Exemplo 3:

Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a tabela abaixo, sendo s(t) a altura em metros e to tempo em segundos.

t

0

1

2

s(t)

0

15

60

A câmera está a 600 m do local de lançamento. Sabendo que s = s(t) é uma função polinomial de segundo grau, encontre a taxa de variação da distància entre a câmera e a base do onibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a camera e a base do ônibus estão no mesmo nivel no tempo t = 0).

Question

Exemplo 3:

Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a tabela abaixo, sendo s(t) a altura em metros e to tempo em segundos.

t

0

1

2

s(t)

0

15

60

A câmera está a 600 m do local de lançamento. Sabendo que s = s(t) é uma função polinomial de segundo grau, encontre a taxa de variação da distància entre a câmera e a base do onibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a camera e a base do ônibus estão no mesmo nivel no tempo t = 0).

Accepted Answer

Para encontrar a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento, primeiro precisamos encontrar a função polinomial de segundo grau $s(t)$ que descreve a altura do ônibus espacial em função do tempo. Depois, podemos usar essa função para calcular a distância total entre a câmera e a base do ônibus espacial usando o Teorema de Pitágoras, e finalmente encontrar a taxa de variação dessa distância em $t = 10$ segundos.

### Passo 1: Encontrar a função $s(t)$

Dado que $s(t)$ é uma função polinomial de segundo grau, podemos assumir que ela tem a forma:

$$s(t) = at^2 + bt + c$$

Temos três pontos dados: $s(0) = 0$, $s(1) = 15$, e $s(2) = 60$. Substituindo esses pontos na equação, obtemos um sistema de equações:

1. $0 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 0$
2. $15 = a(1)^2 + b(1) + 0 \Rightarrow a + b = 15$
3. $60 = a(2)^2 + b(2) + 0 \Rightarrow 4a + 2b = 60$

Resolvendo o sistema de equações, obtemos:

Da equação $a + b = 15$, temos $b = 15 - a$.

Substituindo $b$ na terceira equação: $4a + 2(15 - a) = 60 \Rightarrow 4a + 30 - 2a = 60 \Rightarrow 2a = 30 \Rightarrow a = 15$.

Substituindo $a$ de volta na equação para $b$, temos: $b = 15 - 15 = 0$.

Portanto, a função $s(t)$ é $s(t) = 15t^2$.

### Passo 2: Calcular a distância total e sua taxa de variação

A distância $d(t)$ entre a câmera e a base do ônibus espacial pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:

$$d(t) = \sqrt{(600)^2 + (s(t))^2} = \sqrt{360000 + (15t^2)^2}$$

$$d(t) = \sqrt{360000 + 225t^4}$$

Para encontrar a taxa de variação de $d(t)$ em relação ao tempo $t$, precisamos calcular a derivada de $d(t)$ em relação a $t$, ou seja, $d'(t)$:

$$d'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{360000 + 225t^4} \right)$$

Usando a regra da cadeia, temos:

$$d'(t) = \frac{1}{2(360000 + 225t^4)^{1/2}} \cdot (900t^3) = \frac{450t^3}{\sqrt{360000 + 225t^4}}$$

### Passo 3: Encontrar a taxa de variação em $t = 10$

Substituindo $t = 10$:

$$d'(10) = \frac{450(10)^3}{\sqrt{360000 + 225(10)^4}} = \frac{45000}{\sqrt{360000 + 2250000}}$$

$$d'(10) = \frac{45000}{\sqrt{2610000}} = \frac{45000}{1615.49} \approx 27.87 \, \text{m/s}$$

Portanto, a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento é aproximadamente $27.87$ m/s.

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