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Álgebra Linear 2
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1° Prova - Algebra Linear II - Prof. Carla - 11/11/2021 1* Questao (2,0 pontos) : Indique se a afirmacao abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa dé um contra exemplo. 1. Toda transformacao linear T : R® — KR é sobrejetora. 2. A funcao T : R? > RK tal que T(u) = ||ul|.u é uma transformacao linear. 3. Para quaisquer matrizes ortogonais M e N, M — N é ortogonal. 4. E possivel existir uma transformacao linear injetora T : R? > R?. 2* Questao (2,0 pontos) : 1. Considere P;(§) com produto interno < p,q >= fy pq dx. Obtenha a partir da base canonica de P2(§) uma base ortonormal com relagéo ao produto interno definido acima. 2. Considere A, B € M,,x7(K). Prove que < A,B >= tr(A’B) é um produto interno, onde tr é o trago. 3% Questao (2,0 pontos) : Seja E : R? — RK? a projecdo ortogonal sobre o plano x + y — 3z = 0. Determine: 1. E(a,y, 2). 2. Se EF é uma transformagao linear (justifique sua resposta), encontre a matriz associada a essa transformacao. 3. Uma base ortogonal para o complemento ortogonal de W considerando o produto interno < (x,y,z), (a,b,c) >= 2va+yb+4zc, onde W = {(2,y,z) € R? | E(x, y, 2) = (0,0, 0)}. 4* Questao (1,0 ponto) : -1 3 0 Sejam A= | 2 1 2 | eatransformagao linear T(x) = Ax. T admite uma inversa? 4 95 -8 Caso afirmativo (justifique sua resposta), encontre a inversa de T.
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1° Prova - Algebra Linear II - Prof. Carla - 11/11/2021 1* Questao (2,0 pontos) : Indique se a afirmacao abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa dé um contra exemplo. 1. Toda transformacao linear T : R® — KR é sobrejetora. 2. A funcao T : R? > RK tal que T(u) = ||ul|.u é uma transformacao linear. 3. Para quaisquer matrizes ortogonais M e N, M — N é ortogonal. 4. E possivel existir uma transformacao linear injetora T : R? > R?. 2* Questao (2,0 pontos) : 1. Considere P;(§) com produto interno < p,q >= fy pq dx. Obtenha a partir da base canonica de P2(§) uma base ortonormal com relagéo ao produto interno definido acima. 2. Considere A, B € M,,x7(K). Prove que < A,B >= tr(A’B) é um produto interno, onde tr é o trago. 3% Questao (2,0 pontos) : Seja E : R? — RK? a projecdo ortogonal sobre o plano x + y — 3z = 0. Determine: 1. E(a,y, 2). 2. Se EF é uma transformagao linear (justifique sua resposta), encontre a matriz associada a essa transformacao. 3. Uma base ortogonal para o complemento ortogonal de W considerando o produto interno < (x,y,z), (a,b,c) >= 2va+yb+4zc, onde W = {(2,y,z) € R? | E(x, y, 2) = (0,0, 0)}. 4* Questao (1,0 ponto) : -1 3 0 Sejam A= | 2 1 2 | eatransformagao linear T(x) = Ax. T admite uma inversa? 4 95 -8 Caso afirmativo (justifique sua resposta), encontre a inversa de T.