Análise e Comportamento das Estruturas: Momento Estático e Geometria

Sejam bemvindos Análise e Comportamento das Estruturas ANÁLISE E COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS Grandezas Geométricas Objetivos Conhecer a influência da forma nas estruturas Compreender o conceito de Momento Estático Calcular Momento Estático Determinar o Centro de Gravidade Calcular o Momento de inércia Caracterizando uma Forma Plana 2b 2h a b c 2 πr b h 2 π r2 Perímetro Retângulo Triângulo Círculo Área Retângulo b h Triângulo Círculo Só isso a c b h b h r Ponto de Equilíbrio Distribuição Idêntica da Área Massa Baricentro Centro de Massa Densidade uniforme centroide baricentro MOMENTO ESTÁTICO EM RELAÇÃO AO EIXO x EM RELAÇÃO AO EIXO y O momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é o produto da área do elemento pela distância ao eixo considerado Expresso em cm3 ou mm3 MOMENTO ESTÁTICO EM RELAÇÃO AO EIXO x EM RELAÇÃO AO EIXO y Momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos estáticos em relação ao mesmo eixo dos elementos que a constituem Logo MOMENTO ESTÁTICO RESISTÊNCIA E RIGIDEZ Tensão x Deformação MOMENTO ESTÁTICO Tensão x Deformação MOMENTO ESTÁTICO Tensão x Deformação Momento Estático Analogia Momento de uma Força 𝑀 𝐹 𝑑 F d M A d Momento Estático ou de 1ª Ordem S A x d d do eixo ao centro de gravidade medido com relação ao eixo de simetria O quão desequilibrada está uma área em relação a um eixo de interesse Momento Estático Está equilibrado A d1 A d2 A A S1 d1A S2 d2A d3 S3 d3A S4 d4A S1 S2 S3 S4 Momento Estático Está equilibrado S1 S2 S3 S4 2m2 3m 2m2 2m 2m2 2m2 S1 d1A 3 2 6m3 S2 d2A 2 2 4m3 1m S3 d3A 1 2 2m3 S4 d4A 0 2 0m3 Quanto mais simétrico menor o S Momento Estático Simetria distribuição idêntica da área relativamente a um eixo Considere o fio azul as situações são iguais Sinal do Momento Estático A d1 A d2 S1 d1A 0 S2 d2A 0 Se já conhecermos a área e um S calculamos d S dA d SA Momento Estático Simétrico a Y Sy 0 Simétrico a X Não 8 Exemplo Momento Estático Exemplo Sx Sx A d 2 8 1 16 2 8 x d Momento Estático Exemplo Genérico Sx 𝑆𝑥 𝐴 𝑑 ℎ 𝑆𝑥 𝑏 ℎ 2 h b x d 𝒃 𝒉𝟐 𝑺𝒙 𝟐 Momento Estático E se a área for considerada em duas partes Sx Sx A1 d A2 d b2 x b2 A2 A1 h d 𝑥 2 𝑏 𝑆 ℎ 2 ℎ 2 2 𝑏 ℎ ℎ 𝑥 4 4 𝑏 𝑏 𝑆 ℎ2 ℎ2 Momento Estático E se a área for considerada em duas partes A2 A1 h b2 x b2 d 𝑺𝒙 𝒃 𝒉𝟐 𝟐 Sx 𝑏 𝑆𝑥 4 ℎ2 𝑏 4 ℎ2 𝑥 4 𝑏 𝑆 2 ℎ2 Momento Estático Simétrico a X Sx 0 Simétrico a Y Sy 0 x E quando há simetria y 2 8 Centro de gravidade ou baricentro de um corpo é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da força de gravidade de todo o corpo formado por um conjunto de partículas Essas partículas são atraídas para o Centro da Terra cada qual com sua forçapeso Centro de gravidade portanto é o ponto onde podese equilibrar todas essas forças de atração A palavra baricentro é de origem grega bari peso e designa o centro dos pesos Arquimedes foi o primeiro a estudar o baricentro de dois pontos de massa No caso da força de gravidade resultar de um campo gravítico uniforme o centro de gravidade é coincidente com o centro de massa Esta é a aproximação natural no estudo da física de objetos de pequenas dimensões sujeitos ao campo gravítico terrestre O centro de massa ou de gravidade CG é um ponto no qual se localiza o peso P resultante de um sistema de pontos materiais Centróide Conceito O Centroide de uma área está relacionado ao ponto que define o centro geométrico da área O Centroide é o ponto característico da superfície sendo a passagem dos eixos para os quais os Momentos Estáticos são nulos Obs Um eixo de simetria além de conter o centroide desfruta da propriedade de decompor a superfície em duas superfícies de mesma área simetricamente dispostas CENTRO DE GRAVIDADE Característica física do sólido associada ao ponto pelo qual a linha da força peso atua Conhecido como baricentro CENTROIDE Ponto associado a uma coordenada geométrica que marca seu centro geométrico CG O centroide da área A é definido pelo par ഥ𝒙 ഥ𝒚 e satisfazem as relações a seguir CENTRÓIDE Se uma área possui um eixo de simetria seu centroide se localiza nesse eixo O momento estático da área em relação a esse eixo é zero Baricentro de Figuras Planas h x d Baricentro de Figuras Planas h x d Dados Sx e Sy baricentro Sx 0 e Sy 0 b x 𝑆𝑥 𝑆𝑥 𝑑 𝐴 0 Baricentro de Figuras Planas h Dados Sx e Sy baricentro Sx 0 e Sy 0 b x yg x 𝑆𝑥 𝑆𝑥 𝑦𝑔 𝐴 0 Baricentro de Figuras Planas h Dados Sx e Sy baricentro Sx 0 e Sy 0 b x yg x 𝑆𝑥 𝑦𝑔 𝐴 0 𝑆𝑥 𝑦 𝐴 Baricentro de Figuras Planas Baricentro do Retângulo y h b yB xB yg x xg 𝑏2 𝑺𝒙 𝒚𝒈 𝑨 𝑺𝒚 𝒙𝒈 𝑨 ℎ 2 2 1 𝑏 ℎ2 1 𝑆𝑥 𝐴 2 𝑏 ℎ 1 ℎ 𝑏2 1 𝑆𝑦 𝐴 𝑏 ℎ Baricentro de Figuras Planas Baricentro do Triângulo y h b x yB xB yg xg 𝑏 3 𝑺𝒙 𝒚𝒈 𝑨 ℎ 3 𝑺𝒚 𝑏 ℎ2 2 6 𝑏 ℎ ℎ 𝑏2 2 6 𝑏 ℎ 1 𝑆𝑥 𝐴 1 𝒙𝒈 𝑨 𝑆𝑦 𝐴 Baricentro de Figuras Planas Calcule o 𝑦 do baricentro da área abaixo A3 A2 A1 6 4 7 3 𝑺𝒙 168 xB yg x 𝑔 𝐴 𝑆𝑥 𝑦 𝑆𝑥 𝐴1 𝐴2 𝐴3 Baricentro de Figuras Planas Calcule o 𝑦 do baricentro da área abaixo A3 A2 A1 6 4 7 3 𝑺𝒙 168 xB yg x 𝑔 𝐴 𝑆𝑥 𝑦 𝑆𝑥 𝐴1 𝐴2 𝐴3 168 7 6 3 6 4 6 2 2 yg 267 6 4 4 Baricentro de Figuras Planas Calcule o 𝑦 do baricentro da área abaixo 7 yg x 𝑺𝒙 94 xB 𝑔 𝐴 𝑆𝑥 𝑦 𝑆𝑥 𝐴𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴𝐵 6 4 4 Baricentro de Figuras Planas Calcule o 𝑦 do baricentro da área abaixo 7 yg x 𝑺𝒙 94 xB 𝑔 𝐴 𝑆𝑥 𝑦 𝑆𝑥 𝐴𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴𝐵 94 7 6 4 4 yg 362 Momentos Estáticos y h b x 𝑆𝑥 𝑏 ℎ2 2 𝑆𝑦 ℎ 𝑏2 2 y h b 𝑆𝑥 𝑏 ℎ2 6 𝑆𝑦 ℎ 𝑏2 6 r x 𝑆𝑥 𝜋 𝑟3 𝑆𝑦 0 x y Distância ao Centro de Gravidade y h b x ℎ 𝑦𝑔 2 𝑏 𝑥𝑔 2 y h b r x x y ℎ 𝑦𝑔 3 𝑏 𝑥𝑔 3 𝑦𝑔 𝑟 𝑥𝑔 0 r x Distância ao Centro de Gravidade y 4 𝑟 𝑦 3 𝜋 𝑥𝑔 0 r x y 𝑦𝑔 4 𝑟 3 𝜋 𝑥𝑔 4 𝑟 3 𝜋 EXEMPLO Localize o centroide da área da seção transversal da viga T a seguir