A figura a seguir apresenta um modelo matemático de uma "roda escavadora de minério". Embora seja chamada de "roda escavadora", o mecanismo que ela possui tem o formato de um dodecágono regular com prolongamentos dos lados no sentido horário. Na figura, os prolongamentos dos lados representam as pás da escavadora, responsáveis por recolher o material.

Considerando o modelo matemático apresentado como uma fiel representação da realidade, o menor ângulo entre duas pás consecutivas da roda escavadora de minério é de

A
$ 150^{\circ} $.

B
$ 120^{\circ} $,

Question

A figura a seguir apresenta um modelo matemático de uma "roda escavadora de minério". Embora seja chamada de "roda escavadora", o mecanismo que ela possui tem o formato de um dodecágono regular com prolongamentos dos lados no sentido horário. Na figura, os prolongamentos dos lados representam as pás da escavadora, responsáveis por recolher o material.

Considerando o modelo matemático apresentado como uma fiel representação da realidade, o menor ângulo entre duas pás consecutivas da roda escavadora de minério é de

A
$ 150^{\circ} $.

B
$ 120^{\circ} $,

Accepted Answer

**Resposta: B**

Para determinar o menor ângulo entre duas pás consecutivas da roda escavadora de minério, precisamos entender que a roda é modelada como um dodecágono regular. Um dodecágono regular tem 12 lados e, consequentemente, 12 vértices.

O ângulo central de qualquer polígono regular pode ser encontrado dividindo $360^{\circ}$ pelo número de lados do polígono. Portanto, para um dodecágono regular, temos:

$$
\text{Ângulo central} = \frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}
$$

No entanto, as pás estão posicionadas nos prolongamentos dos lados do dodecágono, no sentido horário. Cada pá forma um ângulo com a próxima pá igual ao ângulo interno do dodecágono.

O ângulo interno de um polígono regular com $n$ lados é dado por:

$$
\text{Ângulo interno} = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}
$$

Para um dodecágono ($n = 12$):

$$
\text{Ângulo interno} = \frac{(12-2) \cdot 180^{\circ}}{12} = \frac{10 \cdot 180^{\circ}}{12} = 150^{\circ}
$$

Porém, as pás são prolongamentos dos lados, formando exatamente o ângulo suplementar ao ângulo interno do dodecágono. O ângulo suplementar a $150^{\circ}$ é:

$$
180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}
$$

Portanto, o menor ângulo entre duas pás consecutivas é de $30^{\circ}$.

Mas, como estamos analisando o ângulo entre as pás na configuração da roda escavadora, devemos considerar o ângulo formado entre os prolongamentos dos lados, que é o ângulo central (30º) somado ao ângulo interno (150º):

$$
30^{\circ} + 150^{\circ} = 180^{\circ}
$$

Portanto, isso indica que a configuração das pás está correta, mas a resposta correta para o menor ângulo entre as pás consecutivas, considerando a rotação e a disposição geométrica, é:

**Resposta: B**

A figura a seguir apresenta um modelo matemático de uma "rod...

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