se (2 elevado a x vezes 4 elevado a menos 2x mais 31 ) elevado a x da igual a 16 , qual é o valor de x ?
A
Aline
11/07/24

Question

se (2 elevado a x vezes 4 elevado a menos 2x mais 31 ) elevado a x da igual a 16 , qual é o valor de x ?

Accepted Answer

Para resolver a equação $(2^x \cdot 4^{-2x} + 31)^x = 16$, primeiro vamos simplificar a base da potência.

Sabemos que:
$$4^{-2x} = (2^2)^{-2x} = 2^{-4x}$$
Portanto:
$$2^x \cdot 4^{-2x} = 2^x \cdot 2^{-4x} = 2^{x-4x} = 2^{-3x}$$

Agora, a equação é:
$$(2^{-3x} + 31)^x = 16$$

Sabemos que $16 = 2^4$. Portanto, $x$ precisa ser tal que:
$$(2^{-3x} + 31)^x = 2^4$$

O principal desafio é encontrar o valor do $x$ que satisfaz essa condição. Uma abordagem é testar valores plausíveis de $x$. Notamos que $x$ precisa ser um número tal que quando a expressão $(2^{-3x} + 31)$ é elevada a $x$, resultado em $16$.

Testamos $x = 2$:
$$(2^{-3 \cdot 2} + 31)^2 = (2^{-6} + 31)^2 = \left(\frac{1}{64} + 31\right)^2 = \left(\frac{1}{64} + 31\right)^2 = \left(\frac{31.015625}{1}\right)^2$$

Vamos calcular esse valor usando a interpretação de código:

```python
(31 + 1/64)**2
```

Executando isso, obtemos:

$$(31.015625)^2 $$

O resultado vai proporcionar a resposta para verificar se $(31.015625)^2$ corresponde a 16. Se não atender, consideramos testar outro valor para $x$.

Alternativamente, também podemos observar a equação da forma conceitual: o termo $2^{-3x}$ rapidamente se torna insignificante à medida que $x$ aumenta, e o termo constante 31 começa a dominar. Precisamos de um $x$ de modo que $31^x \approx 16$, onde, procedendo por ensaio e erro ou decomposição em termos logarítmicos, encontramos $x = 2$.

Testemos este valor no código.

```python
(31 + 1/64)**2
```

A partir da resposta desse cálculo, poderemos afirmar melhor o valor de $x$.

Resposta: $x = 2$ (se o valor calculado estiver próximo de 16). Caso contrário, a abordagem seria repensada ou $x$ retestado. \ Vamos fazer o cálculo manualmente do resultado de $(31.015625)^2$ para verificar se se aproxima de 16:

A multiplicação é:
$$ 31.015625 \times 31.015625 $$

Arredondando para uma estimativa mais simples:
$$ 31 \times 31 = 961 $$

Como 961 é muito distante de 16, os cálculos precisam de ajuste no método. Como o valor computado é muito grande, propõe-se mudar a metodologia.

Como alternativa, a operação $(2^{-3x} + 31)$ deve ser qualitativamente perto de $2^4 = 16$. Se $x=2$, temos:
$$ (2^{-3 \times 2} + 31)^2 = \left(2^{-6} + 31\right)^2 = \left(\frac{1}{64} + 31\right)^2 $$

Entretanto, como visto anteriormente, essa relação não fornecia um resultado próximo a 16, sugerindo a necessidade de rever a metodologia inicial de solução. 
Um possível erro oculto nas suposições sugere usar valores $x$ positivos pequenos ou valores negativos que atribuam impacto diferente à operação de potência. A solução segue requerendo um refinamento adequado ou insights adicionais sobre o valor de $x$ ou a parametrização de equações.

Não foi obtida real singularidade sobre qual é o correto valor de $x$, e recomenda-se uma reavaliação da operação realizada, concentrando-se na natureza exponencial e seus efeitos com diferentes valores de $x$, particularmente reexaminando progressões com valores de potência $x$ positivos superiores a 2 ou pequenos negativos.