Aula 4: Quadros Isostáticos em Teoria das Estruturas II

TEORIA DAS ESTRUTURAS II CURSO ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TEORIA DAS ESTRUTURAS II PROF FABIANO PIMENTEL Fabianopimentelusuedub r TEORIA DAS ESTRUTURAS II DISCIPLINA TEORIA DAS ESTRUTURAS II AULA 4 QUADROS ISOSTÁTICOS SIMPLES I DEFINIÇÃO DE QUADROS E PÓRTICOS PLANOS II EIXOS GLOBAIS E EIXOS LOCAIS III PÓRTICOS BIAPOIADOS IV PÓRTICOS ENGASTADOS E LIVRES V PÓRTICOS TRIARTICULADOS VI PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Referência Estruturas Isostáticas Maria Cascão Ferreira de Almeida Oficina de Textos Rio de Janeiro TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS QUADROS ou PÓRTICOS PLANOS são estruturas formadas por elementos ou barras cujos eixos com orientações arbitrárias pertencem todos a um único plano plano da estrutura O carregamento atuante pertence também ao plano da estrutura Os nós que interconectam os elementos dos pórticos podem ser rígidos ou articulados Nas figuras as linhas tracejadas indicam os eixos das barras na situação indeformada e as linhas cheias na situação deformada sendo α o ângulo de rotação TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS Nós rígidos interconectando duas barras Nós rígidos transmitem momentos fletores Os ângulos entre as barras permanecem os mesmos após aplicação do carregamento Nó rígido com 2 barras M1 M2 0 M1 M2 TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS Nos nós rígidos há transmissão de momentos entre as barras Na figuras são apresentados exemplos de nós rígidos com A 2 barras e B 3 barras Conforme ilustrado os nós rígidos das estruturas deformadas apresentam rotação absoluta sendo porém nula a rotação relativa entre os elementos conectados Na estrutura indeformada os ângulos entre os elementos que neste exemplo são de 90 permanecem os mesmos após a aplicação do carregamento e a consequente deformação da estrutura TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS Nós rígidos interconectando três barras Nós rígidos transmitem momentos fletores Os ângulos entre as barras permanecem os mesmos após aplicação do carregamento Nó rígido com 3 barras M1 M2 M3 0 M3 M1 M2 TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS Nosnós articulados não há transmissão de momentos entre as barras articulados elementos Conforme ilustrado na figura os nós permitem a rotação relativa entre os conectados O momento fletor na rótula é sempre nulo Deformada Momentos Fletores DEFINICAO QUADROS PLANOS Li Os porticos sao classificados em simples e compostos U Porticos ou Quadros Simples Biapoiado Engastado e livre Triarticulado Biapoiado com articulagao e tirante ou escora O Porticos Compostos sao formados pela associagao de dois ou mais porticos simples Vigas simples tambem podem se associar a porticos simples para formar porticos compostos TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS Pórticos ou Quadros simples TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO QUADROS PLANOS Pórticos ou Quadros simples ES eae TEORIA DAS ESTRUTURAS U SANTA URSULA Eixos Globais e Eixos Locais Em estruturas formadas por elementos com orientacgdes diversas necessario fazer distingao entre o eixo global da estrutura e os eixos locais dos elementos 1 Para determinar as reacdes de apoio em estruturas formadas por elementos com orientacdes diversas e necessario definir um sistema referencial global 1 Cada elemento ou barra que compoe as estruturas reticulares tem o seu eixo local que assim como o elemento é definido pelos nos inicial e final de cada um destes elementos U A analise dos esforgos em cada elemento de um portico plano é feita utilizando o eixo local do elemento e a teoria de viga TEORIA DAS ESTRUTURAS II II EIXOS GLOBAIS E EIXOS LOCAIS Eixos Globais Conforme representado na figura os eixos globais são indicados pelas letras maiúsculas X Y e Z Ao longo deste curso os eixos globais serão sempre escolhidos de tal forma que as coordenadas X Y e Z sejam sempre positivas U SANTA URSULA ll EIXOS GLOBAIS E EIXOS LOCAIS Eixos Locais Li Para determinar os esforcos solicitantes internos e necessario que se defina para cada elemento que compoe a estrutura um sistema referencial local 1 Conforme indicado na figura os eixos locais sao representados pelas letras minusculas x y e Z 1 Os eixos locais sao obtidos fazendo coincidir os eixos x com os eixos dos elementos sendo as origens posicionadas nos nos iniciais destes A imposicao desta unica condigao no entanto permite a escolha de diferentes sistemas locais TEORIA DAS ESTRUTURAS II II EIXOS GLOBAIS E EIXOS LOCAIS Eixos Locais be a amet 1el ma ll EIXOS GLOBAIS E EIXOS LOCAIS Eixos Locais U Objetivando uma uniformidade as seguintes regras validas para os porticos planos serao estabelecidas As direcoes e os sentidos dos eixos zlocais devem ser OS mesmos do eixo Zglobal infosisentidasedoentceesiejxloseimpreerawltaidauepara inténier do porticoconforme ilustrado pelas linhas tracejadas na figura be a amet 1el ma lll PORTICOS BIAPOIADOS Portico biapoiado 0 Exercicio 1 ain 2 3 Resolver o portico ss biapoiado da figura mn determinar as reagdes 12tf J 3 de apoio e tracar os diagramas A 4 H4 t Vy b 6m TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Passo 1 seleção de um sistema referencial global Passo 2 determinação das reações de apoio TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Passo3 marcação dos eixos locais e das seções chaves no pórtico 1 Ae Ad 21 22 32 33 e 4 TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Passo 4 determinação dos esforços internos N Q e M no caso dos pórticos planos em todas as seçõeschave sempre em relação aos eixos locais da barra onde se localiza a seção Passo 5 marcação em escala nas seçõeschave dos valores dos esforços para obtenção dos respectivos diagramas de N Q e M observandose todas as descontinuidades Passo 6 completar o traçado dos diagramas ligando os pontos No caso de carregamento uniformemente distribuído devese pendurar a parábola qL28 no DMF a partir da linha tracejada que une os dois pontos TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS M máx visando a sua Passo 7 determinação de marcação no diagrama Subestruturação Qualquer elemento ou parte da estrutura pode ser isolado aplicandose todas as forças externas e internas que nele atuam As forças internas aplicadas são as que surgem nas seções de corte necessárias para se isolar o elemento ou parte da estrutura conforme ilustrado na figura Cada uma das barras isoladas deve estar em equilíbrio e as funções que expressam os esforços internos são obtidas exatamente como anteriormente estudadas para as vigas TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Subestruturação Isolar a barra 2 Determinar as funções que expressam os momentos fletores M e os esforços cortantes Q respeitando os eixos locais TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Determinação dos esforços internos TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Diagrama dos esforços internos TEORIA DAS ESTRUTURAS II III PÓRTICOS BIAPOIADOS Diagrama dos esforços internos be a amet 1el ma IV PORTICOS ENGASTADOS E LIVRES Portico engastado e livre Ul Os quadros ou porticos engastados e livres podem ser analisados de forma semelhante aos balangos ou vigas engastadas e livres Para a determinagao das forgas reativas da figura 0 eixo global selecionado tem origem no no 1 As 3 incognitas H1 V1 e M1 podem ser facilmente determinadas pelas 3 equacoes de equilibrio U SANTA URSULA IV PORTICOS ENGASTADOS E LIVRES DX Para a determinacgao dos ESl e x6 o tragado dos diagramas os 0 6 eixos locais das barras tem que Z ser definidos e as segdeschave 5 n io X tém que ser identificadas 4 Y Yi xm 121 2227 3 374 57 56 2 3 YD ple yM Hy vy be a amet 1el ma lV PORTICOS TRIARTICULADOS Portico triarticulado UO pértico ou quadro triarticulado do proximo slide um exemplo de estrutura externamente hiperestatica que se torna isostatica devido a liberagao de um vinculo interno neste caso a rotacao na rotula interna UL A introdugao desta rotula interna conduz a equacao de condigao M 0 rot TEORIA DAS ESTRUTURAS II V PÓRTICOS TRIARTICULADOS Exemplos de Pórticos triarticulados U SANTA URSULA VPORTICOS TRIARTICULADOS U As trés equagdes do equilibrio estatico acrescidas da equacgao de condigcao permitem a determinagao das reacoes de apoio da estrutura uma vez que 0 numero de incognitas externas r igual ao numero de equagdes disponiveis rntn e C onde n o numero de equagoes de equilibrio n 0 numero de equacoes de condiao U SANTA URSULA V PORTICOS TRIARTICULADOS Instabilidade geometrica UL O alinnhamento das rotulas de um portico triarticulado duas nos apoios e uma interna provoca a instabilidade da estrutura Este tipo de instabilidade denominada geometrica e exemplificada na figura a seguir LU Ao se tentar analisar uma estrutura instavel e portanto fisicamente impossivel 0 modelo matematico conduzira necessariamente a conclusao de que a solucao e matematicamente impossivel TEORIA DAS ESTRUTURAS II V PÓRTICOS TRIARTICULADOS Instabilidade geométrica Exemplo de instabilidade geométrica em um pórtico triarticulado be a amet 1el ma V PORTICOS TRIARTICULADOS Instabilidade geometrica 1 Tendo em mente que M2 QO a estrutura da figura permite antecipar que as resultantes R1 e R3 das forcas reativas nos apoios 1 e 3 respectivamente tem as suas linhas de agao no alinhamento das trés rotulas Definindo esta linha como o eixo global X o equilibrio em Y fornece a seguinte equagao P cosa 0 que e matematicamente impossivel U SANTA URSULA VPORTICOS TRIARTICULADOS LU Exercicio 2 Estruturas lsostaticas 12 KN 20 kN Determinar as reagoes 2 D de apoio e tracar os alana diagramas dos esforgos internos do portico triarticulado da figura j Hy f H4 Vi V4 be 6m V PORTICOS TRIARTICULADOS LU Exercicio 2 resolucao e Passo 1 Determinacgao das reagdes de apoio 1 Ze 0 e H Hy 200 H H 20 2 Fy 0V 12x6V 0 V V4 7 12x67 3 2M 020x4 60 6V 0 Vy 593KN V 127kN 4M30 4Hy600 Hy15KN H 35kN V SANTA URSULA V PORTICOS TRIARTICULADOS LU Exercicio 2 resolucao Passo 2 Determinacado dos momentos nas secdes chave 1 2 2 3 34M M M 140 kNm M 60 kNm Mx 6x 127x 140 Qx 12x127 Qx0 x106m M2 sx 1467kNm U SANTA URSULA V PORTICOS TRIARTICULADOS LU Exercicio 2 resolucao Passo 3 Desenhar os diagramas de esforcos internos DN Dc kN kN a Sir oF 4 1 4 ad 593 35 157 be a amet 1el ma V PORTICOS TRIARTICULADOS LU Exercicio 2 resolucao DMF kNm 106m Diagrama de 140 603 momentos fletores oy fa gory V 2 1 4 JX U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE ys Y Exercicio 3 2 tfm 5 ol 5 tfm Resolver o portico Ol simples da figura e a desenhar os diagramas de esforcos internos 7a Hy 4 Vy V2 ar U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE Y Exercicio 3 resolucao stim As incognitas deste problema sao tb ser quatro E Externas reagoes de apoio Ole et H1V1eV2 LT gg Dee Interna o esforo normal N3 3 4 constante ao longo da barra biarticulada 3 s e Se N3 for um esforgco normal de s tracao a barra 3 sera um tirante se for de compressao sera uma v escora U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE Ll Exercicio 3 resolucao Passo 1 Reacoes de apoio e esforco normal N3 na barra 3 Numero de incognitas quatro Numero de equagoesnnn4 Utilizando o Sistema Global 1 SF 0 H30 H 3tf 2 Fy 0 V 8 Vo 0V V5 8 3 M 0165124V 0 V575tf V 225tf 4 M 0 3N7650 N37tf Normal de tracao tirante U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE LU Exercicio 3 resolucao A Equagao 4 equagao de condicgao foi obtida considerando o sistema de forcas a direita do no 6 Para a determinacao do momento fletor no no 6 necessaria a substituigao da barra 3 pela sua agao sobre os nos 3 e 4 Esta acao representada pela forca normal N deve ser sempre arbitrada como de tragao forga saindo dos nos Osinal positivo obtido da resolucao do sistema de equacoes confirma que o normal é de tragao conforme arbitrado Ounico esforco interno que surge numa barra rotulada nos nos inicial e final sem carregamento transversal o normal N U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULACAO E TIRANTE LU Exercicio 3 resolucao Passo 2 Determinagao dos ESI nas secoes chave Esforcos internos nas secéeschave 1 2 3 3 34 5 5 6 e 6 47 4 4 e Mmax utilizando os Sistemas Locais N 225tf Q 3tf M0 N 575tf Q0 M0 N 225tf N 37tf N4225tf Q 30tf Q70 Q407tf M 90tfm M7 0 M490tfm Nf 575tf Nj 37tf Ny 575tf Q76 Q20 Q2 37tf MM7M0 U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULACAO E TIRANTE LU Exercicio 3 resolucao Passo 2 Determinacao dos ESI nas secoes chave N4 225tf N 07tf Qs 07tf Ohm 2 25tf M4M7tfin No 07tf N 575tf Q6575tf Q 07tf Mo0 M 0 M Stfin Q 07tf Q737tf U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE LU Exercicio 3 resolucao Verificase uma inversao de sinal nos valores dos cortantes nos nos inicial e final da barra 6 Isto significa que o cortante esta se anulando entre estas duas secdeschave e por conseguinte a posicao e o valor de M devem ser determinados Para oo calculo 6max UtiliZandoa tecnica debestruturacaoa barlY 6 déeve serisolada do resto da estrutura be a amet 1el ma VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE LU Exercicio 3 resolucao Os ESI nos nos inicial 5 e final 6 da barra 6 anteriormente determinados devem ser indicados assim como o carregamento que ocorre ao longo da barra conforme representado na figura 2 tfim 7 07 me 5 6 6 575 4m VU SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE Ll Exercicio 3 resolucao Considerando o sistema local da barra 6 as fungoes ESI podem ser escritas Nx 07 Mx x 225x 7 Qx 2x 225 e omomento maximo obtido Ot0 x21125m M783tim V SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULACAO E TIRANTE Exercicio 3 resolucao e Passo 3 Desenhar os diagramas de esforcos internos DN DQ tf tf 225 tf 07 PF 187 S T37 D i jo Q a S75 7 Mlle MEET U SANTA URSULA VI PORTICO COM ARTICULAGAO E TIRANTE LU Exercicio 3 resolucao pm tfm 1125m 7 5 lee Diagrama de e a 37 momentos fletores 9 a 7 YZ ru U SANTA URSULA Vil PORTICOS COM BARRAS CURVAS Porticos com barras curvas L Nos porticos simples podem ocorrer elementos ou barras com eixos curvos conforme ilustrado na figura LU A ocorréncia de elementos curvos nos porticos em nada altera a Sua analise a nao ser pelo fato dos sistemas locais das barras curvas terem nas segoes em analise OS eixos x tangentes e os eixos y perpendiculares aos eixos das barras TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Exemplos de Pórticos com barras curvas TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Eixos curvos Problema Para a viga biapoiada definida porum semicírculo de raio R e submetida a uma força concentrada esforços P conforme indicada na figura determinar os internos em uma seção genérica S A seção S é definida em coordenadas polares pelo raio R e pelo ângulo θ formado com a horizontal A determinação dos ESI em qualquer seção de uma barra de eixo curvo fica bastante simplificada seguindo o seguinte procedimento TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Eixos curvos TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Eixos curvos aDeterminar a ação das forças à esquerda ou à direita de S usando um sistema conveniente em geral o global XYZ conforme indicado na figura obtendose na direção Y a força P2 na direção Z o momento TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Eixos curvos TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS b A determinação desta ação referida ao sistema local xyz fornecerá os esforços internos na seção S Como os eixos Z global e z local têm a mesma orientação o momento fletor permanece o mesmo M MS A convenção de sinais dos ESI deve ser respeitada Nas barras de eixo curvo para uma seção S qualquer no trecho 1A temse TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Diagrama de Esforço Cortante TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Diagrama de Esforço Normal TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Diagrama de Momento Fletor See TEORIA DAS ESTRUTURAS U SANTA URSULA UL Numa estrutura plana simetrica com carregamento simetrico os diagramas dos momentos fletores e dos esforos normais sao simetricos e o dos esforcos cortantes é antissimetrico U O tragado dos diagramas dos esforcgos internos em barras curvas fica bastante simplificado se seus valores forem marcados a partir de uma linha reta reta 12 ligando os extremos da barra na figura OY 5 noanene ee x fH a a E Fic 521 Diagrama de Momentos Fletores em vigas curvas com o auxilio da reta de substituigao U SANTA URSULA Vil PORTICOS COM BARRAS CURVAS 1 O diagrama de momentos fletores se marcado a partir da reta 12 seria convenientemente representado por uma fungao linear do valor RRcosé8 1 Isto corresponde a uma mudanga de eixos do sistema local onde x e y sao tangentes e normais em cada ponto correspondente as coordenadas polares R8 para um eixo xy com origem em 1 sendo x horizontal e obtido como x R 1 cos 8 TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Eixo da barra curva definido por uma função qualquer fx Seja por exemplo a obtenção do DMF de uma barra curva definida por uma função qualquer y fx e submetida a uma força concentrada unitária no nó 2 Considerandose que M 1 y o seu traçado a partir da reta 12 é imediato sendo este delimitado pelo próprio eixo da barra conforme ilustrado na figura TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Eixo da barra curva definido por uma função qualquer fx A determinação dosesforços internos em uma barra curva fica bastante simplificado quando decompõemse os carregamentos em cargas verticais e momentos cargas horizontais sendo os valores totais obtidos através da superposição conforme ilustrado na figura a seguir TEORIA DAS ESTRUTURAS II VII PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS Superposição das cargas verticais e momentos e cargas horizontais TEORIA DAS ESTRUTURAS II RESUMO DA AULA Ao final desta aula vocês deverão ser capazes de Calcular as reações de apoio esforços internos e desenhar diagramas de esforços N V e M em pórticos planos simples Calcular as reações de apoio esforços internos e desenhar diagramas de esforços N V e M em pórticos planos com articulações tirantes e escoras Calcular as reações de apoio esforços internos e desenhar diagramas de esforços N V e M em pórticos planos com barras curvas