(Insper-SP) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.

As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a

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Question

(Insper-SP) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.



As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a

começar estilo tamanho matemático 14px 72 abre parênteses 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 3 fecha parênteses. fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 36 abre parênteses 6 espaço mais espaço raiz quadrada de 5 fecha parênteses. fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 108 abre parênteses 2 espaço mais espaço raiz quadrada de 5 fecha parênteses. fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 27 abre parênteses 8 espaço mais espaço raiz quadrada de 7 fecha parênteses. fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px 54 abre parênteses 4 espaço mais espaço raiz quadrada de 7 fecha parênteses. fim do estilo

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos calcular a área total revestida do porta-joias, que inclui as áreas das faces laterais e da tampa.

1. **Área das faces laterais:**
   O prisma hexagonal regular tem 6 faces laterais, cada uma sendo um quadrado com lado de 6 cm.
   $$
   \text{Área de uma face lateral} = 6 \times 6 = 36 \, \text{cm}^2
   $$
   $$
   \text{Área total das faces laterais} = 6 \times 36 = 216 \, \text{cm}^2
   $$

2. **Área da tampa (pirâmide):**
   A pirâmide tem uma base hexagonal regular e 6 faces triangulares. Cada face triangular é um triângulo isósceles.
   Para calcular a área de uma face triangular, precisamos da altura do triângulo. Usando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos, temos:
   - A base do triângulo é igual ao lado do hexágono, ou seja, 6 cm.
   - A altura da pirâmide é 6 cm.
   - A apótema da base (distância do centro do hexágono ao meio de um lado) é $3\sqrt{3}$ cm.

A altura $h$ de cada triângulo lateral pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
   $$
   h^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2
   $$
   $$
   h^2 = 36 + 27
   $$
   $$
   h^2 = 63
   $$
   $$
   h = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}
   $$

A área de uma face triangular é:
   $$
   \text{Área de uma face triangular} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7} \, \text{cm}^2
   $$

A área total das faces triangulares é:
   $$
   \text{Área total das faces triangulares} = 6 \times 9\sqrt{7} = 54\sqrt{7} \, \text{cm}^2
   $$

3. **Área total revestida:**
   $$
   \text{Área total revestida} = 216 + 54\sqrt{7}
   $$

Portanto, a área total revestida é **54 (4 + \sqrt{7}) \, \text{cm}^2**.

**Resposta: 54 (4 + \sqrt{7})**

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