Variação Senoidal dos Campos Eletromagnéticos

49 VARIAÇÃO SENOIDAL DOS CAMPOS Campos Eletromagnéticos Variantes no Tempo 176 Capítulo Quatro A lei de Faraday combinada com a lei de Ampère prediz a existência de ondas eletromagnéticas Embora existam diversos tipos de ondas a maioria compartilha muitas das propriedades das ondas planas uniformes que serão estudadas neste capítulo Ondas se propagando ao longo de linhas de transmissão bipolares dois condutores são ondas planas Estudaremos a propagação de ondas em linhas de transmissão no próximo capítulo Embora as ondas emitidas por antenas sejam verdadeiramente ondas esféricas assim como quando alguém atira uma pedra na água essas ondas aparecem localmente para um observador como ondas planas Estudaremos a propagação de ondas associadas a antenas no capítulo final deste livro Capítulo 7 Assim o estudo de ondas planas uniformes neste capítulo irá fornecer um entendimento das ondas propagadas de outras estruturas ou para outras estruturas A onda plana uniforme tem dois importantes termos em sua denominação uniforme e plana O termo plana significa que ambos os vetores intensidades de campos elétrico e magnético estão situados em um plano e que todos esses planos são paralelos Ainda a fase da onda é constante sobre o plano O termo uniforme significa que esses vetores são constantes em magnitude e fase sobre os planos A Fig 51 mostra a configuração do campo onde escolhemos para simplificar a notação o vetor intensidade de campo elétrico estando dirigido no sentido x Veremos que o vetor intensidade de campo magnético será ortogonal a este e dirigido no sentido y Esses vetores campos estão situados no plano xy e são ondas planas A outra parte do nome uniforme significa que os vetores campos são independentes de x e y e têm funções apenas de z e do tempo t Ex t e Hyx t Para uma onda de frequência única as formas fasoriais são Ēx t e Ĥyz Veremos também que a onda associada com esses vetores campos se propaga no sentido z como mostrado na Fig 51b As ondas planas são muitas vezes referidas como ondas transversais eletromagnéticas ou TEM pois os vetores campos elétrico e magnético são perpendiculares ou transversais à direção de propagação da onda a direção z Para determinar as relações entre esses vetores campos primeiro escrevemos a lei de Faraday na forma fasorial como Ē jωμH onde substituímos B μH Expandindo o rotacional em coordenadas retangulares temos Ē Ēyx ax Ēzx ay Ēxy az Ēxy ax jωμĤy Como o campo elétrico é assumido na direção x Ē Ēx 0 de forma que as derivadas em relação a essas componentes são nulas A última derivada na componente z Ēzy é nula já que o campo elétrico é uniforme sobre o plano xy Ēzx é independente da coordenada y Assim o resultado em 52 mostra agrupandose as componentes em ambos os lados de 51 que o vetor intensidade de campo magnético está no sentido y Ēxy jωμĤy e obtemos a primeira equação Ēxx jωμĤy 53 Esta contém duas variáveis incognitas Ēx e Ĥy Para obter outra equação relacionando tais variáveis aplicamos a lei de Ampère Ĥ j joE 0 Ē 0 joĒ e substituímos J σĒ e D εĒ Expandindo 54 temos Ĥ Ĥyx ax Ĥzx ay Ĥxy az Ĥyx ax jωεĒax 0 Como o campo magnético tem apenas a componente y alguns termos são nulos Ĥz Ĥx 0 de forma que as derivadas em relação a essas componentes são nulas Ainda como o campo magnético é independente de x e y Ĥyx quaisquer derivadas em relação a essas coordenadas são zero Consideramos primeiro um meio sem perdas no qual σ 0 Assim obtemos Ĥyx ax jωεĒax σ 0 Então obtemos a equação restante Ĥyx jωĒx 55 As equações 53 e 55 são equações diferenciais de primeira ordem em Ēx e Ĥy Para obtermos equações separadas apenas em Ēx ou Ĥy diferenciamos uma em relação a e substituímos uma outra Ainda como Ex e Ĥy são funções apenas de z as derivadas se tornam ordinárias em vez de derivadas parciais O resultado se torna ²Ēxz² ω²μεĒx 0 56a O termo β é chamado de constante de fase e tem unidade de radianosm e é β ω με radm TABELA 51 Permissividades Relativas de Diversos Dieletricos Assim as soluções finais são hatEz hatEeβz hatEeβz hatHy frac hatEm η eγz frac hatEm η eγz Assim a velocidade de propagação ou velocidade de fase da frente de onda a fase é constante é v 1 με ms Propagação de Ondas 193 Figura 52 Ilustração da propagação de uma onda plana uniforme a Distribuição dos vetores campos elétrico e magnético no espaço b Visualizando os vetores campos elétrico e magnético olhando no sentido de propagação indicando polarização linear da onda c Uma onda plana uniforme circularmente polarizada TABELA 53 Comprimentos de Onda em Diferentes Freqüências no Espaço Livre Ar Frequência f Comprimento de Onda λg 60 Hz 3107 milhas 5000 km 3 kHz 100 km 30 kHz 10 km 300 kHz 1 km 3 MHz 100 m 30 MHz 10 m 300 MHz 1 m 3 GHz 10 cm 30 GHz 1 cm 300 GHz 01 cm EXEMPLO 51 Determine a impedância intrínseca constante de fase velocidade de propagação e comprimento de onda de uma onda plana uniforme a 1 GHz a no vidro epóxi usado para construir placas de circuito impresso b no silício usado para construir circuitos integrados SOLUÇÃO Para o vidro epóxi ɛr 47 e μr 1 de forma que η η0 μrɛr 120π 147 1739 Ω β ωμɛ 2πfμrɛr 2π 1 109 1 47 3 108 4541 radianosm 26015 grausm v 1μɛ μɛr v0 μrɛr 3 108 1 47 138 108 ms λ 2π β vf 0138 m 138 cm EXEMPLO 52 Escreva as formas fasoriais e no domínio do tempo de uma onda plana uniforme tendo uma frequência de 1 GHz que está se propagando no sentido z em um grande bloco de silício SOLUÇÃO Usando os resultados do exemplo anterior as formas fasoriais são Ex Ex0ejπ5z Vm Hy Ex0ejπ5z 109 Am e as formas no domínio do tempo são Ex Ex0 cos628 109t 7255z Vm Hy Ex0 cos628 109t 7255z Am Em outras palavras a raiz quadrada de um número complexo tem um módulo que é a raiz quadrada do módulo do número e um ângulo que é a metade do ângulo do número Por exemplo consideramos um número complexo Ĥ 2 j2 Primeiro escrevemos o número na forma polar como Ĥ 2245 Assim a raiz quadrada é Â 22225 Essa raiz quadrada pode ser verificada multiplicando 168 θ arctan22 225 Podemos então converter a forma polar da raiz quadrada para a forma retangular como é necessário para obter a e β em 526 Por exemplo 2 j2 168225 155 j0644 Portanto π8 225 168 e225 168cos225 jsin225 que no caso de um meio sem perdas Para um meio com perdas devemos calcular a constante de fase como a parte imaginária da constante de propagação como em 526 e então calcular a velocidade de propagação a partir de 532 De forma similar ao caso de um meio sem perdas podemos definir o comprimento de onda como a distância que a onda deve percorrer para sofrer uma mudança de fase de 2π radianos ou 360º Como a constante de fase fornece o deslocamento de fase por distância temos λ 2π β m 533 Novamente como no caso de um meio sem perdas podemos calcular o comprimento de onda como λ v f 534 mas devemos usar a velocidade de propagação calculada a partir de 532 EXEMPLO 55 Determine a velocidade de propagação e o comprimento de onda no cobre a 1 MHz SOLUÇÃO Como σ 58 107 Sm ε 1 μ 1 no cobre obtemos pelo exemplo 53 β 151 104 radm de forma que v 2π 106 151 104 416 ms O comprimento de onda é λ 2π 151 104 416 104 m v f EXERCÍCIO DE REVISÃO 54 Determine a velocidade de propagação e o comprimento de onda na água do mar em 1 MHz RESPOSTAS 158 106 ms 158 m EXEMPLO 56 Escreva as expressões no domínio do tempo para os vetores campos elétrico e magnético para uma onda se propagando no sentido z na água do mar e tendo uma frequência de 1 MHz RESPOSTAS Ex E0ejωt cos628 104 398z Hy E0ηA0ejωt cos628 104 398z 45º 53 FLUXO DE POTÊNCIA EM ONDAS PLANAS UNIFORMES Considere uma onda plana uniforme progressiva se propagando em um meio sem perdas Os campos fasoriais escritos na forma vetorial são E E0ejβxax 535a H E0η ejβx ay 535b A potência média passando através da área A no plano xy é então PMED 1 2 E2 n3 e2αx cosθnA W A profundidade pelicular δ é a distância que a onda deve propagar para ter sua amplitude reduzida por um fator igual a lo ou aproximadamente 37 Pela expressão da onda plana vemos que a profundidade pelicular é obtida fazendo α 1 obtendo δ 1 α m TABELA 54 Profundidade Pelicular no Cobre Frequência f Profundidade pelicular 60 Hz 853 mm 1 MHz 661 µm 10 MHz 209 µm 100 MHz 66 µm 1 GHz 209 µm Ez E0 e fraczdelta cos left omega t fraczdelta right quad z ge 0 rco frac1sigma muw quad exte quad rf frac1sigma2 pi r2 mu quad Omegam quad rf gg delta