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Estatística ·
Álgebra Linear 2
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2a Prova - Algebra Linear II - Prof. Carla - 01/02/2022 1a Questão (1,4 pontos) : Sejam T : V → V um operador linear, λ1 e λ2 autovalores de T e v1 e v2 autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove-as ou dê um contra-exemplo. 1. Se α ∈ ℜ∗ então αv1 é uma autovetor de T. 2. v1 + v2 é um autovetor de T. 3. Se λ1 ̸= λ2 então v1 ̸= v2. 4. Se T é uma transformação linear injetora e λ1 ̸= 0 então 1 λ1 é um autovalor de T −1. 2a Questão (1,4 pontos) : Seja T : ℜ3 → ℜ3 definida por T(x, y, z) = (5x, y + 3z, 3y + z). Se A = [T]β sendo β a base canônica de ℜ3, pede-se: 1. Encontre uma base ortonormal de ℜ3 formada por autovetores. 2. Encontre a decomposição espectral da matriz A. 3a Questão (1,2 pontos) : 1. Determine a equação reduzida e a classificação da cônica representada pela equação 11x2 − 24xy + 4y2 + 20x − 40y − 20 = 0. Além disso, faça um esboço dessa cônica no plano. 2. Encontre os valores de k para os quais a forma quadrática q é positiva, q(x, y, z) = 3x2 + y2 + 2z2 − 2xz + 2kyz. 4a Questão (3,0 pontos) : Sejam T : ℜ3 → ℜ3 uma transformação linear e β a base canônica de ℜ3. Sabendo-se que T(1, 0, 0) = (4, −2, −2), T(0, 1, 0) = (0, 1, 0) e T(0, 0, 1) = (1, 0, 1), determine: 1. o polinômio característico de T; 2. os autovalores de T e os subespaços associados com suas respectivas bases; 3. se T é diagonalizável justificando sua resposta. Caso afirmativo, construa uma base α de ℜ3 tal que [T]α α é diagonal.
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2a Prova - Algebra Linear II - Prof. Carla - 01/02/2022 1a Questão (1,4 pontos) : Sejam T : V → V um operador linear, λ1 e λ2 autovalores de T e v1 e v2 autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove-as ou dê um contra-exemplo. 1. Se α ∈ ℜ∗ então αv1 é uma autovetor de T. 2. v1 + v2 é um autovetor de T. 3. Se λ1 ̸= λ2 então v1 ̸= v2. 4. Se T é uma transformação linear injetora e λ1 ̸= 0 então 1 λ1 é um autovalor de T −1. 2a Questão (1,4 pontos) : Seja T : ℜ3 → ℜ3 definida por T(x, y, z) = (5x, y + 3z, 3y + z). Se A = [T]β sendo β a base canônica de ℜ3, pede-se: 1. Encontre uma base ortonormal de ℜ3 formada por autovetores. 2. Encontre a decomposição espectral da matriz A. 3a Questão (1,2 pontos) : 1. Determine a equação reduzida e a classificação da cônica representada pela equação 11x2 − 24xy + 4y2 + 20x − 40y − 20 = 0. Além disso, faça um esboço dessa cônica no plano. 2. Encontre os valores de k para os quais a forma quadrática q é positiva, q(x, y, z) = 3x2 + y2 + 2z2 − 2xz + 2kyz. 4a Questão (3,0 pontos) : Sejam T : ℜ3 → ℜ3 uma transformação linear e β a base canônica de ℜ3. Sabendo-se que T(1, 0, 0) = (4, −2, −2), T(0, 1, 0) = (0, 1, 0) e T(0, 0, 1) = (1, 0, 1), determine: 1. o polinômio característico de T; 2. os autovalores de T e os subespaços associados com suas respectivas bases; 3. se T é diagonalizável justificando sua resposta. Caso afirmativo, construa uma base α de ℜ3 tal que [T]α α é diagonal.