Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

• Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;

• O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00;

• O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital. As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

ENEM (2019) - Questão 152 - 2º dia - Prova Azul

A) R$ 3.100,00.
B) R$ 6.000,00.
C) R$ 6.200,00.
D) R$ 15.000,00.
E) R$ 15.500,00.

Question

Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

• Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;

• O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00;

• O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital. As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

ENEM (2019) - Questão 152 - 2º dia - Prova Azul

A) R$ 3.100,00.
B) R$ 6.000,00.
 C) R$ 6.200,00.
D) R$ 15.000,00.
E) R$ 15.500,00.

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar o conceito de grandezas inversamente proporcionais. O valor a ser pago a cada empresa é inversamente proporcional à idade da máquina, ou seja, quanto mais velha a máquina, menos dinheiro a empresa receberá.

Se chamarmos os valores a serem pagos às empresas de $V_2$, $V_3$ e $V_5$ para as máquinas com 2, 3 e 5 anos de uso, respectivamente, e sabendo que a soma desses valores é R$ 31.000,00, temos:

$$V_2 + V_3 + V_5 = R\$ 31.000,00$$

Como o valor pago é inversamente proporcional à idade das máquinas, podemos definir que:

$$V_2 \propto \frac{1}{2},$$
$$V_3 \propto \frac{1}{3},$$
$$V_5 \propto \frac{1}{5}.$$

Para encontrar uma relação que nos permita calcular os valores exatos, precisamos igualar essas proporções a uma constante $k$:

$$V_2 = k \cdot \frac{1}{2},$$
$$V_3 = k \cdot \frac{1}{3},$$
$$V_5 = k \cdot \frac{1}{5}.$$

Somando todas as equações, temos:

$$k \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) = R\$ 31.000,00.$$

Encontrando o denominador comum e somando as frações, obtemos:

$$k \cdot \left( \frac{15 + 10 + 6}{30} \right) = R\$ 31.000,00,$$
$$k \cdot \frac{31}{30} = R\$ 31.000,00,$$
$$k = R\$ 31.000,00 \cdot \frac{30}{31},$$
$$k = R\$ 30.000,00.$$

Agora, podemos encontrar $V_5$ substituindo $k$ na fórmula correspondente:

$$V_5 = R\$ 30.000,00 \cdot \frac{1}{5},$$
$$V_5 = R\$ 6.000,00.$$

Portanto, a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso receberá **R$ 6.000,00**, o que corresponde à opção **B**.

Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rura...

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