Anotações Flambagem-2021 2

3 Flambagem CONCEITOS GERAIS A flambagem é o fenômeno que ocorre quando uma carga axial de compressão, atuando em uma peça prismática, provoca uma flexão lateral na direção do menor raio de giração da seção transversal (a seção gira em torno do eixo de menor momento de inércia), rompendo a peça com uma carga menor que a carga de ruptura à compressão simples. As peças prismáticas podem ser divididas em três grupos, conforme seu coeficiente de flambagem (λ): • Peças curtas (λ ≤ 40): não ocorre flambagem, as peças sofrem apenas compressão simples; • Peças medianamente esbeltas (40 ≤ λ ≤ 80) e peças esbeltas (λ > 80): ocorre flambagem, o colapso se dá por flexo-compressão. Para uma certa carga crítica P_CR, a forma retilínea de equilíbrio da peça deixa de ser estável. Desta forma: • P < P_CR: equilíbrio estável; • P = P_CR: equilíbrio indiferente; • P > P_CR: equilíbrio instável. FÓRMULA DE EULER PARA PILARES BIARTICULADOS Prof. Alberti Resistência dos Materiais A equação diferencial da linha elástica é: d²y/dx² = M/EI Como M = - Py, tem-se: d²y/dx² = - Py/EI ∴ d²y/dx² + Py/EI = 0 Fazendo k² = P/EI: d²y/dx² + k²y = 0 (equação diferencial que descreve o movimento harmônico simples) A solução geral desta equação é: y = A sen kx + B cos kx (onde A e B são constantes arbitrárias) Estabelecendo-se as condições de contorno: x = 0 → y = 0; (1) x = L → y = 0; (2) Aplicando (1) na solução geral: 0 = A sen k.0 + B cos k.0 ∴ B = 0 Aplicando (2) na solução geral: 0 = A sen kL A = 0 → solução trivial (não há flambagem) sen k.L = 0 ⇒ k.L = nπ ∴ k = nπ/L (n: número inteiro) Assim: (nπ/L)² = P/EI ∴ P = n²π²EI/L² (o menor valor de n é 1) P_CR = π²EI/L² (fórmula de Euler para pilar biarticulado, com n = 1) 2 Prof. Alberti Resistência dos Materiais FÓRMULA DE EULER PARA PILARES COM DIFERENTES CONDIÇÕES DE EXTREMIDADE A equação diferencial da linha elástica para este caso é: d²y/dx² = M/EI = -Py/EI - Hx/EI ∴ d²y/dx² + Py/EI = -Hx/EI d²y/dx² + k²y = -Hx/EI A equação acima é de 2ª. ordem não homogênea, com coeficientes constantes. Sua solução é composta por uma solução homogênea e uma solução particular. y = y₁ + y₂ y = A sen kx + B cos kx + y₂ Uma solução particular é: y₂ = -Hx/k²EI ou y₂ = -Hx/P Então: y = A sen kx + B cos kx - Hx/P Prof. Alberti Resistência dos Materiais As condições de contorno são: x = 0 → y = 0; (1) x = L → y = 0; (2) x = L → \(\frac{dy}{dx} = 0\) (3) (não há rotação no apoio) Aplicando (1) na solução: B = 0 Aplicando (2) na solução: 0 = A sen k.L − \(\frac{HL}{P}\) ∴ A sen kL = \(\frac{HL}{P}\) (4) Calculando dy/dx: \(\frac{dy}{dx} = Ak \cos kx - \frac{H}{P}\) Aplicando em (3): Ak \cos kL − \(\frac{H}{P}\) = 0 ∴ Ak \cos kL = \(\frac{H}{P}\) (5) Dividindo (4) por (5) membro a membro: \(\frac{A \sen kL}{Ak \cos kL} = \frac{\frac{HL}{P}}{\frac{H}{P}}\) ∴ tg kL = kL A raiz desta equação é kL = 4,49341 e \(k = \frac{4,49341}{L}\). Portanto: k² = \(\frac{P}{EI}\) ⇒ \(4,493² = \frac{P}{L²} = \frac{P}{EI}\) ⇒ \(P_{CR} = \frac{20,187 \ EI}{L²}\) \(P_{CR} = \frac{2,045 \ \pi² EI}{L²}\) mas 2,045 = \(\frac{1}{0,4889} = \frac{1}{(0,6992)²}\) Assim: \(P_{CR}= \frac{\pi² EI}{(0,7L)²} \) ou \(P_{CR} = \frac{\pi² EI}{L_{fl}²} \) (equação geral de Euler) L_{fl}: comprimento de flambagem. Neste caso, L_{fl} = 0,7L. Resistência dos Materiais Generalizando: Diagram showing different lengths: L, \(L_0 = L\), \(L_0 = 0,7L\), \(L_0 = 0,5L\), \(L_0 = 2L\) TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM É a tensão que corresponde à carga crítica. \(\sigma_{CR} = \frac{P_{CR}}{A} \quad \sigma_{CR} = \frac{\pi²EI_{min}}{AL_{fl}²}\) Como o raio de giração é \(i_{min} = \sqrt{\frac{I_{min}}{A}}\), tem-se: \(\sigma_{CR} = \frac{\pi²E}{\left(\frac{L_{fl}}{i_{min}}\right)²}\) Chamando \(\lambda = \frac{L_{fl}}{i_{min}}\) onde \(\lambda\) é o índice de esbeltez. \(\sigma_{CR} = \frac{\pi²E}{\lambda²} \Rightarrow \lambda² = \frac{\pi²E}{\sigma_{CR}}\) ∴ \(\lambda = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_{CR}}}\) Condição: tensões no máximo iguais à \(\sigma_p\). \(\lambda_{lim} = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}\) Resistência dos Materiais Graphs showing stress versus strain and stress versus slenderness ratio. The stress-strain graph shows points \(\sigma_e\), \(\sigma_p\), and a linear E = tg \(\alpha\). The second graph shows the Euler's hyperbole \(\sigma_{CR} = \frac{\pi²E}{\lambda²}\) with segments A, B, and C. Trechos: • A – pilares curtos (compressão simples); • B – pilares medianamente esbeltos; • C – pilares esbeltos. Para o trecho C aplica-se a fórmula de Euler, que será usada somente no comportamento elástico do material. Ou seja, para: \(\sigma_{CR} \leq \sigma_p \quad \lambda > \lambda_{lim} \) Onde: \(\lambda_{lim} = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}\) Para índices de esbeltez menores que o limite (\(\lambda_{lim}\)) são aplicadas fórmulas específicas para cada tipo de material. TENSÃO ADMISSÍVEL À FLAMBAGEM A tensão admissível é igual à tensão crítica de flambagem dividida por um coeficiente de segurança (CS). \(\sigma_{adm} = \frac{\sigma_{CR}}{CS}\) E a carga admissível é igual à carga crítica dividida por um coeficiente de segurança (CS). \(P_{adm} = \frac{P_{CR}}{CS}\)