Vigas Gerber: Teoria e Aplicações em Engenharia Civil

TEORIA DAS ESTRUTURAS II CURSO ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TEORIA DAS ESTRUTURAS II PROF FABIANO PIMENTEL fabianopimentelusuedubr TEORIA DAS ESTRUTURAS II DISCIPLINA TEORIA DAS ESTRUTURAS II AULA 2 VIGAS GERBER I DEFINIÇÃO DE VIGAS GERBER II MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO III EXEMPLO EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO IV MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO V EXEMPLO DE DECOMPOSIÇÃO VI SOLUÇÃO ECONÔMICA DA VIGA GERBER be a amet 1el ma DEFINICAO DE VIGAS GERBER UH VIGAS GERBER recebem este nome em homenagem ao engenheiro civil alemao Heinrich Gottfried Gerber 18321912 que recebeu diversas patentes por seu sistema de construgao de pontes 1 Estas vigas surgiram por duas razoes e Estruturais permitir deformagoes evitando o surgimento de esforcos internos devido a recalques diferenciais nos apoios Construtivas permitir o langamento de vigas pre moldadas em vaos sobre leitos de rio ou de dificil acesso be yal Dames Slel ma DEFINIGAO DE VIGAS GERBER O VIGAS GERBER CC eS UL rT rt t T ii mm i an fy 7 Almeida 2009 pe ve Tendéncia de uso nos oe ae elementos premoldados Bn UO httpswwwyoutubecomwatchvEht1MSnBpck U SANTA URSULA DEFINIGAO DE VIGAS GERBER LiRazoes Construtivas Solugao a Necessidade de escorar simultaneamente todo o volume sob o tabuleiro da ponte Dificuldadede execucao do trecho BOem fungao da profundidade e velocidade do rio I ad ea ee eS re 85s TSITIESTISINS SI INVITES a Z rio profundo ret Sussekind 1989 U SANTA URSULA DEFINIGAO DE VIGAS GERBER Razoes Construtivas Solugao b Permite a execuGao em separado dos trechos ABE FCD e por ultimo EF A vigota EF seria concretada utilizando os proprios trechos ABE e FCD como apoios ou ser prémoldada Reduz o risco de execugcao do vaoBCe reduz o volume de material de escoramento a quase 13 E F ees aa Se aT SNL SYN SUSU YW b 4 rio profundo Sussekind 1989 TES U SANTA URSULA DEFINIGAO DE VIGAS GERBER Razoes Estruturais Permite deformacgoes evitando o surgimento de esforcos internos devido a por exemplo recalques diferenciais nos apoios Reduz as forcgas horizontals nos pilares devidas a variagoes de temperatura e a retracao do concreto Oo que sera visto com mais detalhes na disciplina de Pontes 1 As Vigas Gerber sao utilizadas em sistemas construtivos utilizando elementos de concreto pre moldado para construcao de pontes por exemplo be a amet 1el ma DEFINIGAO DE VIGAS GERBER 0 VIGAS GERBER A B Cc D E F Lo we gerber Terreno Dente Gerber c Fundagao Pilar Pilar 2 at bet a BEA A B Cc D E F a D am A B Cc D E F be a amet 1el ma DEFINICAO DE VIGAS GERBER LU Os dentes Gerber nada mais sao do que rotulas M0 convenientemente introduzidas na estrutura de forma a tornala isostatica 1 As vigas Gerber sao formadas pela associagao de vigas simples isostaticas Vigas em balanco engastada e livre Vigas biapoiadas Vigas biapoiadas com balangos 1 Algumas vigas tém estabilidade propria CEP e outras sao sem estabilidade propria SEP A estabilidade das vigas SEP depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam TEORIA DAS ESTRUTURAS II I DEFINIÇÃO DE VIGAS GERBER A Exemplos de vigas Gerber B Identificação das vigas simples e associadas SEP e CEP Almeida 2009 be a amet 1el ma ll METODO DAS EQUAGOES DE CONDIGAO 1 As vigas Gerber podem tambem ser consideradas como exemplos de estruturas hiperestaticas que tornamse isostaticas devido a introdugao de liberagdes de vinculos internos no caso rotulas dentes Gerber que liberam as rotacgoes L Contanto que a estabilidade da estrutura seja mantida a liberagao devinculos emestruturashiperestaticas permite a das equagoes de assstiadasaaos vinculos libeoadasao 1 A incapacidade de transmissao de momentos associada a uma rotula conduz a seguinte equagao de condicao M 0 rot U SANTA URSULA ll METODO DAS EQUAGOES DE CONDICAO Viga continua com 3 vaos estrutura hiperestatica Reagdesde apoio tn by A A A incdgnitas R 5 t f Equagoes de equilibrio n3 e Ll Viga Gerber estrutura isostatica A B 1 2 C D be Mao MOAN A Numero de equacgdes ov de condigao n 2 A introdugao das rotulas 1 e 2 permite a obtencao das equagodes de condicao be a amet 1el ma ll METODO DAS EQUAGOES DE CONDICAO U A estrutura pode serresolvida pois oO numero equacgdesdisponiveis né igual ao de numero incognitas R de Equagoes nnn3t25 Incognitas R5 L As equagoes de equilibrio estatico se aplicam a toda a estrutura pois estao associadas ao equilibrio global XM0 em qualquer ponto L As equacgoes de condigao estabelecem que o momento fletor esforgo interno nulo em uma determinada secao S aplicandose portanto somente a parte da estrutura forgas a esquerda ou a direita de S be a amet 1el ma Ill EXEMPLO DE EQUACOES DE CONDICAO L1 Resolver a viga Gerber abaixo adotando a solugao por meio das Equacgoes de Condicao lot 25 tf 20 tf 2 tfim B c tf D Ha E NW Sy WV oVYw F wt SY Va t t ag we woe wae U SANTA URSULA lil EXEMPLO DE EQUACOES DE CONDICAO DN 0 Diagramas pa DEC tf Marcar os valores dos esforcos internos nas 9 secoes chaves A E B12CFeD JK x A la AN tA ws a a on a oe iS DMF tfm 4 Nets JK ae ZN A Mihi OO on Mtl U SANTA URSULA IV METODO DA DECOMPOSICAO Para resolver a viga Gerber pelo Método da Decomposicao basta decompola nas vigas que a constituem Para tal devemos destacar as vigas que ja possuem estabilidade propria apoiando sobre elas as demais atraves das rotulas As rotulas indicam a transmissao de carga das vigas que nao possuem estabilidade propria para as que possuem U1 As rotulas transmitem forcgas verticais e horizontais mas nao transmitem momento TEORIA DAS ESTRUTURAS II IV MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO V SANTA URSULA lV METODO DA DECOMPOSIGAO Li Exemplo de sequéncia de decomposicao u ea za HOODS U SANTA URSULA IV METODO DA DECOMPOSICAO Li Exemplo de sequéncia de decomposicao I AA II a a t IV x2 an U SANTA URSULA IV METODO DA DECOMPOSICAO L Os numeros indicam a sequéncia de resolugao e as setas a transmissao de cargas cGo G H A Bs c Oo Fc 4 Q ji aA Aon 4a a S 8 G G6 H a Arn EQQFig By a I eee a E 2 ae 3 23245 Os A B c a Q BB c the CR uF i Road Ap be a amet 1el ma V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO OEXEMPLO 1 Resolver a viga Gerber abaixo adotando a solugao pelo metodo da decomposicao Desenhar os diagramas dos esforgos internos na viga 50 kN 20 kNm B VIITITITITT 4m 4m 8m U SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO UConstrugao do diagrama de corpo livre de cada trecho apos a decomposicao 1 row tts f 20 KNm 2 oT B Cc 50 kN Rvs Rve Ma Rye mt V Re Rva gam Reacoées de apoio internas Gam Reacées de apoio externas U SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO U Utilizagao das equacgoes de equilibrio Viga BC 20 kNm D fe x Rye i Rye M 0 208R80 Rye 80KN F 0 F Ryy Rye 2080 Ry 0 Ry 16080 R 80kN U SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO U Utilizagao das equacgoes de equilibrio Viga AB 50 kN M Ryg 80 KN Rua A 3 Re 0 7 Rua 4m 4m 50R 0 Ry Ryp os Rw 0 R50800 R130kN M 0 MR850400 M 1308200 M 840kNm V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO 1 Diagrama de corpo livre com as reagoes calculadas 20 kNm 50 kN 80 kN 80 KN 840 KNm 80 KN A B 130 KN U SANTA URSULA V EXEMPLO DE DECOMPOSICAO 20 KNm Tragado do Diagrama de Esforcos Cortantes i pied 50 kN 80 kN 80 KN tl 130 kN 60 B Cc 130 80 80 kN A B 130 80 1 B 80 U SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO 20 kKNm U Tragado do Diagrama de Momentos Fletores 7 50 kN aii 840 KNm BO KN co 130 kN 840 Se 160 DMF kNm A B 840 320 A Cc 7 160 VIITITTIT be a amet 1el ma V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO OEXEMPLO 2 Resolver a viga Gerber abaixo adotando a solugao pelo metodo da decomposicao Desenhar os diagramas dos esforgos internos na viga 40 kN 10 kNm B C OTT TET TTT T LTT TTA A 4 4m E F 8m U SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO how O EXEMPLO 2 Decomposicao B C i OR re f 10 kNm R60kN Cc TTT os 10 kNm PEN G 80m 20m teu 30kN U SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO OU EXEMPLO 2 Diagrama de Esforgos Cortantes 5000 2000 2000 7X hs H 7X 2 3 3 g 3 S 8 8 3000 3000 4000 5000 V SANTA URSULA V EXEMPLOS DE DECOMPOSICAO 0 EXEMPLO 2 Diagrama de Momentos Fletores 2 z 2 z 8 8 8 8 S S S g U SANTA URSULA VI SOLUGAO ECONOMICA DA VIGA GERBER Ll Visando a solugao econdmica da viga Gerber as posicgdes das rotulas devem ser convenientemente escolhidas 1 No caso do exemplo a seguir a melhor posigao das rotulas para a solucao otimizada e aquela em que o modulo do momento fletor negativo nos apoios X seja igual ao momento positivo maximo M A Modelo generico Estruturas lsostaticas a Lt Ya Ya A B a D Vao extremo Balango Va4o Intermediario Balango Vao extremo TEORIA DAS ESTRUTURAS II VI SOLUÇÃO ECONÔMICA DA VIGA GERBER B Solução limite como três vigas biapoiadas O momento positivo no meio do vão é muito grande O mesmo pode ser reduzido mudando a posição das rótulas de forma a criar momento negativos nos apoios suspender o diagrama TEORIA DAS ESTRUTURAS II VI SOLUÇÃO ECONÔMICA DA VIGA GERBER C Solução Otimizada O momento positivo no meio do vão M é igual ao módulo do momento negativo nos apoios XB U SANTA URSULA EXERCICIO PARA CASA Resolver a viga Gerber abaixo adotando a solugao pelo metodo da decomposicao Desenhar os diagramas dos esforcos internos na viga at 3tm 3t 2tm A 8 Cc M D E F G N H ie epkes Ne se DR kee dent en SG ee oe ea a 1m 2m 2mm 142 2m 2m 2m i 4 i 1 1 A TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO PARA CASA Decomposição TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO PARA CASA Diagramas TEORIA DAS ESTRUTURAS II RESUMO DA AULA Ao final desta aula vocês deverão ser capazes de Calcular as reações de apoio e os esforços internos N V e M em vigas Gerber utilizando o método das equações de condição Calcular as reações de apoio e os esforços internos N V e M em vigas Gerber utilizando o método da da decomposição Desenhar diagramas de esforços normais cortantes e momentos fletores para vigas Gerber Definir as posições das rótulas em vigas Gerber de forma a otimizar a solução