mês equivale a uma taxa de juros de 24 ao ano Contudo quando calculamos as taxas de juros no regime de juros sobre juros as proporções são diversas devido ao crescimento expo nencial do montante ao longo do tempo Dizemos então que as taxas são equivalentes no regime de capitalização composta quando em um mesmo período produzirem um mesmo montante final observando no cálculo da equivalência a fórmula da capitalização composta Exemplo 1 calcular a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros mensal de 05 1 ianual 1 imensal12 1 ianual 100512 1 ianual 1061678 ianual 61678 Portanto as taxas de juros de 05 ao mês e 61678 ao ano são equivalentes pois quando aplicadas sobre um mesmo capital e em um mesmo período em regime de capitalização composta produzirão exa tamente o mesmo montante final 52 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Exemplo 2 determinar a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de 8 ao semestre 1 isemestral 1 imensal6 108 1 imensal6 10816 1 imensal 101291 1 imensal imensal 1291 Assim as taxas de juros de 1291 ao mês e 8 ao semestre são equivalentes pois quando aplicadas sobre um capital no mesmo perí odo de capitalização geram o mesmo montante 3 Taxas nominal e efetiva Vieira Sobrinho 2007 destaca que a palavra nominal no merca do financeiro diz respeito ao valor monetário ou à taxa de juros escri ta em um título de crédito ou contrato Portanto a taxa de juros nomi nal é a taxa calculada com base no valor nominal do investimento ou empréstimo Porém quando o período das taxas de juros contratuais e o período de capitalização são diferentes as taxas de juros efetivas ou seja as taxas de juros que de fato efetivamente incidirão no período serão diversas Vejamos o exemplo a seguir Exemplo 3 Alice comprou um automóvel financiado para pagamen to em 12 parcelas A taxa de juros contratada com a instituição finan ceira foi de 18 ao ano capitalizados mensalmente Calcular a taxa de juros efetiva desse empréstimo 53 Taxas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo A taxa de juros nominal dessa operação é aquela cujo valor consta no contrato de financiamento 18 ao ano Contudo o período de capi talização mensal é diverso do período da taxa de juros nominal que é anual Isso faz a taxa de juros efetiva em termos anuais ser diferente da taxa de juros nominal já expressa em ano Começamos o cálculo dividindo a taxa nominal anual de juros por 12 para encontrarmos a taxa nominal mensal que será capitalizada men salmente ou seja igualamos o período da taxa nominal ao período de capitalização 18 ao ano 15 ao mês A seguir realizamos a equivalência da taxa mensal capitalizada em regime composto para taxa anual efetiva 1 imensal12 1 ianual efetiva 101512 1 ianual efetiva 119562 1 ianual efetiva ianual efetiva 19562 Portanto a taxa de juros anual efetiva é 19562 enquanto a taxa de juros anual nominal é 18 Nesse caso Alice não pagará 18 ao ano pelo financiamento do seu automóvel pagará efetivamente 19562 A diferença entre as taxas nominal e efetiva deve ser sempre obser vada principalmente em casos de dívidas resultantes de operações de concessão de crédito e financiamentos O desconhecimento da taxa de juros efetiva muitas vezes é responsável pelo endividamento excessivo Quanto menor for o período de capitalização por exemplo meses se manas ou dias em relação ao período da taxa de juros nominal maior será a diferença entre as taxas de juros efetiva e nominal 54 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4 Taxa acumulada A taxa de juros acumulada também conhecida como taxa de juros acruados do inglês accrual é aquela que indica o rendimento acumu lado até um determinado momento Castelo Branco 2015 destaca que a taxa acumulada é frequentemente utilizada na correção de contratos tais como aluguéis e saldos devedores de financiamentos A taxa de juros acumulada também atualiza os valores de títulos entre a sua data de emissão e a data atual Para calcularmos a taxa de juros acumulada até um determinado momento utilizamos a fórmula a seguir iAC 1 i1 1 i2 1 i3 1 in 1 100 Em que iAC taxa de juros acumulada e i1 i2 in taxas de juros de cada período de capitalização Exemplo 4 Paulo aplicou uma determinada quantia em um fundo de investimento em ações No primeiro mês o fundo rendeu uma taxa de 080 no segundo mês o retorno foi negativo em 065 já os retornos do terceiro ao quinto mês foram respectivamente 2 035 e 12 Ao final do quinto mês Paulo encerrou o investimento Calcule a taxa de juros acumulada no período iAC 1 0008 1 00065 1 002 1 00035 1 0012 1 100 iAC 37353 5 Taxa média Com base no conceito de taxa acumulada podemos calcular a taxa média de juros para cada período de capitalização Castelo Branco 2015 ensina que a taxa média de juros tem como base teórica o con ceito estatístico da média geométrica e é calculada extraindose a raiz enésima tomandose por base o numero de termos que compdem o 8 conjunto de taxas como na formula a seguir 8 incaa 101 i 2 i 1 i 2 i 13100 5 Exemplo 5 com os dados do exemplo anterior calcular a taxa média a mensal do investimento de Paulo s i eas LCL 0008 1 00065 1 002 1 00035 0012 g 1 100 8 i neti 073614 ao més 6 Taxas aparente e real 3 A inflagdo leva a perda do poder aquisitivo de uma moeda ou seja OS 2 indices inflaciondrios medem a perda do seu poder de compra em um g dado periodo No Brasil 0 indice oficial de inflacao é o Indice de Precos g ao Consumidor Amplo IPCA calculado mensalmente pelo Instituto 8 Brasileiro de Geografia e Estatistica IBGE 2 A ocorréncia da inflagdo mesmo que em taxas consideradas baixas s afeta investimentos e financiamentos Assim em um ambiente inflacio 2 nario podemos classificar as taxas de juros em aparente e real A taxa 8 aparente 6 a taxa de juros nominal que incide na operagao enquanto a 8 taxa real de juros é aquela obtida apds descontarmos da taxa aparente os 5 efeitos da inflagao no periodo e ela é calculada pela formula a seguir 3 1i 2 i eal aparente 1 g 1 taxa de inflacao 2 Exemplo 6 Carlos investiu a quantia de RS 1000000 por um ano 5 em um fundo que rendeu 053 ao més Sabendo que a taxa de inflagao 3 nesse periodo foi de 4 calcular a taxa de juros real que Carlos obteve ef com seu investimento 5 Taxas 55 O primeiro passo sera encontrar a taxa de juros aparente pelo perio 3 do de um ano do investimento 8 FV PV1i g FV 1000000 10053 R 1065487 z in ome 2088487 1 100 65487 2 P 1000000 3 Na sequéncia calculamos a taxa real de juros que Carlos conseguiu E ao investir seu capital ou seja descontamos os efeitos da inflacao no 5 periodo em que o capital permaneceu investido 3 1 0065487 3 ml 1 004 5 i 1024507 1 i 0024507 ou 24507 g A resolucdo do problema na calculadora HP12C sera 2 1065487 ENTER 5 104 2 0024507 z 24507 5 56 Matematica financeira aplicada 57 Taxas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Para o investidor a taxa real positiva representa o verdadeiro ganho no poder de compra de seu capital Bodie Kane e Marcus 2014 clas sificam a taxa de juros real como o crescimento do poder aquisitivo do dinheiro resultado do excedente da taxa de juros sobre a taxa de infla ção Quando a taxa real de juros é negativa isso significa que o retorno do investimento foi inferior à taxa de inflação do período isto é houve perda de poder aquisitivo no capital investido Considerações finais Neste capítulo aprendemos como calcular as diversas taxas de ju ros diferenciando a taxa aparente da taxa real e a taxa nominal da taxa efetiva O conhecimento dos métodos de cálculo das taxas de juros é um dos principais pilares da educação financeira e é essencial para que um indivíduo compreenda o quanto irá pagar nas prestações periódicas de seus contratos de financiamentos Como uma grande parcela da po pulação desconhece os métodos de cálculo das taxas de juros toma suas decisões financeiras associando apenas o valor final da prestação mensal ao orçamento pessoal ignorando o total pago em juros à insti tuição financeira No próximo capítulo apresentaremos o tema da equivalência de ca pitais e os métodos de análise de investimentos como valor presente líquido e taxa interna de retorno utilizados nas decisões empresariais Referências BODIE Zvi KANE Alex MARCUS Alan Fundamentos de investimentos 9 ed Porto Alegre AMGH 2014 CAMARGOS Marco A D Matemática financeira aplicada a produtos financei ros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 58 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo CASTELO BRANCO Anísio C Matemática financeira aplicada método algébri co HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 VIEIRA SOBRINHO José Dutra Matemática financeira edição compacta 3 ed São Paulo Atlas 2007 59 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 6 Equivalência de capitais e análise de alternativa de investimentos Um dos principais atributos da matemática financeira é avaliar o di nheiro no tempo a partir do conceito de equivalência de capitais Dois ou mais capitais considerados em datas diferentes serão equivalen tes quando ao serem descontados a uma determinada taxa de juros produzirem valores exatamente iguais O conceito de equivalência entre capitais nominalmente diferentes depende da taxa de juros que irá igua lálos no tempo 60 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo A partir do conceito inicial de equivalência de capitais no tempo estudaremos as diversas metodologias de análise de investimentos Quando os gestores de uma empresa decidem em quais ativos devem investir mensuram se as estimativas de fluxos de caixa futuros a se rem gerados pelo investimento descontados a valor presente serão capazes de proporcionar à empresa o retorno positivo desejado Dessa forma avaliam se os futuros fluxos de caixa em valores atuais são no mínimo equivalentes ao investimento inicial a fim de escolher entre as várias alternativas de projetos de investimento aquela que poderá gerar o melhor retorno à empresa Em finanças os investimentos são avaliados pelos seus futuros flu xos de caixa descontados a uma taxa de juros que represente o retorno esperado e o nível de risco O investimento em ações de uma determina da empresa pode ser avaliado pelos dividendos a serem pagos aos seus acionistas O investimento em um título de renda fixa que pague juros intermediários será avaliado pelos futuros fluxos que serão creditados até o vencimento do título Já o investimento em uma máquina indus trial pode ser avaliado pelos futuros fluxos de caixa operacionais que a máquina irá gerar para seus proprietários quando começar a produzir Todas essas modalidades de investimentos possuem níveis de riscos distintos razão pela qual seus fluxos de caixa devem ser descontados a taxas de juros que estimem o retorno esperado em face do risco de cada um Neste capítulo analisaremos a equivalência de capitais nos dois re gimes de capitalização simples e composto bem como as principais metodologias de análise e aceitação de investimentos utilizadas em decisões financeiras corporativas 61 Equivalência de capitais e análise de alternativa de investimentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Equivalência de capitais no regime de capitalização simples Dizemos que dois ou mais capitais são equivalentes em um regime de capitalização simples quando produzem o mesmo valor ao serem descontados ou capitalizados sob o regime dos juros simples PV ou FV PV 1 i n FV 1 i n Dessa forma em um regime de juros simples podemos afirmar que o valor presente PV será equivalente ao valor futuro FV descon tado a um adicionado à taxa de juros i multiplicada pelo número de períodos n Exemplo 1 em um regime de capitalização simples com taxas de juros de 06 ao mês calcular a quantia equivalente para doze meses que corresponde a R 100000 hoje O cálculo da equivalência se faz na mesma data Será preciso trans portar a quantia presente para a data desejada capitalizada a uma de terminada taxa de juros simples e assim encontrar a quantia equivalen te futura 100000 1 0006 12 FV FV R 107200 Dizemos então que R 100000 hoje e R 107200 daqui a doze meses são equivalentes quando considerada uma taxa de juros de 06 ao mês sob um regime de capitalização simples Exemplo 2 para quitar um empréstimo contratado a uma taxa de ju ros simples de 2 ao mês Carlos propõe pagar a Alice R 30000 à vis ta R 40000 daqui a seis meses e uma determinada quantia em doze meses Alice faz uma contraproposta de quitação e aceita receber R 62 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 50000 em quatro meses e R 70000 em oito meses De quanto deverá ser o valor da última parcela proposta por Carlos para que essas duas propostas sejam equivalentes Temos então os fluxos de caixa da proposta de Carlos PV X 30000 40000 6 0 12 E os fluxos de caixa da proposta de Alice PV 70000 0 50000 4 8 As duas propostas devem ser equivalentes ou seja devem ter o mesmo PV Como ambas as propostas envolvem prazos de pagamen tos diferentes será necessário igualálas descontandoas à taxa de ju ros simples de 2 ao mês para obtermos o valor da última parcela pro posta por Carlos PV 30000 40000 1 i 6 X 1 i 12 50000 1 i 4 70000 1 i 8 30000 40000 1 002 6 X 1 002 12 50000 1 002 4 70000 1 002 8 4092684 X 5074928 X 124 63 Equivalência de capitais e análise de alternativa de investimentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto se o valor da última parcela proposta por Carlos for de R 5074928 as duas propostas serão equivalentes pois gerarão o mes mo valor presente PVCarlos R 10664113 PVAlice R 10664113 PVCarlos 30000 40000 1 002 6 5074928 1 002 12 PVAlice 50000 1 002 4 70000 1 002 8 2 Equivalência de capitais no regime de capitalização composta Consideramos que dois ou mais capitais são equivalentes em um regime de capitalização composta quando produzem o mesmo valor ao serem descontados sob o regime dos juros compostos PV ou FV PV 1 i ⁿ FV 1 i ⁿ Dessa forma em um regime de juros compostos o valor presente PV de um capital será equivalente ao valor futuro FV descontado a um adicionado à taxa de juros i elevados ao número de períodos n Exemplo 3 Paulo está devendo R 500000 para o banco que o pro cura para tentar um acordo As duas propostas de quitação da dívida oferecidas são pagamento à vista ou uma determinada quantia a ser paga daqui a quatro meses na qual incidirá uma taxa de juros compos tos de 3 ao mês Qual deverá ser a quantia paga em quatro meses para que as duas propostas sejam equivalentes FV 500000 1034 64 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo FV R 562754 Temos então que R 500000 a serem pagos hoje e R 562754 a serem pagos em quatro meses são quantias equivalentes quando con siderada uma taxa de juros de 3 ao mês em um regime de capitaliza ção composta O conceito de equivalência aplicase também às taxas de juros as quais irão gerar resultados iguais quando aplicadas em determinado capital em um mesmo período Exemplo 4 calcular a taxa de juros para o período de 59 dias úteis que equivale à taxa de juros anual de 65 Como a taxa anual é de 65 e o ano fiscal tem 252 dias úteis temos de calcular a sua taxa equivalente para o período de 59 dias úteis 1 i 59 du 1 ianual59252 i 59 du 106559252 1 148533 para 59 du Assim uma taxa de juros de 65 ao ano equivale a uma taxa de juros de 148533 pelo prazo de 59 dias úteis Exemplo 5 sabendo que a taxa de juros para 112 dias úteis é 283842 calcular a taxa de juros equivalente anual Novamente aplicamos a regra do ano fiscal com 252 dias úteis 10283842252112 1 ianual i anual 1065 1 650 para 1 ano i 3 Método do valor presente liquido VPL VAL ou NPV valor presente liquido na analise de projetos e O valor presente liquido VPL valor atual liquido VAL ou net present 3 value NPV 6 uma das principais metodologias para a avaliagao de pro a jetos de investimentos Estimamse os fluxos de caixa futuros gerados 2 pelo investimento descontandoos a uma taxa de juros que represente 2 o retorno minimo exigido Desse resultado subtraise o valor do investi 5 mento inicial Castelo Branco 2017 define o VPL como o valor presente das entradas ou saidas de caixa menos o investimento inicial Para e Assaf Neto 2014 o VPL é obtido pela diferenga entre o valor presente s dos beneficios previstos de caixa e o valor presente do fluxo de caixa inicial O VPL pode ser sintetizado pela formula a seguir 5 FC VPL Y 77 FCo g im 1 i 5 Em que FC fluxo de caixa que ocorre no periodo j i taxa de des Z conto para os fluxos de caixa futuros a serem gerados pelo investimen 2 to n numero total de fluxos de caixa e FC fluxo de caixa inicial do e investimento que representa uma saida de recursos 2 Camargos 2013 considera o VPL a metodologia mais rigorosa e isenta de falhas quando se deseja comparar projetos diferentes no i mesmo periodo de tempo Os critérios de aceitagao de um investimento z pela metodologia VPL sao s e VPL 00 projeto deve ser realizado pois os fluxos de caixa futu g ros descontados a valor presente Sado superiores ao investimen 3 to inicial e e VPL 00 projeto deve ser recusado pois os fluxos de caixa futu z ros descontados a valor presente sao inferiores ao investimento inicial Equivaléncia de capitais e andlise de alternativa de investimentos 65 e VPL 0 0 projeto nao oferece ganho ou prejuizo em relagao a 3 taxa de retorno minima pois os fluxos de caixa futuros gerados 8 pelo investimento quando descontados a valor presente sdo 3 iguais ao investimento inicial Exemplo 6 os gestores de uma empresa planejam investir na com 8 pra de uma nova maquina para aumentar a capacidade produtiva O z investimento inicial sera de RS 2000000 e estimase que a maquina a produza fluxos de caixa de RS 700000 nos dois primeiros anos de fun s cionamento e de RS 800000 nos trés anos seguintes totalizando cinco 2 anos de operagao A taxa de desconto que representa o retorno exigido i pelos gestores é de 14 ao ano Calcular pelo método VPL se esse in S vestimento deve ou nao ser realizado 8 Temos a seguir os fluxos de caixa dessa operagao desenhados em 5 uma linha do tempo 2 800000 800000 800000 3 700000 700000 0 1 2 3 4 5 2000000 5 Na sequéncia calculamos o VPL do investimento pelo método algébrico s 1 FC VPL 2000000 2 C1 1014 VPL 700000 700000 800000 800000 800000 2000000 g 1141 1142 1148 1144 1145 3 VPL R 58179872 g 66 Matematica financeira aplicada z Como 0 resultado do VPL positivo havera indicagao de investimen z to na compra da maquina Os fluxos de caixa futuros gerados pelo au é mento de produgao decorrente da compra da maquina descontados a 5 valor presente Sao superiores ao fluxo de caixa inicial do investimento 5 Para Assaf Neto 2014 o VPL positivo indica 0 retorno em excesso em relagao ao ganho exigido pelo investidor ou seja uma agregagao de riqueza proporcionada pelo investimento No exemplo anterior os fluxos 3 de caixa gerados pelo investimento na maquina geram um VPL de R 58179872 a mais que o retorno minimo de 14 ao ano exigido pelos 3 gestores da empresa considerado adequado ao risco do investimento Exemplo 7 os executivos de uma companhia téxtil avaliam investir em uma nova fabrica O investimento inicial sera de RS 5000000 e os fluxos de caixa futuros projetados sdo de R 600000 do ano 1 ao ano 5S 5 ede RS 900000 do ano 6 ao ano 10 A taxa de desconto que estima o retorno minimo esperado pelos executivos é de 12 ao ano Analisar pelo método do VPL se o investimento na nova fabrica deve ou nao ser realizado a Descontamos todos os dez fluxos de caixa pela taxa de retorno mini 3 mo e subtraimos o investimento inicial 3 600000 900000 vPL aap Tig 100000 j1 j6 z VPL R 99623214 5 5 Como o resultado do VPL negativo o investimento na nova fabrica nao devera ser realizado Os fluxos de caixa futuros gerados pela nova g fabrica quando descontados a valor presente pela taxa minima de re torno esperada sao inferiores ao investimento inicial z Equivaléncia de capitais e andlise de alternativa de investimentos 67 4 Método da taxa interna de retorno TIR é usando HP12C i Outro método de andlise de investimentos é a taxa interna de retorno e TIR ou internal return rate IRR Na definicao de Assaf Neto 2014 a s TIR 6a taxa de desconto que iguala na data de inicio do investimento ou momento zero as entradas e saidas de caixa Castelo Branco 2015 3 define a TIR como a taxa necessaria para igualar os fluxos de caixa ao s valor presente Nesse sentido a TIR também pode ser definida como a 2 taxa que faz o VPL do investimento ser igual a zero Sua formula é i re ye i 1 TIR 5 Em que FC fluxo de caixa inicial que representa uma saida de recursos FC fluxo de caixa que ocorre no periodo j e TIR taxa de z desconto que iguala o FC a soma de todos os fluxos de caixa futuros descontados a valor presente pela prdpria TIR 2 Os critérios de aceitagao de um investimento pela metodologia TIR a sao 5 e Se TIR custo de capital ou taxa minima de retorno desejada o s projeto deve ser realizado e Se TIR custo de capital ou taxa minima de retorno desejada o projeto deve ser recusado e Se TIR custo de capital ou taxa minima de retorno desejada o E projeto nao oferece ganho ou prejuizo em relagao ao seu custo ou 3 ao retorno minimo exigido pelos investidores E Exemplo 8 vamos utilizar os dados do exemplo 6 para calcular a TIR 5 do investimento na compra da nova maquina Como vimos o investimen 3 to inicial sera de RS 2000000 e estdo previstos fluxos de caixa de 68 Matematica financeira aplicada 69 Equivalência de capitais e análise de alternativa de investimentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo R 700000 nos dois primeiros anos e R 800000 nos três anos seguin tes com uma taxa de retorno mínimo exigida pelos gestores de 14 ao ano 1 TIR⁵ 800000 2000000 1 TIR¹ 1 TIR² 1 TIR³ 1 TIR⁴ O cálculo da TIR de forma manual é realizado pelo método de inter polação e demanda muito tempo Dessa forma resolvemos essa equa ção com a ajuda da calculadora financeira HP12C 2000000 CHS g CF0 700000 g CFj 700000 g CFj 800000 g CFj 800000 g CFj 800000 g CFj f IRR 2517542 Como a TIR de 2517542 ao ano é superior ao retorno mínimo es perado pelos investidores de 14 ao ano o investimento na aquisição da nova máquina deve ser realizado Neste caso a TIR vem a confirmar a decisão de investir já encontrada com o uso do VPL 2000000 700000 1 TIR² 800000 1 TIR³ 800000 1 TIR⁴ 700000 700000 800000 800000 700000 1 TIR¹ 800000 1 TIR⁵ Exemplo 9 agora vamos calcular a TIR com os dados do exemplo 7 Como vimos o investimento inicial na nova fabrica é de RS 5000000 os fluxos de caixa futuros projetados sdo de RS 600000 do ano 1 ao ano 5 ede RS 900000 do ano 6 ao ano 10 eo retorno minimo esperado pelos executivos é de 12 ao ano 5000000 800000 900000 11TIR 4 1 TIR Encontramos a TIR desse projeto de investimento com os seguintes passos na calculadora financeira HP12C 5000000 s om Gf 5 73563 z z O resultado da TIR de 73563 ao ano é inferior ao retorno minimo 2 esperado pelos executivos da companhia téxtil de 12 ao ano O inves timento na nova fabrica portanto nado devera acontecer Novamente a 8 decisdo pela metodologia da TIR é igual a decisao que se chega com o uso do VPL E 5 Aplicagoes solucoes algébricas e com uso da HP12C g Neste subcapitulo analisaremos um projeto de investimento por am g bas as metodologias VPL e TIR realizando os calculos de forma algé 8 brica e utilizando a calculadora financeira HP12C 2 Exemplo 10 os executivos de uma empresa varejista estao conside rando investir na abertura de mais uma loja O investimento inicial sera 3 de RS 2500000 e os fluxos de caixa anuais previstos sao de RS 800000 do ano 1 ao ano 3 e de RS 600000 nos anos 4 e 5 A taxa de retorno g minima esperada pelos gestores é de 13 ao ano Calcular pelos méto dos do VPL e da TIR se 0 investimento na abertura de uma nova loja 3 2 deve ou nao ser realizado 3 OFC VPL 1 2500000 z La 1 013 B VPL 800000 1 8000005 800000 600000 1 600000 2500000 g 113 113 113 113 113 Equivaléncia de capitais e andlise de alternativa de investimentos 71 VPL R 8256928 3 Pelo método do VPL ha uma indicacdo favoravel ao investimento pois o resultado é positivo Na sequéncia realizamos o mesmo procedi s mento com a calculadora HP12C 2500000 s z 8256928 Agora vamos analisar o projeto de investimento na nova loja pela Otica da TIR 8g FC g 2500000 ae 5 2 1 TIR 2 2 500000 800000 800000 800000 600000 1TIR 1TIR 1TIR 1TIR 1TIR 600000 3 g 1 TIR 72 Matematica financeira aplicada g 73 Equivalência de capitais e análise de alternativa de investimentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo TIR 144253 ao ano Como o resultado do VPL foi positivo esperase também uma TIR superior à taxa de retorno exigida pelos executivos da empresa também chamada de custo de oportunidade do capital investido Realizamos esse mesmo cálculo na HP12C 2500000 CHS g CF0 800000 g CFj 800000 g CFj 800000 g CFj 600000 g CFj 600000 g CFj f IRR 144253 Portanto de acordo com as duas metodologias o investimento na abertura da nova loja deve ser realizado pois além de gerar valor VPL positivo tem uma taxa de retorno superior à desejada pelos executivos TIR taxa de retorno exigida Considerações finais Neste capítulo aprendemos os conceitos de equivalência de ca pitais e de taxas de juros e conhecemos duas metodologias empre gadas na análise de projetos de investimentos O domínio desses 74 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo métodos permite aos gestores escolherem os melhores ativos para investir do ponto de vista da geração futura de caixa e da relação entre risco e retorno esperado do investimento As taxas de desconto e re torno esperado devem ser calculadas com base no risco representado pelo ativo Quanto maior o risco do investimento maior deverá ser o retorno esperado e a taxa de juros apropriada para descontar os fluxos de caixa a valor presente No próximo capítulo abordaremos o tema das séries de pagamen tos antecipadas postecipadas e diferidas Referências ASSAF NETO Alexandre Finanças corporativas e de valor 7 ed São Paulo Atlas 2014 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método al gébrico HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 75 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 7 Série de pagamentos ou rendas No capítulo anterior estudamos a importância dos fluxos de caixa na análise de investimentos corporativos Neste capítulo conheceremos as séries de pagamentos que podem ser definidas como uma sequên cia de fluxos de caixa representando pagamentos ou recebimentos ao longo de um determinado período Compreender as séries de pagamen tos nos auxilia nas principais tomadas de decisões financeiras entre elas cálculo de valores de prestações periódicas e planejamentos de investimentos para a aposentadoria Segundo Azevedo 2015 uma série de pagamentos relaciona o prin cipal ou valor presente PV e o montante ou valor futuro FV a uma 76 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo sequência de prestações PMT periodic payment As séries de pa gamentos podem ser classificadas quanto ao tempo de duração série temporária ou infinita quanto à periodicidade do pagamento série pe riódica e não periódica quanto ao valor dos pagamentos série unifor me ou variável e quanto ao período de ocorrência dos fluxos de caixa Segundo definição de Assaf Neto 2017 nesta última classificação as séries de pagamentos ou fluxos de caixa podem ser séries postecipadas os fluxos de pagamentos começam a correr ao final do primeiro intervalo de tempo séries antecipadas a série de pagamentos começa a correr no primeiro período ou seja no momento zero e séries diferidas a sequência de pagamentos começa a correr após alguns períodos ou seja após um prazo de carência Neste capítulo abordaremos cada uma dessas três séries de pa gamentos e estudaremos as fórmulas de valor presente e futuro bem como o cálculo das prestações periódicas 1 Séries de pagamentos postecipados Uma série de pagamentos é postecipada ou imediata quando o pri meiro valor ou termo da série ocorre ao final do primeiro período como nos pagamentos de aluguéis e empréstimos CAMARGOS 2013 Na série postecipada o PMT inicial ocorre em n 1 de acordo com o es quema gráfico dos fluxos de caixa a seguir PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0 PV 4 5 6 2 1 3 Portanto o valor presente PV sera igual a soma de todos os paga 8 mentos periddicos PMT descontados a taxa de juros i da operacdo 2 py PMT 4 PMT 4 PMT 4 PMT 44 PMT 5 1i i i Gi 1 i 4 Ao colocarmos PMT em evidéncia temos 8 pvpmT 4 2 42 gg 2 1i i 1i i 1 i e A expressdo entre colchetes é conhecida como fator de valor presen 5 te FPV e pode ser simplificada nas formulas z 1i1 11i ppy CF gy ppys CE z 1 i i i 5 Temos que a expressao de calculo de valor presente para a série 3 postecipada é z PV PMT FPV 8 pypmr tpt tl ou py pmr 22 G tp 1ii i Exemplo 1 um automovel cujo preco para pagamento a vista é de 3 RS 7000000 pode ser comprado em 48 parcelas iguais com taxa de e juros de 2 ao més Determinar o valor da parcela g g Temos entdo que PV RS 70000 n 48 ei 2 ao més e precisa Z mos calcular PMT S 48 70000 PMT 1 002 1 1 002 002 70000 306731167 PMT g PMT R 228213 5 Série de pagamentos ou rendas 77 78 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto o automóvel cujo preço à vista é R 70000 pode ser pago em 48 parcelas iguais e sucessivas de R 228213 a primeira a vencer no mês subsequente à compra do veículo n 1 Exemplo 2 uma geladeira é vendida em uma loja de eletrodomésti cos em doze pagamentos iguais de R 27296 Sabendo que a taxa de juros é de 25 ao mês qual deve ser o preço à vista da geladeira Temos n 12 PMT R 27296 e i 25 ao mês e precisamos cal cular PV PV 27296 PV R 280000 03448889 00336222 PV 27296 1 002512 1 1 002512 0025 Dessa forma a geladeira pode ser comprada à vista pelo preço de R 280000 Exemplo 3 uma televisão cujo preço à vista é de R 300000 é ven dida em doze pagamentos de R 33000 Qual é a taxa de juros dessa operação Temos PV R 3000 n 12 e PMT R 330 e precisamos encon trar i Utilizamos nessa resolução a calculadora financeira HP12C 3000 CHS PV 12 n 330 PMT f 455316957 79 Série de pagamentos ou rendas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto nessa operação incide uma taxa de juros de 455 ao mês A partir das séries de pagamentos postecipadas podemos calcular o montante ou valor futuro FV de uma série de aplicações ou depósi tos sucessivos que serão capitalizados a juros compostos conforme o esquema a seguir PMT PMT PMT PMT PMT PMT FV 4 5 6 2 1 3 A fórmula para cálculo do valor futuro FV de uma série de aplica ções periódicas e sucessivas é FV PMT 1 1 i 1 i² 1 i³ 1 i4 1 i n 1 O termo entre colchetes é chamado de fator de valor futuro FFV e pode ser simplificado pela fórmula FFV 1 i n 1 i Temos que a expressão de cálculo de valor futuro para uma série de pagamentos depósitos ou aplicações é PV PMT FFV FV PMT 1 i n 1 i Exemplo 4 Antônio deseja investir com regularidade para quando se aposentar em 20 anos ter uma boa reserva financeira Para conseguir seu objetivo planeja depositar mensalmente R 100000 em um fundo de investimentos que rende em média uma taxa de juros de 042 ao mês Calcule o quanto Antônio poderá retirar quando se aposentar 80 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O período do investimento está expresso em anos e as taxas de juros estão expressas em meses Portanto será necessário igualálos 20 anos 240 meses Temos então que PMT R 1000 i 042 ao mês e n 240 me ses Pedese para calcular o valor futuro do investimento FV FV 1000 FV R 41293746 17343373 00042 FV 1000 1 00042 240 1 00042 2 Séries de pagamentos antecipados Segundo Camargos 2013 nas séries de pagamentos antecipadas o primeiro valor ou termo da série ocorre no início do primeiro período também chamado de data zero como nos aluguéis pagos antecipada mente ou a vencer Dessa forma na série antecipada o PMT inicial ocorre em n 0 conforme o esquema gráfico dos fluxos de caixa a seguir PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0 PV 4 5 6 2 1 3 Portanto o valor presente PV de uma série antecipada será igual ao PMT inicial somado aos demais PMT descontados a um mais a taxa de juros i da operação elevados ao número de períodos menos um pois haverá sempre a antecipação de um período em relação à série toda a py PMT 4 PMT 4 PMT 4 PMT 4 PMT 44 PMT 8 1i i i i i 1 ij 5 Como qualquer numero elevado a 0 é igual a 1 temos PMT put 3 1 i Isso posto temos a formula do PV em que o ultimo PMT sera des contado an 1 pois ha sempre a antecipagao de um periodo 3 pyvpmTMT PMT PMT PMT 44 PMT g 1i i i i 14i Colocandose PMT em evidéncia temos e py pMr1 2 2 4p 2 gg 14i i Gi i Z 3 1 i 2 Assim a formula do PV de uma série antecipada sera 7 1 7 5 pvpmr1 C 1 ou pvepmT Ete 3 14iti 1 ii 8 Uma boa maneira de interpretar uma série antecipada é considerar 5 oO primeiro pagamento realizado no momento zero como uma quantia a dada de entrada Por exemplo determinado bem é financiado em doze 2 parcelas iguais e mensais uma entrada e onze parcelas sucessivas 2 Exemplo 5 uma maquina industrial pode ser financiada em 24 par 2 celas mensais antecipadas de RS 500000 0 que significa que o primei 5 ro pagamento sera no ato da compra As taxas de juros dessa operagao 3 de financiamento sao de 15 ao més Calcular o valor a vista dessa ef maquina 5 Série de pagamentos ou rendas 81 Temos PMT RS 5000 pagos de forma antecipada ou seja a partir 3 do momento 0 n 24 que representa as 24 prestagdes sendo que a 1 8 sera paga no momento 0 a 22 sera paga no momento 1 assim suces 3 sivamente ei 15 ao més Precisamos calcular PV 2 1001511 pv so001 C 001 Jt 0015 2 1 0015 7 0015 PV R 10165430 g Portanto o valor da maquina para pagamento a vista 6 RS 10165430 2 3 Séries de pagamentos diferidas 3 Séries de pagamentos diferidas ou adiadas sao aquelas em que o primeiro pagamento ocorrera apdos cumprido um determinado prazo de 2 caréncia isto é alguns periodos a frente O esquema grafico de uma 5 série de pagamentos diferida encontrase a seguir g PV é 1 2 3 4 5 6 7 S C C C PMT PMT PMT PMT Nesse esquema C corresponde aos periodos de caréncia isto ao g adiamento do primeiro pagamento da série PV é o valor presente na 3 data zero e PMT oS pagamentos sucessivos que sO irao comegar a E ocorrer apos cumprido todo o periodo de caréncia Camargos 2013 ensina que para encontrar o valor presente PV g em uma série diferida devese determinalo em uma data focal c em 5 que sera calculado o PV de todos os PMTs que compéem a série Apos 2 esse calculo devese descontar o PV dos PMTs a taxa de juros da A 82 Matematica financeira aplicada operacao trazendoo a valor presente no momento zero encontrando 8 se o PV da operacdo como no esquema grafico a seguir 2 PV PVovir 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z C C C PMT PMT PMT PMT PMT PMT 2 A férmula para calculo do PV da série diferida a seguinte pv par CF9 2 2 s 14iil 1i 3 Em que PV valor presente na data zero PMT valor das presta é cdes periddicas n quantidade de periodos em que serao pagas as g prestacdes e c quantidade de periodos em que havera a caréncia ou 8 adiamento dos pagamentos Z Exemplo 6 uma empresa conseguiu levantar um empréstimo ban cario para pagamento em 48 prestacdes mensais de RS 500000 com 3 seis meses de caréncia isto é as prestagdes SO comecardo a ser pagas e a partir do 7 més A taxa de juros dessa operacdo é de 12 ao més g Calcular o total emprestado Z Temos que o prazo total da operacdo é de 54 meses sendo n 48 e z c 6 PMT RS 5000 ei 12 ao més Precisamos calcular PV g 48 3 pv s000 EO0T 1 1 1 001200121 10012 fs PV 5000 a g 002127383 10741948 5 Série de pagamentos ou rendas 83 84 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo PV R 16909055 Portanto o empréstimo contraído pela empresa foi de R 16909055 para pagamento em 48 prestações mensais de R 5000 e com uma ca rência de seis meses até o início dos pagamentos 4 Aplicações soluções algébricas e com uso da HP12C Os problemas envolvendo séries de pagamentos podem ser resolvi dos de forma algébrica ou com o uso das teclas financeiras da calcula dora financeira HP12C Exemplo 7 um automóvel pode ser financiado sem entrada e com pagamento de 36 prestações mensais de R 231376 e taxas de juros de 15 ao mês Qual é o seu valor à vista Temos n 36 PMT R 231376 e i 15 ao mês Precisamos calcular PV A solução algébrica desse cálculo é PV 231376 1 0015³⁶ 1 1 0015³⁶ 0015 PV 231376 PV R 6400018 070913954 0025637 Obtemos a mesma resposta utilizando a calculadora financeira HP12C 231376 CHS PMT 36 n 15 i 85 Série de pagamentos ou rendas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo PV 6400018 O preço à vista desse automóvel é R 6400018 Exemplo 8 Laura deseja juntar a quantia de R 20000000 em cin co anos para pagar a entrada de um novo apartamento Sabendo que o fundo de investimentos escolhido por ela rende em média taxas de juros mensais de 048 qual deverá ser o aporte mensal de Laura para ao final desse período conseguir a quantia pretendida Temos FV R 200000 i 048 ao mês e n 60 meses Devemos calcular PMT 200000 PMT 1 00048⁶⁰ 1 00048 200000 PMT PV R 288428 0332838667 00048 A resolução com a calculadora financeira HP12C é 200000 CHS FV 048 i 60 n PMT 288428 86 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto os aportes mensais devem ser de R 288428 ao longo dos próximos cinco anos Exemplo 9 calcular o valor à vista de uma máquina que pode ser financiada em 24 parcelas mensais de R 350000 com uma taxa de juros de 13 ao mês e primeira parcela paga na assinatura do contrato de financiamento Tratase de uma série de pagamentos antecipados com primeira prestação no momento zero A solução algébrica será PV 3500 1 0013²⁴ 1 1 0013241 0013 PV 3500 PV R 7269510 036341067 0017496879 Os passos para a resolução na calculadora HP12C são g BEG 24 n 3500 CHS PMT 13 i PV 72695097 O preço à vista dessa máquina é R 7269510 Exemplo 10 uma indústria conseguiu um empréstimo bancário para pagamento em 36 prestações mensais de R 200000 com quatro me ses de carência isto é as prestações só começarão a ser pagas a partir 2 do 5 més A taxa de juros dessa operacao é de 14 ao més Calcular o 8 total que a industria pediu emprestado 8 Temos que o prazo total da operacao é de 40 meses sendo n 36e c4 PMT RS 2000 ei 14 ao més Precisamos calcular PV 3 36 3 pv 2000 G 00 7 1 2 1 00140014 1 0014 E PV 2000 20400834 PV R 5321066 0024414 8 As etapas para encontrarmos o valor a vista do empréstimo na cal 3 culadora HP12C sao M 5625361572 3 532106571 5 Série de pagamentos ou rendas 87 88 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O valor do empréstimo levantado pela indústria é R 5321066 Considerações finais Neste capítulo aprendemos sobre as séries de pagamentos posteci padas antecipadas e diferidas que representam fluxos de caixa que se prolongam em um determinado período O cálculo das prestações pe riódicas e das taxas de juros envolvidas na operação de financiamento ou em um investimento é essencial na tomada de decisões financeiras como comprar um bem à vista ou a prazo e elaborar um plano financei ro de acumulação de capital para o futuro No próximo capítulo vamos conhecer os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos muito utilizados na aquisição de imóveis financiados Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira edição universitária São Paulo Atlas 2017 AZEVEDO Gustavo Henrique W de Matemática financeira princípios e aplica ções São Paulo Saraiva 2015 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 89 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 8 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Neste capítulo vamos conhecer os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos e as metodologias utilizadas no cálcu lo de prestações periódicas não uniformes Na maioria dos sistemas de amortização as parcelas periódicas são compostas pela amortiza ção do principal da dívida mais os juros compensatórios Dessa forma quando o devedor pagar a última parcela do seu empréstimo terá quita do tanto o principal da dívida quanto os juros remuneratórios cobrados na operação Os diferentes sistemas de amortização que estudaremos neste capí tulo são utilizados principalmente em empréstimos de longo prazo por exemplo na emissão de títulos de renda fixa que representam dívidas soberanas como os títulos do Tesouro Direto ou em dívidas corpora tivas como as debêntures e os financiamentos de longo prazo como a aquisição de um imóvel Destacamse o sistema Price de amortização 90 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo conhecido como tabela Price o sistema de amortização constante SAC o sistema misto SAM e o sistema de amortização americano SAA 1 Sistema Price de amortização ou tabela Price principais características e aplicações no cotidiano O sistema Price também chamado de sistema francês de amorti zação que se tornou popularmente conhecido no Brasil como tabela Price teve suas origens nos trabalhos do matemático e filósofo inglês Richard Price 17231791 sobre capitalização de juros compostos1 Nesse sistema o valor da parcela total será constante a amortização isto é o pagamento das parcelas relativas ao principal da dívida será crescente e o pagamentos dos juros remuneratórios serão decrescen tes Isso ocorre porque à medida que o devedor vai amortizando ou seja vai pagando uma parte do principal da dívida a cada período os juros que incidem para o período seguinte são calculados sobre um saldo devedor menor O cálculo da parcela periódica é feito como nas séries de pagamen tos postecipadas pela fórmula a seguir PV PMT 1 iⁿ 1 1 iⁿ i Exemplo 1 um automóvel cujo preço à vista é R 80000 pode ser adquirido em 12 parcelas iguais com taxas de juros de 12 ao ano Determinar o valor da parcela o valor da amortização e dos juros pagos mensalmente utilizando o sistema Price 1 O trabalho original de Price publicado em 1771 chamase Observations on reversionary payments on schemes for providing annuities for widows and for persons in old age 91 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Em primeiro lugar devemos encontrar as taxas de juros proporcio nais mensais dividindo a taxa nominal anual por doze 12 ao ano 1 ao mês Assim a taxa mensal de 1 será capitalizada mensalmente durante doze meses Calculamos em seguida o valor da parcela 80000 PMT 10112 1 10112 001 PMT R 710790 Assim cada uma das doze parcelas será de R 710790 englobando o pagamento mensal do principal da dívida e dos juros de 1 ao mês Contudo apesar de o valor desse pagamento ser fixo a amortização do principal será crescente e os juros pagos decrescentes como observa mos na tabela a seguir Tabela 1 Plano de pagamento em doze parcelas pela tabela Price MÊS PRINCIPAL PARCELA JUROS AMORTIZAÇÃO DO PRINCIPAL SALDO DEVEDOR 0 8000000 8000000 1 710790 80000 630790 7369210 2 710790 73692 637098 6732112 3 710790 67321 643469 6088643 4 710790 60886 649904 5438740 5 710790 54387 656403 4782337 6 710790 47823 662967 4119370 7 710790 41194 669596 3449774 cont 92 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÊS PRINCIPAL PARCELA JUROS AMORTIZAÇÃO DO PRINCIPAL SALDO DEVEDOR 8 710790 34498 676292 2773482 9 710790 27735 683055 2090427 10 710790 20904 689886 1400541 11 710790 14005 696785 703756 12 710790 7038 703752 004 Portanto observamos que a parcela paga em juros da dívida vai gra dativamente caindo a cada período enquanto a amortização do princi pal cresce até zerar o saldo devedor no último pagamento 2 Sistema de amortização constante SAC principais características e aplicações no cotidiano O sistema de amortização constante popularmente conhecido pela sigla SAC como o próprio nome diz caracterizase pelo valor constante da amortização da dívida na parcela mensal Conforme o saldo devedor vai diminuindo fruto da amortização os juros cobrados junto com as parcelas também diminuem o que irá gerar prestações decrescentes ao longo do tempo Na definição de Camargos 2013 com o SAC o devedor paga a dívi da em prestações cujo valor diminui ao longo do tempo sendo a amor tização constante e os juros decrescentes Assaf Neto 2017 destaca que em razão da amortização e dos juros as prestações periódicas serão decrescentes em progressão aritmética Assim para encontrarmos o valor da parcela de amortização perió dica PA contida na parcela total devemos dividir o valor presente da dívida PV pelo número de períodos n 93 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo PA PV n O cálculo do saldo devedor atual é resultante do saldo devedor ante rior menos a parcela de amortização SDn SDn 1 PA Em que SDn saldo devedor no período n SDn 1 saldo devedor no período n 1 e PA parcela de amortização Os juros contidos na parce la total serão calculados pelo saldo devedor do período anterior Jn SDn 1 i Em que Jn parcela de juros a ser paga no período e i taxa de juros da operação E o valor da parcela total é o resultado da soma da parcela de amor tização constante com a parcela de juros do período Pn PA Jn Em que Pn parcela total a ser paga no período n Dessa forma teríamos o valor de cada prestação no SAC P1 PA SD0 i P2 PA SD1 i Pn PA SDn 1 i Também podemos escrever a partir da parcela de amortização do principal da dívida e da taxa de juros a fórmula para o cálculo de todas as prestações no SAC Pn PA PV i n 1 PA i 94 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto se quisermos calcular direto uma parcela específica no SAC como por exemplo a parcela 7 de um determinado plano de finan ciamento temos P7 PA PV i 7 1 PA i Exemplo 2 uma máquina industrial que custa R 120000 pode ser ad quirida em dez pagamentos com taxas de juros de 1 ao mês pelo SAC Calcular o valor das respectivas parcelas mensais desse financiamento O primeiro passo será calcular o valor da parcela de amortização mensal Na sequência elaboramos uma planilha com o saldo devedor men sal o valor da parcela de juros e o valor da parcela total Tabela 2 Plano de pagamento em dez parcelas pelo SAC MÊS PRINCIPAL PARCELA JUROS AMORTIZAÇÃO DO PRINCIPAL SALDO DEVEDOR 0 12000000 12000000 1 1320000 120000 1200000 10800000 2 1308000 108000 1200000 9600000 3 1296000 96000 1200000 8400000 4 1284000 84000 1200000 7200000 5 1272000 72000 1200000 6000000 6 1260000 60000 1200000 4800000 7 1248000 48000 1200000 3600000 PA R 1200000 120000 10 cont 95 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÊS PRINCIPAL PARCELA JUROS AMORTIZAÇÃO DO PRINCIPAL SALDO DEVEDOR 8 1236000 36000 1200000 2400000 9 1224000 24000 1200000 1200000 10 1212000 12000 1200000 000 Portanto pelo SAC tanto o valor dos juros quanto o da parcela total serão decrescentes à medida que o saldo devedor vai sendo amortiza do em parcelas fixas 3 Comparação entre o sistema SAC e a tabela Price Vamos agora realizar uma análise comparativa entre os dois siste mas de amortização por intermédio de um exemplo prático Exemplo 3 um imóvel cujo valor à vista é R 36000000 pode ser financiado com taxas de juros de 1 ao mês em 72 meses Comparar a tabela Price e o SAC a fim de definir qual dos dois sistemas de amorti zação será mais vantajoso para o devedor Em primeiro lugar vamos calcular o valor da parcela fixa na tabela Price 360000 PMT 10172 1 10172 001 PMT R 703807 Na sequência vamos encontrar o valor da amortização constante no SAC PA R 500000 360000 72 96 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Agora construímos uma planilha que compara a evolução do paga mento das parcelas da amortização e dos juros de ambos os sistemas Tabela 3 Comparativo entre planos de pagamentos tabela Price x SAC TABELA PRICE SAC Mês Parcela Juros Amort Saldo devedor Parcela Juros Amort Saldo devedor 0 36000000 36000000 1 703807 360000 343807 35656193 860000 360000 500000 35500000 2 703807 356562 347245 35308948 855000 355000 500000 35000000 3 703807 353089 350718 34958230 850000 350000 500000 34500000 4 703807 349582 354225 34604006 845000 345000 500000 34000000 5 703807 346040 357767 34246239 840000 340000 500000 33500000 6 703807 342462 361345 33884894 835000 335000 500000 33000000 7 703807 338849 364958 33519936 830000 330000 500000 32500000 8 703807 335199 368608 33151328 825000 325000 500000 32000000 9 703807 331513 372294 32779035 820000 320000 500000 31500000 10 703807 327790 376017 32403018 815000 315000 500000 31000000 31 703807 240407 463400 23577311 710000 210000 500000 20500000 32 703807 235773 468034 23109277 705000 205000 500000 20000000 33 703807 231093 472714 22636563 700000 200000 500000 19500000 62 703807 72968 630839 6665964 555000 55000 500000 5000000 63 703807 66660 637147 6028816 550000 50000 500000 4500000 64 703807 60288 643519 5385298 545000 45000 500000 4000000 65 703807 53853 649954 4735344 540000 40000 500000 3500000 cont 97 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo TABELA PRICE SAC Mês Parcela Juros Amort Saldo devedor Parcela Juros Amort Saldo devedor 67 703807 40789 663018 3415872 530000 30000 500000 2500000 68 703807 34159 669648 2746224 525000 25000 500000 2000000 69 703807 27462 676345 2069879 520000 20000 500000 1500000 70 703807 20699 683108 1386771 515000 15000 500000 1000000 71 703807 13868 689939 696831 510000 10000 500000 500000 72 703800 6968 696832 000 505000 5000 500000 000 Colocamos os resultados obtidos na tabela a seguir Tabela 4 Resultados finais tabela Price x SAC TOTAL DE JUROS PAGOS TOTAL PAGO JUROS AMORTIZAÇÃO Tabela Price 14674097 50674097 SAC 13140000 49140000 Diferença favorável ao devedor no SAC 1534097 1534097 Na tabela 3 podemos observar que no início do financiamento as prestações são menores na tabela Price quando comparadas ao SAC À medida que o tempo avança porém as prestações do SAC tornamse menores que as da tabela Price devido ao fato de estas serem fixas ao longo do tempo A partir da parcela de número 33 as parcelas mensais passam a ser menores no SAC e essa tendência de queda perdurará até o final do financiamento Tanto no SAC quanto na tabela Price os juros pagos serão decrescentes Contudo os juros diminuirão mais rápido no SAC levando o devedor a pagar um montante menor de juros ao final do financiamento 98 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4 Sistema de amortização misto O sistema de amortização misto SAM como o próprio nome suge re utiliza a média aritmética do SAC e da tabela Price para calcular o va lor da parcela periódica composta de amortização e juros As amortiza ções serão crescentes e os juros decrescentes Segundo Catelo Branco 2015 o SAM foi originalmente desenvolvido para atender ao Sistema Financeiro de Habitação SFH Para Camargos 2015 é um sistema que visa encontrar um equilíbrio entre o Price e o SAC Dessa forma as prestações no SAM são calculadas pela média arit mética dos dois sistemas PMn PMT Pn 2 Em que PMn parcela calculada no SAM para o período n PMT par cela calculada pela tabela Price que será fixa e Pn parcela calculada pelo SAC no período n Temos que a parcela calculada pelo SAC para o período n será Pn PA Jn E a parcela de juros será calculada com base no saldo devedor Jn SDn1 i Então cada uma das parcelas calculadas no SAM será PMn PMT PA SDn1 i 2 Em que PA parcela de amortização do SAC SDn 1 saldo devedor no SAC no período anterior e i taxa de juros do financiamento Exemplo 4 um imóvel cujo preço à vista é R 300000 pode ser adquirida em 24 parcelas com juros de 1 ao mês pelo SAM Calcular o valor dos juros pagos e o valor total das parcelas 99 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Em primeiro lugar devemos calcular o valor da parcela pela tabela Price 300000 PMT 10124 1 10124 001 PMT R 1412204 Na sequência vamos encontrar o valor da amortização constante no SAC PA R 1250000 300000 24 Cada uma das parcelas totais no SAC será calculada pela fórmula Pn 12500 Jn Obtemos então cada uma das parcelas do SAM PMn 1412204 12500 Jn 2 Construímos a seguir uma planilha que nos auxilia no cálculo da parcela total do SAM Tabela 5 Cálculo de prestações mensais juros amortização e saldo devedor pelo SAM MÊS PARCELA TABELA PRICE PMT PARCELA SAC PN PARCELA SAM PMT PN 2 JUROS SAM AMORTIZAÇÃO SAM SALDO DEVEDOR SAM 0 300000 1 1412204 15500 1481102 300000 1181102 28818898 2 1412204 15375 1474852 288189 1186663 27632235 3 1412204 15250 1468602 276322 1192280 26439955 4 1412204 15125 1462352 264400 1197952 25242003 cont 100 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÊS PARCELA TABELA PRICE PMT PARCELA SAC PN PARCELA SAM PMT PN 2 JUROS SAM AMORTIZAÇÃO SAM SALDO DEVEDOR SAM 5 1412204 15000 1456102 252420 1203682 24038321 6 1412204 14875 1449852 240383 1209469 22828852 7 1412204 14750 1443602 228289 1215313 21613539 8 1412204 14625 1437352 216135 1221217 20392322 9 1412204 14500 1431102 203923 1227179 19165143 10 1412204 14375 1424852 191651 1233201 17931943 11 1412204 14250 1418602 179319 1239283 16692660 12 1412204 14125 1412352 166927 1245425 15447235 13 1412204 14000 1406102 154472 1251630 14195605 14 1412204 13875 1399852 141956 1257896 12937709 15 1412204 13750 1393602 129377 1264225 11673484 16 1412204 13625 1387352 116735 1270617 10402867 17 1412204 13500 1381102 104029 1277073 9125794 18 1412204 13375 1374852 91258 1283594 7842200 19 1412204 13250 1368602 78422 1290180 6552020 20 1412204 13125 1362352 65520 1296832 5255188 21 1412204 13000 1356102 52552 1303550 3951638 22 1412204 12875 1349852 39516 1310336 2641302 23 1412204 12750 1343602 26413 1317189 1324113 24 1412204 12625 1337352 13241 1324111 002 Portanto o valor de cada parcela calculada pelo SAM é o resultado da média aritmética das parcelas calculadas na tabela Price e no SAC 101 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 5 Sistema de amortização americano No sistema de amortização americano SAA o devedor irá pagar os juros periodicamente e o valor do principal da dívida será pago apenas no final em uma única parcela Camargos 2015 destaca que este é um sistema de amortização muito utilizado no mercado financeiro como nas emissões de debêntures e nos títulos públicos federais que apre sentem o seguinte fluxo de caixa PV J 6 J 5 J 4 J 3 J 2 J 1 7 0 PV Como o saldo devedor é constante e só será pago no final os juros são sempre calculados pela fórmula J PV i Exemplo 5 uma empresa emitiu debêntures no valor de R 100000000 com pagamentos de taxas de juros de 925 ao ano e prazo de resgate em cinco anos Calcular o valor das parcelas periódi cas de juros e demonstrar a evolução da dívida até seu pagamento final Calculamos primeiramente as parcelas de juros anuais devidos pela empresa J 100000000 00925 R 9250000 Na sequência a evolução da dívida da empresa até o pagamento do principal ao final do quinto ano 102 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Tabela 6 Demonstrativo de pagamento das prestações no SAA ANO PARCELA SAA JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 92500 92500 0 1000000 2 92500 92500 0 1000000 3 92500 92500 0 1000000 4 92500 92500 0 1000000 5 1092500 92500 1000000 0 Neste exemplo o total pago em juros no período total de cinco anos foi de R 46250000 No quinto e último ano ocorre o pagamento da par cela final de juros somada à devolução do valor do principal da dívida 6 Principais aplicações no cotidiano As principais utilizações práticas dos sistemas de amortização são nos financiamentos para a compra de bens duráveis e imóveis Em um plano de financiamento de longo prazo as diferenças entre os totais pagos em cada um dos sistemas podem ser significativas Exemplo 6 Marcos e Ana vão se casar em breve e estão interessados em comprar um apartamento O imóvel escolhido custa R 70000000 e ambos pretendem financiálo pagando prestações mensais pelos pró ximos vinte anos O banco cobra taxa de juros de 1080 ao ano com a possiblidade de escolher entre a tabela Price o SAC e o SAM Marcos e Ana que possuem uma renda conjunta de R 2000000 estão em dúvida sobre qual dos três planos de amortização escolher O primeiro passo será encontrar a taxa de juros mensal da operação imensal 090 ao mês ianual 12 103 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Em seguida construímos uma planilha na qual podemos comparar a evolução das parcelas ao longo dos vinte anos de financiamento Tabela 7 Evolução das parcelas em um financiamento de 240 prestações MÊS PARCELA TABELA PRICE PARCELA SAC PARCELA SAM 1 713028 921667 817348 2 713028 919042 816035 3 713028 916417 814722 4 713028 913792 813410 5 713028 911167 812097 6 713028 908542 810785 7 713028 905917 809472 8 713028 903292 808160 77 713028 722167 717597 78 713028 719542 716285 79 713028 716917 714972 80 713028 714292 713660 81 713028 711667 712347 82 713028 709042 711035 83 713028 706417 709722 160 713028 504292 608660 161 713028 501667 607347 162 713028 499042 606035 163 713028 496417 604722 cont 104 Matemática financeira aplicada Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÊS PARCELA TABELA PRICE PARCELA SAC PARCELA SAM 164 713028 493792 603410 165 713028 491167 602097 234 713028 310041 511535 235 713028 307416 510222 236 713028 304791 508910 237 713028 302166 507597 238 713028 299541 506285 239 713028 296916 504972 240 713028 294291 503660 Total pago 171126720 145914994 158520857 O sistema de amortização mais vantajoso para esse financiamento de longo prazo é o SAC A amortização pela tabela Price fará o casal pagar R 25211726 a mais durante os vinte anos de amortização uma despesa considerável mesmo diluída em um prazo longo A única vantagem da tabela Price é que ela possibilita prestações menores nos primeiros anos do plano Por isso ainda é utilizada por quem prefere pagar menos no início do financiamento ou não comprova uma renda suficiente para pagar as prestações iniciais maiores do SAC Considerações finais Neste capítulo aprendemos a calcular as parcelas devidas nos vá rios sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Em uma dívida de longo prazo como os financiamentos imobiliários a es colha do sistema de amortização é essencial para que o devedor ou mu tuário pague parcelas menores comprometendo assim um percentual menor de sua renda 105 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Neste livro conhecemos os principais conceitos e fórmulas da ma temática financeira No entanto como gostamos de destacar a impor tância dessa ciência vai além dos simples cálculos e números pois ela é uma ferramenta essencial para auxiliar o indivíduo a tomar as melhores decisões financeiras para si e para a sociedade exercendo assim sua plena cidadania financeira Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira edição universitária São Paulo Atlas 2017 CAMARGOS Marcos Antônio de Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método al gébrico HP12C Microsoft Excel 4 ed São Paulo Cengage Learning 2015 107 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Sobre o autor Rogério Paulucci Mauad é doutor em administração de empresas área de finanças estratégicas pela Universidade Presbiteriana Mackenzie e doutor em gestão pela Universidade do Minho em Portugal ambos em regime de cotutela É mestre em administração de empresas área de fi nanças estratégicas pela Universidade Presbiteriana Mackenzie Possui graduação em ciências econômicas pela Universidade Presbiteriana Mackenzie 2010 e em direito pela Faculdade de Direito do Largo São Francisco da Universidade de São Paulo 1989 É especialista lato sen su em direito comercial 1991 pela USP e em direito empresarial 2005 pela Universidade Presbiteriana Mackenzie Link para currículo Lattes httplattescnpqbr0661328871818728