Vetores Cartesianos e Força: Definições e Cálculos

Vetores Cartesianos Regra da mão direita pra o Sistema de Coordenadas A 56 m image does not contain any text image does not contain any text image does not contain any text F2 50i 100j 100k lb F1 60j 80k lb Vetores Posição Vetores Força O vetor posição tem importância na formulação de vetor força cartesiano orientado entre dois pontos quaisquer do espaço Convenção para as coordenadas xyz Sentido positivo do eixo z Orientado para cima sendo que os eixo x e y ficam no plano horizontal Os pontos do espaço são localizados em relação à origem das coordenadas O por meio de medidas sucessivas ao longo dos eixos x y e z Coordenadas do ponto A são obtidas começando em O 𝑥𝐴 4 𝑚 𝑦𝐴 2 𝑚 𝑧𝐴 6 𝑚 Então as coordenadas são A426 De maneira semelhante 𝑥𝐵 0 𝑚 𝑦𝐵 2 𝑚 𝑧𝐵 0 𝑚 𝑥𝐶 6 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑧𝑐 4 𝑚 Vetor Posição O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro Se r se estende da origem de coordenadas O para o ponto Pxyz então r pode ser exptesso na forma de vetor cartesiano como 𝒓 𝑥𝒊 𝑦𝒋 𝑧𝒌 Em geral o vetor posição é orientado do ponto A para o ponto B no espaço Da figura ao lado pela adição de vetores é necessário que 𝒓𝑨 𝒓 𝒓𝐵 Resolvendose para r temse 𝒓 𝒓𝑩 𝒓𝐴 𝑥𝐵𝑖 𝑦𝐵𝑗 𝑧𝐵𝑘 𝑥𝐴𝑖 𝑦𝐴𝑗 𝑧𝐴𝑘 Os componentes i j k do vetor posição r são formados tomandose as coordenadas da origem do vetor A𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑧𝐴 e subtraindoas das coordenadas correspondentes da extremidade B𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 xB xAi yB yAj zB zAk r O comprimento e a direção do cabo AB usado para suportar a chaminé são determinados medindose as coordenadas dos pontos A e B e usandose os eixos x y z O vetor posição r ao longo do cabo é então estabelecido A intensidade r representa o comprimento do cabo e a direção dele é definida por α β γ que são determinados pelos componentes do vetor unitário calculados a partir do vetor posição u rr Exemplo Uma fita elástico está presa aos pontos A e B como mostra a figura Determine seu comprimento e sua direção medidos de A para B 𝑟 𝑟𝑥2 𝑟𝑦2 𝑟𝑧2 𝑟 322262 r 7 m Calcular o comprimento módulo ou intensidade Encontrar o vetor unitário direção 𝑢 Ԧ𝑟 𝑟 𝑟𝑥 𝑟 𝑟𝑦 𝑟 𝑟𝑧 𝑟 Encontrar os ângulos diretores 𝛼 cos1 𝑟𝑥 𝑟 cos1 3 7 115 𝛽 cos1 𝑟𝑦 𝑟 cos1 2 7 73 𝛾 cos1 𝑟𝑧 𝑟 cos1 6 7 31 r 7 m α 115 β 734 γ 310