Material de Apoio: Equações Diferenciais de Ordem 2

1 EDO de ordem n EDO de ordem 2 MATERIAL DE APOIO PARTE 2 Cálculo Diferencial e Integral V URI SAProfª Eliani Retzlaff EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Equações diferenciais homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes 1º Caso raízes reais e iguais 2º Caso raízes reais e distintas 3º Caso raízes complexas 31EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplos de aplicação das equações diferenciais de segunda ordem 1 Equação que descreve o movimento de uma massa sob a ação de uma mola tf uk dt c du dt d u m 2 2 com m c e k constantes 2 Taxa de variação da carga num circuito RCL L E t LC q 1 dt dq L R dt q d 2 2 3 Oscilações mecânicas onde a força de atrito é proporcional a velocidade de oscilação F t Ky dt c dq dt d y m 2 2 Aplicações Mecânica dos fluídos Condução de calor Fenômenos eletromagnéticos Movimento ondulatório Forma normal da EDO de 2ª ordem yfx y y 1 f função de três variáveis c1 e c2 constantes arbitrárias yx0 y0 prescreve um ponto particular por onde deve passar a curva da solução yx0 y0 prescreve o coeficiente angular dessa curva neste ponto Objetivo descrever a estrutura de suas soluções gerais 32Equações Lineares de 2ª ordem 2 EDO de ordem n EDO de ordem 2 São da forma Pxy Qxy Rxy Gx 2 com P Q R e G funções dadas Dividindo 2 por Px y qxy rxy gx 3 com q r e g contínuas num intervalo Exemplos 1 Dê a ordem e estabeleça se a equação diferencial é linear ou não linear a 1xy 4xy 5y cos x Os coeficientes das funções derivadas estão em função da variável independente x e o termo gx também está em função de x logo é linear e de ordem 2 b 2 2 2 R k dt d R A função gt neste caso não está em função da variável independente t logo é de ordem 2 porém nãolinear 321 Equações diferenciais homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes Homogêneas São da forma y ay by 0 4 com a e b constantes reais dadas Propriedades 1º Se y1 é uma solução particular cy1 também é solução da equação sendo c constante arbitrária cy1 a cy1 b cy1 c y1 ay1 by1 0 2º Se y1 e y2 são duas soluções particulares a soma y1 y2 também é a solução geral da equação y1 a y1 by1 0 y2 ay2 b y2 0 y1 y2 a y1 y2 by1 y2 0 Princípio da Superposição ou Linearidade 3 EDO de ordem n EDO de ordem 2 Se existe duas soluções para a equação de segunda ordem linear homogênea 4 e se forem linearmente independentes LI uma da outra temos yx c1y1x c2y2x onde c1 e c2 são constantes arbitrárias e qualquer constante arbitrária faz solução particular LI uma solução não é múltipla da outra Exemplo y y 0 isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma a 0 b 1 Se y1 2ex e y2 2ex para y y 0 yx c1y1x c2y2x yx c1 2ex c2 2ex Definição Dizse que y1 e y2 são duas soluções lineares independentes LI da equação se a razão y1 2 y constante assim constituem um sistema fundamental de soluções caso contrário são LD Exemplo 1 y1 ex e y2 ex x 2 x e x e y1 2 y e constante y1 e y2 são LI Exemplo 2 y1 5ex e y2 10ex 2 x 5e 10e x y1 2 y constante y1 e y2 são LD Wronskiano Se 2 1 y 1 y2 y1 y2 y y1 y2 dx d para que y1 y2 constante é necessário e suficiente que sua derivada não seja nula Condição 2 y 1 y2 y1 y 0 ou wx 0 y y y y 2 1 2 1 determinante wronskiano 4 EDO de ordem n EDO de ordem 2 Teorema Se y1 e y2 são duas soluções LI da equação então yx c1 y1 c2 y2 com c1 e c2 constantes arbitrárias é solução geral da equação Solução das equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes Mas como resolver y ay by 0 4 Lembrar que y ay 0 e y ceax parece natural supor que com y ex constante y ex 5 y2ex Com 5 em 4 2ex a ex b ex 0 2 a b ex 0 Com ex 0 então 2 a b 0 6 6 é a equação característica da equação diferencial 4 Obs no caso de ser uma raiz de 6 y ex é uma solução da equação diferencial 4 1º caso 1 2 quando as raízes da equação característica são reais e diferentes y1 e 1x e y2 e 2x então 1x 2 e 1x e 2x y1 y2 constante pois 1 2 e portanto 0 1 2 Logo a solução é yx c1y1x c2y2x yx c1e1x c2e2x Exemplo y 5 y 6y 0 verificar se é linear ou homogênea y ex constante y ex 5 y2ex y 5 y 6y 0 2ex 5 ex 6 2ex 0 ex2 5 6 0 Como ex 0 2 5 6 0 25 24 1 1 3 e 2 2 raízes reais e diferentes yx c1 e 3x c2 e 2x 2º caso 1 2 quando as raízes da equação característica são raízes reais e iguais Se y ay by 0 e 2 a b 0 5 EDO de ordem n EDO de ordem 2 Sendo 0 4b a2 2 1 e então 4 b a2 e a raiz é 2 a Então y1 e x 2 a Devese encontrar a outra solução particular fazendo y2 x vx y1 x onde y1 2 x a e y2 x vx 2 x a e 1 Fazendo a derivada do produto y2 x vx 2 x a e vx 2 a 2 x a e y2 x 2 x a e vx vx 2 a 2 Novamente a derivada do produto y2 x vx 2 x a e vx 2 a 2 x a e vx 4 a2 2 x a e y2 x 2 x a e vx avx 4 a2 vx 3 Com 1 2 e 3 na equação y ay by 0 2 x a e vx avx 4 a2 vx a 2 x a e vx vx 2 a b vx 2 x a e 0 2 x a e vx b 2 2 a 4 2 a vx 0 Como 0 2x a e e 4b 4 a 1 4 4b 2a2 a2 b 2 2 a 4 a2 2 e 0 4b a2 vx 0 então por integração vx x x y2x 2 x a e Logo a solução é y c1ex c2xex Exemplo y 4y 4y 0 2 4 4 0 16 16 0 1 2 e 2 2 raízes reais e iguais yx c1e 2x c2xe 2x 3º caso quando a equação característica possui raízes imaginárias Sejam 1 a bi e 2 a bi duas raízes da equação característica com b 0 bix ea y1x e bix ea y2x Como y1 e y2 são LI a solução geral é 6 EDO de ordem n EDO de ordem 2 bix d2 e a bix a d e1 yx d1 e d2 constantes bix d2eax e d1eax e bix yx bix d2 e bix eaxd e1 yx Utilizando a relação de Euler i senbx cosbx bix e i senbx cosbx bix e Daí cos cos i sen bx bx d i sen bx bx eax d y x 2 1 d2senbx id1 d2cosbx eaxd1 yx Definindo i constante e 2 2 1 1 2 1 c d d c d d A solução é y e ax c1 cos bx c2 sen bx Exemplo y 4y 13 y 0 2 4 13 0 16 32 36 2 36i 4 2 36 4 2 1 2 3i e 2 2 3i raízes imaginarias yx e2x c1cos 3x c2sen 3x Resumindo Uma solução de uma EDO de 2ª ordem linear ou não é chamada Solução geral se contém constantes arbitrárias independentes Solução particular quando atribuímos valores definidos a estas duas constantes A solução yx c1y1x c2y2x com c1 e c2 arbitrários constitui uma solução geral da equação y qxy rxy 0 em um intervalo I do eixo dos x se e somente se y1 e y2 constituem um sistema fundamental de soluções em I e y1 e y2 constituem um sistema fundamental se e somente se y1 y2 constante em I Considerando 2 a b 0 equação característica da equação diferencial y ay by 0 7 EDO de ordem n EDO de ordem 2 Caso Raízes Solução Geral I 1 2 yx yx c1 e 1x c2 e2x II 1 2 yx c1 e x c2 x e x III 1 a bi e 2 a bi yx e ax c1 cos bx c2 sen bx Exercícios Zill Equações Diferenciais pág 173 1 até 12 ímpares 1 Encontre a solução geral para a equação diferencial dada 8 EDO de ordem n EDO de ordem 2 2 Forme a equação diferencial homogênea conhecendo as raízes da equação característica 1 1 e 2 2 3 De que forma podese afirmar que y1 ex e y2 ex formam um conjunto fundamental de soluções 4 Determinar a equação diferencial cuja solução seja yx c1 e 2x c2 e3x 9 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes Equações diferenciais homogêneas de ordem n com coeficientes constantes 1º Caso raízes reais e iguais 2º Caso raízes reais e distintas 3º Caso raízes complexas Redução de ordem EDOH com coeficientes variáveis EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n Teoria Geral das Equações Lineares de Ordem n São da forma yn f n1x yn1 f1x y f0x y gx 1 onde yn derivada de ordem n de y em relação a x gx e f0 f1 f n1 são funções de x Observações Uma solução de uma equação diferencial de ordem n linear ou não constitui uma solução geral se ela contém n constantes independentes arbitrárias Se atribuirmos valores definidos às n constantes a solução obtida passa a constituir uma solução particular daquela equação Equações Lineares Homogêneas com coeficientes constantes de ordem n São da forma yn an1 yn1 an2 yn2 a2 y a1 y a0 y 0 2 onde yn yn1 yn2 y y são as derivadas an1 an2 a2 a1 a0 são constantes Estendendo o método de resolução da equação homogênea de ordem 2 para ordem n temos Substituindo y ex e sua derivada em 2 y ex Solução da eq Homogênea de 1ª ordem ya0y 0 y ex y 2ex Yn1 n1ex Yn nex ex n an1 n1 a2 a1 a0 0 com ex 0 10 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes n an1 n1 a2 a1 a0 0 3 e 3 é a equação característica 1º caso quando as raízes da equação característica são reais e diferentes Se 2 possui raízes distintas y1 y2 yn então as n soluções y1 e1x y2 e2x yn enx constituem um sistema fundamental para qualquer x e a solução geral correspondente será yx c1e1x c2e2x cnenx 2º caso quando as raízes da equação característica são raízes reais e iguais Se ocorrer uma raiz dupla por ex 1 2 y1 y2 então tomamos y1 e y2 xy1 como duas soluções LI que correspondem aquela raiz Assim seja uma raiz real repetida da equação característica a solução é y c1e x c2xe x c3 x2e x cnxn1e x 3º caso quando a equação característica possui raízes imaginárias Os termos que envolvem exponenciais complexos podem combinarse de modo a termos senos e cossenos Exemplos 0 dx 12y 4 dy dx 3d y dx d y 1 2 2 3 3 3 32 4 12 0 achar as 3 raízes 1 2 3 4 6 12 possíveis raízes 2 1 3 4 12 1 5 6 0 1 2 2 2 e 3 3 raízes reais e diferentes y c1 e 2x c2 e 2x c3 e 3x 0 y 3 y 2 y 3y IV V 11 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes 1 0 54 3 2 1 3 0 18y 16y 2y y IV yV 1 2 2 2 2 2 5 4 3 2 1 i i Exercícios 1 Resolva as equações diferenciais a 0 36y dx 13 d y dx y d 2 2 4 4 12 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes c 0 y dx d y 2 2 d dx 0 5 dy dx 4d y dx y d 2 2 3 3 g 0 dx 2y 5 dy dx 3d y dx d y dx y d 2 2 3 3 4 4 13 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes Exercícios Zill Equações Diferenciais pág 173 13 até 35 ímpares e a 39 43 47 Encontre a solução geral para a equação diferencial dada Encontre a solução para a equação diferencial dada sujeita as condições iniciais indicadas 14 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes 15 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes 16 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes REDUÇÃO DE ORDEM EDOH COM COEFICIENTES VARIÁVEIS Dada a equação y qxy rxy 0 1 com y1x dado Querse determinar y2x y2x vxy1x 2 y2x vxy1x vxy1x 3 y2x vxy1x vxy1x vxy1x vxy1x y2x vxy1x 2vxy1x vxy1x 4 Com 2 3 e 4 em 1 vxy1x 2vxy1x vxy1x q vxy1x vxy1x r vxy1x 0 vxy1x 2y1x qy1xvx y1x q y1x ry1xvx 0 de 1 y1x q y1x ry1x 0 então vxy1x 2y1x qy1xvx 0 dividindo a equação por y1x vx 2 x y x y 1 1 qxvx 0 se u v e u v ux 2 x y x y 1 1 qxux 0 dx du 2 x y x y 1 1 qxux ux du 2 x y x y 1 1 qx dx qxdx x dx y 2 y x u ln 1 1 qxdx y x dx dx x dy 2 u ln 1 1 qxdx 2lny x ln u 1 qxdx 2lny x ln u 1 qxdx ln uy x 2 1 qxdx lnuy x 2 1 e q x dx y x u 2 1 17 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes e q x dx y x u 2 1 Como u v v e q x dx x y 2 1 v e q x dx x y 2 1 dx E y2x vxy1x y2x y1x e q x dx x y 2 1 dx Como yx c1y1x c2y2x yx c1y1x c2 y1x qxdx 2 1 e y x dx Exemplo x2y 2xy 0 y1x 1 Exercício Resolver as seguintes EDOS 1 x2y 2xy 2y 0 y1x x 18 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes 2 x2y 3xy y 0 y1x 1x 19 EDO de ordem n Homogêneas com coeficientes constantes 3 x2y xx 2y x 2y 0 y1x x Exercícios Zill Equações Diferenciais pág 172 1 até 12 ímpares Nas questões seguintes enconte uma segunda solução para cada equação difencial Use redução de ordem 20 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Método dos coeficientes indeterminados Método da Variação de parâmetros para Equações Lineares nãoHomogêneas de coeficientes constantes na ordem 2 e ordem n EQUAÇÕES LINEARES NÃOHOMOGÊNEAS DE ORDEM n Equações Lineares nãohomogêneas de ordem 2 Dada y qxy rxy gx 1 com q r e g contínuas num intervalo Teorema Sejam y1x y2x duas soluções LI da equação homogênea y qxy rxy 0 e seja ypx solução particular da equação 1 Então toda solução yx de 1 é da forma yx yhx ypx Método dos coeficientes a determinar O método dos coeficientes a determinar é adequado para equações com coeficientes constantes y ay by gx 2 com a e b constantes Consiste em imaginar para yp uma expressão semelhante à de gx contendo coeficientes incógnitas que são determinadas substituindo yp e suas derivadas em 2 Exemplo Resolver as seguintes equações não homogêneas a y 4y 12 Considerando y 4y 0 homogênea 2 4 0 2 4 4 2i yh e0 c1 cos 2x c2 sen 2x yh c1 cos 2x c2 sen 2x Como gx 12 procurase uma expressão semelhante a gx para yp 1ª tentativa yp A constante então yp 0 e yp 0 em y 4y 12 0 4A 12 A 3 Logo yp 3 Então se yx yhx ypx yx c1 cos 2x c2 sen 2x 3 21 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar b y 4y 8x2 Considerando y 4y 0 homogênea 2 4 0 2 4 4 2i yh e0 c1 cos 2x c2 sen 2x yh c1 cos 2x c2 sen 2x Como gx 8x2 procurase uma expressão semelhante a gx para yp 1ª tentativa yp Ax2 yp 2 Ax e yp 2A Substituindo na equação temse 2A 4A x2 8x2 2A x0 4Ax2 8 x2 0 x0 2A 0 4A 8 A 0 A 2 Os coeficientes de cada potência de x em ambos os membros x2 e x0 devem ser idênticos 2ª tentativa yp Ax2 Bx C yp 2 Ax B e yp 2A Substituindo na equação temse 2A 4Ax2 Bx C 8x2 2A 4Ax2 4Bx 4C 8x2 4Ax2 4Bx 2A 4C 8x2 0 x 0 x0 4A 8 A 2 4 B 0 B 0 2A 4C 0 22 4C 0 C 1 Assim yp Ax2 Bx C yp 2 x2 1 yp 4x e yp 4 4 42 x2 1 8 x2 4 8 x2 4 8 x2 Então se yx yhx ypx yx c1 cos 2x c2 sen 2x 2x2 1 c y y 2 y 10 cos x Considerando y y 2 y 0 homogênea 22 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar 2 2 0 1 2 e 2 3 1 2 1 8 1 2 1 Yh c1 e 2x c2 e x Como gx 10 cos x procurase uma expressão semelhante a gx para yp 1ª tentativa yp Acos x yp Asen x e yp Acos x Substituindo na equação temse A cos x A sen x 2A cos x 10 cos x falha 3A 10 e A 0 2ª tentativa yp A cos x B sen x yp A sen x B cos x e yp A cos x B sen x Substituindo na equação y y 2 y 10 cos x temse A cos x Bsen x A sen x B cos x 2 A cos x B sen x 10 cos x 3A B cos x A 3B senx 10 cos x 0 sen x 3A 𝐵 10 𝐴 3B 0 3 3B B 10 9 B B 10 B 1 A 31 0 A 3 yp 3 cos x 1 sen x Então se yx yhx ypx y c1 e 2x c2 ex 3 cos x 1 sen x Termo geral em x e a escolha do yp Termo em gx Escolha Pnx k xn yp k xn k n1 x n1 k1 x k0 k e x com constante conhecida yp k e x k e x Pn x yp ex kn xn kn1 xn1 k1 k0 senβ x k k cos β x yp k cos β x M sen β x 23 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Obs no caso de somas ou produtos de funções buscar também somas e produtos do mesmo tipo Regra de modificação Se yp contém termos que duplicam qualquer solução da equação homogênea então cada um de tais termos deve ser multiplicado por xm onde m é a multiplicidade da raiz naquela equação ou seja por exemplo para equações diferenciais de 2ª ordem m pode ser 1 ou 2 Exemplo y 2y y ex x Solução da equação homogênea 2 2 1 0 1 1 e 2 0 2 2 4 4 2 2 1 Yh c1 ex c2 xex Como gx ex x procurase uma expressão semelhante a gx para yp Yp A ex Bx C Como A ex c1 ex da solução homogênea multiplicar por x x A ex Como xA ex c2 xex multiplicar por x novamente x2 A ex Logo Yp A x2ex Bx C Yp 2Axex Ax2ex B Yp 2Aex 2Axex 2Axex Ax2ex Substituindo em y 2y y ex x 2Aex 2Axex 2Axex Ax2ex 2 2Axex Ax2ex B A x2ex Bx C ex x 2A 1 A 12 B 1 2B C 0 C 2 Então Yp A x2ex Bx C Yp ½x2ex x 2 E yx yhx ypx y c1 ex c2 xex 12x2ex x 2 24 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Exercícios 1 Complete a tabela seguinte Termo em gx Escolha de yp 3x 5 2x2 2 2x3 4x 4 sen 3x 5 cos 2x e 2x 3x 4 3e 3x cos 2x e4x 2sen 4x 4x e 3x 3x sen x 2 Determine a solução geral das equações diferenciais a y 2y y x2 1 25 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar b y 2y y 2 c y 2y y 3 e2x d y 2 y y 4 cos x 26 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar e y 2y y 3 ex 27 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar f y 2y y x ex g y y y x x2ex Equações Lineares NãoHomogêneas de ordem n 28 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Seja yp uma solução particular a equação yn f n1x yn1 f1x y f0x y gx 1 e seja y1 y2 yn um conjunto fundamental da equação diferencial homogênea correspondente então yx c1y1x c2y2x cnynx yp 3 com c1 c2 cn coeficientes constantes Método dos coeficientes a determinar para ordem n Dada yn an1yn1 a1y a0y gx Com an1 a1 a0 constantes Imaginar para yp uma expressão semelhante a gx Exemplo y 6y 11y 6y 2xex 29 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar 30 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Método da variação de parâmetros para ordem 2 Inventado por Lagrange resolve equações do tipo y qxy rxy gx 1 O processo leva em consideração a solução obtida a partir da equação linear homogênea associada yhx c1y1x c2y2x 2 e trata a constante obtida como uma possível função do parâmetro x A solução particular será da forma ypx v1xy1x v2xy2x 3 Ideia básica substituir as constantes c1 e c2 por funções e determinálas de modo que o resultado seja solução da equação não homogênea Derivando 3 ypx v1xy1x v1xy1x v2xy2x v2xy2x por escolha dizse que v1xy1x v2xy2x 0 4 Então ypx v1xy1x v2xy2x 5 ypx v1xy1x v1xy1x v2xy2x v2xy2x 6 Com 3 5 e 6 em 1 v1xy1x v1xy1x v2xy2x v2xy2x q v1xy1x v2xy2x rv1xy1x v2xy2x gx v1x y1x qy1x ry1x v2x y2x qy2x ry2x v2xy2x v1xy1x gx Como y1 e y2 são soluções da equação homogênea y qxy rxy 0 y1x qy1x ry1x 0 y2x qy2x ry2x 0 v2xy2x v1xy1x gx 7 De 4 e 7 0 2 2 1 1 2 2 1 1 v y y v g x v y y v x dx x x dx x g x y y x y x g y x y y y y x w g x v v y y y y w w v w w v 0 w 0 w 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Logo ypx v1xy1x v2xy2x E assim yx yhx ypx 31 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar yx yh yp Exercício Determine a solução geral das equações diferenciais a y y sec x b y 5y 6y 2ex 32 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar c y 2y y 3ex d y 9y 9 sec2 3x 33 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Revisando Método dos coeficientes indeterminados Método da Variação de parâmetros para Equações Lineares nãoHomogênea de coeficientes constantes na ordem 2 e ordem Algumas aplicações Equações Lineares NãoHomogêneas de ordem n Método dos coeficientes a determinar para ordem n Forma yn an1yn1 a1y a0y gx Com an1 a1 a0 constantes Solução Encontrar yh Imaginar para yp uma expressão semelhante a gx Ver se não duplica nenhum termo de yh se for o caso multiplicar por xm yx yh yp Exemplo Determine a solução geral da equação diferencial y y y x x2ex 34 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Método de Variação de Parâmetros para ordem n Forma yn fn1xyn1 f1xy f0xy gx 1 Solução Encontrar yh correspondente yh c1 y1 x cnyn x 2 yp tem a forma yp v1xy1x v2xy2 x vnxynx onde y1 y2 yn são dados por 2 e v1 v2 vn são funções incógnitas de x a serem determinadas v1 𝑤1 𝑤 𝑑𝑥 v2 𝑤2 𝑤 𝑑𝑥 vn 𝑤𝑛 𝑤 𝑑𝑥 yx yh yp Exemplo y y sec x 35 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar 36 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar Atividades 1 Dada y1x ex uma das soluções da equação diferencial y 4y y 0 use redução de ordem para encontrar a segunda solução yx 2 Determine a equação de movimento de um sistema molamassa a Movimento livre não amortecido 37 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar 3 4 3 e x0 2 4x x0 dt 16d x 1 2 2 b Movimento forçado 1 1 e x0 3cos2t x0 2 5 4x dt x d 2 2 sen t 3 Resolva o PVI 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑤2𝑥 𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜆𝑡 𝑥0 0 𝑥0 0 com w e Fo constantes 38 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar 4 Dar a solução geral da equação y 3y 2y exsenx y0 1 e y0 1 39 Equações Lineares nãohomogêneas Método dos coeficientes a determinar 40 Equação de EulerCauchy Aula 12 05 de novembro de 2020 Cálculo Diferencial e Integral V URI SAProfª Eliani Retzlaff Aplicações de Equações de segunda ordem Equação Homogênea de 2ª Ordem com Coeficientes Variáveis Equação de Euler Cauchy APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES Admitindo uma carga inicial de q0 coulombs no capacitor e uma corrente inicial de I0 ampères no circuito Resolver Um circuito RCL tem R180 ohms C 1280 farads L20 henry e uma voltagem aplicada de Et 10sent Admitindo que não haja carga inicial no capacitor mas uma 41 Equação de EulerCauchy corrente inicial de 1 ampère em t 0 quando se aplica inicialmente a voltagem determine a carga subsequente no capacitor Substituindo as quantidades acima em 3 Respostas Equação de EulerCauchy EDOs Lineares com coeficientes variáveis Homogêneas O tipo de equação considerado nesta seção é de coeficientes variáveis cuja solução geral pode ser expressa em termos de potência de x seno cosseno e funções logarítmicas É da forma anxnyn an1xn1yn1 a1xy a0y 0 os coeficientes an ao constantes x aparece na mesma ordem do y Solução geral da equação homogênea de 2ª ordem a2x2y a1xy a0y 0 a2 x2y poxy q0y 0 1 Se yx x yx x1 e yx 1x2 2 42 Equação de EulerCauchy Substituindo 2 em 1 x21x2 poxx1 q0 x 0 x1 pox q0 x 0 x2 po q00 Como x0 2 po 1 q0 0 3 Resolvendo 3 temse um dos três casos Caso 1 0 1 2 São soluções linearmente independentes y1 x1 e y2 x2 formam um conjunto fundamental de soluções Solução geral yx c1x1 c2x2 Para ordem n Se 1 2 n yx c1 1 x c2 2 x 𝒄𝒏𝒙𝝀𝒏 Exercício Resolva as EDOS 1 x2y 2xy 4y 0 2 2x2y xy 15y 0 43 Equação de EulerCauchy 3 4x2y 8xy 3y 0 Caso 2 0 1 2 2 po 1 x 2 po 1 q0 0 y1 2 po 1 x 4 Por redução de ordem y2 vx y1x de y qxy rxy 0 com y1x dado y2x y1x qxdx 2 1 e y x dx Como neste caso x2y poxy q0y 0 x2 0 x q y x p y 2 o o 2 o x p qx então y2x y1x qxdx 2 1 e y x dx y2x dx x p 2 2 po 1 2 po 1 o e x x dx y2x p lnx po 1 2 po 1 o e x x dx y2x o x p e ln po 1 2 po 1 x x dx y2x o p x x x po 1 2 po 1 dx y2x lnx x 2 po 1 y2x lnx x Solução geral yx c1y1 c2y2 yx c1 x c2 x ln x Para ordem n Se 1 2 n yx c1 x c2 xln x c3𝒙𝝀 𝒍𝒏 𝒙𝟐 𝒄𝒏𝒙𝝀 𝒍𝒏 𝒙𝒏𝟏 Exercício Resolva as EDOS 1 x2y xy 0 2 x3y 6x2y 7xy y 0 44 Equação de EulerCauchy 3 x2y 3xy 4y 0 Caso 3 0 1 e 2 C yx c1xabi c2xabi Como desejase escrever a solução em termos somente de funções reais fazse xa bi ln xa bi e biln x aln x ln x ln x e e e e a bi a bi a o ln x aln x x n real e e a biln x a biln x aln x x e e e Usando a fórmula de Euler x e yx biln x a c sen b ln x x c cos b ln x yx 2 1 a Exercício Resolva as EDOS 1 x2y 7xy 13y 0 45 Equação de EulerCauchy 2 4x2y 17y 0 2 po 1 q0 0 Equação de EulerCauchy EDOs Lineares com coeficientes variáveis não Homogêneas Para a resolução desse EDO a Resolver o problema homogêneo por EulerCauchy ou seja encontrar yh c1y1 c2y2 b Achar a solução particular yp v1y1 v2y2 pelo método de variação de parâmetros no entanto para isso colocar a equação diferencial dada inicialmente na forma padrão yn fn1xyn1 f1xy f0xy gx dividindo todos os termos pelo termo ao lado de yn c Yx yh yp Exemplo Resolva x2y 3xy 3y 2x4ex 46 Equação de EulerCauchy yn fn1xyn1 f1xy f0xy gx x2y 3xy 3y 2x4ex Resolver a equação diferencial x3 y x2 y 2x y 2 y x R y 12xln x2 Ax B xln x cx2 1y₁ c₂xy₂ c₃xy₃ 48 Equação de EulerCauchy x3 y x2 y 2x y 2 y x Equação de EulerCauchy 49 Equação de EulerCauchy