Lei de Coulomb e Campo Elétrico: Estruturas Atômicas e Moleculares

2 Lei de Coulomb e Campo Elétrico 21 Matéria moléculas e átomos Molécula é um conjunto de átomos iguais ou diferentes Quando os átomos são iguais dizemos que é uma molécula simples ex gás nitrogênio que é formado pela união de dois átomos de nitrogênio quando os átomos são diferentes dizemos que a molécula é composta ex molécula de água formada por dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio Uma substância formada por um único tipo de elemento químico é uma substância simples enquanto que uma substância formada por mais de um tipo de elemento químico é uma substância composta Um átomo é a unidade fundamental da matéria é a menor fração capaz de identificar um elemento químico Ele é formado por um núcleo que contém nêutrons e prótons e por elétrons que circundam o núcleo httpsconhecimentocientificor7comnucleoatomico De certa maneira os nêutrons isolam os prótons evitando suas repulsões e o consequente desmoronamento do núcleo httpcurtaaquimicablogspotcom201306adescobertadaterceiraparticulahtml Os prótons e os nêutrons são formados por outras partículas denominadas quarks O tamanho do núcleo atômico em relação ao próprio átomo é minúsculo Pode ser comparado por exemplo a uma ervilha no meio de um campo de futebol A palavra átomo vêm do grego a não tomo divisão pois se acreditava que átomos eram indivisíveis Bomba atômica bomba nuclear funciona pelo princípio da fissão nuclear que consiste na desintegração de núcleos atômicos material urânio enriquecido ou plutônio ou pelo princípio da fusão nuclear material hidrogênio e hélio Periodic Table of the Elements O número atômico Z corresponde à quantidade de prótons existentes no núcleo do átomo de cada elemento químico O número de massa A de um elemento é a soma do número de prótons com o número de nêutrons O número de massa é medida em unidade de massa atômica u Uma unidade de massa atômica u equivale a 166 1024 g Massa atômica de um elemento é a média dos números de massa A dos isótopos de um determinado elemento químico Elementos químicos com o mesmo número atômico e massas atômicas A diferentes são chamados de isótopos Todos os isótopos possuem o mesmo número de prótons e diferentes número de nêutrons Os isótopos são variantes de um elemento químico A corrente elétrica é produzida devido ao fluxo de elétrons os prótons não se movem httpwwweletronpicombrce007cargaeletricaaspx httpsconhecimentocientificor7comnucleoatomico 22 Carga Elétrica Os elétrons e os prótons têm uma propriedade física chamada de carga elétrica a qual determina as interações eletromagnéticas Por convenção considerase que os elétrons têm carga negativa e os prótons têm carga positiva Neutrons não têm carga elétrica A quantidade de carga é especificada em Coulomb C A carga de um elétron é qe 16 1019 C A carga de um próton é qe 16 1019 C 1C é a carga de 625 1018 elétrons Um corpo pode ter carga elétrica neutra positiva ou negativa corpo neutro o número de elétrons é igual ao número de prótons corpo eletrizado positivamente o número de prótons é maior do que o número de elétrons corpo eletrizado negativamente o número de elétrons é maior do que o número de prótons httpwwwetelgcombrdownloadseletronicacursosAulasC3A1tomosemolC3A9culashtml Um corpo que está carregado eletricamente possui uma pequena quantidade de carga ou carga líquida Íons são átomos que perderam ou ganharam elétrons Eles se classificam em ânions ou cátions Ânion é um átomo que recebeu elétrons e ficou com carga negativa cátion é um átomo que perdeu elétrons e ficou com carga positiva Cargas elétricas produzem um campo elétrico Cargas elétricas em movimento produzem um campo magnético 23 Lei de Coulomb 1783 A força mútua que atua entre duas cargas é diretamente proporcional aos valores das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa F Q1 Q2 4 π ϵ0 𝑟 2 ar N 𝜀0 permissividade do espaço livre ϵ0 8854 1012 F m 1 36 π 109 F m Charles Augustin de Coulomb 17361806 A força entre as cargas pode ser atrativa ou repulsiva Cargas de sinais opostos se atraem cargas de mesmo sinal se repelem F1 força sobre a carga Q1 F2 força sobre a carga Q2 F1 Q1 Q2 4 π ε0 r21 2 a21 N F2 Q1 Q2 4 π ε0 r12 2 a12 N Princípio da Superposição A força em uma carga na presença de várias outras cargas é a soma das forças exercidas nesta carga devido a cada uma das outras cargas separadamente Fi 1 4 π ϵ0 σj1 n qi qj rji aji N 24 Campo Elétrico Considerandose uma carga q1 fixa numa posição e movendose lentamente uma carga de prova q0 em torno de q1 observase a existência de uma força sobre q0 cujo valor pode ser calculado pela Lei de Coulomb F0 q1 q0 4 π ε0 r10 2 a10 Podese dizer que a carga de prova está mostrando a existência de um campo de força produzido por q1 O vetor intensidade de campo elétrico ത𝐸 devido a q1 No ponto onde estaria q0 é E0 F0 q0 q1 4 π ε0 r10 2 a10 A equação acima pode ser escrita na seguinte forma geral E q 4 π ε0 തr 2 ഥar N C ou V m Newton metro Coulomb Joule Coulomb Volt Logo N C V m Exemplos 1 Duas cargas puntiformes de 1 mC e 2mC estão localizadas nos pontos 321 e 114 respectivamente Calcule a força exercida por estas cargas sobre uma carga de 10 nC localizada em 031 Solução q1 1 mC 103 C q2 2 mC 2103 C q3 10 nC 10109 C mN 7 51a 3 71a 6 51a F a 7 51 10 a 3 71 10 a 6 51 10 F a 26 26 10 54 14 14 18 10 a 26 26 10 72 14 14 9 10 a 26 26 10 18 14 14 27 10 F 3a 4a a 26 26 18 10 2a a a 3 14 14 9 10 F 3a 4a a 26 1 26 10 36 1 4 2 10 10 10 2a a a 3 14 1 14 10 36 1 4 10 10 10 F 3a 4a a 26 1 r r a 2a a a 3 14 1 r r a 26 3 4 1 A A A r 14 2 1 3 A A A r 3a 4a a 4a 1 1a 3 1a 0 r r r 2a a 3a 1a 1 2a 3 3a 0 r r r a r 4 q q a r 4 q q F z y x 3 z 3 y 3 x 3 3 z 2 2 y 2 2 x 2 2 3 z y x 2 z y x 2 3 z y x 9 3 9 z y x 9 3 9 3 z y x 32 32 23 z y x 31 31 13 2 2 2 2 z 2 y 2 x 23 2 2 2 2 z 2 y 2 x 13 z y x z y x 2 3 23 z y x z y x 1 3 13 23 2 23 0 2 3 13 2 13 0 1 3 3 2 Considerando o item anterior calcular a intensidade do campo elétrico no ponto 031 Solução m kV 751a 371 a 651a 751 10 a 371 10 a 651 10 a E 10 10 a 7 51 10 a 3 71 10 a 51 10 6 q F E z y x z 3 y 3 x 3 9 z 3 y 3 x 3 25 Campos Elétricos de Distribuições Contínuas de Carga L densidade linear de cargas Cm S densidade superficial de cargas Cm2 v densidade volumétrica de cargas Cm3 Uma pequena quantidade de carga Q em um pequeno comprimento de linha l é dado por Podese definir L matematicamente l Q L dl dQ l Q lim 0 l L De forma semelhante podese escrever A intensidade do campo elétrico devido a cada uma dessas distribuições é dada por ത𝐸 𝑑𝑄 4 𝜋 𝜖0 ҧ𝑟 2 𝑎𝑟 v v v 0 v V S S S 0 s s dv Q dv dQ dv dQ v Q lim ds Q ds dQ ds dQ s Q lim Têmse então ഥE ρL ഥdl 4 π ϵ0 തr 2 ഥar linha de cargas ഥE ρs ds 4 π ϵ0 തr 2 ഥar superfície de cargas ഥE ρv dv 4 π ϵ0 തr 2 ഥar volume de cargas 26 Densidade de Fluxo Elétrico ഥD ഥD ϵ0 ഥE densidade de fluxo elétrico no espaço livre Todas as equações obtidas a partir da Lei de Coulomb para calcular ത𝐸 podem ser usadas para calcular ഥD observandose que devemos multiplicálas por 𝜀0 O fluxo elétrico é dado por ഥD ds O fluxo elétrico psi por definição começa numa carga positiva e termina numa carga negativa Quando não houver carga negativa o fluxo elétrico termina no infinito Também por definição 1 C de carga elétrica cria um fluxo elétrico de 1 C 27 Lei de Gauss A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada superfície gaussiana é igual à carga total encerrada por essa superfície Qenc ර d ර ഥD ds Qenc A carga encerrada pode ser Um conjunto de cargas pontuais Q σ Qn Uma linha de cargas Q l ρl ഥdl Uma superfície de cargas Q s ρs ds Uma distribuição volumétrica de cargas Q v ρv dv Usualmente é utilizada a última expressão na Lei de Gauss Q ׯs ഥD ds v ρv dv forma integral da Lei de Gauss Aplicando o teorema da divergência temos ර ഥ𝐷 𝑑𝑠 න 𝑣 ഥ𝐷 𝑑𝑣 Comparando as equações anteriores vem ρv ഥD Exemplo Calcule a carga total contida em um feixe de elétrons de 2 cm de comprimento conforme mostrado na figura abaixo Solução Q න v ρv dv Q න 002 004 න 0 2π න 0 001 5 106 e105ρz ρ dρ d dz é o raio do cilindro ou a distância radial a partir do eixo z 0 é medido a partir do eixo x no plano xy 0 2 z é o mesmo do sistema cartesiano z Q න 002 004 න 0 2π න 0 001 5 106 e105ρz ρ dρ d dz Integrandose em relação à Q න 002 004 න 0 001 5 106 𝑒105𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 อ 2𝜋 0 𝑄 න 002 004 න 0 001 105𝜋 𝑒105𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 𝑄 න 002 004 න 0 001 105𝜋 𝑒105𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 Integrandose em relação a z 𝑒𝑦𝑧 𝑑𝑧 1 𝑦 𝑒𝑦𝑧 𝑄 න 0 001 105𝜋 105𝜌 𝑒105𝜌𝑧 𝜌 𝑑𝜌 ቤ𝑧 004 𝑧 002 Q න 0 001 1010 π e4000ρ e2000ρ dρ Q න 0 001 1010 π e4000ρ e2000ρ dρ Integrandose em relação a 𝑒𝑦𝑧 𝑑𝑧 1 𝑦 𝑒𝑦𝑧 𝑄 1010 𝜋 𝑒4000𝜌 4000 𝑒2000𝜌 2000 อ𝜌 001 𝜌 0 𝑄 1010 𝜋 𝑒4000 001 4000 𝑒2000 001 2000 𝑒4000 0 4000 𝑒2000 0 2000 𝑄 1010 𝜋 1 4000 1 2000 1010 𝜋 1 4000 1 2000 1010 𝜋 1 4000 Q π 40 1012 00785 pC Exemplo Sabendo que ഥ𝐷 𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠2 𝑎𝑧 𝐶 𝑚2 calcule a densidade de cargas em 1 𝜋 4 3 e a carga total encerrada no cilindro de raio 1m com 2 z 2 m Solução ρv ഥD forma diferencial da Lei de Gauss ഥ𝐷 𝐷𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠2 𝜌 𝑐𝑜𝑠2 A densidade de cargas em 𝜌 𝑧 1 𝜋 4 3 é ρv ρ cos2 1 cos2 π 4 05 C m3 Determinação da carga total encerrada no cilindro Q න v ρv dv 𝑄 න 2 2 න 0 2𝜋 න 0 1 𝜌 𝑐𝑜𝑠2 𝜌 𝑑𝜌 𝑑 𝑑𝑧 é o raio do cilindro ou a distância radial a partir do eixo z 0 1 é medido a partir do eixo x no plano xy 0 2 z é o mesmo do sistema cartesiano 2 z 2 Exemplo Sabendo que ഥ𝐷 𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠2 𝑎𝑧 𝐶 𝑚2 calcule a densidade de cargas em 1 𝜋 4 3 e a carga total encerrada no cilindro de raio 1m com 2 z 2 m 𝑄 න 2 2 න 0 2𝜋 න 0 1 𝜌 𝑐𝑜𝑠2 𝜌 𝑑𝜌 𝑑 𝑑𝑧 Integrandose em relação a Q න 2 2 න 0 2π ρ3 3 cos2 d dz อ𝜌 1 𝜌 0 𝑄 න 2 2 න 0 2𝜋 13 3 cos2 d dz 𝑄 න 2 2 න 0 2𝜋 13 3 cos2 d dz Integrandose em relação a z Q න 0 2π 1 3 z cos2 d ቤ z 2 z 2 Q න 0 2π cos2 d 1 3 2 1 3 2 Q න 0 2π 4 3 cos2 d Q න 0 2π 4 3 cos2 d Integrandose em relação a cos2 u du 1 2 u 1 4 sen 2u C 𝑄 4 3 1 2 1 4 𝑠𝑒𝑛 2 อ 2𝜋 0 Q 4 3 1 2 2π 1 4 sen 2 2π 1 2 0 1 4 sen 2 0 𝑄 4 3 1 2 2𝜋 1 4 0 0 1 4 0 4 3 𝜋 Q 419 C Exemplo Determinar a divergência do campo vetorial abaixo ഥA ρ sen aρ ρ2z a z cos ഥaz Solução divergente coordenadas cilíndricas o vetor ഥA têm o seguinte formato ഥA Aρ aρ A a Az ഥaz Logo ഥA 1 ρ ρ ρ ρ sen 1 ρ ρ2 z z z cos ഥA 1 ρ ρ ρ2 sen 1 ρ ρ2 z z z cos 1 ρ 2ρ sen 0 cos ഥA 2 sen cos Exemplo Seja ഥE xy ax x2 ay V m determine a A densidade de fluxo elétrico ഥD b A densidade volumétrica de cargas 𝜌𝑣 Solução a ഥD ϵ0 ഥE ϵ0 8854 1012 F m logo ഥD 8854 xy ax 8854 x2 ay pC m2 b ρv ഥD Dx x Dy y Dz z 8854y 0 0 pC m3 8854y pC m3 Relembrando Quando se têm uma carga elétrica distribuída ao longo de uma linha dizemos que se têm uma linha de cargas A carga total q de uma linha de cargas pode ser dividida em vários elementos de carga dq Para calcular o campo produzido por uma linha de cargas calculase o campo elétrico produzido por cada elemento de carga dq e utilizase o Princípio da Superposição para obter o campo final dq ρₗ dl 28 Campo de uma Linha Infinita de Cargas Considere uma linha de cargas que se estende ao longo do eixo z num sistema de coordenadas cilíndricas desde até Desejase calcular E no ponto P E Eρaρ Ea Ezaz é o raio do cilindro que passa por P ou a distância radial a partir do eixo z 0 é medido a partir do eixo x no plano xy 0 2 z é o mesmo do sistema cartesiano z A linha infinita de cargas é composta por diversas cargas elementares dq ρl dl a carga elementar dq mostrada na figura está a uma distância L da origem r é a distância do elemento dq até o ponto P Observase que nenhum elemento de carga produz componentes na direção de Logo E 0 e dE dEρ dEz é o raio do cilindro que passa por P ou a distância radial a partir do eixo z 0 é medido a partir do eixo x no plano xy 0 2 z é o mesmo do sistema cartesiano z A contribuição para 𝐸𝑧 de elementos de carga que distam igualmente acima e abaixo de P se cancelam dq ρₗ dl dq ρₗ dl θ 0 Da equação anteriormente desenvolvida para o campo elétrico têm se E q 4 π ε0 തr 2 ഥar N C ou V m Logo dE dq 4 π ε0 തr 2 ഥar ρl dl 4 π ε0 തr 2 ഥar sen θ dEρ dE dEρ dE sen θ dEρ ρl dl sen θ 4 π ε0 r2 o campo elétrico só terá componentes em A partir da figura podemos escrever que cot θ 1 tg θ cos θ sen θ cot θ 𝐿 𝑟𝜌 𝑟 L ρ L ρ cot θ dL dl ρ cosec2θ dθ cossec θ hipotenusa cateto oposto 1 sen θ cossec θ r ρ r ρ cossec θ r2 ρ2 cossec2 θ Se dl ρ cossec2θ dθ e r ρ cossec θ então dEρ ρl dl sen θ 4 π ε0 r2 𝜌𝑙 ρ cossec2θ dθ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 4 π ε0 ρ cossec θ 2 𝜌𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 4 π ε0 𝜌 Eρ ρl 4 π ε0 ρ න 180 0 sen θ dθ ρl 4 π ε0 ρ cos θ ȁ 0 180 Eρ ρl 4 π ϵ0 ρ cos 0 cos 180 ρl 4 π ϵ0 ρ 1 1 Eρ ρl 2 π ϵ0 ρ campo elétrico devido a uma linha de cargas E ρl 2 π ϵ0 ρ aρ considerando a linha infinita no eixo z Se a linha infinita de cargas não estiver sobre o eixo z têmse E ρl 2 π ϵ0 r ar r distância perpendicular do ponto à linha 𝑎𝑟 vetor unitário Exemplo Sobre a reta descrita por x 2m e y 4m foram distribuídas uniformemente cargas com densidade 𝜌𝑙 20 𝑛𝐶𝑚 Determine o campo elétrico 𝐸 em 2 1 4m Solução A linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 assim as componentes nessa direção se cancelam E ρl 2 π ϵ0 r ar a linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 assim as componentes nessa direção de cancelam r 2ax ay 2ax 4ay 4ax 3ay r 5 E ρl 2 π ϵ0 r ar 20 109 2𝜋 1 36𝜋 109 5 4ax 3ay 5 𝐸 576𝑎𝑥 432𝑎𝑦 𝑉 𝑚 29 Campo de uma Superfície Infinita de Cargas Considere uma superfície infinita de cargas no plano yz cuja densidade superficial de cargas é ρs Cm2 Desejase calcular o campo elétrico E no ponto P Na análise a seguir se dividirá a superfície infinita em faixas de largura diferencial dy onde cada faixa terá 𝜌𝑙 𝜌𝑠 𝑑𝑦 verificase que as componentes y e z do campo oriundas de elementos diferenciais de cargas simetricamente localizados em relação ao ponto em que se deseja calcular o campo se cancelam Assim somente Ex está presente Da equação obtida para o cálculo de uma linha infinita de cargas temos E ρl 2πε0R Fazendo dEx dE cos θ e ρl ρs dy podese escrever que dEx ρs dy cosθ 2πε0R Ex ρs 2πε0 π 2 π 2 dy cosθ R Da figura tg θ y x logo 𝑑𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 R cos θ x logo R x sec θ Ex ρs 2πε0 π 2 π 2 dy cosθ R tg θ y x logo 𝑑𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 R cos θ x logo R x sec θ Ex ρs 2πε0 π 2 π 2 x sec2θ dθcosθ x sec θ sec 𝑥 1 cos 𝑥 Ex ρs 2πε0 න π 2 π 2 𝑑𝜃 ρs 2πε0 𝜋 2 𝜋 2 𝜌𝑠 2𝜖0 Se o ponto P fosse escolhido no eixo negativo de x então 𝐸𝑥 𝜌𝑠 2𝜖0 Forma geral E ρs 2ε0 an onde 𝑎𝑛 é um vetor unitário normal à superfície e dirigido para fora da mesma Exemplo Sobre a reta descrita por x 2m e y 4m foram distribuídas uniformemente cargas com densidade 𝜌𝑙 20 𝑛𝐶𝑚 Determine o campo elétrico 𝐸 em 2 1 4m Solução A linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 assim as componentes nessa direção se cancelam E ρl 2 π ϵ0 r ar a linha de cargas é paralela ao vetor 𝑎𝑧 assim as componentes nessa direção de cancelam r 2ax ay 2ax 4ay 4ax 3ay r 5 E ρl 2 π ϵ0 r ar 20 109 2𝜋 1 36𝜋 109 5 4ax 3ay 5 𝐸 576𝑎𝑥 432𝑎𝑦 𝑉 𝑚 29 Campo de uma Superfície Infinita de Cargas Considere uma superfície infinita de cargas no plano yz cuja densidade superficial de cargas é ρs Cm2 Desejase calcular o campo elétrico E no ponto P Na análise a seguir se dividirá a superfície infinita em faixas de largura diferencial dy onde cada faixa terá 𝜌𝑙 𝜌𝑠 𝑑𝑦 verificase que as componentes y e z do campo oriundas de elementos diferenciais de cargas simetricamente localizados em relação ao ponto em que se deseja calcular o campo se cancelam Assim somente Ex está presente Da equação obtida para o cálculo de uma linha infinita de cargas temos E ρl 2πε0R Fazendo dEx dE cos θ e ρl ρs dy podese escrever que dEx ρs dy cosθ 2πε0R Ex ρs 2πε0 π 2 π 2 dy cosθ R Da figura tg θ y x logo 𝑑𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 R cos θ x logo R x sec θ Ex ρs 2πε0 π 2 π 2 dy cosθ R tg θ y x logo 𝑑𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 R cos θ x logo R x sec θ Ex ρs 2πε0 π 2 π 2 x sec2θ dθcosθ x sec θ sec 𝑥 1 cos 𝑥 Ex ρs 2πε0 න π 2 π 2 𝑑𝜃 ρs 2πε0 𝜋 2 𝜋 2 𝜌𝑠 2𝜖0 Se o ponto P fosse escolhido no eixo negativo de x então 𝐸𝑥 𝜌𝑠 2𝜖0 Forma geral E ρs 2ε0 an onde 𝑎𝑛 é um vetor unitário normal à superfície e dirigido para fora da mesma Exercícios 1 Considerando ρv 4xyz C m3 encontre a carga total no volume 0 ρ 2 0 π 2 0 z 3 Solução Q න v ρv dv O volume é descrito em coordenadas cilíndricas logo x ρ cos y ρ sen Então ρv 4xyz 4 ρ cos ρ sen z C m3 Q න 0 3 න 0 π 2 න 0 2 4 ρ cos ρ sen z ρdρ d dz Q න 0 3 න 0 π 2 න 0 2 4 ρ3 cos sen z dρ d dz Integrandose em relação a 𝑄 න 0 3 න 0 𝜋 2 4 𝜌4 4 cos sen 𝑧 𝑑 𝑑𝑧 อ𝜌 2 𝜌 0 𝑄 න 0 3 න 0 𝜋 216 cos sen 𝑧 𝑑 𝑑𝑧 Q න 0 3 න 0 π 216 cos sen z d dz Integrandose em relação a z Q 0 π 2 16 cos sin z2 2 d ቚz3 z0 Q 0 π 2 16 cos sen 9 2 d 0 π 2 72 cos sin d Integrandose em relação a 𝑢 sin 𝑑𝑢 cos 𝑑 න 𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 2 න sen cos 𝑑 sen 2 2 Q 0 π 2 72 cos sin d sen cos d sen 2 2 Q 72 sen 2 2 อ π 2 0 Q 72 sen π 2 2 2 sen 0 2 2 72 12 2 0 Q 36 C 2 Três superfícies planas infinitas e carregadas localizamse no vácuo da seguinte maneira 2 Cm² em x 3 5 Cm² em x 1 e 4 Cm² em x 5 Determine o campo ത𝐸 nos pontos a 0 0 0 b 25 16 47 c 8 2 5 d 31 0 31 Solução As três superfícies estão no plano xy Os campos produzidos são normais à superfície xy isto é apontam na direção de x E Es1 Es2 Es3 E ρs 2ε0 an a E 0 0 0 2106 2ϵ0 𝑎𝑥 5106 2ϵ0 ax 4106 2ϵ0 ax E 0 0 0 3106 288541012 ax 169415 ax V m 2 Cm² em x 3 5 Cm² em x 1 e 4 Cm² em x 5 b E 25 16 47 2106 2ϵ0 ax 5106 2ϵ0 ax 4106 2ϵ0 ax E 25 16 47 7106 288541012 ax 395302 ax V m c E 8 2 5 2106 2ϵ0 ax 5106 2ϵ0 ax 4106 2ϵ0 ax E 8 2 5 1106 288541012 ax 56471ax V m d E 31 0 31 2106 2ϵ0 ax 5106 2ϵ0 ax 4106 2ϵ0 ax E 25 16 47 1106 288541012 ax 56471 ax V m Planos xz yz e xy O vetor unitário 𝑎𝑥 é normal ao plano yz o vetor unitário 𝑎𝑦 é normal ao plano xz e o vetor unitário 𝑎𝑧 é normal ao plano xy Considere os pontos 0 0 0 e 5 0 0 Observase que o ponto 0 0 0 está atrás do plano onde x 3 enquanto que o ponto 5 0 0 está na frente do plano onde x 3 O vetor unitário que aponta do plano para o ponto 0 0 0 é 𝑎𝑥 O vetor unitário que aponta do plano para o ponto 5 0 0 é 𝑎𝑥 3 Três densidades superficiais de cargas estão posicionadas no espaço livre como se segue 20 nCm² em x 3 30 nCm² em y 4 e 40 nCm² em z 2 Determine a magnitude de E em a 4 3 2 b 2 5 1 c 0 0 0 Solução a E 4 3 2 20109 2ϵ0 ax 30109 2ϵ0 ay 40109 2ϵ0 az E 4 3 2 112943ax 169415ay 225887az Vm E 304109 Vm 20 nCm² em x 3 30 nCm² em y 4 e 40 nCm² em z 2 b E 2 5 1 20109 2ϵ0 ax 30109 2ϵ0 ay 40109 2ϵ0 az E 2 5 1 112943ax 169415ay 225887az Vm E 304109 Vm c E 0 0 0 20109 2ϵ0 ax 30109 2ϵ0 ay 40109 2ϵ0 az E 0 0 0 112943ax 169415ay 225887az Vm E 304109 Vm