Vigas Estaticamente Indeterminadas - Resistência dos Materiais

23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 116 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas 1 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas APRESENTAÇÃO Olá Aluno e aluna seja bemvindo a matéria de Resistência dos Materiais A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII época em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais No entanto para a compreensão adequada dos fenômenos envolvidos foi necessário estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas de materiais Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início do século XVIII Na época estudos foram realizados principalmente na França baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais denominandose o estudo de Resistência dos Materiais Atualmente no entanto referese a esses estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais HIBBELER 2004 Quer saber mais sobre o assunto Entenda agora em detalhes Boa leitura e Bons estudos OBJETIVO DA UNIDADE Esta unidade foi elaborada de modo a cumprir os seguintes objetivos Ser um texto em que a ordem de apresentação dos assuntos seja sequencialmente lógica Induzir a utilização dos recursos computacionais contemporâneos Ser um texto introdutório sem as preocupações de apresentação exaustiva das diversas metodologias existentes e de excessivo formalismo matemático Ser um texto no qual os conceitos e métodos são apresentados como instrumentos de análise de projetos e ações CONHEÇA O PROFESSOR CONTEUDISTA Engenheiro e Mestre em Gestão e Coordenação de Projetos Especialista em Engenharia Ambiental e segurança do trabalho com atuação em diversas áreas na área industrial Saneamento Drenagens e Edificações a mais de 13 anos Participou na execução e coordenação de projetos para diversas cidades de Minas Gerais tanto para o setor público quanto privado Leciona diversas matérias e orienta TCC em Instituições de ensino superior de Minas Gerais e do Brasil nos cursos de Graduação Trabalhou na Diretoria de Projetos da SUDECAP de Belo Horizonte e atualmente é Supervisor de projetosobras de saneamento e infraestrutura em empresa de Engenharia UNIDADE DE APRENDIZAGEM 10 INTRODUÇÃO Segundo Hibbeler 2004 a Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda as tensões e deformações que ocorrem nos sólidos provenientes de forças externas a eles aplicadas e apresenta a teoria básica para conhecer os deslocamentos e esforços envolvidos em cada situação A história da Resistência dos Materiais remonta ao início do século XVII quando Galileu Galilei realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais No entanto para a compreensão adequada foi necessário estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas de um material Somente a partir do século XVIII principalmente na França notáveis como SaintVenant Poisson Lamé e Navier realizaram estudos tanto experimentais como teóricos sobre o assunto ocasionando expressiva melhora nos métodos para tais descrições As análises teóricas e os resultados experimentais têm igual importância no estudo da Resistência dos Materiais O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma fascinante mistura de teoria e experiência esta mostrando o caminho adequado em alguns casos aquela em outro Homens famosos como Leonardo da Vinci 14521519 e Galileu Galilei 15641642 fizeram experiências para determinar a 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 216 resistência dos fios barras e vigas sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas pelos padrões de hoje para explicar os resultados atingidos Ao contrário o famoso matemático Leonhard Euler 1707 1783 desenvolveu a teoria matemática das colunas calculando a carga crítica de uma coluna em 1744 muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância de seu achado TIMOSHENKO 1994 Com o passar do tempo depois que muitos dos problemas fundamentais da Resistência dos Materiais foram resolvidos tornouse necessário usar técnicas de matemática avançada e de computador para resolver problemas mais complexos Como resultado essa ciência ampliouse para outras disciplinas de mecânica avançada tais como Teoria da Elasticidade e a Teoria da Plasticidade PESQUISAS RELACIONADAS A pesquisa nesses campos está em andamento não só para satisfazer a demanda pela resolução de problemas avançados de engenharia como também para justificar o uso mais amplo e as limitações em que a teoria fundamental da Resistência dos Materiais é baseada HIBBELER 2004 A análise de vigas é bastante comum em problemas de engenharia Para a Engenharia Civil o domínio sobre as construções das mais variadas estruturas é fundamental para utilização funcional e segura das mesmas Muitas vezes é preciso limitar o grau de deflexão que uma viga ou eixo pode sofrer quando submetido a uma carga Portanto no desenvolvimento desta unidade de aprendizagem serão apresentadas as teorias e soluções para a análise de uma viga biapoiada solicitada por flexão simples através de dois métodos Resistência dos Materiais e Teoria da Elasticidade A Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo abrangendo também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade HIBBELER 2004 Segundo Martins 2011 a Resistência dos Materiais introduz hipóteses simplificadoras próximas do comportamento real dos sólidos que permitem obter a componente vertical do deslocamento dos pontos localizados no eixo de uma viga A Teoria da Elasticidade também faz uso de hipóteses simplificadoras a diferença entre as duas ciências está na profundidade do exame dos problemas abordados uma vez que a Teoria da Elasticidade fornece as componentes vertical e horizontal do deslocamento de todos os pontos da viga ANÁLISE DE VIGAS Vigas são elementos estruturais projetados para suportar carregamentos aplicados perpendicularmente ao seu eixo longitudinal As vigas também devem ser projetadas para limitar as deflexões Devido ao carregamento as vigas ficam solicitadas por força cortante e momento fletor que em geral variam de ponto a ponto ao longo do eixo HIBBELER 2004 O objetivo da análise de vigas geralmente será a determinação das tensões deformações específicas e deformações totais produzidas pelas cargas se essas quantidades puderem ser determinadas para todos os valores crescentes da carga até o ponto de ruptura temse um quadro completo do comportamento do corpo TIMOSHENKO GERE 1994 Segundo Soares 2003 as vigas empregadas nas edificações devem apresentar adequada rigidez e resistência isto é devem resistir aos esforços sem ruptura e ainda não se deformarem em demasia Normalmente o interesse recai no cálculo da pior situação da peça em termos de deslocamento ou seja devese controlar a deformação máxima da viga O deslocamento linear máximo de uma seção chamase flecha e para que a viga trabalhe adequadamente este deslocamento não pode exceder valores limitados em normas específicas que regulamentam as estruturas O interesse em se determinar a deflexão máxima em uma viga sujeita a um determinado carregamento está no fato de que geralmente as especificações do projeto incluem um valor máximo admissível para esta deflexão BEER JOHNSTON 1982 Deformações excessivas podem alterar a aparência e a eficiência de uma estrutura além de causar desconforto ou medo para os seus ocupantes e usuários As mais severas consequências no entanto são devidas aos danos locais como fissuração de elementos estruturais e nãoestruturais ou rotação excessiva LIMA FONTES LIMA 2003 A Engenharia Estrutural através de teorias científicas permite que os engenheiros estabeleçam as forças e solicitações que podem atuar com segurança nas estruturas ou em seus componentes Também permite que os engenheiros determinem os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e seus componentes sem que estes sofram efeitos prejudicais para o seu bom funcionamento MARTHA 2010 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Neste Tópico serão analisados outros tipos de vigas em que o número de reações desconhecidas excede o número de equações de equilíbrio independentes disponíveis sendo necessário utilizar equações adicionais baseadas na deformação da viga Nestes casos as vigas são classificadas como vigas hiperstáticas ou vigas estaticamente indeterminadas 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 316 Um elemento é classificado como estatisticamente indeterminado se Para determinar as reações na viga que são estatisticamente indeterminadas HIBBELER 2009 Especifique as reações redundantes Determine as redundâncias pelo grau de indeterminação Aplique redundâncias e resolva as reações TIPOS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Considere a viga com extremidade engastada em A e a outra apoiada em B conforme ilustra a Figura 01 cujo diagrama de corpo livre é apresentado na Figura 02 FIGURA 01 VIGA COM EXTREMIDADE ENGASTADA EM A E A OUTRA APOIADA EM B FONTE Beer et al 2013 p 618 FIGURA 02 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DA VIGA ENGASTADAAPOIADA FONTE Beer et al 2013 p 618 A partir do diagrama de corpo livre Figura 03 observa que existem quatro incógnitas reações desconhecidas Porém para o equilíbrio estático as equações de equilíbrio devem ser empregadas Logo como o número de incógnitas é maior que o número de equações a viga encontrase estaticamente indeterminada No entanto de acordo com Beer et al 2013 a equação de deflexão da viga introduz duas incógnitas mas fornece três equações adicionais de condições de contorno conforme segue FIGURA 03 CONDIÇÕES DE CONTORNO EM VIGA ESTATICAMENTE INDETERMINADA 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 416 FONTE Beer et al 2013 p 618 Segundo Hibbeler 2009 há três métodos para resolver as redundâncias 1 Método de Integração requer duas integrações de diferentes equações 2 Método MomentoÁrea cálculo de ambas as áreas sob o diagrama MEI e a localização do centroide desta área As figuras 04 a 07 a seguir exemplificam o método FIGURA 04 VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA NO BALANÇO E SEU DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR FONTE Hibbeler 2009 p 494 FIGURA 05 VIGA EM BALANÇO COM MOMENTO CONCENTRADO NO BALANÇO E SEU DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR O FONTE Hibbeler 2009 p 494 FIGURA 06 VIGA EM BALANÇO COM CARGA DISTRIBUÍDA E SEU DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 516 FONTE Hibbeler 2009 p 494 FIGURA 07 VIGA EM BALANÇO COM CARGA DISTRIBUÍDA TRIANGULAR E SEU DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR FONTE Hibbeler 2009 p 494 3 Método de superposição empregado para resolver as cargas redundantes nas vigas carregadas axialmente e torsionalmente carregadas Esse método é empregado para resolver vigas estaticamente indeterminadas em que separamos as forças e reações redundantes e resolvemos como se fossem vigas separadas tornandoas estaticamente determinadas Como exemplo consideremos a viga da Figura 08 FIGURA 08 VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA FONTE Hibbeler 2009 p 499 No método da superposição dividiremos a viga em duas uma com a carga e sem o apoio B Figura 09 e outra sem a carga mas com a reação do apoio B Figura 10 Nesse exemplo By é a reação redundante FIGURA 09 REAÇÃO REDUNDANTE By REMOVIDA VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA FONTE Hibbeler 2009 p 499 FIGURA 10 REAÇÃO REDUNDANTE By APLICADA VIGA BIAPOIADA 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 616 FONTE Hibbeler 2009 p 499 O resultado final será o somatório da análise feita anteriormente em separado resultando na superposição dos efeitos Figura 11 FIGURA 11 SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS NA VIGA FONTE Hibbeler 2009 p 499 EXEMPLOS DE CÁLCULO 1 1 HIBBELER 2009 p 492 A viga na figura a seguir está fixada em ambas as extremidades e sujeita à carga uniforme Determine as reações nos apoios Despreze o efeito da carga axial SOLUÇÃO Pelo diagrama de corpo livre Pela inclinação e curva elástica Pelas condições de contorno temos C1 C2 0 assim 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 716 EXEMPLOS DE CÁLCULO 2 1 BEER et al 2013 p 620 Para a parte AB da viga biapoiada com balanço a determine a equação da linha elástica b determinar a deflexão máxima e c avaliar ymáx SOLUÇÃO Desenvolver uma expressão para M x e obter a equação diferencial para a linha elástica Reações A partir do diagrama de corpo livre para a seção AD A equação diferencial para a linha elástica 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 816 Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de contorno para a obtenção da linha elástica Substituindo Localizar o ponto de inclinação zero ou ponto de deflexão máxima Avaliar a deflexão máxima correspondente 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 916 MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Sabese que dentro do regime elástico a tensão e a deformação são linearmente dependentes Isto é a deformação e a tensão são proporcionais Sabese ainda que as tensões no plano da seção e os esforços internos que atuam neste plano também são linearmente dependentes Assim é possível dizer que as deformações e os deslocamentos são linearmente dependentes dos esforços que atuam nas estruturas Com este raciocínio se pode dizer que o deslocamento do centro de gravidade de uma seção transversal qualquer de uma barra pertencente a uma estrutura solicitada por n esforços é igual à soma dos n deslocamentos desta seção decorrentes de cada um dos esforços Por exemplo seja a barra da figura 12 esta barra está solicitada por uma carga distribuída q e por uma força concentrada P Figura 12 Barra solicitada por uma carga distribuída e por uma força concentrada FONTE Hibbeler 2009 p 350 De acordo com o principio da superposição a situação de carga apresentada na figura 12 pode ser encarada como a superposição entre outras duas situações a Uma apenas com a carga distribuída b Uma apenas com a força concentrada Estas duas situações podem ser observadas na figura 13 Figura 13 Duas situações para uma barra solicitada por uma carga distribuída e por uma força concentrada 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1016 FONTE Hibbeler 2009 p 350 Os deslocamentos que irão ocorrer na seção S indicada na barra são ϕs e υs que usando o principio da superposição podem ser determinados pela soma algébrica entre os deslocamentos que irão ocorrer na situação 12 e na situação 13 isto é Observações 1 Devese sempre observar que a superposição entre as situações de carga deve levar à situação original 2 Não existe regra para a separação em situações entretanto a colocação de cargas distribuídas e cargas concentradas em situações diferentes pode facilitar a execução 3 Mesmo uma única carga pode ser separada de maneira a se obter situações diferentes Este fato pode ser observado na figura 14 Figura 14 duas situações para uma barra solicitada por uma carga distribuída FONTE Hibbeler 2009 p 360 EXEMPLOS DE CÁLCULO 3 1 HIBBELER 2009 p 496 A viga está sujeita à carga concentrada mostrada na Figura a Determine as reações nos apoios EI é constante SOLUÇÃO Usando o método da superposição os diagramas MEI separados para reação redundante By e para carga P Visto que B 0 então t 0 Aplicando o Teorema 2 temos B A 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1116 2 BEER et al 2013 p 630 Para a viga e o carregamento mostrado determinar a inclinação e a deflexão no ponto B SOLUÇÃO Sobrepor as deformações devido ao carregamento I e II conforme mostrado Carregamento I 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1216 Carregamento II No segmento da viga CB o momento fletor para o carregamento II é zero e a linha elástica é uma linha reta Combinando as duas soluções APLICAÇÃO DO MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO PARA VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS O Método de superposição Figura 39 pode ser aplicado também para determinar as reações nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas de acordo com os seguintes passos propostos por Beer et al 2013 Designar uma das reações como redundante e eliminar ou modificar o apoio correspondente Determinar a deformação da viga sem o apoio redundante Tratar a reação redundante como uma força desconhecida que juntamente com as outras forças deve produzir deformações compatíveis com os apoios originais FIGURA 15 MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO EM VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS FONTE Beer et al 2013 p 628 EXEMPLOS PRÁTICOS 1 BEER et al 2013 p 631 Para a viga uniforme e o carregamento mostrados determine a reação em cada apoio e a inclinação na extremidade A 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1316 SOLUÇÃO Solte o apoio redundante de B e encontre deformação Aplicar reação de B como uma carga desconhecida para forçar o deslocamento de zero em B Carregamento distribuído No ponto B Carregamento da reação redundante carga concentrada em B Por compatibilidade com suportes originais yB 0 Da estática 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1416 Inclinação na extremidade A CONCLUINDO A UNIDADE O estudo da resistência dos materiais é importante pois é com ele que aprendemos a avaliar e calcular um diâmetro de um eixo para trabalhar com segurança saber qual o melhor perfil de uma viga pra suportar um telhado de um galpão ou mesmo para fabricar a base de uma torre saber quando de força um cabo suporta e em que condições ele vai suportar essa força A resistência dos materiais é um estudo muito fascinante e envolvente porém para compreender tudo isso devemos nós dedicar a esse novo aprendizado e procurar estudar o máximo possível para dominar esse mundo de cálculos propriedades e avaliações dimensionais É de fundamental importância que os materiais sejam estudados e testados para que se possa fazer análises das suas reações em função dos fenômenos mecânicos térmicos químicos e físicos que podem ocorrer Seja em vigas telhados lajes máquinas ferramentas equipamentos tubulações ou até mesmo instalações cada item dependendo da sua aplicação depende de um cálculo para analisar quanto a estrutura suporta o que será possível fazer e de que maneira a carga poderá ser distribuída e quais alterações podem ser feitas para melhorar a aplicabilidade daquilo que está sendo avaliado DICAS DO PROFESSOR Procure estudar bastante o conteúdo desta matéria e ficar atento a diversas notícias veiculadas em mídias sociais jornalismo rádio telecomunicação entre outros a respeito da mesma O conhecimento deste tema é de suma importância na correta aplicação dos métodos e processos nas áreas de atuação indispensáveis ao planejamento projeto e operação das atividades O conhecimento deste tema é de suma importância na correta aplicação dos métodos e processos nas áreas de atuação indispensáveis ao planejamento projeto e operação das atividades SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Sugestão de artigos trabalhos acadêmicos e sites interessantes sobre o conteúdo httpsptslidesharenetHenriqueAlmeida28apostilasensacionaldeformacaodevigasemflexao httpswwwprofessoresuffbrsaletewpontentuploadssites111201708aula10pdf httpsrepositorioutfpredubrjspuihandle11282 Playlist Youtube sobre o conteúdo httpswwwyoutubecomwatchvW4PEU7MDikY Cálculo numérico das Reações de viga estaticamente indeterminada método iterativo Jacobi Seminário httpswwwyoutubecomwatchvtLKJAOrBHt Problemas Estaticamente Indeterminado T 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1516 httpswwwyoutubecomwatchvdYJeojmhFIU Vigas Estaticamente Indeterminada Prof Luiz Hegouet EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Questão 1 Qual é a principal característica de uma viga estaticamente indeterminada A Ela possui mais apoios do que o mínimo necessário para a estabilidade B Ela é feita de materiais diferentes em cada seção C Ela não é afetada por cargas externas D Ela é sempre feita de aço E Ela possui apenas um apoio Questão 2 Quantos apoios no mínimo uma viga estaticamente determinada deve ter para ser estável A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 Questão 3 Quais métodos são comumente usados para resolver vigas estaticamente indeterminadas A Método da análise de tensão e método dos elementos finitos B Método dos momentos fletores e método das forças internas C Método dos diagramas de Shear e Método dos deslocamentos D Método do cateterismo e método dos pontos críticos E Método das equações polinomiais e método dos raiosX Questão 4 Qual é a fórmula geral para calcular o número de graus de indeterminação de uma viga A GI 2 n 1 B GI n 2 C GI n 2 D GI 2n E GI n 2 Questão 5 O que significa uma viga estaticamente hiperestática A Ela é extremamente rígida B Ela é impossível de se calcular C Ela tem mais apoios do que o necessário para a estabilidade D Ela é composta por diferentes materiais E Ela tem apenas um apoio 23102023 2158 UA10 Vigas Estaticamente Indeterminadas httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid129492chapterid5648 1616 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Timoshenko SP and Young DH Elements of Strength of Materials Ed Van Nostrand New York 1962 Branco CAM Mecânica dos Materiais Ed Fundação Calouste Gulbenkian Lisboa 1985 Massonnet C Résistance des Matériaux Ed Dunod Paris 1968 Benham PP and Warnock FV Mechanics of Solids and Structures Ed Pitman Publishing London 1976 Hearn EJ Mechanics of Materials Ed Pergamon Press Oxford 1981 Ugural AC and Fenster SK Advanced Strength and Applied Elasticity Ed Elsevier NorthHolland Publishing Company Inc New York 1981 Gere JM and Timoshenko SP Mechanics of Materials Ed Chapman Hall London 1992 Beer FP and Johnston EE Mechanics of Materials McGrawHill Book Co London 1992 Portela A e Silva A Mecânica dos Materiais Plátano Edições Técnicas Lisboa 1996 GABARITO Questão 1 Resposta A Ela possui mais apoios do que o mínimo necessário para a estabilidade Questão 2 Resposta C 2 Questão 3 Resposta C Método dos diagramas de Shear e Método dos deslocamentos Questão 4 Resposta A GI 2 n 1 Questão 5 Resposta C Ela tem mais apoios do que o necessário para a estabilidade